专题03 三角函数-湖南省对口招生（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题03 三角函数 1.了解角的概念推广； 2.理解弧度制的概念； 3.理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 4.理解同角三角函数基本关系式； 5.掌握两角和与差的三角函数及二倍角公式； 6.了解诱导公式：2kπ+α、-α、π±α的正弦、余弦及正切公式； 7.理解正弦函数与余弦函数的图象和性质； 8.掌握弧长、扇形面积公式； 9.掌握正弦定理和余弦定理，并会利用它们解三角形. 考点01 三角函数的概念及运算 1.（2025·湖南·真题T12）设单位圆与角的终边交于点，则的坐标是______. 2.（2025·湖南·真题T15）若，则__________． 3.（2024·湖南·真题T13）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 4.（2023·湖南·真题T11） 已知，，则______． 5.（2022·湖南·真题T03） 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6.（2022·湖南·真题T13）已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.（2022·湖南·真题T11）已知，且为第四象限角，则____________ 考点02 三角函数的图象与性质 8.（2025·湖南·真题T09）已知，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9.（2024·湖南·真题T08）函数取最大值时，的值可以为（ ） A. B. C. D. 10.（2023·湖南·真题T10）下列命题中正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数在区间内是减函数 C. 函数的图象与函数的图象有交点 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 11.（2022·湖南·真题T05）已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.（2021·湖南·真题T04）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向上平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位 考点03 解三角形 13．（2025·湖南·真题T21）如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形，，，. （1）求； （2）若，求点所对应的复数. 14.（2024·湖南·真题T21）如图，已知中，，，． （1）求； （2）若为线段上的一点，且，求的长． 15．（2023·湖南·真题T21）如图，已知在中，，． （1）若，求AC的长； （2）若D为AC的中点，求的值． 16.（2022·湖南·真题T21）如图，点为等边三角形的边上一点，且，. （1）求的长； （2）求的值. 17.（2021·湖南·真题T21）如图，在中，，点D在BC边上，且，， （1）求AC的长； （2）求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数 1.了解角的概念推广； 2.理解弧度制的概念； 3.理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 4.理解同角三角函数基本关系式； 5.掌握两角和与差的三角函数及二倍角公式； 6.了解诱导公式：2kπ+α、-α、π±α的正弦、余弦及正切公式； 7.理解正弦函数与余弦函数的图象和性质； 8.掌握弧长、扇形面积公式； 9.掌握正弦定理和余弦定理，并会利用它们解三角形. 考点01 三角函数的概念及运算 1.（2025·湖南·真题T12）设单位圆与角的终边交于点，则的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为单位圆与角的终边交于点， 所以点P的坐标为， 又，， 所以点P的坐标是. 故答案为：. 2.（2025·湖南·真题T15）若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将平方，再根据同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，得到， 所以， 故答案为： 3.（2024·湖南·真题T13）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据终边上的坐标求出r，然后计算出，再根据二倍角公式计算即可. 【详解】因为终边上一点的坐标为， 所以， ， 则． 故答案为：. 4.（2023·湖南·真题T11） 已知，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】已知，， 所以， 故答案为：0 5.（2022·湖南·真题T03） 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式求解即可. 【详解】因为. 所以. 故选：A. 6.（2022·湖南·真题T13）已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域求解. 【详解】∵, ∴, ∴, 故选：C. 7.（2022·湖南·真题T11）已知，且为第四象限角，则____________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】首先求的值，再求. 【详解】，且为第四象限角， ， . 故答案为：. 考点02 三角函数的图象与性质 8.（2025·湖南·真题T09）已知，且，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数和余弦函数的图像，即可求解. 【详解】 在内，函数与的图像如上图所示， 故当时，， 故选：D. 9.（2024·湖南·真题T08）函数取最大值时，的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和与差的正弦公式结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， ， 函数取最大值时， 则， 即. 当时，. 故选：C. 10.（2023·湖南·真题T10）下列命题中正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数在区间内是减函数 C. 函数的图象与函数的图象有交点 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的图象和性质逐项分析判断即可. 【详解】函数的周期为，故A错误， 函数在区间内是增函数，故B错误， 函数的值域，函数的值域， 所以两个函数图象没有交点，故C错误， 的图象向左平移个单位， 即，故D正确. 故选：D. 11.（2022·湖南·真题T05）已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域求解. 【详解】∵, ∴, ∴, 故选：C. 12.（2021·湖南·真题T04）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向上平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加，右减”的平移规律判断选项. 【详解】根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到. 故选：B 考点03 解三角形 13．（2025·湖南·真题T21）如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形，，，. （1）求； （2）若，求点所对应的复数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）先求出对应的坐标，再根据向量的平行四边形法则即可求解. 【小问1详解】 在三角形中，，，. 则， 因为或， 又因为，故舍去， 综上所述，； 【小问2详解】 已知， 则点A的坐标为，即， 在三角形中，，由（1）得，， 因此， 又因为， 所以OC与x轴的夹角为， 则点C的坐标为，即， 所以， 则对应的复数为. 14.（2024·湖南·真题T21）如图，已知中，，，． （1）求； （2）若为线段上的一点，且，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）根据正弦定理即可求解. 【小问1详解】 中，， 由余弦定理得， ， 因为， 所以. 【小问2详解】 在中， 由正弦定理可得， ， 所以. 15．（2023·湖南·真题T21）如图，已知在中，，． （1）若，求AC的长； （2）若D为AC的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理即可求解. 【小问1详解】 根据余弦定理， 在中， ， 则AC的长为； 【小问2详解】 因为D为AC的中点， 则， 由正弦定理可得， 在中， ， 在中， , 又因为， 则有， 即， 则， 所以. 16.（2022·湖南·真题T21）如图，点为等边三角形的边上一点，且，. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据正弦定理求解. 【小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴ 又∵， ∴， 即， 在中， ， 即， ， ∴ 【小问2详解】 ∵， 在中，由正弦定理得： ， 即， 解得： 17.（2021·湖南·真题T21）如图，在中，，点D在BC边上，且，， （1）求AC的长； （2）求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解． （2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解． 【小问1详解】 ，，， 在中，由余弦定理得， . 【小问2详解】 ，所以，又由题意可得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $