大家好，我叫韩旭，来自于云南省玉溪第一中学。今天我要讲解的题目是2023年新高考数学第22题导数压轴题。很开心能给大家讲解这个题。接下来我们一起来分析一下这个题目。这个题目他考察了三角函数和导数结合的压轴题。三角函数和导数的交换问题是近年来高考的重点考察趋势，需要同学们重点关注。接下来我们一起来分析一下这个题目。这个题目第一问证明当X大于零小于一时，sine x大于X减X方小于X联系所约之时要证明不等式。我们最常用的方法那就是构造函数。通过做差我们可以得到两个函数，一个是GX等于sine x加X方减X一个是HX等于sine x减X然后我们求导，利用导数判断函数单调性即可。该题比较简单，源于课本。在课本选择性必修第二册P97页练习第一题就证明了这个sine x小于X的不等式，中规中矩，题目相对简单，增强答题信心，我们不做过多赘述。接下来我们一起来看第二问，已知函数FX等于cos AX请问一减X方若X等于零是FX的极大值点，求A的取值范围。这个题目它是已知极大函数点，求参数范围。这类题目的关键是要紧紧抓住极大值点的概念来做，综合性较强。首先我们来看一下，既然抓住这道题的概念，我们先从单调性来分析一下。看解法一单调性分析。首先我们令一减X3大于0，算出我们的定义为-1到1。然后我们先讨论最难的情况，因为cos AX最简单的情况，那就是A等于零时，此时FX等于负，ln 1减X次方。让我们通过复合函数的同增异减可以得出FX在-1到0上单调递减，在0到1上单调递增，故X等于0。此时是FX的极小值力，不合题意。但这里的单调性的判断方法，同学们也可以通过对FX进行求导来判断。一致的方法是一致的，所以A不等于0。那当A不等于0的时候，我们又应该怎么来进行讨论呢？那么观察还函数FX它等于cosine AX减ln 1减X方，其中cosine AX是偶函数，ln 1减X方也是偶函数。所以FX等于偶函数，就偶函数仍然是一个偶函数。因此为了减少我们的讨论，所以我们令B等于A绝对值大于0，然后我们验证FX为偶函数。接下来有提议对它进行求导，再来观察我们这个FX1撇等于负B倍，sine BX减XX3减1分之2，XX属于负一的一。这个导函数当中它有三角函数，也有基本数的函数。如果直接来进行计算不好做，那怎么办呢？我们很自然的想到要将这个问题复杂问题并简单，那怎么办？将三种函数化为基本初等函数怎么化解呢？我们知道在第一问当中，我们已经学过当X属于01时，sine x大于X减X方小于X所以据此我们可以得到，当BX属于01时，sine BX小于BX大于BX减BX的平方。这样我们就可以放缩得到这一个式子。放缩后我们发现一减X方它是大于零的，X大于0B方X方也是大于零的，我们要保证导函数的正负，我们只需要2减B方大于等于0，则FX撇就大于零了。2减B方大于等于0，解得B方小于等于二大于0，这个时候可以得到FXP它是恒大于零的那这里我们取M等于B分之一和一的最小值，为什么我们要取M这个值呢？因为我们要保证BX属于0到1恒成立。那此时我们B方大于0小于等于二了，我们得到了FX1撇，它是大于零的，说知道FX在零到M上单调递增，结合偶函数的对称性可知，FX在负M到0上单调递减，在零到M上单调递增，所以X等于零是FX的极小值点，不合题意。刚才我们讨论了B方大于0小于等于2。接下来我们讨论B方大于的时候，当B方大于2的时候，此时一样的道理，我们还是通过放缩得到这样一个式子。在这个式子中我们知道一减X3分之X是恒大于零的小括号，这一串式子的正负无法确定，那怎么办呢？接下来我们就构造HX等于这一串，对HS进行求导，我们可以判断HS的单调性，它在零度B分之一上单调递增，又因为H0小于0，HB分之一大于0，所以在0到B分之一内存在唯一的零点N属于0到B分之1。当X属于0到N时，则HX小于0，HX小于0，则FX1撇也小于0，即FX在零到N上单调递减。结合偶函数的特性值，FX在-00上单调递增，所以X等于零是FX的极大值点，它符合题意。综上所述，B方大于2，即A方大于2，它成立，解得A大于根2或A小于负根二，故A的取值方法也为负无穷到负根，二柄上根二到正无穷就完了。我们来总结一下方法一，单调性分析，它换元放缩，简化计算，找出讨论的标准分析求导，利用函数的单调性求解就可以了。关键是如何找出讨论的标准，这是它的难点。接下来我们看第二个方法，即置顶的第二终端条件。什么是几次点的第二平分条件呢？原理，若FX02阶导小于0，则X等于X0是Y等于FX极大值点。若FX0的2阶导大于0，则X等于X0是Y等于FX的极小值点。因此我们要求A的取值范围，是不是要求F0的二阶导小于零就可以求出A的范围就可以了。好，下来接一样道理，我们对FX撇求导，这个时候我们发现FX撇是奇函数。我们讨论FX撇的奇偶性和讨论函数FX的奇偶性方法实际上是一样的，大家也不用纠结。那么求二阶导，我们判断出F0两撇等于负A3分之2。根据极值点的第二充分条件，F0两撇小于零时，我们解得A属于负无穷到负根二比上根二对正无穷，此时得到X等于0，是Y等于FX的极大值点。当A属于负根二度根二时，F0两撇大于0，则X等于零是Y等于FX的极小值点，它不满足T为什么我们已得出来A属于负无穷度，负根二柄上根二等无穷，又时还要讨论后面的情况呢？因为前面是我们的必要性，我们还要讨论它的充分性，所以还要把A属于负根二逗根2和A等于正负根二都讨论了。我们的分类讨论要注重不重不漏。那么当A等于正负根号时，此时X属于0到2分之根号时，有个放缩式子，sine根号X小于根号X所以范数得到FX撇大于0。此时我们知道FX在0到2分之根号三是大于零的，又因为FXB为奇函数，所以当X属于负二分之根2到0时，FXB小于0。根据极小这个极值点的定义，所以X等于零是Y等于FX的极小值点，不满足题设条件。综上可知，实数A的取值范围是负无穷到负根。二秉善根，二斗正无穷。我们来总结一下方法2。方法二它直接由FX0两撇小于零求出A的取值范围，先证必要性，再证充分性即可。这个方法他讨论的标准是容易确定的，很简单很快捷。但是这两种方法，方法一它是很难讨论标准。方法二的话这标准来的太容易的，同学可能不敢直接用，那怎么办呢？我们可以将两个方法合并一下，得到方法3。方法三极致的。第二成分调整的目的是确定讨论的标准。怎么确定呢？现在我们看一下，好一按道理我们对FX进行求导，判断FX点的奇偶性。让我们先讨论最简单的情况，A等于0的时候，这个时候我们对FXV直接求导判断单调性。它在-1到1上单调递增，此时X等于0，不是Y等于FX的极值点，所以它不满足题意。那么接下来怎么讨论呢？根据极置顶的这个第二充分条件，因为X等于零是FX的极大值点，我们通过算出来知道A是小于负根2或A大于根2，所以我们就要讨论A小于负根2或A大于根2，讨论要不重不漏，所以还要讨论A属于负根22到根二的B区间。那此时我们因为A分为小于0和A大于零了，所以我们放缩的时候不妨分A大于0和A小于零两种情况来放缩。得到这样一个范数式子，有第一个条件值。再来看母亲讨论A属于根二都正无穷时，就A倍sine AX大于A方X减A的立方X的平方。所以范索得到这个式子画横线，这一串的正负无法确定，因为X大已经确定了，画横线出来式子符号无法确定，怎么办呢？一样的道理，构造函数令大FX等于它，然后求导判断FX在零的M上单调递增，从而因为F0小于0，存在T1大于0，使得当X属于0到T1时，大FX小于0，所以FX撇也小于0。又因为FS撇是奇函数，所以在负T1逗0上FX撇大于0。因此FX在负T1到0上单调递增，零痘T1上单调递减，此时X等于零是函数Y等于FX的极大值点。当A属于负无穷到负根号时，同样的道理也可以得到，X等于零是函数Y等于FX的极大值点。那么当A属于负根二对五根二时，我们通过放缩注意这一步。放缩的是我们一共放缩了三次。第一次是负AB等于X大于A方X第二步是负A方大于等于-2，因为A属于负根二都根二，所以负A方是大于等于负二的。第三步是一减X3分之2大于2，反缩了三次得到了FXP在零到M3大于0，又因为Y等于FX撇为奇函数，所以当X属于负M等于零时，FX约小于0，故X等于零是Y等于FX的极小值点，不满足题设条件。综上可知，实数A的取值范围是负无穷到负根二丙三根二到正无穷。我们方法三的话，注意我们集致鼎价值的条件是为了快速确定讨论的标准，然后放缩简化计算，充分利用极大值点的概念就可以判断出来了也相对比较容易一些。接下来看方法是微元法，熟悉验证道理，求定义域求导。接下来我们设微云德耳塔X德耳塔X大于0。注意微云德耳塔X想要大于零的话，我们它是指的是无穷小的一个正数。由X等于零是函数FX的极大值点之当X属于0逗0加德耳塔X时，F0加德耳塔X1撇小于0。当X属于0减德塔X逗号零时，F0减德塔X1撇大于0。接下来我们讨论第一种情况，当X属于0到0加德塔X时，F0加德塔X1撇小于0。我们通过化简上面这个式子得到A倍sine，a倍德塔X大于一，减得塔X方分之二倍的塔X再来讨论A显然当A等于零的时候，这个不等式的左边是为零，右边是一个正数。它若不等式不成立，当A大于零时，我们两边同时乘以A倍data x分之一得到这个式子。又有洛必达法则之。当德塔X趋于零时，它的极性等于A倍，德塔X比上A倍德耳塔X等于1。故当德尔塔X趋于零时，A大于A分之2，解得A大于根号。同样的道理，当A小于零时，有A小于A分之2，解得A小于负根二，故A小于负根2或A大于根2。第二种情况，当X属于0，减德耳塔X得零时，同样的道理我们也可以解得A小于负根2或A大于根2。故综上所述，A的取值范围为负穷度负根二秉善根，二都正无穷。某方法四的话，关键是由极大值点的概念可以得到我们这一个小结论，通过小结论分离参数数，一步步就可以求解出来了。接下来我们看方法五泰勒展开式。同学可能很疑惑，这个题也可以用泰勒展开式来做吗？答案是肯定的。就来看首先我们对FX由它的展开式cosine x论一加XX知道了得到了cosine AX和ln 1减X3的它的展开式代入FX中得到了函数FX的泰勒展开式。由于X等于零为极大值点，且F0等于1，所以存在X属于负德尔塔都德耳塔德耳塔大于0，使得FX小于等于F0等于1。所以我们只要一减二分之A方乘X方加上2分之1加4的阶乘分之A的4次方I4次方加上这一串小于等于零就可以了。故我们只需要X3的2次项系数一减2分之1，Y小于0，推得A小于负根2或A大于根号，故A的取值范围为负无穷到负根二。秉善根，二豆无穷。所以泰勒展开式它的方法也比较简单，关键是要熟悉泰勒展开式的原理，代入计算即可。现在我们一共讲了5种方法，对比一下五种话，我们会发放，会发现方法一题目较为难解一点，方法2345都相对容易，其中方法24和方法五都比较容易，关键是方4、方法五。它涉及到高等数学知识，同学们可能不知道，但是也该掌握还是得掌握的。我们方法一、方法2、方法23，同学们如果说时间允许的话可以采用。但是无论哪种方法，它都是紧紧的来围绕极大置顶的概念来求解的。所以就告诉我们这个概念是很重要的，同学们必须掌握。再来看一下试题溯源，实际上这题有姓名的高考背景，在2018年全国三卷的时候，已经逃过一个极大值点求参数的问题了。这个题当然教材背景也有，在我们这个256页必修一第26题有一个泰勒展开式，以及97页练习。第一题这证明不等式刚才也说过了，所以说我们一定要重视高考，也重视教材。我们结题反思，第一就是要重视教材，研究教材，大家一定要重视我们数学教材中的一些基本的概念、题型、方法和重点题目，都要深入去挖掘研究一下。第二要深入研究晚年的高考数学题。晚年的高考数学题都渗透了命题者老师的一些心血，精心研制出来的，肯定有它的价值所在，大家一定要深入研究。第三要重视高等数学知识。高等数学知识可以帮助我们从本质本云上来挖掘我们这个题目。而且如果大家考试的时候时间不允许的情况下，我们可以用高等数学快速做出来，节约时间。第四就是要学会一题多解，深度思考，才能掌握我们一个题目的本质，做到做了一道题就能收获一类题。接下来给大家提供两个并列的练习。第一题是知道极大值求A的范围。第二题是知道X等于零是极小值点，求A的取值范围。同学们下去尝试一下。好，每一个题目当中我都给了两个解法，一个解法是常规的，一个解法是不常规的。同学们下去可以练习一下。好，以上就是我对这个题目的讲解，相信同学们应该有很好的收获。如果做的说的不好的地方，请各位同学和老师批评指正，谢谢大家。