专题03 函数的概念、单调性与奇偶性（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第3个专题，内容为函数的概念及单调性与奇偶性。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题03 函数的概念及单调性与奇偶性 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 函数的概念及单调性奇偶性 1.理解函数的概念；了解函数的三种表示方法 B A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难. 2.理解函数的定义域，会求一些常见函数的定义域 B 3.理解函数的单调性和奇偶性的概念； B 4.能判断一些简单函数的单调性和奇偶性； B 5.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象。 D 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 4 函数的单调性判断 3 （1）题型：在选择题、填空题以及解答题中均有分布。 （2）分值：函数的求值、定义域、单调性和奇偶性几乎每年都有涉及，分值一般在7-10分左右。 （3）内容：函数的概念与单调性奇偶性一般结合二次函数、一次函数分段函数、三角函数等常见基本函数的知识点综合考查。 解答题 19 分段函数求值 4 2024 选择题 3 函数奇偶性判断 3 选择题 4 函数的单调性判断（单调增函数） 3 填空题 17 函数的定义域（涉及分式、根式等限制条件） 4 2023 选择题 2 函数奇偶性判断 3 解答题 19 函数定义域的求解（分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零） 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试依然有2-3道题目考查函数的概念及单调性奇偶性，单项选择题、填空题和解答题都有可能，分值约7-10分。 具体考点可能涉及如下内容： （1）函数的定义域与求值（高频考点） （2）函数的单调性与奇偶性的判断及应用（高频高考） （3）函数图象 四、知识梳理 （一）函数的概念及其表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． （二）函数的定义域 函数y＝f(x)的定义域 1．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0　. (3)偶次根式函数被开方式大于或等于0　. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R　. (5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}　. (6)指数函数的定义域为R　. (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)　. （四）基本初等函数的值域 1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R　. 2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. 3．y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}. 4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 (0，＋∞)　. 5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 R　. （五）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的　 自左向右看图象是下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （六）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值　 M为函数y＝f(x)的最小值　 （七）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴对称 关于原点对称 （八）函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 五、10分钟小测验 1.下列各图中，不能表示是的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】对于选项，对给定的，都有唯一的值与之对应，故是的函数； 对应选项，对给定的，有两个值与之对应，故不是的函数； 故选：. 2.已知函数由下表给出，则（   ） x 2 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．不存在 【答案】C 【知识点】求具体函数的函数值、列表法表示函数 【分析】将代入表格求解函数值即可. 【详解】，由表格知. 故选：C. 3.已知函数在上为减函数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，结合减函数的概念，即可判断求解. 【详解】因为函数在上为减函数，，所以，故选项A错误； 因为函数在上为减函数，，所以，故选项B错误，选项D正确； 因为函数在上为减函数，，所以，故选项C错误； 故选：D. 4.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由二次根号下非负即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，即，用区间表示为. 故选：A. 5.函数，，其图像是（   ） A．直线 B．线段 C．离散的点 D．射线 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、函数图象的应用 【分析】根据函数的定义域判断即可. 【详解】确定函数的定义域 ， 表示只能是这5个有限的值， 所以可以得到对应的5个y值， 即对于每个，用计算对应的， 绘制每个点，得到的图形由这五个离散点组成. 故选：C. 6.下列各图象对应的函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇函数的图象性质判断各选项即可得解. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称， 对于ACD，三个函数的图象都不关于原点对称，故ACD错误； 对于B，该函数的图象关于原点对称，故B正确. 故选：B. 7.已知函数，若，则此函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、利用已知求解析式中的参数 【分析】将函数值和对应自变量的值代入即可解得. 【详解】由题，，且， 则，解得， 故. 故选：B 8.已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的值域 【分析】利用定义域求一次函数值域即可. 【详解】因为，且一次函数为单调减函数， ，， 则值域为； 故选：C. 六、经典例题解析 （一）函数的概念及表示 【考试题型1】根据解析式求函数值 【例1】（2023届·山西省吕梁市柳林县高级职业中学高三一模）已知函数，则等于（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】求具体函数的函数值 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】因为函数为， 所以. 故选：D. 【考试题型2】函数的定义域、值域 【例2】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）函数的定义域是 【答案】 【知识点】求具体函数的函数值 【分析】根据二次根号下需大于等于零，即可求解. 【详解】因为函数 所以函数的定义域是 故答案： 【例3】（2025届·安徽省中职五校联盟高三期第四次联考） 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根号下需大于等于零，即可求解. 【详解】， . 函数的定义域是. 故选：A. 【例4】 （2） 函数的单调性与奇偶性 【考试题型3】函数的奇偶性（高频考点） 【例5】（2024年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义，分析选项即可. 【详解】A：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数非奇非偶， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数是偶函数， C：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数非奇非偶， D：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数非奇非偶. 故选：B. 【例6】（2023年·山西省对口升学高考真题）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义，分析选项即可. 【详解】A：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数为偶函数， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数， C：的定义域为，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数， D：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数. 故选：A. 【例7】（2019年·山西省对口升学高考真题）下列函数为奇函数的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】对A：函数的定义域为R，且， 所以，则函数既不是奇函数也不是偶函数，故A项错误； 对B：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故B项正确； 对C：函数的定义域为R，且， 所以函数不是奇函数，故C项错误； 对D：函数的定义域为，不是关于原点对称的区间，故D项错误. 故选：B. 【例8】（2025届·山西省中等职业学校高三第二次对口升学模拟联考）若 为偶函数，则 【答案】2 【知识点】由奇偶性求参数、诱导公式五、六 【分析】首先由诱导公式将化简，再根据偶函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知 ， 因为为偶函数，所以， 即， 得，即，解得， 故答案为：2. 【考试题型3】函数单调性（高频考点） 【例9】（2025年山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）下列函数在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、反比例函数的图象与性质、判断指数函数的单调性、幂函数的单调性 【分析】根据函数的解析式以及单调性的定义判断函数的单调性即可. 【详解】A选项，一次函数中，在上为减函数，故错误； B选项，反比例函数在上为减函数，故错误； C选项，函数的定义域为，任取， ∴， ∵，则有，， ∴，即， ∴在上为减函数； D选项，指数函数在上为增函数，故正确. 故选：D. 【例10】（2024年山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断正弦、正切函数的单调性、研究二次函数的单调性、幂函数的单调性 【分析】由幂函数、正切函数和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】对A：函数是正弦型函数，由正弦型函数的图象可知，函数在定义域上不单调，故A项错误； 对B：函数，由正切函数的图象可知，该函数在定义域内不是单调增函数，故B项错误； 对C：函数，由二次函数的图象可知，在单调递增，在上单调递减，故C项错误； 对D：对于函数，因为在其定义域内单调递增，故也是单调递增，故D项正确. 故选：D. 【例11】（2019年·山西省对口升学高考真题）下列函数在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、幂函数的单调性 【分析】由幂函数、对数函数和指数函数的单调性判断即可. 【详解】对A：函数是幂函数，由幂函数的单调性可知，函数在上单调递增，故A项正确； 对B：函数，，所以函数在定义域内为减函数，故B项错误； 对C：函数，，所以函数在定义域内为减函数，故C项错误； 对D：函数在其定义域内不具有单调性，故D项错误. 故选：A. 【考试题型4】奇偶性与单调性综合应用（难） 【例12】（2024届·浙江省高职理论考临海、温岭、玉环县市高三联合模拟）函数关于y轴对称，且在上是减函数，下列不正确的选项是（    ） A． B．函数在上的最大值为 C． D．函数在上单调递减 【答案】D 【知识点】根据图像判断函数单调性、比较函数值的大小关系、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】函数关于y轴对称，故函数为偶函数，根据函数的单调性和对称性逐项分析. 【详解】A、函数关于y轴对称，故函数为偶函数，所以,A正确； B、因为函数在上是减函数，所以函数在上的最大值为，B正确； C、因为函数在上是减函数，所以函数在定义域内有，C正确； D、函数为偶函数，且在上是减函数，则在上是增函数， 故D选项错误. 故选：D. 【例13】（2024届·江苏省南京市职业学校高三对口单招第一次调研）定义在R上的偶函数，在区间上是增函数，且，则的解集为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性与单调性得出函数在不同区间上的正负性，再分情况讨论求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 所以， 因为在上是增函数，所以在上单调递减， 对于，显然， 当时，，所以； 当时，，所以； 综上，或，所以的解集为. 故答案为：. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 函数三要素的精准把控 要素 核心要求 易错警示 定义域 使解析式有意义的自变量范围 注意被开方数与真数限制范围的区别 对应关系 f 的本质：输入x到输出y的映射规则 分段函数不同区间对应法则不同 值域 函数值的集合，依赖于定义域与对应法则 求值域前必先明确定义域 2. 函数表示法的互化与优选 表示法 适用场景 转换技巧 解析式法 精确表达函数规律 换元法：如已知f(2x+1) 求f(x) 图象法 直观分析单调性、最值 描点关键点（截距、顶点、渐近线） 列表法 列表法 （二）、解题策略与技巧 1. 定义域求解 核心规则：“函数表达式存在需有据” 教学口诀：“分式分母不为零，根式下方非负行；对数真数必为正，正切间断要记清” 2. 解析式求法 题型 方法 操作要点 换元法 设中间变量 换元后需改写定义域 待定系数法 设一般式代入条件解系数 已知函数类型时首选（如一次、二次） （三）、易错点总结 易错场景 典型错误 避坑指南 定义域问题 多部分组成的解析式最后定义域求交集 牢记要求 分段函数漏分段点 求值时未验证左右区间 分段点必须独立验证 图象误判 含绝对值函数画图时错误 画图时先化简成分段函数 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 定义域条件反射：每见函数必先确定定义域（尤其含分式、根式、对数） 数形转换双驱动：解析式↔图象的互译训练 单调性与奇偶性：单调性与奇偶性的定义，性质、图象与应用 【典型精讲】（2024届·山西省中职生对口升学第五届沃米杯高三一模）已知函数在定义域上是单调递减函数，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】已知函数在定义域上是单调递减函数， 若， 则， 【易错点睛】要结合函数的定义域，本题易错误地写成解得 即，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【练一练】（2024届·山西省中职生对口升学第五届沃米杯高三一模改编）已知函数在定义域上是单调递减函数，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意有：，解得 故答案为： 2、高频考向精炼： 题型1：函数单调性与奇偶性 题型2：求定义域与分段函数求值 3、真题演练方向： 重点练习近三年高考题中函数单调性与奇偶性和求定义域问题，求解析式问题也要适当练习。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $