专题1 第2讲 三角函数的图象与性质(Word教参)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，按解析式求解、性质应用、综合问题、含绝对值函数分命题点系统梳理，通过考点剖析、方法归纳、真题精讲等环节，帮助学生构建知识网络，突破图象识别、性质判断等难点。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，如用整体代换法求解析式，结合图象分析对称性与单调性，设置基础预测练与高考真题分层训练。通过典例解析中的对称中心推导、性质判断的逻辑推理，提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第二讲　三角函数的图象与性质 [对应学生用书P4] 命题点1　三角函数的图象与解析式 [例1]　(1)(2025·北京海淀一模)已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示．若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝(　　) A．1 B． C．π D． (2)(2025·四川内江一模)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　) A． B． C． D．0 [解析]　(1)连接BC交x轴于E， 由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称， 故E为圆心，故|AE|＝|BE|， ＝T＝·＝， ＝＝， 故 ＝，解得ω＝，故选D. (2)由图可知，函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，则ω＝＝3， 所以f(x)＝A sin (3x＋φ)， 因为f＝A sin ＝0，且函数f(x)在x＝附近单调递减， 所以＋φ＝2kπ＋π，k∈Z， 解得φ＝2kπ＋，k∈Z， 又因为－<φ<，所以φ＝， 则f(x)＝A sin ， 因为f(0)＝A sin ＝A＝，可得A＝， 所以f(x)＝sin ， 因为x1，x2∈， 则<3x1＋<π，<3x2＋<π， 因为f＝f，则3x1＋＋3x2＋＝π， 所以x1＋x2＝， 故f＝f＝sin ＝cos ＝×＝.故选C. [答案]　(1)D　(2)C 根据图象求三角函数解析式的方法 已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ； (2)代入图象中已知点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． [预测练1] 1．(2025·辽宁模拟)已知函数f(x)＝M sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，－)，B，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则M＝(　　) A.2 B．3 C．4 D．2 解析　设f(x)的最小正周期为T， 依题意得＝－0＝， 则T＝，所以ω＝＝3， 因为将f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称， 则f＝M sin ， 可得－＋φ＝＋kπ，k∈Z， 则φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝－1时，φ＝－， 故f(x)＝M sin ， 将A(0，－)代入可得M＝2.故选D. 答案　D 2．(2025·山西临汾二模)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，f(0)＝2，则f＝(　　) A．0 B．－2 C．1 D．2 解析　根据f(0)＝2可得sin φ＝1，故φ＝＋2kπ，k∈Z， 故f(x)＝2sin ＝2cos ωx， 令f(x)＝2cos ωx＝， 故ωx1＝＋2kπ或ωx2＝－＋2kπ，k∈Z， 结合图象可知ωxA＝－＋2π，ωxB＝＋2π， 因此＝xB－xA＝＝，故ω＝2， 因此f(x)＝2cos 2x，故f＝2cos π＝－2， 故选B. 答案　B 命题点2　三角函数的性质 [例2]　(1)(多选)(2025·山东枣庄二调)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间上单调递减 B．直线x＝－是曲线y＝f(x)的一条对称轴 C．f(x)在区间上的最小值是－ D．将y＝f(x)的图象上各点先向右平移个单位长度(纵坐标不变)，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos 的图象 (2)(多选)(2025·福建泉州一模)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．曲线y＝f(x)关于直线x＝对称 C．f(x)在区间上有4个零点 D．f(x)在区间上单调递减 [解析]　(1)因为f(x)＝cos (2x＋φ)(0<φ<π)关于点中心对称， 所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z， 又因为0<φ<π，所以φ＝， 即f(x)＝cos ， 对于A，当x∈时，2x＋∈，此时f(x)＝cos 单调递减，故A正确； 对于B，x＝－时，2x＋＝－π，所以直线x＝－是曲线y＝f(x)的一条对称轴，故B正确； 对于C，当x∈时，2x＋∈， 当2x＋＝π时，f(x)＝cos 取最小值－1， 故C错误； 将y＝f(x)的图象上各点先向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数y＝cos ＝cos 的图象，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos 的图象，故D正确；故选ABD. (2)A选项，y＝sin 2x的最小正周期为π，y＝sin x的最小正周期为2π， 两者的最小公倍数为2π，故f(x)的最小正周期为2π，A正确； B选项，f＝sin －2sin ＝－sin 2x－2sin x≠f(x)， 故曲线y＝f(x)不关于直线x＝对称，B错误； C选项，f(x)＝sin 2x－2sin x＝2sin x cos x－2sin x＝2sin x， 令f(x)＝0得2sin x＝0，故sin x＝0或cos x＝1， 因为x∈，所以sin x＝0的解为x1＝－2π， x2＝－π，x3＝0，x4＝π，x5＝2π， cos x＝1的解为x1＝－2π，x3＝0，x5＝2π， 综上，f(x)在区间上有5个零点，C错误； D选项，f′(x)＝2cos 2x－2cos x＝4cos2x－2－2cosx＝4－. 当x∈时，cos x∈， 4－∈， 即f′(x)＝4－<0，所以f(x)在区间上单调递减，D正确；故选AD. [答案]　(1)ABD　(2)AD (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先把三角函数式化简成y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的形式，然后求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，只需把(ωx＋φ)看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要把ω化为正数． (2)函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x的图象的对称轴和对称中心求解． 利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y＝A cos (ωx＋φ)，y＝A tan (ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝A tan (ωx＋φ)的图象无对称轴). [预测练2] 1．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 答案　B 2．(多选)(2025·陕西咸阳二模)已知f(x)＝－sin 2ωx＋cos2ωx－(ω>0)与函数g(x)＝tanx的周期相同，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在区间上单调递减 B．f(x)在区间上只有1个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析　由f(x)＝－sin 2ωx＋cos2ωx－＝－sin2ωx＋cos 2ωx＝sin ， 因为函数g(x)＝tan x的最小正周期为π， 所以＝π，所以ω＝1， 所以f(x)＝sin . 对于A中，当x∈时， 可得2x＋∈⊆， 由正弦函数y＝sin u的性质，可得y＝f(x)在上单调递减，所以A正确； 对于B中，当x∈时，可得2x＋∈， 由正弦函数y＝sin u的性质，可得y＝f(x)在上只有1个极值点， 由2x＋＝，解得x＝，即x＝为函数f(x)在上的唯一极值点，所以B正确； 对于C中，当x＝时，2x＋＝4π，f＝0， 所以直线x＝不是曲线f(x)的对称轴，所以C错误； 对于D中，由y′＝2cos ＝－1，得 cos ＝－， 则2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，可得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z， 所以曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1， 所以切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，所以D正确． 故选ABD. 答案　ABD 命题点3　三角函数性质与图象的综合应用 [例3]　(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线y＝f(x)向左平移个单位长度得到的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝2，φ＝ B．直线x＝为曲线y＝f(x)的一条对称轴 C．若f(x)在(－a，a)上单调递增，则0<a≤ D．曲线y＝f(x)与直线y＝x－有且仅有5个交点 (2)(多选)设函数f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是(　　) A．f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B．f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 [解析]　(1)由题意得＝＝(T为f(x)的最小正周期)，故ω＝2.将f(x)＝2sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得y＝2sin ＝2sin 的图象，由该函数图象关于y轴对称，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，故φ＝，故f(x)＝2sin .由f(x)的解析式知，A正确．因为f＝2sin ＝－2，为f(x)的最小值，所以直线x＝为曲线y＝f(x)的一条对称轴，B正确．易知f(x)在上单调递增，故0<a≤，C错误．如图，直线y＝x－与曲线y＝f(x)均过点，且直线与曲线均关于该点中心对称，对于y＝x－，当x＝时，y＝<f＝2，当x＝时，y＝>f＝2，由对称性可知曲线y＝f(x)与直线y＝x－有且仅有5个交点，D正确．故选ABD. (2)已知f(x)＝sin (ω>0)在[0，2π]上有且仅有5个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以A正确，B不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以D正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在上单调递增，所以C正确．故选ACD. [答案]　(1)ABD　(2)ACD 三角函数的图象和性质综合问题的求解策略 先将y＝f(x)化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B的形式，将ωx＋φ视为一个整体，借助正弦函数的图象和性质解决相关问题(如单调性、对称性、零点、极值点等)，强化数形结合思想、转化与化归思想、整体代换思想的应用． [预测练3] 1．(2025·天津卷)f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－1 D．0 解析　因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以×≥－，f＝sin ＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)　①.因为是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝sin ＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)　②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin .当x∈时，2x＋∈，所以f(x)的最小值为f＝sin ＝－，故选A. 答案　A 2．(2025·河南名校联考)记函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的最小正周期为T. (1)若f(T)＝1，且直线x＝为f(x)的图象的一条对称轴，则f＝________． (2)若为f(x)的一个零点，且f(x)在区间(0，π)上至多有两个零点，则T＝________． 解析　(1)因为f(T)＝f＝2cos (2π＋φ)＝2cos φ＝1， 所以cos φ＝，又因为0<φ<，所以φ＝， 则f(x)＝2cos . 因为直线x＝为f(x)的图象的一条对称轴， 所以ω＋＝kπ，k∈Z，即ω＝6k－2，k∈Z， 所以f＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1. (2)由为f(x)的一个零点可知，ω＋φ＝kπ＋，k∈Z. 因为f(x)在区间(0，π)上至多有两个零点， 所以ωπ＋φ≤. 因为0<φ<，所以ωπ<，则0<ω<，又因为ω∈N*，所以ω＝1或ω＝2. ①当ω＝1时，代入ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z， 因为0<φ<，所以k＝0，φ＝，此时f(x)＝2cos 在(0，π)上只有一个零点，符合题意； ②当ω＝2时，代入ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z， 因为0<φ<，所以不符合题意． 综上，ω＝1，T＝＝2π. 答案　(1)1　(2)2π 命题点4　含绝对值的三角函数性质 [例4]　(多选)已知函数f(x)＝＋，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的最小正周期为π C．函数f(x)的值域为[1，] D．设函数g(x)＝sin (ω>0，0≤φ≤π)与函数f(x)的奇偶性相同，且函数g(x)在(0，3)上单调递减，则ω的最小值为2 [解析]　函数f(x)为偶函数，不是奇函数，故A错误；由于f(x)＝，其最小正周期为π，故B正确；显然f(x)＝的值域为[1，]，故C正确；由于f(x)为偶函数，从而g(x)＝sin 也为偶函数，故φ＝＋kπ，k∈Z.又0≤φ≤π，故φ＝，从而g(x)＝cos x(ω>0).由g(x)在(0，3)上单调递减，可知＝×＝ω≥3，所以ω的最小值为3，故D错误． [答案]　BC 带绝对值符号的三角函数问题的解题顺序可以归纳为①分析奇偶性、周期性；②去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值(部分试题在判断周期性、单调性、对称性时可特值否定). [预测练4] (2025·安徽安庆模拟)下列关于函数f(x)＝|sin 2x|＋cos 2x的说法正确的是(　　) A．是函数f(x)图象的一个对称中心 B．f(x)的值域为[－1，] C．f(x)在区间上单调递减 D．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 解析　令sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以当kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，f(x)＝|sin 2x|＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ， 由kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 得2kπ＋≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)∈[－1，]； 令sin 2x<0，即π＋2kπ<2x<2π＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ<x<π＋kπ，k∈Z. 所以当＋kπ<x<π＋kπ，k∈Z时， f(x)＝|sin 2x|＋cos 2x＝－sin 2x＋cos 2x＝－sin ， 由＋kπ<x<π＋kπ，k∈Z， 得＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)∈[－1，]； 综上可得f(x)＝＋cos 2x＝ 且f(x)的值域为[－1，]，故B正确； 作出函数f(x)的大致图象： 由图可知f(x)不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误； 因为f＝sin ＝，f(0)＝sin ＝1，f＝sin ＝－1，由图可知f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则f(x)在上不单调，故C错误； f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故D错误；故选B. 答案　B [对应学生用书P7] 1．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x 与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析　(数形结合法)　因为函数y＝2sin 的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin 在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin 与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 答案　C 2．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　(直接法)　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC. 答案　BC 3．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间上单调递减 B．f(x)在区间上有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析　由题意得f＝sin ＝0， 所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝， 故f(x)＝sin . 选项A：x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B：x∈时2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝可解得极值点； 选项C：x＝时2x＋＝3π，f(x)＝sin 3π＝0，直线x＝不是对称轴； 选项D：f′(x)＝2cos ， 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x. 答案　AD 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 解析　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 故答案为[2，3). 答案　[2，3) 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________． 解析　设A，B，则x2－x1＝， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，ω(x2－x1)＝，∴ω＝4，f＝sin ＝0，＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－π＋kπ(k∈Z)，k＝2时，φ＝－π，f(x)＝sin 满足条件． ∴f(π)＝sin ＝－. 答案　－ 6．(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． 解析　(1)由题意f(0)＝cos φ＝(0≤φ<π)， 所以φ＝. (2)由(1)可知f(x)＝cos ， 所以g(x)＝f(x)＋f＝cos ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos ， 所以函数g(x)的值域为[－，]， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $