6.3.1角的概念讲义-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第六章 几何图形初步 6.3.1 角的概念 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1角的认识 2 知识点2 角度制及换算 2 知识点3 钟表上有关夹角问题 3 知识点4 方向角 4 题型精讲1角的概念理解 5 题型精讲2角的表示方法 6 题型精讲3角的分类 7 题型精讲4画特殊角 7 题型精讲5钟面角 8 题型精讲6方向角的表示 9 题型精讲7与方向角有关的计算题 11 题型精讲8角的单位与角度制 12 题型精讲9角的度数大小比较 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解角的两种定义（从静态 “有公共端点的两条射线组成的图形”、动态 “射线绕端点旋转形成的图形”），掌握角的表示方法（用顶点字母、三个字母、数字或希腊字母）。 2. 素养能力：通过观察、画图理解角的特征，发展几何直观与抽象概括能力，对接中考对角的概念辨析、表示方法的基础考查要求。 3. 情感应用：联系生活中的角（如钟表指针夹角、墙角），感受角的普遍性，为后续角的度量、比较与运算奠定基础。 【新知学习】 【知识点1】角的认识 1. 角的定义： 静态定义：有 端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。 动态定义：把一条射线绕着它的 旋转而形成的图形。 2. 角的图示与组成： 角的顶点：两条射线的 叫做角的顶点。 角的边：组成角的 是角的边。 3. 角的表示方法： 图1 图2 角的符号：∠ 表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 。 表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 。 （方法2与方法3适用于任意角） 边学边练如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【知识点2】 角度制及换算 1. 角的单位： 角的单位有 ； ； 。 把周角360份等分，平均一份就是 度，记作： ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 ，记作： ，把1′角按60份等分，其中一份就是 ，记作： 。 2. 角的单位换算： 1周角＝ ＝ 平角，1平角＝ ＝ 直角，1直角＝ 。1°＝ ， 1′＝ 。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 的部分化成分，在把不足 的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 边学边练 ． 【知识点3】 钟表上有关夹角问题 钟表中共有 大格，把周角 等分、每个大格对应 的角，分针1分钟转 ，时针每小时转 ，时针1分钟转 ，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 边学边练如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【知识点4】方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是 ．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做 ． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以 和 方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 边学边练“北偏东”与“东偏北”表示的方向是一样的．( ) 题型精讲 题型精讲1角的概念理解 【例题1】如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练1】下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【变式训练2】下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 题型精讲2角的表示方法 【例题1】如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【变式训练2】如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【变式训练3】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 题型精讲3角的分类 【例题1】一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【变式训练1】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【变式训练2】下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【变式训练3】下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 题型精讲4画特殊角 【例题1】用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 【变式训练1】作图题：已知：、 求作：，使 【变式训练2】借助一副三角尺画出的角． 【变式训练3】如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 题型精讲5钟面角 【例题1】早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】小明早上从家出发赶往学校，在时正好到校，计算小明上学过程中钟表上的时针转过的角度是 ． 【变式训练2】如图所示，钟表的时针与分针夹角的度数是 ． 【变式训练3】当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 题型精讲6方向角的表示 【例题1】极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【变式训练1】如图，关于位置描述正确的是（  ） （图注：广场到学校距离200米，学校在广场北偏东方向；小红家在广场西偏南方向，距离300米） A．学校在广场南偏西方向200米处 B．小红家在广场西偏南方向300米处 C．广场在小红家东偏北方向300米处 D．广场在学校北偏西方向200米处 【变式训练2】小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【变式训练3】如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 题型精讲7与方向角有关的计算题 【例题1】如图，方向是北偏东 ， ． 【变式训练1】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 题型精讲8角的单位与角度制 【例题1】 ． 【变式训练1】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】若，，则 ．（填“”“”或“”） 题型精讲9角的度数大小比较 【例题1】如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【变式训练1】比较角度的大小： 【变式训练2】比较大小： 填“>”“<”或“=” 【变式训练3】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【拓展培优】 【典例1】（24-25全国·单元测试）如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 【变式训练1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏镇江·月考）阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【典例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，点位于点的（    ） A．北偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点A位于点O的方向是（   ） A．西北方向 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在灯塔 O处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B在南偏东的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． ∴， ∴， 5．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 6．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 7．（24-25七年级上·福建福州·期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针按照固定的规律不停地转动着．如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心按各自的速度运转．现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成角时，则所经过的时长（答案四舍五入到整数）是（   ） A．30分钟 B．31分钟 C．32分钟 D．33分钟 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 二、填空题 9．（25-26七年级上·四川·期末） ； ． 10．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）钟面上3点30分时，时针与分针的夹角度数是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 15．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）下面是小明家附近街区的示意图． (1)图书馆位于，向南走，正好到达超市，超市的位置是(_______，_______)； (2)小明家位于，学校在他家西偏北约处，请使用作图工具在图中准确标出学校的位置，并用表示．（保留作图痕迹） 16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.3.1 角的概念 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1角的认识 2 知识点2 角度制及换算 2 知识点3 钟表上有关夹角问题 3 知识点4 方向角 4 题型精讲1角的概念理解 5 题型精讲2角的表示方法 6 题型精讲3角的分类 7 题型精讲4画特殊角 7 题型精讲5钟面角 8 题型精讲6方向角的表示 9 题型精讲7与方向角有关的计算题 11 题型精讲8角的单位与角度制 12 题型精讲9角的度数大小比较 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解角的两种定义（从静态 “有公共端点的两条射线组成的图形”、动态 “射线绕端点旋转形成的图形”），掌握角的表示方法（用顶点字母、三个字母、数字或希腊字母）。 2. 素养能力：通过观察、画图理解角的特征，发展几何直观与抽象概括能力，对接中考对角的概念辨析、表示方法的基础考查要求。 3. 情感应用：联系生活中的角（如钟表指针夹角、墙角），感受角的普遍性，为后续角的度量、比较与运算奠定基础。 【新知学习】 【知识点1】角的认识 1. 角的定义： 静态定义：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的 顶点 ，这两条射线叫做角的 边 。 动态定义：把一条射线绕着它的 端点 旋转而形成的图形。 2. 角的图示与组成： 角的顶点：两条射线的 交点 叫做角的顶点。 角的边：组成角的 两条射线 是角的边。 3. 角的表示方法： 图1 图2 角的符号：∠ 表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 ∠O 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 ∠BOC 。 表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 ∠1或∠β 。 （方法2与方法3适用于任意角） 边学边练如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【知识点2】 角度制及换算 1. 角的单位： 角的单位有 度“°” ； 分“′” ； 秒“″” 。 把周角360份等分，平均一份就是 1 度，记作： 1° ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 1分 ，记作： 1′ ，把1′角按60份等分，其中一份就是 1秒 ，记作： 1″ 。 2. 角的单位换算： 1周角＝ 360° ＝ 2 平角，1平角＝ 180° ＝ 2 直角，1直角＝ 90° 。1°＝ 60′ ， 1′＝ 60″ 。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1° 的部分化成分，在把不足 1′ 的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 边学边练 ． 【答案】55.7 【详解】解：， 故答案为：． 【知识点3】 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 边学边练如图，时钟的时针从今天上午的8时转动到今天上午10时，时针旋转的旋转角为 °． 【答案】60 【详解】解：∵时针从上午的8时到10时共旋转了2个格，每相邻两个格之间的夹角是， ∴时针旋转的旋转角． 故答案为：60． 【知识点4】方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 边学边练“北偏东”与“东偏北”表示的方向是一样的．( ) 【答案】√ 【详解】解：“北偏东”是以正北为基准，向东偏转，形成东北方向； “东偏北”是以正东为基准，向北偏转，同样指向东北方向； 在平面直角坐标系中，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 北偏东的终边与轴夹角为，东偏北的终边与轴夹角为，两者终边均位于第一象限的角平分线（），方向完全相同， 这两个方向角表示同一方向． 故答案为：√． 题型精讲 题型精讲1角的概念理解 【例题1】如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 【变式训练1】下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 【变式训练2】下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 【变式训练3】如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 10 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 题型精讲2角的表示方法 【例题1】如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法，结合图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图中、、表示的是同一个角，符合题意； B、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； C、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； D、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式训练2】如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 【变式训练3】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型精讲3角的分类 【例题1】一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 【变式训练1】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【变式训练2】下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【变式训练3】下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 题型精讲4画特殊角 【例题1】用尺规和量角器，按下列语句作图： （Ⅰ）在圆 O 中， 以圆心 O 为顶点，连续画（即）的角，与圆 O 相交于五个点； （Ⅱ）连接每隔一点的两个点； （Ⅲ）保留作图痕迹与几何图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画角，用量角器以此量出，根据题意连接线段即可． 【详解】解：如图， 【变式训练1】作图题：已知：、 求作：，使 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键．利用量角器作，在外以为边作，所以，即为所求作的角． 【详解】如图所示：首先作， 其次在外以为边作， 则即为所求作的角． 【变式训练2】借助一副三角尺画出的角． 【答案】见解析 【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出． 【详解】解：如图所示，45°-30°=15°， 45°+60°=105°， 90°+30°=120°， 90°+45°=135°． 【变式训练3】如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【答案】(1)答案见解析 (2)两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． （1）①反向延长射线即可；②用量角器画出的角平分线即可；③用圆规截取即可；④连结，与的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短，可知④中的作图正确． 【详解】（1）如图，即为所求的图形； （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 题型精讲5钟面角 【例题1】早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，正确求出钟面上每一个大格对应的角度度数为是解题关键．先求出钟面上每一个大格对应的角度度数为，再乘以4即可得． 【详解】解：早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是 ． 故选：B． 【变式训练1】小明早上从家出发赶往学校，在时正好到校，计算小明上学过程中钟表上的时针转过的角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角问题，根据时针一小时转，小明上学过程共15分钟，即小时，据此求解即可． 【详解】解：时针转一圈需要12小时，则一小时转， 小明上学过程从到共15分钟，即小时， 因此时针转过的角度为， 故答案为：． 【变式训练2】如图所示，钟表的时针与分针夹角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查钟面角，根据钟面上一个大格的度数为30度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，钟表的时针与分针夹角的度数是； 故答案为：． 【变式训练3】当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【详解】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 题型精讲6方向角的表示 【例题1】极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 【变式训练1】如图，关于位置描述正确的是（  ） （图注：广场到学校距离200米，学校在广场北偏东方向；小红家在广场西偏南方向，距离300米） A．学校在广场南偏西方向200米处 B．小红家在广场西偏南方向300米处 C．广场在小红家东偏北方向300米处 D．广场在学校北偏西方向200米处 【答案】B 【分析】此题考查了方向角，解题关键是熟练掌握方向角的定义． 根据方向角的定义进行判断． 【详解】A． 学校在广场北偏东方向200米处，故A不符合题意； B． 小红家在广场西偏南方向300米处，故B符合题意； C． 广场在小红家东偏北方向300米处，故C不符合题意； D．广场在学校南偏西方向200米处，故D不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 【变式训练3】如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 【详解】解：灯塔S的位置，如图所示： 题型精讲7与方向角有关的计算题 【例题1】如图，方向是北偏东 ， ． 【答案】 /60度 /105度 【分析】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为是解题的关键． 根据图中所给角即方向的概念可得出方向是北偏东，利用平角为求即可． 【详解】解：由图知，与正东方向夹角为， 所以方向是北偏东； 又，所以． 故答案为：；． 【变式训练1】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角以及角的和差，正确理解方向角的概念以及利用角的和差确定出 的构成是解题的关键．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：根据题意如图所示： ， 故选：C． 【变式训练2】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 【变式训练3】芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【答案】90 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，，由角的和差得 ，可得C、A、B三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴C、A、B三点在同一条直线上， ∴， 即B、C两点之间的距离是， 故答案为：90． 题型精讲8角的单位与角度制 【例题1】 ． 【答案】 【分析】本题考查角的单位与角度制，注意分的进位制，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练1】用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．将小数度转换为度分秒表示，需将小数部分依次乘以60转换为分和秒． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 【变式训练2】若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 【变式训练3】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型精讲9角的度数大小比较 【例题1】如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 【变式训练1】比较角度的大小： 【答案】 【分析】此题考查角的大小比较，根据度、分、秒的换算统一单位后判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 【变式训练3】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．近似数与的精确度相同 C． D．钟面上3点分，时针与分针的夹角为 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数，精确度和近似数，角的度数大小比较和钟面角，正确掌握单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小是解题的关键； 根据单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小比较方法逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，故该选项说法错误，不符合题意； B、近似数精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故该选项说法错误，不符合题意； C、，即，故该选项说法正确，符合题意； D、钟面上3时分，时针与分针的夹角为度，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【拓展培优】 【典例1】（24-25全国·单元测试）如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 【答案】 9 12 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟表时间的推理，解题的关键是掌握钟表时针和分针的特征． 根据钟表时针和分针的特征进行合理的推理即可． 【详解】解：根据时针和分针所指刻度得， 时针走一个大格是60分钟，走一个小格是（分钟）， 此时，分针从12点的刻度走了12个小格， ∴分针刚走过的刻度为2， ∴现在的时刻是9时12分， 故答案为：9，12． 【变式训练1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏镇江·月考）阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【答案】（1），（2）4:00或8:00（答案不唯一），（3）或20，（4） 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用； （1）根据时，时针与分针的夹角是3.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）根据时针与分针的夹角是格，即可得出答案； （3）设经过分钟，钟面角为，根据时针与分针的夹角为，分类讨论，分别列出方程，解方程，即可求解； （4）设小明看了分钟电视节目，根据题意可得时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）时，时针与分针的夹角是3.5个大格， ∴， 故答案为：． （2）某个时刻的钟面角为，则时针与分针的夹角是格， ∴一个相应的时刻可以是或（答案不唯一） 故答案为：或（答案不唯一） （3）设经过分钟，钟面角为， ∴或， 解得：或； 答：经过或20分钟，钟面角为． （4）解：∵在到之间这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置． ∴时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角， 设小明看了分钟电视节目，根据题意得 解得： 故答案为：． 【典例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，点位于点的（    ） A．北偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】A 【分析】本题考查方位角的定义及表示，熟记方位角定义及表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：由图可得，点位于点的北偏西的方向上． 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点A位于点O的方向是（   ） A．西北方向 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角的表示方法，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点A位于点O的方向是北偏西； 故选B． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在灯塔 O处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B在南偏东的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向， ∴， ∴， ∵轮船B在南偏东的方向， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义． 根据射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 射线有一个端点，直线无端点，射线不是直线，原说法错误； B． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，原说法错误； C． 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； D． 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，原说法正确； 故选：D． 6．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的定义，角度的运算，掌握方位角的定义是解题的关键．结合图形，根据方位角的意义，求得的度数即可求解． 【详解】解：如图， ∵点在点的北偏西40°18'方向上， ∴， ∵， ∴， ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东方向上． 故选：B． 7．（24-25七年级上·福建福州·期末）在日常生活中，时钟是我们常见的计时工具，其时针和分针按照固定的规律不停地转动着．如图是一个正常运行的时钟表盘，时针和分针有条不紊地围绕着表盘中心按各自的速度运转．现在是3点钟整，从这个时刻开始，当时针与分针第一次成角时，则所经过的时长（答案四舍五入到整数）是（   ） A．30分钟 B．31分钟 C．32分钟 D．33分钟 【答案】D 【分析】本题考查了钟表问题的实际应用，一元一次方程，熟练掌握钟表的特征是解题的关键．分针每分钟转，时针转，设分钟后时针与分针第一次成角，则有，再解方程即可求解． 【详解】解：设分钟后时针与分针第一次成角， 根据题意得：， 解得：， 故选：D． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 二、填空题 9．（25-26七年级上·四川·期末） ； ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，关键是记住 “，” 的进率，易错点是换算时的进制错误（误用 进制）； 第一部分，根据角度单位换算关系，，因此直接转换为； 第二部分，将的整数部分作为度，小数部分依次乘以转换为分和秒． 【详解】解：由于，所以； 故答案为； 的整数部分为，小数部分转换为分：，整数部分作为分，小数部分转换为秒：，因此． 故答案为：，，． 10．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，由时针每小时转动，时针每分钟转动进行求解即可． 【详解】解：因为时针每小时转动，时针每分钟转动， 所以分针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 时针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 所以2时20分时，钟面上时针与分针所成的角： ； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】将转化为度分的形式，再与比较大小．本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）钟面上3点30分时，时针与分针的夹角度数是 ． 【答案】 【分析】先分别确定时针和分针在3点30分时时针和分针的位置，再根据钟面的刻度特点，计算出它们之间的夹角．本题主要考查了钟面角的计算，熟练掌握钟面大格角度的计算以及时针、分针的运动规律是解题的关键． 【详解】解：钟面一圈为，共被分成个大格，每个大格的角度为． 分针分钟时，指向数字． 时针小时走个大格，即，那么分钟时针走，3点30分时，时针在数字和正中间，偏离数字的角度为． 此时时针与分针之间间隔个大格，所以夹角为． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【答案】(1) (2)渔船到达的点C在点O的北偏西方向上 【分析】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握方向角之间的大小关系． （1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点C的位置即可判断． 【详解】（1）解：∵点E在点O的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴渔船到达的点C在点O的北偏西方向上． 15．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）下面是小明家附近街区的示意图． (1)图书馆位于，向南走，正好到达超市，超市的位置是(_______，_______)； (2)小明家位于，学校在他家西偏北约处，请使用作图工具在图中准确标出学校的位置，并用表示．（保留作图痕迹） 【答案】(1)2，2 (2)见解析 【分析】本题考查方向和距离确定位置、用数对确定位置，理解数对表示位置的方法是解答的关键． （1）根据所给信息确定超市位置，即可解答； （2）结合网格特点和已知，用直尺画出方向的射线，借助圆规，以小明家为圆心，两格长度为半径交射线于点S，即为所求． 【详解】（1）解：图书馆位于，向南走，即向下走3格，正好到达超市， 则超市的位置为， 故答案为：2，2； （2）解：如图，点S（即学校）即为所求： 16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）根据要求画图并作答． (1)如图所示，一个公园是正方形布局，近期景观升级需要将其改造为圆形，请你在设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形．（先用虚线表示出你是怎样找到圆心的，并给圆心标上字母，再用实线画圆．） (2)公园的南门到北门距离200米，扩建后公园面积增加多少平方米？ (3)小明现在的位置在公园的中心，他计划从东门离开搭乘地铁回家．地铁站在公园东门北偏东距离100米的位置，请画出地铁站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11400平方米 (3)见解析 【分析】关键是掌握画圆的方法，能根据方向、角度和距离画出路线图，结合题意分析解答即可． （1）先用虚线画出正方形对角线，对角线的交点是圆心，半径=对角线的一半，据此画出圆． （2）增加的面积=圆的面积-正方形面积，南门到北门距离是圆的直径，圆的面积=圆周率×半径的平方，正方形可以看成两个三角形，三角形面积=底×高÷2，据此求出增加的面积． （3）用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离．看图可知，图上1段表示50米，实际距离÷50=要画的段数． 【详解】（1）解：设计图中画一个最小的圆，使它恰好能够围住正方形，如图 （2）（米） （平方米） 答：扩建后公园面积增加11400平方米 （3）（段），如图 1 学科网（北京）股份有限公司 $