专题02 函数的概念与基本初等函数10考点（期末真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题02 函数的概念与基本初等函数 10大高频考点概览 考点01 函数的值​ 考点02 函数的定义域及其求法​ 考点03 函数的单调性​ 考点04 函数的最值​ 考点05 函数的奇偶性​ 考点06 函数恒成立问题​ 考点07 指数函数的实际应用​ 考点08 对数运算求值​ 考点09 函数的零点​ 考点10 分段函数的应用 地 城 考点01 函数的值 1．（2023秋•丰台区期末）已知，则　　． 2．（2023秋•通州区期末）已知函数，则　　． 3．（2024秋•通州区期末）已知函数，则（4） 　　． 4．（2023秋•石景山区期末）设函数，则　　 A．2 B．5 C．7 D．10 地 城 考点02 函数的定义域及其求法 5．（2024秋•东城区期末）函数的定义域是　　． 6．（2024秋•顺义区期末）函数的定义域为 　　． 7．（2024秋•房山区期末）函数的定义域为 　　． 8．（2023秋•东城区期末）函数的定义域为 　　． 9．（2023秋•房山区期末）函数的定义域是 　　． 10．（2023秋•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 11．（2024秋•昌平区期末）设函数的定义域为，则对内的任意实数，有　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•西城区期末）已知函数，则的定义域是 　　；的最小值是 　　． 地 城 考点03 函数的单调性 13．（2023秋•昌平区期末）下列函数中，在区间上为减函数的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•西城区期末）已知函数，则　　 A．在上是减函数，且曲线存在对称轴 B．在上是减函数，且曲线存在对称中心 C．在上是增函数，且曲线存在对称轴 D．在上是增函数，且曲线存在对称中心 15．（2023秋•昌平区期末）设函数的定义域为，则“，”是“为减函数”的　　 A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点04 函数的最值 16．（2023秋•丰台区期末）已知函数，当，时，记函数的最大值为（a），则（a）的最小值为　　 A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 17．（2024秋•海淀区期末）已知函数，存在最小值，则的取值范围是 　　． 地 城 考点05 函数的奇偶性 18．（2023秋•通州区期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•通州区期末）已知函数，则　　 A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在上是减函数 20．（2024秋•丰台区期末）下列函数中，满足“，”的是　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•东城区期末）下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•石景山区期末）已知函数，则　　 A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 23．（2023秋•房山区期末）已知函数满足，且在，上单调递减，对于实数，，则“”是“（a）（b）”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点06 函数恒成立问题 24．（2024秋•北京校级期末）已知函数若，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 地 城 考点07 指数的实际应用 25．（2024秋•昌平区期末）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为．当生物体死亡后，碳14会发生衰变．且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数．已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的，现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为．由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是　　 （参考数据：， A． B． C． D． 26．（2023秋•朝阳区期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中，，，，．当不变，与均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是　　 A．存在和，使得不变 B．存在和，使得变为原来的2倍 C．若，则最多可变为原来的2倍 D．若，则最多可变为原来的2倍 27．（2023秋•房山区期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的　　参考数据：． A． B． C． D． 28．（2024秋•西城区期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：可表示为，其中为起始光功率（单位：，为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：．已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半．若当距离由变到时，光功率由变到，则　　 A． B． C． D． 地 城 考点08 对数的实际应用 29．（2024秋•东城区期末）近年来，人工智能快速发展，算法是人工智能的核心技术之一．现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（本题取　　 A．1秒 B．10秒 C．20秒 D．50秒 30．（2024秋•石景山区期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是　　 A．20小时 B．22小时 C．24小时 D．26小时 31．（2024秋•丰台区期末）溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：．室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：．室温下，某溶液的值为1，若加水稀释后，该溶液的值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为　　 A． B．2 C． D．10 地 城 考点09 函数的零点 32．（2023秋•朝阳区期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（2023秋•海淀区期末）若关于的方程有实数解，则的值可以为　　 A．10 B． C．2 D． 34．（2024秋•朝阳区期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．， 35．（2024秋•东城区期末）已知，．用，表示，中的最大值，设，．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 36．（2024秋•丰台区期末）已知函数，，，，，，，则（3）（5） 　　；方程的所有实数解的和为 　　． 37．（2024秋•石景山区期末）已知函数，若，则 　3　；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 38．（2024秋•房山区期末）已知函数，，给出下列四个结论： ①当时，方程有且只有一个实数根； ②当时，对任意，或； ③当时，对任意，； ④存在，对任意，． 其中正确结论的序号是 　　． 地 城 考点10 分段函数的应用 39．（2023秋•通州区期末）已知函数，实数，，满足．若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为　　 A． B． C．4 D．6 40．（2024秋•东城区校级期末）已知函数，．设，若存在，使得（a）（b），则实数的取值范围是　　 A．， B．，， C．， D．， 41．（2023秋•东城区期末）设函数 ①若，则的最小值为 　　； ②若有最小值，则实数的取值范围是 　　． 42．（2023秋•朝阳区期末）设函数当时，的最大值为 　　；若无最大值，则实数的一个取值为 　　． 43．（2023秋•昌平区期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 　　． 故答案为：0（答案不唯一）． 44．（2024秋•昌平区期末）已知函数若无最大值，则实数的一个取值为 　　；若存在最大值，则的取值范围是 　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的概念与基本初等函数 10大高频考点概览 考点01 函数的值​ 考点02 函数的定义域及其求法​ 考点03 函数的单调性​ 考点04 函数的最值​ 考点05 函数的奇偶性​ 考点06 函数恒成立问题​ 考点07 指数函数的实际应用​ 考点08 对数运算求值​ 考点09 函数的零点​ 考点10 分段函数的应用 地 城 考点01 函数的值 1．（2023秋•丰台区期末）已知，则　　． 【解答】解：，， ， 故答案为：0． 2．（2023秋•通州区期末）已知函数，则　　． 【解答】解：函数， ． 故答案为：． 3．（2024秋•通州区期末）已知函数，则（4） 　　． 【解答】解：． 故答案为：3． 4．（2023秋•石景山区期末）设函数，则　　 A．2 B．5 C．7 D．10 【解答】解：函数，则． 故选：． 地 城 考点02 函数的定义域及其求法 5．（2024秋•东城区期末）函数的定义域是　　． 【解答】解：要使原函数有意义，则，即． 函数的定义域是． 故答案为：． 6．（2024秋•顺义区期末）函数的定义域为 　　． 【解答】解：， ； 即，且， 函数的定义域为，，； 故答案为：，，． 7．（2024秋•房山区期末）函数的定义域为 　　． 【解答】解：函数， 则，解得且， 故函数的定义域为且． 故答案为：且． 8．（2023秋•东城区期末）函数的定义域为 　　． 【解答】解：， 则，解得且， 故函数的定义域为且． 故答案为：且． 9．（2023秋•房山区期末）函数的定义域是 　　． 【解答】解：由题意得，，解得且． 故答案为：且． 10．（2023秋•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 【解答】解：， 则，解得， 故函数的定义域为，． 故答案为：，． 11．（2024秋•昌平区期末）设函数的定义域为，则对内的任意实数，有　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数的定义域为，，， 利用对数性质，可得， 计算可得． 故选：． 12．（2023秋•西城区期末）已知函数，则的定义域是 　　；的最小值是 　　． 【解答】解：令，解得， 故函数的定义域为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4． 故答案为：；4． 地 城 考点03 函数的单调性 13．（2023秋•昌平区期末）下列函数中，在区间上为减函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，是指数函数，在上为增函数，不符合题意； 对于，，是正弦函数，在上为增函数，不符合题意； 对于，，可以由函数向右平移一个单位，向下平移一个单位得到， 故在区间上不是单调函数，不符合题意； 对于，，设，， 在上为增函数，且恒成立， 在上为减函数， 故在区间上为减函数，符合题意． 故选：． 14．（2023秋•西城区期末）已知函数，则　　 A．在上是减函数，且曲线存在对称轴 B．在上是减函数，且曲线存在对称中心 C．在上是增函数，且曲线存在对称轴 D．在上是增函数，且曲线存在对称中心 【解答】解：已知函数，则有，解得， 故的定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为为增函数， 所以由复合函数的单调性可知函数在上是增函数． 故选：． 15．（2023秋•昌平区期末）设函数的定义域为，则“，”是“为减函数”的　　 A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：根据题意，函数， 在上满足， 当不是增函数， 反之，若为减函数，必有， 故“，”是“为减函数”的必要而不充分条件． 故选：． 地 城 考点04 函数的最值 16．（2023秋•丰台区期末）已知函数，当，时，记函数的最大值为（a），则（a）的最小值为　　 A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【解答】解：由题意可知，，当，是偶函数， 当，时，， 根据偶函数的性质可知，在，上的最大值为，（2），（1），其中之一， 则，（a）， 则（a）， （a）的最小值为． 故选：． 17．（2024秋•海淀区期末）已知函数，存在最小值，则的取值范围是 　　． 【解答】解：当时，显然不存在最小值； 当时，， 当时，， 则此时存在最小值为，符合题意； 当时，要使函数存在最小值，只需即可， 解得； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 地 城 考点05 函数的奇偶性 18．（2023秋•通州区期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：为奇函数，不符合题意； 为非奇非偶函数，不符合题意； 为偶函数，当时，单调递减，符合题意； 在区间上不单调，不符合题意． 故选：． 19．（2024秋•通州区期末）已知函数，则　　 A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【解答】解：的定义域为，且， 是偶函数，且，则时，，，， 在上是增函数． 故选：． 20．（2024秋•丰台区期末）下列函数中，满足“，”的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，函数定义域为，且，函数为偶函数， 所以不存在，使得，故不满足； 对于，函数定义域为，且，函数为偶函数， 所以不存在，使得，故不满足； 对于，函数定义域为，且，函数为奇函数， 如（2），即（2） 所以，，故满足； 对于，函数定义域为，且，函数为偶函数， 所以不存在，使得，故不满足． 故选：． 21．（2024秋•东城区期末）下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，为偶函数，不符合题意； ，，是奇函数，且为增函数，符合题意； ，为非奇非偶函数，不符合题意； ，， 则， 即为奇函数，但在定义域上不单调，错误． 故选：． 22．（2023秋•石景山区期末）已知函数，则　　 A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【解答】解：由，可得的定义域为，关于坐标原点对称， 又， 故该函数为奇函数，故错误， 又， 令，则， 当时，随增大而增减小，且， 故随增大而增减小， 当时，随增大而减小，但， 故随增大而增大， 又在定义域内单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 故正确，错误． 故选：． 23．（2023秋•房山区期末）已知函数满足，且在，上单调递减，对于实数，，则“”是“（a）（b）”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：根据题意，函数满足，则为偶函数， 若，则有，而在，上单调递减，则， 又由为偶函数，则有（a）（b）， 反之，若（a）（b），为偶函数，则有， 又由在，上单调递减，则有，变形可得， 故“”是“（a）（b）”的充要条件． 故选：． 地 城 考点06 函数恒成立问题 24．（2024秋•北京校级期末）已知函数若，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：作出函数的图象如图： 当时，不等式成立． 当时，， ， 当时，在时，不满足不等式，此时不成立． 当时，当直线，与相切时， 由， 即， 由△得，即． 要使不等式成立， 则． 综上． 故选：． 地 城 考点07 指数的实际应用 25．（2024秋•昌平区期末）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为．当生物体死亡后，碳14会发生衰变．且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数．已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的，现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为．由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是　　 （参考数据：， A． B． C． D． 【解答】解：由，且，， 所以， 解得（年． 故选：． 26．（2023秋•朝阳区期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中，，，，．当不变，与均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是　　 A．存在和，使得不变 B．存在和，使得变为原来的2倍 C．若，则最多可变为原来的2倍 D．若，则最多可变为原来的2倍 【解答】解：因为，当不变，与均变为原来的2倍时， 所以， 对于，若和，则，则，故错误； 对于，若和，则，则，故错误； 对于，若，则有基本不等式，当且仅当时取等号，所以应该是最少为原来的2倍，故错误； 对于，由基本不等式可得，故正确． 故选：． 27．（2023秋•房山区期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的　　参考数据：． A． B． C． D． 【解答】解：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉， 所以，即，所以， 再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为， 所以废气中污染物的残留量约为原污染物的． 故选：． 28．（2024秋•西城区期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：可表示为，其中为起始光功率（单位：，为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：．已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半．若当距离由变到时，光功率由变到，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：， 即，① 又，， 则， 即，② 联立①②可得：， 即． 故选：． 地 城 考点08 对数的实际应用 29．（2024秋•东城区期末）近年来，人工智能快速发展，算法是人工智能的核心技术之一．现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（本题取　　 A．1秒 B．10秒 C．20秒 D．50秒 【解答】解：设生成文案所需时间为秒， 则，两边同时取常用对数可得，解得． 故选：． 30．（2024秋•石景山区期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是　　 A．20小时 B．22小时 C．24小时 D．26小时 【解答】解：已知食品在的保鲜时间是194小时， 将，代入函数，即， 故，已知在的保鲜时间是50小时，故， 即，且， 所以，则， 对两边同时取自然对数，可得，即， 当时，代入函数，即，． 又，所以， 则（小时）． 故选：． 31．（2024秋•丰台区期末）溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：．室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：．室温下，某溶液的值为1，若加水稀释后，该溶液的值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为　　 A． B．2 C． D．10 【解答】解：由题意可得，当溶液的值为1时，氢离子浓度为，氧离子的浓度为， 当溶液的值为2时，氢离子浓度为，氧离子的浓度为， 则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的10倍． 故选：． 地 城 考点09 函数的零点 32．（2023秋•朝阳区期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：函数的定义域为， 在区间内有且仅有一个零点， 方程在区间内有且仅有一个实根， 即在区间内有且仅有一个实根， 即在区间内有且仅有一个实根， 与在区间内有且仅有一个交点， 作出图形如下： 则，， “”是“在区间内有且仅有一个零点”的充分而不必要条件． 故选：． 33．（2023秋•海淀区期末）若关于的方程有实数解，则的值可以为　　 A．10 B． C．2 D． 【解答】解：关于的方程有实数解，等价于函数与图象有交点， 函数与互为反函数，图象关于直线对称， 当时，函数与图象有交点， 当时，函数与图象可能有0个或1个或2个交点， 先求解与相切的情况， 根据反函数的对称性，该切点一定在上，且导数值为1， 假设切点横坐标为， 则， 由可得， ， ， ， ， ， 当时，没有交点；当时，有一个交点；当时，有两个交点， 观察4个选项可知，的值可以为． 故选：． 34．（2024秋•朝阳区期末）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【解答】解：因为当时，， ， 易知在上单调递增， 且（1）， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为（1）， 所以函数在上只一个零点， 又因为函数有两个零点， 所以当时，函数也只有一个零点， 即只有一个解， 所以在，上只有一个解， 又因为在，上单调递增， 所以， 所以． 故选：． 35．（2024秋•东城区期末）已知，．用，表示，中的最大值，设，．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为， 当时，，，， 所以在区间上无零点； 当时，， 所以若在区间内存在零点， 则， 当时，（1）， 若（1），即， 则（1）（1）， 所以在区间内有两个零点， 此时（1），与（1）矛盾； 若（1），即或时， （1）， 所以在区间内有一个零点， 又因为△，有两个零点， 当（1）时，或，或， 此时的另一个零点为或3，均不在区间内， 当（1）时，必须且只需（2）即可，如图所示： 即， 即，解得， 综上实数的取值范围为． 故选：． 36．（2024秋•丰台区期末）已知函数，，，，，，，则（3）（5） 　　；方程的所有实数解的和为 　　． 【解答】解：， （3），（5）． （3）（5）； ，，与，，，的图像都关于点中心对称， 方程的所有解关于对称，设方程的解为，，，， 则． 故答案为：0；16． 37．（2024秋•石景山区期末）已知函数，若，则 　3　；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：因为，所以， 所以，所以（2）， 若，则， 如图， 当时，有且只有一个根，故舍去， 若，， 时，，对称轴为直线， 时，， 如图， 要使对任意的正数，方程恰有两个不等的实数根，即与直线恰有两个交点， 则，所以无解， 若，时，， 如图， （a），要满足题意则，因为，所以， 综上：． 故答案为：3；． 38．（2024秋•房山区期末）已知函数，，给出下列四个结论： ①当时，方程有且只有一个实数根； ②当时，对任意，或； ③当时，对任意，； ④存在，对任意，． 其中正确结论的序号是 　　． 【解答】解：对于①，当时，， 画出函数和的图象，如图所示： 由与图象可知，方程有且只有一个实数根，故①正确； 对于②，当时，，当时，， 当时，函数为开口向下的二次函数， 令函数的两个零点分别为，， 所以当时，，故②正确； 对于③，当时，为开口向上的二次函数，，， 所以对任意，，， 所以，故③正确； 对于④，当时，当时，，此时； 当时，， 当时，； 当时，， 即， 所以不存在，对任意，，故④错误． 故答案为：①②③． 地 城 考点10 分段函数的应用 39．（2023秋•通州区期末）已知函数，实数，，满足．若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为　　 A． B． C．4 D．6 【解答】解：因为对任意的，总有不等式成立， 即对任意，恒成立， 即的图象在直线的下方（包括交点）， 作出图象，如图所示： 当时，， 令，解得；令，解得． 当时，令，解得． 所以的图象与直线的交点为，， 所以，又， 所以． 故选：． 40．（2024秋•东城区校级期末）已知函数，．设，若存在，使得（a）（b），则实数的取值范围是　　 A．， B．，， C．， D．， 【解答】解：由题意可得当时，， 当，时，， 所以函数的值域为，， 因为对，存在，使得（a）（b）， 所以（b）（a）， 所以，即， 解得， 即实数的取值范围是，． 故选：． 41．（2023秋•东城区期末）设函数 ①若，则的最小值为 　　； ②若有最小值，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：①当时，， 当时，在上单调递增，所以，， 当时，易知在，上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为； ②因为， 若， 当，在上单调递增，则，， 当，在，上单调递减，在上单调递增，所以， 因为有最小值，则， 若， 当，在上单调递增，则，， 当，在，单调递增，则（a），故无最小值， 综上，若有最小值，则实数的取值范围是，． 42．（2023秋•朝阳区期末）设函数当时，的最大值为 　　；若无最大值，则实数的一个取值为 　　． 【解答】解：①当时，由题意可知在，上的最大值为， 又在，时，单调递增， 在，上的最大值为（3）， 综合得的最大值为4； ②由①知在，上的最大值为， 在，时，的对称轴为，在单调递增，在单调递减， 要使无最大值，则，． 故答案为：4；3（答案不唯一）． 43．（2023秋•昌平区期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 　　． 【解答】解：根据题意，假设函数在定义域上是单调函数， 则有，即，解可得：， 反之，若函数在定义域上不是单调函数，必有， 即的取值范围为， 故的值可以为0． 故答案为：0（答案不唯一）． 44．（2024秋•昌平区期末）已知函数若无最大值，则实数的一个取值为 　　；若存在最大值，则的取值范围是 　　． 【解答】解：当时，， 此时函数在处取最大值，为； 当时， 函数在上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减， 此时函数没有最大值； 当时，函数在上单调递增， （a）， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 此时函数在处取最大值，为； 当时， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 此时函数在处取最大值，为； 当时， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 当，即， 又， 所以当时，函数有最大值， 综上，当函数没有最大值时，或； 当函数有最大值时，． 故答案为：（不唯一）；，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $