各位老师同学大家好，我是来自重庆市江北巴川量子学校的江彦达老师。今天我要给大家讲解的是2023年的全国新高考。二卷的第22题，这是本题的一个基本的题干。第一问是一个证明不等式的问题。第二问是已知极大值点，让我们反求参数的范围。本题的试题目标为，我们希望能够考察大家利用导数去证明不等式，以及已知起始点求参数范围和与三角函数相关的导数问题。其思想方法涉及到了下列的四个思想，对大家的能力要求主要是在抽象概括和推理论证上。本题的试题来源，第一问是来源于新教材选择性必修二第97页的第一道练习题。本题的第二问就与2018年全国三卷的第二问，若X等于零是FX的极大值点，反求参数非常的类似，建议同学们积累不等式列3X小于X小于tangent x能证明这个不等式链，并且能应用它进行一些简单的放松。这是第一问的详细过程，因为题目相对比较简单，我这就不细说了。这是本题的一个思维导图，我们接着来用每一个解法来详细的看一下。首先是第一个解法，我们知道这个函数它本身的解析式在这里，这就是一个陌生的超越函数。一般情况下，我们拿到一个这样陌生的函数，我们应该是先看一下它的这样的几个点，也就是定义域、奇偶性、对称性，还有单调性。容易知道定义域是-1到1上，并且是一个偶函数。且它的单调性是题目告诉我们的，它X等于零是一个极大值点，所以它应该在X等于零的附近，应该先增后减。所以由此我们可以得到这个陌生函数的一些基本信息。这里的关键是它的定义域和奇偶性可以告诉我们一个信息，就是我们其实只需要研究在0到1上的这个部分即可。因为它是个偶函数，所以如果在0到1上它是单调递减的那我就可以说明这个函数它就应该是在X等于零时取得极大值。首先我们知道是这个函数的极大值点为X为零，所以它应该在X等于零处先增后减。那么FX又是一个偶函数，所以FX应该在一个零到德ta上一个很小的区间上，应该该导函数小于0。那么关键就是这个得塔是多少。为了找到了这个区间，我们可以先进行一个简化，使函数易于分析。先令B等于A的绝对值。这样的好处是因为cosine AX它本身是个偶函数，所以它就等于cosine a的绝对值X这其实并没有改变我这个函数具体的值，但是确实是可以简化一些运算。因为这样我不需要去讨论A是负的时候的情况了，我就可以相对的简化一下。我们会发现这样的话，FX和F导X其实它也没有改变，只是参数变化了。对这个导函数进行一个特别的分析，我发现我们可以尝试的去带一些特殊值径来看一看到底是不是在0到1上都成立。比如我代B等于一，X等于2分之1，相对好算一些。我发现代入的这个值显然比零大。那么也就说明其实B并不是说它就一定都满足，我们需要找到这样一个满足的B才可以。所以一个合适的范围就非常的重要。那么我们就接着再对这个导函数进行一个研究。为了找到这个B的范围，可以先考虑限制一下它。比如说我们可以先取BX也就是cosine里面的这个范围在0到1之间。这样的话我们就可以利用第一问的这个结论，这里给到大家sine x它是X在0到1上的那我们可以用这个结论对cosine x进行一个放缩，也就是说导函数的这个sine x我们就可以放缩了。此外我们还需要满足X在0到1上，因为这样的话它才能够在定义域内成立。所以这两者都满足，我们就取它的公共部分，也就是一和B分之一中较小的那个值。因为范围始终取到一个更小的值的话，我才可以把这个范围框定的更小。这样才能够更容易的找到这样的一个证明的范围。所以我们令M为一和B分之一的一个最小的值，这样的话我们就可以把这个范围限制在零到M上。这样我们就可以考虑用第一问的结论进行一个放缩。F到X的值在这里，我们直接用第一问的结论放缩，先把它向小的方向放缩。放缩以后我们可以观察一下这个参数B它到底能够去什么样的范围，才能够使得F导X大于0或FX到X小于零的恒成立。这样我们找到这个临界条件，我们就可以把这个范围给它先找到，进而去证明。所以发现当B的平方小于等于2的时候，F到X是恒大于零的。因为我们化简以后，它这个2减B的平方这一项，如果它比零大，如果它大于等于0，那么这个导函数就恒大于等于0。所以我们可以找到这个分界点，其实就是B方等于2的时候，是一个非常关键的一个讨论的点。所以这个时候我们以B方等于二作为一个分界来进一步的研究。那么B方小于等于2的时候，也就是说我们刚才推出来的这个F到X是大于零恒成立的。那么它就不可能在0到1个很小区间内是单调递减的，那么肯定不成立。如果B方大于2的时候，这个时候我发现如果我想要证明它小于零恒成立，我们就可以考虑用第一问的这个结论进行一个放大。因为如果我能够证明放大以后的函数仍然小于0，那么我就可以说明它肯定满足T1。那么我们就对这个函数进行放大之后再进行因式分解，就可以得到这样的一个导函数。此时X的范围一定是在零到B分之1，是这个范围内的。因为B分之一此时肯定要比一要小，所以我们就可以把它给扩的更小一点。所以此时只需要说明存在一个很小的区间，包含在0到B分之一之内，使得HX这个函数，也就是括号里面的这个部分小于零即可。那么如我们可以带着这个B分之一的值进去验证一下，HB分之一等于2，大于零说明HX小于0。在这个区间上其实不是恒成立的，我们还是要再找一个比B分之一更小的区间才可以。所以这是一个非常重要的一个问题，我们还得再去寻找一个区间，所以我们此时是要再来找一个小区间了，那么对这个HX再求一次导数。因为我们不太清楚这个函数的具体的情况，所以对它求导之后发现这个导函数是一个二次函数。所以我们分析可以得到二次函数大于0，这个导函数大于0，在零到B分之一上恒成立说明它是单调递增的。而单增的话，我们带H0和HB分之一进去，发现一定会存在这样的一个零点。在零到B分之一上使得HN等于0。那么又因为它单调递增，也就是说它一定能够找到一个很小的区间，0到N使得存在这样一个区间，使得F到X小于零是恒成立的。我们就可以证明此时这个时候B方大于2，也就是B大于根号2的时候，此时得到的这个A的范围是满足题意的，所以我们就证明完毕了，这是第一问的一个详细的过程，大家可以简单的看一下，其实主要的思路就在我上面讲的这个里面了。第二个方案的话，我们还是从极大值点为X等于零上来研究。他肯定要在X等于零附近先增后减，需要一阶导在X等于零附近由正变到负。也就是说一阶导应该是一个单调底线的这样一个情况。所以如果它要单调递减，那我们肯定就要涉及到二阶导。二阶导在零的附近这个很小范围内要小于等于零恒成立，才有可能让一阶导单调递减。所以我们对函数求二阶导之后，发现二阶导是一个偶函数，并且经过分析它在零到德耳塔上应该单调递增。那么二阶导在零到dota上一个很小范围内要单增的话，那么需要它在零处应该要小于00才可以。因为这个时候它才可以跨越政府，也就得到了二阶导0。小于零的时候，也就是A方大于20是可以满足的那我们就猜想了A方大于二就是所求的范围，但是我们需要在严格的证明一下，所以两个思路，首先先证明A方大于二是成立的，那么当A方大于二时，二阶导零是比0小的，说明肯定能够存在这样一个德耳塔，使得二阶导X是小于等于零的。这个范围是一个在一个很小范围内是肯定能成立的，只是你不知道是多少，那么F到X在此处就应该单调递减。又因为F到零刚好为零，显然FX就应该是它的一个极大值点了。也就是说我们验证了两件事，一个是二阶导在此处小于0，也就是说一阶导在这里应该单调递减，然后一阶到零又正好为零，我们正好能说明FX是它的一个极大值点。第二是证明A方小于等于二是不满足的。怎么处理？其实跟刚才类似，我们取这样一个X在零到A的绝对值分之一这样一个很小的区间内，再用第一问的结论进行放缩。放缩之后我们发现把它进行缩小以后是导函数恒大于等于0，所以是不满足题意的，我们就能够证明它是错误的了，这就是第二个方案。显然第二个方案整体的话要简洁一些，但是需要我们用二阶导来去分析一下这个函数它的一个走势，才可以得出这样一个结论。好，这是第二个解法的一个基本过程。好，第三个解法我们还是由X等于零是极大值点入手来进行一个分析。其实在刚才这里，我们分析的是二阶导零。二阶导零如果说它这个函数他要能够在零处取得极大值点，并且F到零刚好为零。那么也就是说二阶导零为零应该是函数凹凸性变化的一个临界条件。所以我们可以找到它的这个临界时的A方等于2，就是应该是它的一个分界点，所以我们用此来进行讨论。当然这个时候就是A方大于2、等于二和小于2，我们都需要进行一个讨论，证明这就是一个详细的过程。其实总的来说也是跟刚才类似，我们也是要找到这样的一个区间，对函数进行求二阶导，找到二阶导的范围，然后再依次讨论即可。方案和上面类似，这里就不做过多阐述。大家可以看一下过程是A方等于20的证明。好，第四个解法，因为这个函数本身是一个超越函数，分析极大值是比较困难的。所以我们可以尝试的去引入高等数学的方法，把它转化成一个高次函数。比如说利用泰勒展开，泰勒展开就是一个很经典的把一个超越函数转化成高斯函数的一个方案，把它进行化。这样的一个化开展开之后，我们发现在X等于零的附近，影响函数极值的最重要因素是二次项系数。因为这个时候二次项系数它的前面的这一个部分，如果它小于零的话，那它整体的这个开口就应该往下走，大于零的话就应该往上走。因为零处应该是取得极大值，所以我们分析应该得到二次项系数，此时应该取得的是一个小于0，所以能够把A方大于二这样一个结果给它解出来。但需要注意的是，这个方案它只能够分析得到一个证明的方向，它不能够用在大题里面。所以我们可能可以用高等数学的方案去先得到一个答案，再去证明这是解法四的详细过程。需要提醒大家的是，这个方案不能直接写在试卷上，我们可以分析得到A的范围之后，再像前三个方法一样来进行一个简单的证明。好，下面是两个试题拓展。首先这道题目它与2018年的全国三卷是高度类似的。所以这里我也拿这张题这张试卷的最后一道压轴题给大家看一下。好，那么本道题大概也是有三个解法方案和上面的方案是类似的。这里给大家简单的看一下，第一个方案还是基本的方案，用A大于等于0和A小于零来分类进行讨论。一个是进行放缩，放缩之后来证明它与原题矛盾。另外一个方案就是设这个新的函数HX它等于FX去除以这样的这整个前面的参数，为什么要除以它呢？也主要是为了能够让这个对数它单独读出来，因为读出来的话，它求导会相对比较容易。那么这个整个函数在它就会可以化简的会比较简单一些，能够方便我们求导分析。接下来的分析方案，就和之前的是类似的了，也是求导之后，找到这个6A加一的这样的一个单独的这一项，然后对它进行讨论分析大于零和小于零时即可。最后分情况。进行讨论，发现只有当A等于-6分之1时是满足题意的，那么本题就可以结束了。接下来的这个解法和2023年，今年这个二卷的题目也是类似的，去进行多次求导之后，一阶导零等于0，二阶导零等于0。那么三阶导零也等于零的时候，得到这个A等于-6分之1。这个位置其实就可以作为一个分界点去进行分析讨论，可以更快的帮助我们得到答案。这里我就简单的给大家展示一下，证明A等于-6分之1时是极大值点成立。那么也是对它进行三阶导之后进行分析，发现二阶导它在-1到0上单增，在零到正琼大上单减，那么就可以得到2阶导X是小于等于二阶导零的。那么进来就可以逐渐的逐层的去讨论分析得到FFX它的极大值点是X等于0。第三个解法和上面那道题的最后一个解法一致，它是用了泰勒展开把函数进行展开之后，展开成一个高次函数。我们可以看到这个函数它主要的变化也是依赖于它的三次项系数，也就是这个次数最低的这一项它的这个系数。所以我们可以得到一个简单的估计，如果想要在X等于0处取最大值，就需要它的这个三次项系数为零才可以。不然的话三四项系数占主导，它其实就找不到一个极大值。需要让此时为零之后，让四项系数来占一个主导，才有可能取到最大值。所以这个时候我们就也是利用了高等数学的这个方案去找到它的一个值，然后再去证明。好，第二个拓展的试题是2021年乙卷的这样一个一道题。这个题目相对比较简单，给大家简单看一下这个解法即可。第一个方案就是去大概的去画出图像分析。第二个方案就是对函数求二阶导，由于X等于A是极大值点，那么二阶导在此处就应该小于0。因为分析时发现它的一阶导需要单调递减，那么我们的二阶导就应该在此处正好小于零的话，就可以取到其他直接。这也与今年2023年的这个二卷的这个解法也非常的类似，所以供大家参考。我个人认为本题的这个试题价值还是非常高的。因为课标中对导数在的函数中的研究中的这个要求，给的是要借助函数图像了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。那这道题其实就深入贯彻了课标的要求，它对知识点的充分条件进行了一部分的考察。它需要我们先去求一下这个二阶导，然后对二阶导进行分析，进而分析出一阶导它的走势，然后再根据这个走势来判断一下它是极大值点还是极小值点。所以多次求导其实也是现在多次求导分析也是对我们现在这个新高考下的一个更加高的一个要求。此部分其实新教材设计内容没有那么多，而且解答此类问题有时候还是可能需要一些高等数学的知识。比如说多次求导，还有比如说有时候可能要用泰勒展开式去把它化成高斯函数，来分析一下这个函数它本身的单调性的这样一个变化。这也提醒了我们在以后教学里面，可能也要渗透到一些的高等数学的思想。来利用这些思想帮助大家去解决题目中的一些必要的一些参数范围的问题。再用高中数学的基本方法去证明这个范围的重要性。就像我们这刚才去解决的这四个方案里面，其实我们有几个方案，它是只能够先大概的看出来范围。但是主要的证明也是要用到我们高中数学的基本方法。这也对我们以后的数学抽象和逻辑推理这样的一个核心素养提出了更高的要求。好，谢谢各位的观看，欢迎批评指正，感谢大家。