第二十五章 概率初步章末能力达标题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十五章 概率初步 一、单选题 1．下列事件中，是确定事件的有 个（   ） （1）投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上；   （2）小明在上学的路口遇到红灯； （3）在非常干燥的环境下，大豆种子发了芽； （4）一个袋子中装有5个红球，2个黑球，从中任意取出3个球，至少有一个是红球； A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四张卡片上分别写有，，，四个实数，从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是（     ） A．0 B． C． D．1 3．从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为．是真命题的概率是（　　） A．1 B． C． D． 4．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．21 B．27 C．28 D．30 5．从长度分别为、、、的条线段中任取条作边，能组成三角形的概率为（   ） A． B． C． D． 6．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（　　） A． B． C． D． 7．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 8．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 9．如图，图为四等分数字转盘，图为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），将图转盘指针所指区域的数字记为，图转盘指针所指区域的数字记为，则点在第二象限的概率为（   ） A． B． C． D． 10．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．从，，，，中随机任取一个实数，则取到无理数的概率是 ． 12．口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ． 13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是 ． 14．如图，一只圆形平盘被同心圆划成，两个区域（其中区域是半径为的圆，区域是圆环）．随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动．把“在图形中随机撒豆子”作为试验，若事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，小圆半径，则大圆半径 ．    15．小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是 . 三、解答题 16．为弘扬中华传统文化，崇明区某学校为配合“人人会瀛州古调”教学活动，开设了民族器乐选修课程．学生参加选修课的情况见如下统计图（图1、图2）．请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（请在空格处填入相应答案） (1)共有 名学生参加了选修课程学习； (2)扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为 度； (3)如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是 ． 17．暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 18．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 b 295 484 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)求出表中___________，___________． (2)估计当很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到）；此口袋里白球有___________只； (3)若从口袋里再拿出去个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求的值． 20．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； (2)任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； (3)小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 21．为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是_______； (2)图中的度数是_______，并把图2条形统计图补充完整； (3)若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______； (4)测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲乙的概率． 22．“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了_______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 23．某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A C B C A B 1．B 本题考查了事件的分类，先判断每个事件是否为确定事件，再统计确定事件的个数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：（1）投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故不符合题意；   （2）小明在上学的路口遇到红灯，是随机事件，故不符合题意； （3）在非常干燥的环境下，大豆种子发了芽，是不可能事件，是确定事件； （4）一个袋子中装有5个红球，2个黑球，从中任意取出3个球，至少有一个是红球，是必然事件，是确定事件； 综上所述，是确定事件的是（3）（4），共个， 故选：B． 2．C 本题考查了无理数的定义，根据概率公式求概率，先判断各数是属于无理数还是有理数，再根据概率公式计算即可得解，熟练掌握无理数的定义是解此题的关键． 解：是整数，属于有理数；属于无理数；是分数，属于有理数；属于无理数； 故从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是， 故选：C． 3．D 由垂径定理，弧长的计算公式，确定圆的条件进行判断，再利用概率公式求解即可． 解：①不共线的三点确定一个圆，因此原命题是假命题； ②平分弦不是直径的直径垂直于弦，因此原命题是假命题； ③长度相等的弧不一定是等弧，因此原命题是假命题； ④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为，因此原命题是真命题， ∴从4个命题中任取一个是真命题的概率是 故选：D． 本题考查命题与定理，垂径定理，确定圆的条件，弧长的计算、概率公式，关键是掌握垂径定理，弧长的计算公式，不共线的三点确定一个圆． 4．D 本题考查由频率估计概率、简单的概率计算．直接由概率公式求解即可. 解：根据题意得，解得：， 经检验：符合题意， 所以估计盒子中小球的个数为30． 故选：D． 5．A 本题考查了概率公式，三角形三边关系定理，熟知相关概念是解题的关键． 先根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边判断出有几个符合条件的三角形，然后再根据概率公式求解即可． 解：根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边， 从长度分别为、、、的条线段中任取条作边，有4种情况， 能组成三角形的是：，，；，，；，，；共三组， 能组成三角形的概率为， 故选：A． 6．C 本题考查了利用频率估计概率、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设黑色部分的总面积为，先求出点落入黑色部分的概率为，再利用概率公式计算即可得． 解：设黑色部分的总面积为， ∵在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为， ∴， 解得， 即可以估计黑色部分的总面积约为， 故选：C． 7．B 本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 8．C 本题主要考查了概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，再计算四个选项的概率，约为的即符合题意． 解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上的概率为，不符合题意； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意； C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率，符合题意； D、从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”的概率是，不符合题意． 故选C． 9．A 本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格，再根据表格解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 解：列表如下： 图图 由表可知，共有种等等可能结果，其中点在第二象限的结果有种， ∴点在第二象限的概率为， 故选：． 10．B 根据题意列出树状图得出所有等情况数，符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下： 所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种， 所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是 故选B 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11．/ 本题主要考查了概率公式的应用，无理数的概念，熟练掌握概率公式是解题关键． 先找出无理数的个数，用无理数的个数除以数据的总数即可求解． 解：在，，，，中，无理数有、，共个， 在个实数中，随机任取一个实数，取到无理数的概率为． 故答案为：． 12．3 根据简单的概率公式列出分式方程解答即可； 本题考查了简单的概率公式，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为3． 故答案为：3． 13． 本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率． 解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示， 根据题意，作出树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中符合条件的可能性有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是． 故答案为：． 14． 本题考查了几何概率．根据事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，可知区域和区域的面积相等，根据圆的面积公式可得：，解方程求出的值即可． 解：事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同， 区域和区域的面积相等， 区域的面积为， 区域的面积为， 整理得：， 解得：或(负数不符合题意，舍去)， 大圆半径． 故答案为： ． 15．/ 此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可． 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 则不等式组的整数解为,共4个， 画树状图如下； 共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为． 故答案为： 16．(1)200 (2)72 (3) 本题考查了条形统计图、扇形统计图以及事件发生的可能性大小，正确理解题意、从统计图中得出有效的信息是解题的关键． （1）用条形统计图中选修二胡的人数除以扇形统计图中的占比即可求解； （2）先计算选修古筝的人数，进而可得选修琵琶的人数，再计算圆心角即可； （3）用12除以选修古筝的人数即可求解． （1）解：； 所以共有200名学生参加了选修课程学习； 故答案为：200； （2）解：选项古筝的人数为， 所以选修琵琶的人数为人， 所以扇形统计图（图2）中，“琵琶”部分所对应的圆心角为度； 故答案为：72； （3）解：如果从选择“古筝”选项的学生中，随机抽取12名学生参加一次区“古筝”比赛，那么学生被选中的可能性大小是； 故答案为：． 17．(1)相等 (2) 本题考查概率定义，列表法求概率等． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意列表列出可能出现的情况，再找出符合题意得情况，即可得到本题答案． （1）解：根据题意可知：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率相等， 故答案为：相等； （2）解：列表如下： 第二个第一个 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的结果有4种，即，，，， 所以小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 答：小东一家人前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率为． 18．(1) (2)设计方法见解析 本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； （1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 19．(1)，； (2)，； (3)8 本题主要考查了如何利用频率估计概率，解分式方程，在解题时要注意频率和概率之间的关系． （1）根据频率和频数的定义求解即可； （2）随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在，即可求解； （3）根据概率公式列方程求解即可． （1）解：由数据可知，，， 故答案为：，； （2）解：由表格可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 此口袋里白球有只， 故答案为：，； （3）解：由题意可得， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， 即的值为8． 20．(1) (2) (3)本游戏规则不公平，见解析 （1）先计算标数字6的面数为：，总面数为20 ，根据简单的概率公式计算解答即可； （2）先计算3的倍数的数有个，根据简单的概率公式计算解答即可； （3）计算奇数的个数个，偶数个数为个，计算概率，比大小解答即可． 本题考查了简单的概率公式计算概率，游戏的公平性，熟练掌握概率计算，正确掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． （1）解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6” ∴标有“6”的面数为面， ∴掷出“6”的概率是， 故答案为：． （2）解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， 故3的倍数的数的面有个， ∴掷出“3的倍数”的概率是， 故答案为：． （3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， 故奇数的个数个，偶数个数为个， ∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大， 故本游戏规则不公平． 21．(1)人 (2)；作图见详解 (3)人 (4) 本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． （1）利用B级的人数除其所占百分比即可求解； （2）利用A级人数除总人数，得出其所占比例，再乘360°即得出的大小；利用C级的人数所占百分比乘抽样测试的总人数即可求出C级的人数，从而可补全统计图； （3）求出不及格的人数所占比例，再乘九年级学生总数即可求解； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． （1）（人） ∴本次抽样测试的学生人数是40人， 故答案为：； （2）． 故答案为：； C级的人数为（人）， 故补全条形统计图如下： （3）（人） ∴估计不及格的人数为3600人， 故答案为：3600人； （4）根据题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 甲、乙 乙、丙 乙、丁 丙 甲、丙 乙、丙 丙、丁 丁 甲、丁 乙、丁 丙、丁 由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲乙的有2种， ∴选中甲乙的概率为． 22．(1) (2)见解析 (3) 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用条形统计图中类的人数除以扇形统计图中的百分比可得共调查的学生人数. （2）根据题意分别求出扇形统计图中类的百分比、条形统计图中类中女生的人数、类中男生的人数，补全条形统计图和扇形统计图即可. （3）列表可得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． （1）解：次调查中，一共调查了(名)， 故答案为：； （2）解：由题意得，类的人数为(人)， 扇形统计图中类的百分比为 ， 类的人数为(人)， ∴类中女生的人数为(人)，类中男生的人数为(人)， 补全条形统计图和扇形统计图如图所示： （3）解：列表如下： 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) 女 (女，男) (女，女) 共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为． 23．问题：；问题：示意图见解析，个 问题，求出所有可能情况，再求出乙在社科阅览室的情况，根据概率公式计算即可； 问题，因为两种方式，每个座位所占面积相同，但方式需要的过道少于方式，所以尽量多用方式，因为桌子四周要留出通道，所以方式的面积相当于，方式的面积相当于，空间大小为，使空余空间最小的方案，即为所求． 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率以及图形规划，按照换算后的占地面积来进行规划是本题解题的关键． 解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下： 由图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种， ∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为； 问题：，， 两种方式每个座位面积相同， 方式需要的通道少于方式， 尽量选择方式， 桌子四周都要留出通道， 方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为， ，，， ∵，， 纵向采用两个，个或个最利用空间， ， 横向排排， 采用纵向两个，个，如图： 座位总数为：个． 答：总座位数为个． 学科网（北京）股份有限公司 $