专题06 平面解析几何-湖南省对口招生（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题06 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质，并能解决生活中的一些实际问题. 考点01 直线 1．（2025·湖南·真题T01）已知点，，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 2.（2024·湖南·真题T09）光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（ ） A. B. C. D. 3.（2023·湖南·真题T03）已知直线：与直线：．若，则a的值为（ ） A. -2 B. C. D. 2 4.（2022·湖南·真题T12）经过点，且与直线平行的直线方程为______. 5.（2021·湖南·真题T05）点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 考点02 直线与圆 6.（2025·湖南·真题T08）已知直线与圆相切，则（　　） A. B. C. D. 7.（2024·湖南·真题T15）已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 8.（2023·湖南·真题T14）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则______． 9.（2022·湖南·真题T10）已知点P在直线上，点Q在圆上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 10.（2021·湖南·真题T14）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________ 考点03 综合应用题 11.（2025·湖南·真题T19）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 12.（2024·湖南·真题T20）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 13.（2023·湖南·真题T20）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 14.（2022·湖南·真题T20）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 15.（2021·湖南·真题T20）已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程. （2）设直线与椭圆相交于两点，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面解析几何 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念； 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程； 4.理解两条直线平行和垂直的条件； 5.掌握两条相交直线的交点的坐标； 6.了解点到直线的距离公式； 7.掌握圆的标准方程和一般方程； 8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆相切在实际中的应用； 9.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质，并能解决生活中的一些实际问题. 考点01 直线 1．（2025·湖南·真题T01）已知点，，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式即可得解. 【详解】因为，， 所以线段的中点坐标为，即， 故选：B 2.（2024·湖南·真题T09）光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线之间的斜率关系即可求解. 【详解】入射线斜率， 因为入射光线与反射光线对应的倾斜角互补， 所以斜率之和为0， 则反射光线斜率为. 对A：斜率为，所以A错误； 对B：斜率为，所以B错误； 对C: 斜率为，所以C错误； 对D：斜率为，所以D正确. 故选：D. 3.（2023·湖南·真题T03）已知直线：与直线：．若，则a的值为（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等求解a的值. 【详解】直线：与直线：， 当时，，不满足题意， 当时，直线斜率为，直线斜率为， 因为，则，即，解得. 综上，若，则a的值为. 故选：B. 4.（2022·湖南·真题T12）经过点，且与直线平行的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据与直线平行设所求直线方程，再根据过点代数求解. 【详解】∵直线与平行， 故设直线方程为， ∵点， 代入数值得：， 解得， 故直线方程为. 故答案为：. 5.（2021·湖南·真题T05）点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】直线. 所以点到直线的距离为. 故选:. 考点02 直线与圆 6.（2025·湖南·真题T08）已知直线与圆相切，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以. 故选：A. 7.（2024·湖南·真题T15）已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离和圆心的半径，再由点在圆运动可得，点到直线的距离的最大值为，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为点在圆上运动， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 8.（2023·湖南·真题T14）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，由点到直线距离公式求弦心距，再结合垂径定理即可求得. 【详解】圆C：可化为， 圆心坐标，半径， 直线l：，即， 由点到直线距离公式可得弦心距 ， 所以. 故答案为：. 9.（2022·湖南·真题T10）已知点P在直线上，点Q在圆上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线与圆的位置关系，进而求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 则的最小值为， 故选：C 10.（2021·湖南·真题T14）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程. 【详解】由可得， 所以圆心为， 由可得，所以直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以所求直线的方程为：，即， 故答案为：. 考点03 综合应用题 11.（2025·湖南·真题T19）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 【小问2详解】 由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 12.（2024·湖南·真题T20）已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【小问1详解】 双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 13.（2023·湖南·真题T20）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. 【小问2详解】 当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 . 14.（2022·湖南·真题T20）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【小问1详解】 由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 15.（2021·湖南·真题T20）已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程. （2）设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设. 所以. 联立方程得. 所以. 所以 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $