专题02 函数、指数函数与对数函数-湖南省对口招生（2021-2025）《数学真题分类汇编》

专题02 函数、指数函数与对数函数 1.理解函数的概念； 2.理解函数的三种表示法：解析法、表格法、图象法； 3.理解函数的单调性； 4.理解函数的奇偶性； 5.了解函数的实际应用1.理解有理数指数幂的概念； 6.掌握实数指数幂及其运算法则； 7.了解几种常见幂函数的图象和性质； 8.理解指数函数的概念、图象和性质； 9.理解对数的概念(含常用对数、自然对数)； 10.了解积、商、幂的对数； 11.了解对数函数的图象和性质； 12.了解指数函数与对数函数的实际应用举例. 考点01 函数的概念 1.（2023·湖南·真题T07）已知函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2.（2023·湖南·真题T12）下已知函数若，则______． 3.（2021·湖南·真题T02） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.（2021·湖南·真题T03）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 考点02 函数、指数函数与对数函数的图象与性质 5.（2025·湖南·真题T03）下列函数是增函数的是（　　） A. B. C. D. 6.（2025·湖南·真题T07）函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 7.（2024·湖南·真题T03） 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 8.（2024·湖南·真题T05）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 9.（2024·湖南·真题T10）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10.（2024·湖南·真题T14）已知函数，若，且，则_________ 11.（2023·湖南·真题T04）已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（ ） A -3 B. -2 C. 0 D. 3 12.（2023·湖南·真题T09）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 13.（2022·湖南·真题T04）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 14.（2022·湖南·真题T08）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 15.（20212·湖南·真题T15）已知函数为奇函数，.若，则____________ 考点03 函数、指数函数与对数函数的综合应用 16.（2025·湖南·真题T20）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数. （1）求函数的值域； （2）证明：函数的图像关于点成中心对称图形. 17.（2024·湖南·真题T19）已知函数，其中． （1）当时，解不等式； （2）若的最大值为1，求的取值范围． 18.（2023·湖南·真题T16）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求方程的解． 19.（2022·湖南·真题T16）已知函数，. （1）求实数的值，并写出的定义域； （2）若，求的取值范围. 20.（2021·湖南·真题T18）已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数、指数函数与对数函数 1.理解函数的概念； 2.理解函数的三种表示法：解析法、表格法、图象法； 3.理解函数的单调性； 4.理解函数的奇偶性； 5.了解函数的实际应用1.理解有理数指数幂的概念； 6.掌握实数指数幂及其运算法则； 7.了解几种常见幂函数的图象和性质； 8.理解指数函数的概念、图象和性质； 9.理解对数的概念(含常用对数、自然对数)； 10.了解积、商、幂的对数； 11.了解对数函数的图象和性质； 12.了解指数函数与对数函数的实际应用举例. 考点01 函数的概念 1.（2023·湖南·真题T07）已知函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将自变量代入可求函数解析式，然后解指数不等式即可. 详解】已知函数，且满足， 则有， 所以函数解析式为， 令， 故不等式的解集是， 故选：C 2.（2023·湖南·真题T12）下已知函数若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数性质计算. 【详解】若时，，，不符合题意. 故时，，解得为或4 而此时，故a为. 故答案为：. 3.（2021·湖南·真题T02） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于即可求解. 【详解】由题意可得，， 解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 4.（2021·湖南·真题T03）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调递减区间是， 故选：C. 考点02 函数、指数函数与对数函数的图象与性质 5.（2025·湖南·真题T03）下列函数是增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数单调性即可求解. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A项错误； 对B：函数是线性函数，斜率为1，当时，随的增加而增加，所以是增函数，故B项正确； 对C：函数在和上分别单调递减，不是增函数，故C项错误； 对D：函数是常数函数，不是增函数，故D项错误. 故选：B. 6.（2025·湖南·真题T07）函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质结合函数的对称性即可求解. 【详解】因为函数和在的定义域都为，且， 即函数上的点关于x轴的对称点都在函数的图像上， 所以与的图像关于轴对称． 故选：A. 7.（2024·湖南·真题T03） 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数， 奇函数图像关于原点对称. 故选：A. 8.（2024·湖南·真题T05）已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 9.（2024·湖南·真题T10）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据判断出函数为偶函数，再结合单调性由不等式得到，解绝对值不等式求自变量的取值范围即可. 【详解】由可知，函数为偶函数， 且函数在上单调递增，则在上单调递减， 则由可得：， 即，即， 故选：A． 10.（2024·湖南·真题T14）已知函数，若，且，则_________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 又， 则在其定义域上单调递增， 所以， 则， 即，则. 故答案为：. 11.（2023·湖南·真题T04）已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（ ） A -3 B. -2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数在上是减函数可知在上也是减函数，再利用单调性求最值即可. 【详解】因为是奇函数且在上是减函数， 所以在上也是减函数， 所以在上的最小值为， 又因为是奇函数，， 所以. 故选：B. 12.（2023·湖南·真题T09）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，先将函数化简，再代入运算比较。 【详解】∵的底数为10 ∴是增函数，且时，，时，. 可知， 故选：C 13.（2022·湖南·真题T04）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性. 【详解】A、为偶函数，但在不具有单调性，不符合题意； B、令，，，不是偶函数，不符合题意； C、令，，函数为偶函数，函数图像开口向上，对称轴为，所以函数在为增函数； D、定义域为不具有奇偶性，不符合题意. 故选：C. 14.（2022·湖南·真题T08）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】∵指数函数底数，为减函数， 且， ∴， ∵底数，为增函数，且， ∴， 故， 即， 故选：D. 15.（20212·湖南·真题T15）已知函数为奇函数，.若，则____________ 【答案】. 【解析】 【分析】由，得，由为奇函数得，可求得，再利用得到答案. 【详解】因为，， 所以， ， 因为为奇函数， 所以，由，得， 因为，所以. 故答案为：6. 考点03 函数、指数函数与对数函数的综合应用 16.（2025·湖南·真题T20）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数. （1）求函数的值域； （2）证明：函数的图像关于点成中心对称图形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数的值域，即可求解； 根据题意，先求出函数的解析式，结合函数奇偶性的概念，即可证明函数是奇函数，继而证明结论成立. 小问1详解】 因为， 又，故，则，进而， 所以，可得， 即函数的值域是. 【小问2详解】 因为， 所以，则， 令，定义域为R，则， 故是奇函数，即为奇函数， 所以函数的图像关于点成中心对称图形. 17.（2024·湖南·真题T19）已知函数，其中． （1）当时，解不等式； （2）若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【小问1详解】 时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； 【小问2详解】 当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 18.（2023·湖南·真题T16）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求方程的解． 【答案】（1）奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件及函数奇偶性的定义直接判断即可. （2）把代入后，按对数的运算法则求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数， 理由：因为的定义域为， 的定义域为， 所以的定义域为， 即的定义域关于原点对称， 又， ， 所以函数为奇函数. 小问2详解】 由， 即，， ，所以，解得. 所以方程的解为. 19.（2022·湖南·真题T16）已知函数，. （1）求实数的值，并写出的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【小问1详解】 由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. 【小问2详解】 若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 20.（2021·湖南·真题T18）已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数的图象如图所示： 【小问2详解】 ， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $