专题03 导数及其应用4考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题03 导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 利用导数研究曲线上某点切线方程 考点02 利用导数研究函数的单调性 考点03 利用导数研究函数的极值 考点04 利用导数研究函数的最值 地 城 考点01 利用导数研究曲线上某点切线方程 1．（2022秋•石景山区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点，处的切线的斜率为（2）（1）； （Ⅲ）比较与的大小，并加以证明． 2．（2022秋•石景山区期末）已知函数，． 若，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若和有相同的最小值，求的值． 地 城 考点02 利用导数研究函数的单调性 3．（2023秋•大兴区期末）已知函数，则不等式的解集为　　 A．， B．， C．， D．， 4．（2023秋•丰台区期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•朝阳区校级期末）已知实数，，，则　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线平行于轴，求实数的值； （Ⅱ）求的单调区间． 7．（2024秋•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的定义域； （Ⅱ）若在区间，上单调递减，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：若，，则． （参考数据：，， 8．（2024秋•北京校级期末）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，曲线的切线不经过点； （3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数的取值范围． 9．（2024秋•东城区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 10．（2023秋•大兴区期末）已知函数． （1）若曲线在点，处的切线斜率为0，求的值； （2）当时，求的零点个数； （3）证明：是为单调函数的充分而不必要条件． 11．（2023秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）当且时，判断与的大小，并说明理由． 12．（2022秋•大兴区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线斜率为0，求的值； （Ⅱ）判断函数单调性并说明理由； （Ⅲ）证明：对，，，都有成立． 13．（2024秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若存在两个极值点，，证明：． 14．（2024秋•通州区期末）已知在点，（1）处与轴相切． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证． 15．（2024秋•昌平区期末）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为． （Ⅰ）求实数，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）求函数的零点的个数． 16．（2022秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 　　（只需写出结论） 地 城 考点03 利用导数研究函数的极值 17．（2024秋•海淀区期末）设函数，则“”是“没有极值点”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2023秋•昌平区期末）已知函数，则　　 A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 19．（2022秋•丰台区期末）已知函数存在两个极值点，，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是 　　． 20．（2024秋•朝阳区期末）已知函数，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的极值． 21．（2023秋•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （Ⅱ）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值． 22．（2023秋•昌平区期末）已知函数． （1）求曲线在，（2）处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 23．（2023秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （Ⅱ）讨论在区间内的极值点个数； （Ⅲ）若在区间内有零点，求证：． 24．（2023秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅲ）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围． 25．（2023秋•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）设函数． ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围． 26．（2023秋•东城区期末）已知函数，． （Ⅰ）若，求曲线在，处的切线方程； （Ⅱ）若，求证：函数在上有极大值，且． 27．（2022秋•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0． 28．（2022秋•北京期末）已知函数． （Ⅰ）判断0是否为的极小值点，并说明理由； （Ⅱ）证明：． 29．（2022秋•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的极值； （Ⅲ）证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点． 30．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求的值； （Ⅱ）若函数在内存在极值，求的取值范围； （Ⅲ）若对任意的实数，，恒成立，求实数的取值范围． 31．（2022秋•朝阳区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若0不是函数的极值点，求的值． 32．（2024秋•顺义区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）设，其中． 求证：在区间上有唯一的极值点； 设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，请说明理由． 地 城 考点04 利用导数研究函数的最值 33．（2022秋•北京期末）已知函数，．给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间，上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于2． 其中所有正确结论的序号是 　　． 34．（2023秋•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 35．（2022秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，判断的零点个数，并加以证明； （Ⅲ）当时，证明：存在实数，使恒成立． 36．（2023春•顺义区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）若，证明：． 37．（2023秋•东城区校级期末）设函数． （1）若曲线在点，处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 38．（2022秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间，上的最小值； （Ⅲ）证明函数只有一个零点． 39．（2022秋•昌平区期末）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，证明：对任意的，恒成立． 40．（2024秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处切线的方程； （Ⅱ）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （Ⅲ）若函数有两个零点，，且，求的取值范围． 41．（2024秋•东城区期末）设函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的极值点个数； （Ⅲ）若时，，求的取值范围． 42．（2024秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的极值； （Ⅲ）设函数，求证：的最小值大于． 43．（2024秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若对任意，，都有，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：存在实数，使方程有正实根． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 4大高频考点概览 考点01 利用导数研究曲线上某点切线方程 考点02 利用导数研究函数的单调性 考点03 利用导数研究函数的极值 考点04 利用导数研究函数的最值 地 城 考点01 利用导数研究曲线上某点切线方程 1．（2022秋•石景山区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点，处的切线的斜率为（2）（1）； （Ⅲ）比较与的大小，并加以证明． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是， 导函数为， 所以（1），又（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为； （Ⅱ）证明：由已知（2）（1）， 所以只需证明方程在区间有唯一解． 即方程在区间有唯一解． 设函数， 则． 当时，，故在区间单调递增． 又（1），（2）， 所以存在唯一的，使得． 综上，存在唯一的， 使得曲线在点，处的切线的斜率为（2）（1）； （Ⅲ）．证明如下： 首先证明：当时，． 设， 则． 当时，，， 所以，故在单调递增， 所以时，有（1）， 即当时，有． 所以． 2．（2022秋•石景山区期末）已知函数，． 若，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若和有相同的最小值，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）若，，， 故，， 故在点，处的切线方程为； （Ⅱ）， 当时，，是增函数； 当时，由得，时，，时，， 故的单调递增区间为，递减区间为； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，时（a）， ，当时，，在上是减函数，没有最小值， 时，令得，，， 故是的极小值，也是最小值，此时， 由题意得，即， 即，令（a），，显然（1）， 又，，时（a），时，（a）， 故（1）是（a）的极小值，也是最小值，而（1），（a）， 故（a）在上单调递增，故是（a）唯一的零点， 即即为所求． 地 城 考点02 利用导数研究函数的单调性 3．（2023秋•大兴区期末）已知函数，则不等式的解集为　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：令， 则， 令，得，即， 当，时，，当，时，， 在区间，上单调递减，在区间，上单调递增， 又，（1）， 当，时，， 不等式的解集为，． 故选：． 4．（2023秋•丰台区期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，设的解析式为， 由，在图象上，得， 解得，所以， 当时，设的解析式为， 由，在图象上，得， 解得，所以， 所以， 当时，函数单调递增，且当时，， 当时，函数，函数的图象如下． 所以由，结合图象可得， 综上，不等式的解集是． 故选：． 5．（2022秋•朝阳区校级期末）已知实数，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以（1），即，； 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，， 所以． 故选：． 6．（2023秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线平行于轴，求实数的值； （Ⅱ）求的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）由，得， 在点，（1）处的切线平行于轴，（1）， ，解得，经检验符合题意． （Ⅱ），令，解得或． 当时，，当且仅当时，， 在区间上单调递增． 当时，随的变化，和的变化情况如下表所示． 0 0 单调递增 （a） 单调递减 单调递增 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示． 0 0 单调递增 单调递减 （a） 单调递增 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． 7．（2024秋•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的定义域； （Ⅱ）若在区间，上单调递减，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：若，，则． （参考数据：，， 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 则，解得且， 所以函数的定义域为，，； （Ⅱ）， 因为在，上是减函数， 所以时，且， 设，则时，恒成立， 函数与在上是增函数， 所以在，上是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是，； （Ⅲ）证明：当时，， 设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ①当时， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ，； ②当时，由， 所以存在， 当变化时，，，的变化情况如下表： ， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由得， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 8．（2024秋•北京校级期末）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，曲线的切线不经过点； （3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）当时，，函数定义域为， 可得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明：当时，，函数定义域为， 可得． 设曲线的切点为，， 此时切线方程为， 假设切线过原点， 可得， 整理得． 令，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 则方程无解， 综上可知，曲线在点的，切线不过原点； （3）若曲线与直线在区间上有两个不同的交点， 即在区间上有两个不同的解， 所以在区间上有两个不同的解， 即在区间上有两个不同的解， 设，函数定义域为， 可得， 令， 解得， 因为， 所以， 当，，单调递减； 当，，单调递增， 所以， 当时，；当时，， 要使在区间上有两个不同的解， 此时． 故实数的取值范围为，． 9．（2024秋•东城区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 【解答】解：（1），所以，， 所以曲线在点，处的切线方程为． 证明：（2）由题设，， 所以， 当时，因为，所以， 所以在上单调递增； （3）．证明如下： 设， 则， 由（2）知在上单调递增，所以， 所以，即在上单调递增， 所以，即． 10．（2023秋•大兴区期末）已知函数． （1）若曲线在点，处的切线斜率为0，求的值； （2）当时，求的零点个数； （3）证明：是为单调函数的充分而不必要条件． 【解答】解：（1）函数的导数为， 可得曲线在点，处的切线斜率为，解得； （2）当时，，由，解得， 的定义域为，关于原点对称，， 即，可得为奇函数，则， 当时，的导数为， 当时，，递增；当时，，递减， 可得在处取得最大值，又时，， 所以时，有一个零点；由奇函数的性质可得时，有一个零点， 则当时，的零点个数为3； （3）证明：由为单调函数，即在内递增，或递减． 由，若在内递增，则，即恒成立． 由，，则不恒成立，即在内不为递增函数． 若在内递减，则，即恒成立． 由，，则， 所以，为单调函数的充要条件为， 而，， 则是为单调函数的充分而不必要条件． 11．（2023秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）当且时，判断与的大小，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即． （Ⅱ）的定义域为， 所以在区间和上，单调递减； 在区间上，单调递增， 所以的增区间，减区间． （Ⅲ）当且时，，证明如下． 令，则， 设，， 所以在区间上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以，即， 所以的单调递增区间为，． 当时，，即， 当时，，即， 综上，当且时，． 12．（2022秋•大兴区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线斜率为0，求的值； （Ⅱ）判断函数单调性并说明理由； （Ⅲ）证明：对，，，都有成立． 【解答】解：（Ⅰ），令（1），解得； （Ⅱ）定义域为，， ， 因为，故恒成立，故在，上是增函数； （Ⅲ）证明：当时，原式即，显然成立， 再设，则可化为：， ①当左边不等号成立时，即， 即证函数在，上单调递增， 结合（Ⅰ）可知， 故在，上增函数； ②当右边不等号成立时，即成立， 即证在，上是减函数， 结合已知条件可知显然成立，即在，上是减函数， 即对，，，都有成立． 13．（2024秋•石景山区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若存在两个极值点，，证明：． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，函数定义域为， 可得， 此时（1）， 又（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为， 即； （Ⅱ）易知， 因为， 当时，， 此时在上单调递增，无单调递减区间； 当时， 令， 解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上所述，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为和，减区间为； （Ⅲ）证明：因为存在两个极值点， 所以方程， 即在上有两个不等实根， 此时△，，， 解得， 所以， 要证， 需证， 即证， 设， 此时要证， 令， 设，函数定义域为， 可得， 所以在上单调递增， 所以（1）， 则成立． 故． 14．（2024秋•通州区期末）已知在点，（1）处与轴相切． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证． 【解答】解：（Ⅰ）易知的定义域为， 可得， 因为在点，（1）处与轴相切， 所以， 解得，； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 可得， 设， 可得，函数定义域为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以（1）， 所以恒成立， 则在上单调递减，无单调递增区间； （Ⅲ）证明：因为， 所以， 要证， 即证， 令，， 需证， 即证， 设，函数定义域为， 可得， 所以在上单调递增， 又（1）， 则不等式成立． 所以当时，． 15．（2024秋•昌平区期末）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为． （Ⅰ）求实数，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）求函数的零点的个数． 【解答】解：（Ⅰ）函数， 所以， 依题意，， 所以， 解得，； （Ⅱ）函数， 所以， 令，则，记两根分别为，，且，，列表如下： 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为； （Ⅲ）函数， 令，得或， 所以1是函数的一个零点，下面只要研究零点情况， 由（Ⅰ）知（1），且，即， 又因为函数在上单调递减， 所以，，即函数在上有且只有一个零点1， 又因为，，且函数在上单调递增， 所以存在唯一的，使， 同理，又因为，，且函数在上单调递增， 所以存在唯一的，使， 所以函数存在三个零点1，，， 综上，函数存在三个零点1，，． 16．（2022秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 　　（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 所以， 所以（1），（1）， 故曲线在点处的切线方程为． （Ⅱ）由，知， ①当时，， 令，则；令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，则或， 若，即，则恒成立，所以在上单调递增； 若，即， 令，则或；令，则， 所以在和，上单调递增，在，上单调递减； 若，即， 令，则或；令，则， 所以在，和上单调递增，在，上单调递减， 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，和上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和，上单调递增，在，上单调递减． （Ⅲ）①由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时（1），时，， 若，则，当时，，所以函数恰有一个零点； 若，则当时，，所以函数有两个零点； ②当时，在上单调递增， 当时，，，而指数函数增长速率比二次函数快， 所以时，， 又（1），所以函数恰有一个零点； ③当时，在，和上单调递增，在，上单调递减， 所以极大值为，极小值为（1），且时，， 所以函数恰有一个零点； ④当时，在和，上单调递增，在，上单调递减， 所以极大值为（1），且时，， 所以函数恰有一个零点， 综上所述，的取值范围为，． 地 城 考点03 利用导数研究函数的极值 17．（2024秋•海淀区期末）设函数，则“”是“没有极值点”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当时，，恒成立， 所以函数单调递增，没有极值点； 若没有极值点，则恒成立， 由二次函数的性质可得，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件． 故选：． 18．（2023秋•昌平区期末）已知函数，则　　 A． B．不是周期函数 C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只有一个零点 【解答】解：对于：因为函数， 所以， 所以关于点，对称， 所以，故错误； 对于：因为， 所以为函数的一个周期，故错误； 对于：因为， 所以， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，故错误； 对于：令，即，即， 因为，则， 所以， 所以方程在上只有一个根， 所以函数在内有且只有一个零点，故正确． 故选：． 19．（2022秋•丰台区期末）已知函数存在两个极值点，，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：显然（1），则①对； 函数的定义域为，， 由于存在两个极值点，则有两个正根， 所以，解得，则②错； 令，得， 解得，， 又，则，，则③错； 由前面分析可知，函数在，，单调递减，在，单调递增， 所以（1），则④对． 故答案为：①④． 20．（2024秋•朝阳区期末）已知函数，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的极值． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，所以， 所以（1），又（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即． （Ⅱ）依题意，． 当时，由（1）可知，， 所以在上单调递减，无极值． 当时，． 当时，，所以在上单调递减，无极值． 时，时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以时，取极大值，无极小值． 综上，当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值． 21．（2023秋•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （Ⅱ）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值． 【解答】解：（Ⅰ）①证明：当时，． 记，则． 所以在，上是增函数． 所以当时，． 所以当时，． ②证明：由，得，且． 当时，． 因为，，所以． 因为对任意恒成立，所以当时，． 所以0是的唯一极值点． （Ⅱ）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，， 其斜率分别为，，则． 因为，所以． 所以，，． 不妨设，则． 因为， 由“优切线”的定义可知，． 所以． 由“优切线”的定义可知，，所以． 当时，取， 则，，，，符合题意． 所以． 22．（2023秋•昌平区期末）已知函数． （1）求曲线在，（2）处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 【解答】解：（1）， ， （2），（2）， 在，（2）处的切线方程为，即； （2），， ， 当，，时，； 当，时，， 的单调增区间为，，，单调减区间为，； （3）2个极值点，理由如下： 又（2）知：当时，在上单调递增， 且，， 存在唯一，使得； 当时，在，上单调递减， ，（2）， 存在唯一，，使得； 当时，，， ， 在，上无零点， 综合可得：当，， 当，，， 当，，， 当时，取得极小值；当时，取得极大值， 故有2个极值点． 23．（2023秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点处的切线为轴，求的值； （Ⅱ）讨论在区间内的极值点个数； （Ⅲ）若在区间内有零点，求证：． 【解答】解：（Ⅰ），则（1），解得． 经验证，在点处的切线为，． （Ⅱ）由题得． 若，当时，恒成立， 在区间上单调递增，无极值点． 若，当时，，当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 为的极小值点，且无极大值点． 综上，当时，在区间内的极值点个数为0； 当时，在区间内的极值点个数为1． （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当时，在区间上单调递增， （1）． 在区间内无零点． 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （a）（1）． 若在区间内有零点，则． 而，设， 则． 设，则， 在区间上单调递增． （1），即． 在区间上单调递增． （a）（1），即． 又，， ． 24．（2023秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅲ）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，（1）， 而，（1）， 所以曲线在点，（1）处的切线方程为． （Ⅱ）当时，的定义域为， ， 令，得， 当或时，， 所以函数的增区间为，，． （Ⅲ）， 因为函数在区间上只有一个极值点， 所以在区间上只有一个变号零点， 令，得，即在上只有一个异号根， 令，则，所以， 所以． 故的取值范围为． 25．（2023秋•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）设函数． ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围． 【解答】解：，，， ， ， 曲线在点，处的切线方程为，即． ①，， ， 令， 解得，， 函数在处取得极大值， ，， 函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增． ②， （2），是函数的一个零点， 时，由化为， ， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增． 时，（1），（2）， 恰有三个零点， ，且， 综上可得：的取值范围是，，． 26．（2023秋•东城区期末）已知函数，． （Ⅰ）若，求曲线在，处的切线方程； （Ⅱ）若，求证：函数在上有极大值，且． 【解答】解：（Ⅰ）若，则，所以， 所以，又因为， 所以曲线在，处的切线方程为， 即． （Ⅱ）证明：若，因为， 设函数，则， 所以为上的减函数． 当时，， ， 所以存在，使得，即， 当变化时有： ， 0 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，函数在上有极大值． ， 由，得， 因为，所以，令， 则，图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 所以． 27．（2022秋•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，，则，， 所以切线方程为； （Ⅱ）定义域为，，令得， ①当，即时，， 所以的单调递减区间为和，无单调递增区间； ②当，即时，或，， 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； ③当，即时，或，， 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； 综上可知：当时，的单调递减区间为和，无单调递增区间；时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；时，单调递减区间为和，单调递增区间为； （Ⅲ）证明：易知函数的定义域为， 由（Ⅱ）知，时，在处取得极小值，此时； 当时，因为，函数无极小值；时，恒成立，故无极值； 故函数的极小值一定小于0． 28．（2022秋•北京期末）已知函数． （Ⅰ）判断0是否为的极小值点，并说明理由； （Ⅱ）证明：． 【解答】解：（Ⅰ）0是的极小值点，理由如下： 对函数求导得， 当时，，，所以． 当时，，可知，，所以． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以0是的极小值点． （Ⅱ）证明：，即，即， 记，， 求导得， 当时，易知，所以函数在区间上单调递增． 又，可得当时，， 即当时，不等式 成立． 即当时，不等式成立， 当时，， 即当时，不等式成立． 即当时，不等式成立， 综合上述，不等式成立． 29．（2022秋•东城区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的极值； （Ⅲ）证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点． 【解答】解：（Ⅰ）由得，故，， 故切线方程为； （Ⅱ）定义域为，令得， ，， 故时取得极小值，没有极大值； （Ⅲ）证明：曲线与曲线至多存在一个交点， 即至多有一个实数根， 即至多有一个实数根， ，， 因为是增函数，且时，，时，， 故存在，使得①， 且时，，单调递减；，时，，单调递增； 故②，由①得，， 代入②式得，又， 至多有一个实数根， 即当时，曲线与曲线至多存在一个交点． 30．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数． （Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求的值； （Ⅱ）若函数在内存在极值，求的取值范围； （Ⅲ）若对任意的实数，，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：显然，的定义域为，， （Ⅰ）由题意知（1），解得； （Ⅱ）由已知得在内有变号根， 令，，， 故在内单调递减，且，故时，， 故要使在内有变号零点，只需（1），解得， 故当时，在内存在极值； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，在，上是增函数，则（1）， ①时，在，上，是增函数，要使结论成立，只需（1），解得； ②时，在上单调递减，则（1），不符合题意， 综上，实数的取值范围为． 31．（2022秋•朝阳区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若0不是函数的极值点，求的值． 【解答】解：（1）， ， 又，即点， ， 即在处的切线方程为． （2）在上单调递增， 在上恒成立， ， 在上恒成立， 方法在上恒成立， ，， 令，，则， 令，则， ， ，， ， 在上单调递增， ， ， 在上单调递增， 又， ， ，即的取值范围为，； 方法在上恒成立， 令，，则恒过，， ， ，， ， 在上单调递增， ， 又， 在处的切线方程为， 如图所示， ，即的取值范围为，； （3），且， ， 又不是的极值点， ， ， 当时，在上单调递增，且， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，即当时恒成立， 在上单调递增， 在内无极值，即0不是的极值点． 32．（2024秋•顺义区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）设，其中． 求证：在区间上有唯一的极值点； 设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）易知的定义域， 可得， 此时， 又， 所以曲线在点，处的切线方程为； （Ⅱ）证明：易知， 可得， 设，， 可得， 当时，， 所以，单调递增， 即在上单调递增， 因为，， 所以存在一点，使得， 则在区间上，存在唯一一个极值点； 由知，在区间上，存在唯一一个极值点， 即， 当时，单调递减；当时，单调递增， 又，（a）， 所以在区间上没有零点，在上存在一个唯一一个零点， 所以， 因为， 又，， 所以， 设，函数定义域为， 可得， 所以单调递增， 此时， 所以， 因为，，且当时，单调递增． 则由单调性可知，． 地 城 考点04 利用导数研究函数的最值 33．（2022秋•北京期末）已知函数，．给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间，上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于2． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解答】解：函数，． ①当时，函数， ， 令，得或， 当时，，原函数单调递增， 当，时，，原函数单调递减， 当，时，，原函数单调递增， 故时，，故①正确； ②函数， ， 不妨令，则 令，得或1， 当，时，，原函数单调递增， ，使得函数在区间，上单调递增，故②正确； ③函数， ，， 在上单调递增， ，，，， ，使得， 当时，，原函数单调递减， 当，时，，原函数单调递增， ，使得函数有最小值，故③错误； ④由③知，时，， 时，， 时，， 时，， ，，使得方程有两个根且两根之和为，故④正确． 故答案为：①②④． 34．（2023秋•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由，得， 则，又， 所以切线方程为； （Ⅱ）证明：令， 则， 由，可得，故在上单调递减， 所以，即当时，． （Ⅲ）当时，， 由（Ⅱ）知，当时，， 所以当时，对恒成立； 当时，令， 则， 当时，因为，所以，在上单调递增， ，不合题意， 当时，由，得， 当时，时，， 所以在上单调递增，则时，，不合题意， 综上，的取值范围是． 35．（2022秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，判断的零点个数，并加以证明； （Ⅲ）当时，证明：存在实数，使恒成立． 【解答】解：（Ⅰ）时，，， 故（1），（1），故切线方程为：， 即； （Ⅱ）存在一个零点1，理由： ，， 显然恒成立，故在上是增函数， 又时，，时，， 故存在唯一的零点，使得； （Ⅲ），， ，故是增函数， 而当时，，时，， 故存在，使得， 且时，，，时，， 故是的极小值点，也是最小值点， 存在实数，使恒成立． 36．（2023春•顺义区校级期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）若，证明：． 【解答】解：由已知得，定义域，， （Ⅰ）令得，因为， ，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）结合，由已知得在恒成立， 即当时恒成立，令，，，显然（1）， 再令，，故在上单调递减，结合（1）， 当时，，即，当时，，即， 故（1）是的极大值，也是的最大值， 故即为所求，故的取值范围是，； （Ⅲ）证明：由得，且，， 当时，令，，显然（1）， ，时，，时，， 故（1）是的极大值，也是最大值，即时取等号）， 所以，（当且仅当时取等号）， 所以，， 两式相加得，即， 故． 37．（2023秋•东城区校级期末）设函数． （1）若曲线在点，处的切线斜率为1，求实数的值； （2）求的单调区间； （3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 【解答】解：（1），， 曲线在点，处的切线斜率为1， ， ； （2）的定义域为，， 若，则，所以在上单调递增， 若，则当时，；当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增； （3）因为，， 故当时，等价于，（1） 令，则， 由（1）知，函数在上单调递增， 又（1），（2）， 所以在上存在唯一零点， 故在上存在唯一零点， 设此零点为，则， 当时，；当时，， 所以在上的最小值为， 又由，得， 所以，， 由于（1）式等价于， 故整数的最大值为2． 38．（2022秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间，上的最小值； （Ⅲ）证明函数只有一个零点． 【解答】解：（Ⅰ）， 又（1），（1）， 则由点斜式可得，所求切线方程为，即； （Ⅱ）易知在，上单调递减，且， 所以函数在，上存在一个零点，设为， 当时，，单调递增，当，时，，单调递减， 又（1），（e）， 所以函数在区间，上的最小值为； （Ⅲ）证明：函数的定义域为， 由（Ⅱ）可知，函数在，上的最小值为， 又当时，，则函数在，上没有零点； 当时，，则在上单调递增， 又， 则函数在存在一个零点，即函数在定义域上只有一个零点． 39．（2022秋•昌平区期末）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，证明：对任意的，恒成立． 【解答】解：（Ⅰ）由得，， 故，，故切线方程为； （Ⅱ）由已知得，， 令得或， ①当时，，则时，，单调递减，时，，单调递增； ②当时，，，和时，，单调递增；当，时，，单调递减； ③当时，恒成立，是增函数， ④当时，，和，时，，单调递增；当，时，，单调递减； （Ⅲ）证明：时，，可得， 由（Ⅱ）可知，在， 递减，在， 递增， 所以 ， 故对任意的，恒成立． 40．（2024秋•西城区期末）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处切线的方程； （Ⅱ）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （Ⅲ）若函数有两个零点，，且，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，所以， 则，， 故曲线在点，处切线的方程是． （Ⅱ）证明：若，则，其定义域为 “曲线总在直线的下方”等价于“，”， 即等价于“，”． 设函数，，则， 令，解得， 当变化时，与的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 故对任意的，， 即曲线总在直线的下方． （Ⅲ）函数的定义域是，且， 令，得， 当变化时，与的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ①当，即时， 根据的单调性，知，且，有． 所以恰有一个零点，不符合题意． ②当，即时， 根据的单调性，知， 由有两个零点，，且满足，得，， 又因为此时， 所以，且，解得． ③当，即时， 根据的单调性，知， 由有两个零点，，且满足，得，， 所以（1），即． 综上，的取值范围为． 41．（2024秋•东城区期末）设函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的极值点个数； （Ⅲ）若时，，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）易知的定义域为， 可得， 此时， 又， 所以曲线在点，处的切线方程为， 即； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 设，函数定义域为， 可得， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递增， 则的极值点个数为1； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上单调递增，在，上单调递减， 当时，， 若， 此时，符合题意； 若， 因为， 所以， 当且时，， 则，不符合题意． 综上所述，的取值范围为，． 42．（2024秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）求的极值； （Ⅲ）设函数，求证：的最小值大于． 【解答】解：（Ⅰ）， 则， 又， 则所求切线方程为； （Ⅱ）令，解得， 易知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则函数的极小值为，无极大值； （Ⅲ）证明：， 则， 令，则， 故函数在上单调递增， 又，， 则由函数零点存在性定理可知，存在，使得， 即， 且当时，，单调递减，当，时，，单调递增， 则函数的最小值为，即得证． 43．（2024秋•房山区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）若对任意，，都有，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：存在实数，使方程有正实根． 【解答】解：（Ⅰ）当时，函数，求导得， 则，而， 所以曲线在点，处的切线方程为． （2）对任意，，不等式， 当时，令，求导得，函数在，上递增， ，因此，当时，，，，即恒成立，则； 当时，，由，得， 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意， 所以实数的取值范围是，． （3）由，，得， 令，求导得， 令，，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，即， 函数在上单调递增，，取正数， 则直线与函数在上的图象有交点，此交点横坐标在区间， 所以存在实数，使方程有正实根． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $