专题07 立体几何-湖南省对口招生（2021-2025）《数学真题分类汇编》

真题·分类汇编 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 专题07立体几何 抓考纲·知考情 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质： 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质： 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算， 考点分类探规律 考点01判定与性质及相关概念 P-ABCD 的底面为平行四边形， E FG PC PD 1.(2025湖南真题T10)如图，四棱锥 分别为 AB的中点，则() G EGIPA FG//PB A. c.PB/平面EFG D.EGI平PAD 平面 2.(2024湖南·真题T06)下列命题中，正确的是() A.平行于同一个平面的两条直线必平行 B.平行于同一个平面的两个平面必平行 C.过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D.过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 中职高考复习● 6AI职教 zhijiao.xkw.com 3.(2022湖南·真题T09)已知两条不同的直线m,n与平面0，则下列命题正确的是() A.若m/a,n11a 则m∥n B.若m上%，m11 ,则n1a c.若m1mm1a,则n1a D.若m上，n1a,则m/n 4,(2021湖南·真题T09)设m,n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A.若m/n,n11a mlla ,则 B若mWn,m/a,n/B,则a/B C若xLB,mca ncp ,则mln D若mLn,m1a,nLB,则aLB 考点02柱、锥、球及简单组合体的相关计算 5.(2025湖南·真题T14)一个圆柱的侧面展开图是边长为20cm的正方形，则该圆柱的体积是 cm3 2π 6.(2023·湖南·真题T05)已知圆锥的底面圆半径为1，侧面积为“，则该圆锥的体积为() 3 A.3π B.π C.V3π D.2√3元 7.(202,湖南真题T14)如图，高为5cm,底面边长是 cm 的正四棱柱形工件，以它的两底面中心的连 线为轴，钻出一个直径是2cm的圆柱形孔，则剩余部分几何体的体积是」 cm3 (圆周率元取3.14). 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 考点04综合题 8.(2025湖南真题T17)如图，长方体1BCD-AB,CD中，4B=1M=2,AD=1,M为楼AB的 中点 D C B D C B M I)证明：DM1平面MCC, (2)求直线CM与平面ABCD所成的角的正切值， 9.(2024-湖南真题T18)如图，在正四棱柱4BCD.4BCD中，AB=1 3 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题·分类汇编 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com AC⊥DB, (1)证明： (2)若三棱锥B,~ACD的体积为3，求直线DB,与平面ABCD所成角的正弦值. 10.(2023·湖南·真题T19)如图，在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD.平面a交AB,BC,CD,DA分别于 E,E,G,H,且4CW平面“，BD/平面a. G EFGH (1)证明：四边形 为矩形： (2)若4C=BD=2 EFGH 求矩形 面积的最大值。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 真题·分类汇编 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com 11.(2022·湖南·真题T19)如图，在三棱 P-ABC中，PAL平面ABC,AB LBC PBC⊥ (1)证明：平面 平面PAB (2)若MB=BC=2,直线PB与平面MBC 60° 成的角为心，求三棱锥 P-ABC 的体积. 5 o⊙ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题分类汇编 AI职教 中职高考复习 zhijiao.xkw.com P-ABCD 12.(2021湖南·真题T19)如图，四棱锥 中，底面ABCD是矩形， PA上平面ABCD,E为PD 的中点 B PB/ (1)证明： 平面ACE: 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 真题·分类汇编 AI职教 中职高考复习● zhijiao.xkw.com (2)设PA=1,AD=V5,直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 专题07 立体几何 1.了解平面的概念、平面的基本性质； 2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质； 3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角； 4.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质； 5.了解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算. 考点01 判定与性质及相关概念 1.（2025·湖南·真题T10）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图， 对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 2.（2024·湖南·真题T06）下列命题中，正确的是（ ） A. 平行于同一个平面的两条直线必平行 B. 平行于同一个平面的两个平面必平行 C. 过平面外一点只可以作一条直线与这个平面平行 D. 过直线外一点只可以作一个平面与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行关系逐项判断即可. 【详解】对A，平行于同一个平面的两条直线位置关系有平行、相交、异面，故A错误； 对B，平行于同一个平面的两个平面必平行，故B正确； 对C，过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行，故C错误； 对D，过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行．故D错误. 故选：B. 3.（2022·湖南·真题T09）已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 4.（2021·湖南·真题T09）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确； 对于B：如图，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确； 对于C：如图，在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，， 但，故选项C不正确； 对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内， 且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确； 故选：D. 考点02 柱、锥、球及简单组合体的相关计算 5.（2025·湖南·真题T14）一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面展开图，可知圆柱的底面周长和高，继而求得圆柱的底面半径，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱侧面展开图是边长为的正方形， 即圆柱底面周长，高， 所以圆柱的底面半径， 所以圆柱体积. 故答案为：. 6.（2023·湖南·真题T05） 已知圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由侧面积求出母线长，再求出圆锥的高，进而利用体积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面圆半径为1，侧面积为， 由圆锥侧面积公式可知，，即母线长， 所以圆锥的高， 所以该圆锥的体积为. 故选：A. 7.（2022·湖南·真题T14）如图，高为，底面边长是的正四棱柱形工件，以它的两底面中心的连线为轴，钻出一个直径是的圆柱形孔，则剩余部分几何体的体积是______（圆周率取3.14）. 【答案】29.3 【解析】 【分析】根据组合体体积求解即可. 【详解】由题意知，打孔后所得几何体的体积等于正四棱锥的体积减去一个圆柱的体积. 即. 故答案为：29.3 考点04 综合题 8.（2025·湖南·真题T17）如图，长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先根据线面垂直找到线面角进而求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 同理，， 又因为，所以，所以， 已知长方体中，面，面， 则 又因为面，面， 所以平面. 【小问2详解】 因为面，所以在面的射影是， 那么就是在平面上的射影， 所以就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，， 则， 则直线与平面所成的角的正切值为. 9.（2024·湖南·真题T18）如图，在正四棱柱-中，. （1）证明：； （2）若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先用直线与平面垂直的判定证明平面，然后运用直线与平面垂直的定义来证明； （2）先用三棱锥的体积公式求出的长度，然后根据平面，找出直线与平面所成的角，最后利用直角三角形的正弦的定义求出的正弦值即可. 【小问1详解】 证：连接， 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，. 【小问2详解】 由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 10.（2023·湖南·真题T19）如图，在三棱锥A-BCD中，．平面α交AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H，且平面，平面． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，求矩形面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件先证，，，，再证即可证明四边形为矩形. （2）设长为，再通过相似三角形把用表示，再用面积公式表示出来，进而求最值即可. 【小问1详解】 平面，平面， 平面平面，， 又平面，平面平面， ，， 平面，平面， 平面平面， 又平面，平面平面， ，， 四边形为平行四边形， ，， ，又， ，四边形为矩形， 【小问2详解】 设长为，由（1）知， ，， ，则 又，， ，即，， 矩形面积， 当，即时，矩形面积最大，最大为. 11.（2022·湖南·真题T19）如图，在三棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直. （2）根据三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 如图： ∵平面，平面， ∴， ∵，且，且两直线在平面内， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 ∵平面, ∴为三棱锥的高，且为在平面上的射影， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴在直角三角形中，， ∵， ∴， ∴三棱锥的体积： . 12.（2021·湖南·真题T19）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点. （1）证明：平面ACE； （2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面. （2）由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 在中，因为， 即EO为的中位线， 所以，因为平面，平面， 则平面. 【小问2详解】 因为平面ABCD， 所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以， 又，，所以， 所以四棱锥的体积， 所以四棱锥体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $