角的有关计算题 典型题型归纳专项练-2025-2026学年人教版数学七年级上册

角的有关计算题 一、三角板中角度计算问题 1．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则 ． 2．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 3．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点处． (1)___________；（填“>”“<”“=”） (2)若将三角尺按图2的位置摆放，和在数量上有何关系？说明理由； (3)在图2中，已知与的度数比为，当与是同类项时，求的度数． 4．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 二、与方位角有关的计算题 5．如图，点，，分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点．经测量，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向，则郑成功纪念馆在日光岩的 ． 6．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 7．如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．    (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线； (2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 8．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，射线平分，射线是射线的反向延长线． (1)求射线的方向角； (2)求的度数； (3)若射线平分，试判断是否为直角？并说明理由． 三、钟面角 9．如图，当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是 ． 10．（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 11．如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 12．生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 四、角平分线的有关计算 13．如图，内部有顺次的四条射线，，，，，其中平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 14．如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 15．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 16．如图1，为直线上一点，过点作射线，使，现将一个三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)__________； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，设旋转角度，是否有某个时刻满足？如果有，求的度数，说明理由． 五、角n等分线的有关计算 17.在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 18.定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 六、余角与补角的有关计算 19．（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 20．如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 21．已知，直线相交于点O，，是的平分线． (1)如图1所示，求的度数； (2)如图2所示，作的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O作射线，使得为的余角的2倍，求的度数． 22．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 答案 一、三角板中角度计算问题 1． 解：根据三角板可知， ∵，且， ∴. 故答案为：. 2． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3． （1）①∵， ∴，即． 故答案为：=； （2）∵，， ∴， 即． （3）∵与是同类项， ∴， 解得， ∵与的度数比为，， ∴， ∴． 故的度数是． 4． （1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 二、与方位角有关的计算题 5． 解：因为郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东方向， 所以． 又因为， 所以． 所以郑成功纪念馆在日光岩的北偏西方向． 故答案为：北偏西方向． 6． （1）解：客轮B和海岛C方向的射线，如图所示： ； （2）解：∵是它补角的， ∴, 解得：， 如图， 故D在O南偏东或北偏东． 7． （1）如图所示，射线的方向就是西北方向，即货轮所在的方向．    （2）依题意可得，，， ∴ 8． （1）解：由题意得：， ， ∵射线平分， ， ， ∴射线的方向角为北偏东； （2）解：∵射线是射线的反向延长线， ， ， ； （3）解：是直角，理由如下： ∵射线平分，， ， 是直角． 三、钟面角 9． 解：，则上午时，时针与分针的夹角的度数是． 故答案为：． 10． 解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 11． （1）解：时针1小时转过的角度为， 分针1分钟转过的角度为； 故答案为：，6 （2）设在下午3点至 4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：   (或）    解得：   ②当分针在时针下方时，由题意得：   (或）    解得： 答：经过或分钟，时针与分针成角． 12． （1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走了， ； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 四、角平分线的有关计算 13． （1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ． 14． （1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：； 理由：∵是直角，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：； 理由：∵平分，是直角， ∴， ∴， ∴； 15． （1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 16． （1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：设旋转的角度， ， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：有某个时刻满足，理由如下： 依题意，旋转的角度， 当时，点在的右侧， 当时，点在的左侧， ∴或， ∵， ∴，或 解得或， ∴的度数或． 五、角n等分线的有关计算 17. 解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 18. 解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 六、余角与补角的有关计算 19． 解：（1）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． （2）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． 20． （1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 21． （1）解：∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∴ ∵平分， ∴ 答：的度数是． （3）解：∵， ∴的余角是， ∴ ①∵， ∴在内部画，则 ∵ ∴ ②同理在内部画， 答：的度数是或． 22． （1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $