18.4整数指数幂（第1课时）课件-2025-2026学年人教版八年级数学上册满分全攻略备课系列

人教版（2024）八年级数学上册 第十八章 分式 18.4整数指数幂 （第1课时） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.通过约分和同底数幂的除法两方面解释负整数指数幂的合理性，理解负整数指数幂的意义.（重点） 2.会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，理解随着数的扩充，正整数指数幂的性质在整数范围内仍然成立，感悟运算的一致性，体会化归思想.（难点） 3.能根据整数指数幂的性质进行幂的运算，提高运算能力.（重难点） 新课导入 随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广.例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围.同样地，对于幂的运算a"，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢?下面，我们从追溯幂的符号的演变开始. 幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示. 3世纪丢番图 韦达（1540-1603） 16世纪 17世纪 哈里奥特（1560-1621） 笛卡儿 1637年 ∆γ，κγ，∆γ∆ aa，aaa，aaaa a2，a3，a4 Aq，Acu，Aqq an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广. 1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，...写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a-1，a-2，a-3，….” 溯源 知识点讲解 你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 思 考 由分式的约分可知，当a≠0时 a3÷a5 ① 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n) 中的条件m>n 去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5 的情形也能使用，则有 a3÷a5 = a3 – 5 = a–2 ② 由①②两式，我们想到如果规定= (a≠0)，就能使am÷an = am–n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定: 一般地，当n是正整数时， 这就是说， (a≠0)是的倒数. 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 今后，如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质 am÷an = am–n (m，n是正整数) ① 能否推广到 m，n 是任意整数的情形？ 思 考 a3·a–5 a–3·a–5 a0·a–5 = a–2 = a3+(–5) 即 = a–8 = a(–3) +(–5) 即 = a–5 = a0 +(–5) 即 a3·a–5 = a3+(–5) a–3·a–5 = a(–3) +(–5) a0·a–5 = a0 +(–5) 我们从特殊情形入手进行研究.例如， 一般地， am·an = am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 可以换其他整数指数再验证这个规律 类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试. ② (am)n = amn (m，n是整数) ③ (ab)n = anbn (n是整数) ④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数) ⑤ (n是整数) 进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用. 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也 推广到整数指数幂 探 究 定义与概念 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am÷an = am–n , 因此 即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法 特别地，=a÷b=a・，所以=，即商的乘方可以转化为积的乘方 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为: (1) (m,n是整数); (2) (m,n是整数); (3) (n 是整数). 典型例题 经典例题 例1 计算：(1) a–2÷a5； (3) (a–1b2)3； (4) a–2b2·(a2b–2)–3. 解：(1) a–2÷a5 = a–2 – 5 = a–7 (3) (a–1b2)3 = a–3b6 (4) a–2b2·(a2b–2)–3 = a–2b2·a–6b6 = a–8b8 总结归纳 特别解读 1. 当指数为负整数或0时，一定要保证底数不为0. 2. 负整数指数幂的运算结果要化成正整数指数幂的形式. 课堂练习 基础题 知识点1 负整数指数幂 1.若有意义，则 的取值范围是 ( ) D A. B. C.或 D.且 【解析】有意义，且， 且 .故选D. 2.我们知道：，， ，，那么 接近于( ) B A. B. C. D. 【解析】， .故选B. 关键点拨 利用 进行估算是解题的关键. 3.若,则 的值是( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】,,,,解得 . 故选A. 4.将 写成不含分母的形式，其结果为_____________. 【解析】.故答案为 . 5.已知，，，，则，，， 的大小关 系为______________.（用“ ”号连接起来） 【解析】，，，， ， .故答案为 . 19 知识点2 负整数指数幂的相关计算 6.［2025四川绵阳期末］计算 ，并把结果化为只含有正整数指数幂 的形式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 .故选C. 7.［2024北京东城区期中］已知，可求得 的值为 ( ) A A. B. C.2 D. 【解析】由题意可得解得则 ，故选A. 20 8.［2024湖北恩施州期末］在算式中的“ ”里填入一个运 算符号，使得它的结果最小,则“ ”里应填入( ) D A. B.- C.× D. 【解析】若填入的符号为“ ”，则算式为 ； 若填入的符号为“-”，则算式为 ； 若填入的符号为 “×”，则算式为 ； 若填入的符号为 “ ”，则算式为 ， , ,, ， ， 若“”里填入的符号为“ ”，则算式的结果最小，故选D. 21 提升题 9.［教材习题 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式. 拓展题 10.（1）比较下列各组数的大小：（填“ ”“ ”或“ ”） ___；___ ； ___；___ . （2）由（1）猜想与为正整数 的大小关系. 解：当且 为整数时， ; 当且为整数时， . （3）根据上面的猜想，可知___.（填“ ”“ ” 或“ ”） 课堂小结 整数指数幂 整数指数幂的性质 am ·an=am+n(m，n是整数)； (am)n=amn(m，n是整数)； (ab)n=ambn(n是整数). 负整数指数幂 当n是正整数时，a-n=(a≠0). 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第161页练习 第1，2题 课本练习 1. 填空： （1）30 = ____，3–2 = ____； （2）(– 3)0 = ____， (– 3)–2 = ____； （3）b0 = ____，b–2 = ____ . 1 1 1 2. 计算： (1) x2y–3·(x–1y)3； (2) (2ab2c–3)÷(a–2b)3. 解：(1)原式 = x2y–3·x–3y3 (2)原式 = (2ab2c–3)·(a–2b)–3 = 2ab2c–3·a6b–3 = x–1y0 = 2a7b–1c–3 感谢观看 $