专题05 平面向量、复数与线性规划-湖南省对口招生（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题05 平面向量、复数与线性规划 1.了解平面向量的概念； 2.理解平面向量的加法、减法、数乘运算； 3.了解平面向量及其线性运算； 4.了解平面向量的内积运算及其坐标表示； 5.理解复数的概念及其几何意义，掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算，掌握复数的三角形式及三角形式的乘、除、乘方运算，能运用复数的知识解决简单的实际问题； 6.了解线性规划问题的有关概念，理解线性规划问题的图解法； 7.能运用线性规划的知识解决简单的实际问题。 考点01 平面向量的概念及其线性运算 1．（2021·湖南·真题T12）已知向量，，则___________ 考点02 平面向量的坐标运算 2．（2024·湖南·真题T12）已知向量，，且，则实数_________． 3．（2025·湖南·真题T06）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 考点03 平面向量的内积 4.（2024·湖南·真题T06）已知，，，则（　　） A. B. C. D. 5.（2022·湖南·真题T06）已知向量，，则（ ） A. B. C. 10 D. 25 考点04 复数与线性规划 6．（2025·湖南·真题T22）某快递公司接到两类快件，且数量足够多，基本数据如下表： 快件类别 体积（立方分米/件） 重量（千克/件） 快递员工资（元/件） A 20 10 7 10 20 9 快递员小李接受派送任务，他的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为220千克. （1）在某次派送中，公司要求类快件只送两件，求小李此次送货可获得的工资收益的最大值； （2）小李应如何安排两类快件送货，才能使一次性送货获得的工资收益最多. 7．（2024·湖南·真题T22）某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 8．（2023·湖南·真题T22）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲地至乙地的长途客运业务，每车每天出车一次，A，B两种型号的车辆的载客量分别为30人和50人，营运成本分别为1200元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过28辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车8辆．如果要求每天运送从甲地去乙地的旅客不少于1000人，那么公司应配备A型车、B型车各多少辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是多少元？ 9．（2022·湖南·真题T22）某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品的利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 10．（2021·湖南·真题T22）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶ 车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） A 60 3600 B 36 2400 学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面向量、复数与线性规划 1.了解平面向量的概念； 2.理解平面向量的加法、减法、数乘运算； 3.了解平面向量及其线性运算； 4.了解平面向量的内积运算及其坐标表示； 5.理解复数的概念及其几何意义，掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算，掌握复数的三角形式及三角形式的乘、除、乘方运算，能运用复数的知识解决简单的实际问题； 6.了解线性规划问题的有关概念，理解线性规划问题的图解法； 7.能运用线性规划的知识解决简单的实际问题。 考点01 平面向量的概念及其线性运算 1．（2021·湖南·真题T12）已知向量，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题可得 ， 所以. 故答案为： 考点02 平面向量的坐标运算 2．（2024·湖南·真题T12）已知向量，，且，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示结合向量垂直则内积为即可求解. 【详解】， . 因为， 所以. 解得. 故答案为：. 3．（2025·湖南·真题T06）已知向量，，则与向量平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由平行的条件即可选出正确答案. 【详解】因为向量，， 则， 因为，所以与向量平行的向量可以是. 故选：B. 考点03 平面向量的内积 4.（2024·湖南·真题T06）已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点的坐标得到向量坐标，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为，，， 所以，， 即. 故选：C. 5.（2022·湖南·真题T06）已知向量，，则（ ） A. B. C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算和内积坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A. 考点04 复数与线性规划 6．（2025·湖南·真题T22）某快递公司接到两类快件，且数量足够多，基本数据如下表： 快件类别 体积（立方分米/件） 重量（千克/件） 快递员工资（元/件） A 20 10 7 10 20 9 快递员小李接受派送任务，他的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为220千克. （1）在某次派送中，公司要求类快件只送两件，求小李此次送货可获得的工资收益的最大值； （2）小李应如何安排两类快件送货，才能使一次性送货获得的工资收益最多. 【答案】（1）130 （2）16件A类快件、3件类快件时，工资收益最多 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出线性约束条件，及目标函数，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，列出线性约束条件，及目标函数，作出可行域，即可求得最优解，继而求解. 【小问1详解】 设送A类快件件，工资收益为元， 已知类快件送件，根据载货车最大容积立方分米、最大载重量千克， 可得约束条件，即，所以， 所以且， 目标函数，因为，随增大而增大， 所以当时，元， 即此次送货工资收益最大值为元. 【小问2详解】 设送A类快件件，类快件件，工资收益， 约束条件为，化简得， 画出可行域（由、及坐标轴围成的区域），如下图所示： 联立，即解得，即, 又目标函数，即， 所以当直线在轴上的截距最大时，收益取得最大值， 令，则，即，将直线像可行域平移，当经过点P时，截距最大， 即当，时，收益取得最大值，即， 即送16件A类快件、3件类快件时，工资收益最多. 7．（2024·湖南·真题T22）某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设甲、乙两种产品每天的生产件数分别为,,利润为,根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解. 【详解】分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ， 其图像为 且目标函数为，作出可行域，如图中阴影部分所示. 由，解得， 由得， 平移直线，当直线经过点时，取最大值， 所以当时，. 所以该公司每天生产甲产品4件，乙产品2件时，能获得最大利润，最大利润为1000元. 8．（2023·湖南·真题T22）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲地至乙地的长途客运业务，每车每天出车一次，A，B两种型号的车辆的载客量分别为30人和50人，营运成本分别为1200元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过28辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车8辆．如果要求每天运送从甲地去乙地的旅客不少于1000人，那么公司应配备A型车、B型车各多少辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是多少元？ 【答案】公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 【解析】 【分析】根据题意作出可行域，进而求解. 【详解】设应配备A型车，B型车各x辆，y辆，营运成本为z元， 则有 作出平面区域图 由得， 平移， 当直线过的交点时， 在y轴上截距最小， 联立， 则， 所以公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 9．（2022·湖南·真题T22）某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品的利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】生产甲种产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，作出可行域，再求最大值. 【详解】设甲、乙两种电子产品分别生产件，件， 则每天利润， 由题意得， 即， 画出可行域，如图所示： 由得， 最大，即直线的纵截距最大， 作出直线：，平移直线至可行域， 当直线经过点时，直线的纵截距最大， 由， 解得， 即， 所以的最大值为（千元）， 则生产家中产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元 10．（2021·湖南·真题T22）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶ 车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） A 60 3600 B 36 2400 学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值. 【答案】A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 【解析】 【分析】首先设A型车和B型车分别为辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决. 【详解】设A型车和B型车分别为辆，则租金为， 依题意，需满足，即，如图，作出可行域， 令，目标函数变形为，即， 当直线平移至点时，目标函数取得最小值， 由解得，，即. 此时元. 所以A型车和B型车分别为辆和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $