数学期末复习讲义（集合）-2025-2026学年高一上学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义（配课件）和4份训练卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高一上学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—集合 核心考点 复习目标 考情规律 元素与集合的关系 了解“属于”关系的意义；能判断出所给元素与集合间的关系；能根据元素与集合间的关系求参数 必考考点，单纯判断元素与集合间的关系，在职教高考中一般出现在选择题第1题；根据元素与集合间的关系求参数较难，要出的话题号靠后 集合元素的三大特性 能从元素的互异性、确定性、无序性理解集合，能利用元素的互异性确定参数 高频易错点，常出现在选择题、填空题中，常因忽略元素的互异性导致求解错误 集合及其表示 能正确认清描述法集合元素 基础考点，常出现在选择题、填空题中，注意点集形式 集合之间的关系 能判断两个集合的包含或相关关系；能根据集合间的包含或相等关系求参数 重难必考点，判断两个集合的包含或相关关系常出现选择题中，根据集合间的包含或相等关系求参数出现在解答题中 集合的运算 能正确进行集合的交、并、补运算：能根据集合运算的结果求参数的取值范围 重难必考点，集合的交、并、补运算常出现选择题中，根据集合运算的结果求参数的取值范围出现在解答题中 第1章 集合 知识点1 元素与集合的概念 集合： 一般地，由某些确定的对象组成的整体，简称为集 元素： 构成集合的对象 知识点2 集合的元素特征 特征 含义 举例 确定性 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 “街上的高个子”中因为高个子没有明确的标准，故“高个子”不能组成集合 互异性 一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的 集合，就意味 无序性 集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换 高一(1)班每周都换座位也改变不了它是(1)班的事实 知识点3 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作； 若不是集合的元素，则称不属于集合，记作. 知识点4 常用数集 数集 符号表示 含义 举例 自然数集 N 非负整数全体构成的集合，叫自然数集。 正整数集 N*(或N＋) 自然数集排除0的集合，或正整数构成的集合。 整数集 Z 整数全体构成的集合，叫整数集。 有理数集 Q 有理数全体构成的集合，叫有理数集。 实数集 R 实数全体构成的集合，叫实数集。 空集 把不含任何元素的集合，叫做空集。 如方程的实数解 注意： 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 知识点5 集合的分类 元素个数分类 含义 举例 有限集 集合中含有的元素个数是有限的 无限集 集合中含有的元素个数是无限的 空集 不含任何元素的集合 方程的实数解 知识点6 集合的表示方法 列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式： 注意事项： ———方程的解，即 ———不等式的解集，即；  ———函数的定义域，即； ———函的值域，即； ———函数的图像点构成的集合. 图示法 Venn图表示集合 知识点7 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 规定：空集是任何集合的子集 结论：当集合A中元素有个，子集个数有个，真子集个数有个，非空真子集个数有个； 知识点8 集合的基本运算（交、并、补） 1、集合的交、并、补运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集 记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集) 符号语言 图形语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 一、单选题 1．（23-24高三上·广东深圳·期末）下列集合为有限集的是（    ）. A．面积为8 的四边形 B．不等式 的正整数解集 C．方程的实数解 D．大于 3 的自然数 2．（24-25高一上·四川·期末）下列说法正确的是（    ） A．与表示不同一集合 B． C． D．⫋ 3．（24-25高一上·广西·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．是空集 B．是空集 C．和是不同的集合 D．方程的解集是 4．（24-25高一上·四川·期末）集合的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．3 5．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）集合，，则=（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）设全集为，集合，则是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高一上·甘肃武威·期末）设，，则 9．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知集合是自然数且，，则 . 10．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知集合，则 . 答案 1．B 【分析】根据有限集的定义求解即可. 【详解】选项 A：面积为8的四边形有无数种形状，如不同边长的平行四边形、梯形等，是无限集. 选项 B：不等式的正整数解为，数量有限，是有限集. 选项 C：方程的实数解有无数组（如等），是无限集. 选项 D：大于的自然数有无数个，是无限集. 故选：B. 2．D 【分析】根据题意，结合相等集合、元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系，即可判断求解. 【详解】根据相等集合的定义，可得与表示同一集合，故选项A错误； 因为空集中不含任何元素，故，故选项B错误； 因为集合中含有一个元素0，而空集中不含元素，且空集是任一非空集合的真子集， 故⫋，故选项C错误； 根据真子集的定义，可得⫋ ，故选项D正确； 故选：D. 3．B 【分析】根据集合的概念和空集的定义即可求解. 【详解】选项A中，空集是不包含任何元素的集合，通常用符号表示，的元素个数为1，故错误； 选项B中，方程无解，所以是空集，故正确； 选项C中，在集合中，元素的顺序并不重要，只要两个集合包含相同的元素，它们就是相同的集合，和是相同的集合，故错误； 选项D中，由集合中元素的互异性，方程的解集为，故错误； 故选：B. 4．A 【分析】根据题意，结合子集的定义及集合中元素的个数，即可求解. 【详解】因为集合中含有3个元素， 所以集合A的子集的个数为个. 故选：A. 5．C 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】集合，，则. 故选：C. 6．C 【分析】根据常用数集的定义结合集合的并运算即可求解. 【详解】由题意得，集合，， 所以. 故选：C. 7．B 【分析】根据补集的概念求解． 【详解】全集为，集合，则． 故选：B． 8． 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】已知，， 则， 故答案为：. 9． 【分析】由集合的并集运算即可得解. 【详解】因为集合， 所以,又， 所以. 故答案为：. 10． 【分析】由集合的交集和并集的定义进行运算即可. 【详解】因为集合， 所以，. 故答案为：. 题型一 集合的基本概念 【典例】（23-24高三上·广东深圳·期末）下列不能构成集合的是（    ）. A．某班的全体同学 B．数轴上所有的点 C．中国年法定放假的节日 D．世界上国土面积辽阔的国家 D 【分析】根据集合的定义逐项判断即可得解. 【详解】某班的全体同学，标准明确，可以构成集合，故不符合题意； 数轴上所有的点，标准明确，可以构成集合，故不符合题意； 中国年法定放假的节日，标准明确，可以构成集合，故不符合题意； 世界上国土面积辽阔的国家，标准不明确，构不成集合，故符合题意， 故选：. 解｜题｜技｜巧 1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性． 【变式】（24-25高三上·江西宜春·期末）下列选项能组成集合的是（    ） A．美丽的蝴蝶 B．接近的数 C．某班本学期视力较差的同学 D．大于的负数 1、【答案】D 【分析】根据集合的定义逐项判断即可得解. 【详解】对于A，美丽的蝴蝶，标准不确定，故不能构成集合，选项错误； 对于B，接近的数，标准不确定，故不能构成集合，选项错误； 对于C，某班本学期视力较差的同学，标准不确定，故不能构成集合，选项错误； 对于D，大于的负数，标准确定，能构成集合，选项正确； 故选：. 题型二 元素与集合的关系 【典例】（24-25高二下·山东菏泽·期末）下列关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断即可求解. 【详解】由题可知，所以②⑤正确， 正确的有个. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集． 2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决． 3. 解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式】（24-25高一上·湖北襄阳·期末）已知集合，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 答案 【答案】D 【分析】已知，可得或，解得的值. 【详解】已知集合，， 可得或， 所以或. 故选：D. 题型三 集合与集合的关系 【典例1】（24-25高二下·山东菏泽·期末）集合A＝且的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3． 【答案】B 【分析】根据真子集的个数为（表示集合中元素的个数）进行计算即可. 【详解】因为集合A＝且， 集合有个元素，所以真子集的个数为个. 故选：B. 【典例2】（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知集合，集合，若，则（    ） A．1 B．0 C．3 D．0或1 【答案】A 【分析】利用集合的包含关系即可得解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：A. 【典例3】（24-25高二下·山东菏泽·期末）设集合，若集合A和集合B中元素都相同，则＝（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素相等，则元素一一对应相等即可，再结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，且集合A和集合B中元素都相同， 所以当时，则有，此时不满足元素的互异性， 当时，则有，解得或（舍）， 此时满足题意， 所以. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1．集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 2．若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集． (2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……，一一写出，保证不重不漏． 3. 解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式1】（24-25高二下·广东·期末）已知集合，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·浙江金华·期末）符合关系式的集合M的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】（24-25高一上·湖北·期末）若集合，，且，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 答案 1、【答案】B 【分析】根据交集与并集的概念结合集合之间的符号表示逐项分析即可. 【详解】已知集合，， 则，故B正确， 且，所以，故A错误， 且，故CD错误. 故选：B. 2、【答案】D 【分析】由包含与真包含的概念可知，集合的个数，等同于集合的真子集的个数，由此即可解答. 【详解】已知， 则集合中必有元素，因为， 所以集合的个数，等同于集合的真子集的个数， 因为集合的真子集的个数为个， 所以集合M的个数为3个， 故选：D. 3、【答案】D 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】因为集合的元素有，集合的元素有， 又因为，所以两集合的元素相同， 所以，即. 故选：D. 题型四 集合间运算 【典例1】（23-24高三上·广东深圳·期末）已知集合，集合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念与并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，集合， 则，所以B，C错误， ，所以A错误，D正确， 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期中）已知全集，集合或，或，则集合（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据补集、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以； 又因为或， 所以. 故选：C 【典例3】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知集合，集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的概念及运算可求解. 【详解】由题可知， . 故选：A 解｜题｜技｜巧 1．并集运算应注意的问题 (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． (3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 2．求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么． ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式． ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法 ①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 3. 求集合交、并、补运算的方法 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）设全集，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（17-18高一上·新疆喀什·期末）已知全集，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】（19-20高一上·浙江·期末）若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】全集，，则， 故选：. 2、【答案】A 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集， 所以，所以. 故选：A. 3、【答案】C 【分析】利用集合的交并补运算，结合区间的表示即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 题型五 由集合的关系求参数 【典例1】（24-25高一上·河北石家庄·期末）设集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据交集的结果可得集合A与集合B之间的关系，再由集合B是否为空集由包含关系即可得解. 【详解】（1）当时，集合为， 且集合，所以. （2）若，则，可得： 时，，解得； 时，则， 所以，解得，所以， 所以综上可得，即. 解｜题｜技｜巧 1.已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集． 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． 2. 利用交、并集运算求参数的思路 (1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性． (2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． 【变式1】（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知集合，集合，集合，求： (1)； (2)若，求实数的取值范围. 答案 1、【答案】 (1)； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念即可求解. （2）根据集合与集合之间的关系结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）因为集合，集合， 所以. （2）因为集合，集合，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $