各位老师同学大家好，我是来自胶州实验中学的陈娜娜。我讲解的题目是2023年新高考二卷21题。我将从如下五个方面对本题进行解说。一原题在线，二题目分析，三第二问的8种解法探究，四背景溯源，五同类题链接。好，我们先一起来回顾一下这道题目。双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-2跟50，离心率是根5。根据条件我们得到双曲线C的焦点在X轴上，并且C等于2跟5，C比A是根5，C方等于A方加B方。联立三个方程，三个未知数求解双曲线的标准方程为四分之X方减16分之Y方等于一。第一问考查双曲线的标准方程比较简单，下面我们重点来分析记下。第二问过定点-4 0. 的一条动直线MN两条动直线MA1与NA2交于点P让我们证明P点在定直线上。第二问，以定点定值问题为载体，考察学生的几何转换和代数运算能力，考察学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。好，我们来分析一下这道题目。好，如果我们把MN取到关于X轴对称的位置，那P点对应的也关于X轴对称，那P点也在这样一条定直线上，那由双曲线的对称性我们可以得到P点所在的直线应该关于X轴对称。那如何把这条直线求出来呢？我们可以找到MN取一种特殊的位置，也就是当MN斜率不存在的时候，我们把X等于负四代入到双曲线的标准方程，得到MN两个点的坐标分别为-4 4根三，-4-4根三。那MA一的方程和NA2的方程都可求，联立两条直线可以解得的P点坐标是-1-2跟3，那说明X等于负一即为我们所求的直线。这样我们就可以把一个求解问题转化成一个证明问题，降低了题目的难度。好，这道题点多线多，入手点比较多。大体上有如下的几种思路。思路一，射线联立韦达对应成我们的通法123以及解法45。思路二，设点不联立解法67。思路三几何背景用我们的二级结论进行秒杀。好，我们先来说一下常规解法。这道题的关键点是我们要表示P点的坐标，那P点怎么来的呢？P点是直线MA1与NA2的交点，那自然而然想到我可以连立两条直线，求P点的坐标。好，我们把M点坐标设成X1Y1，N点坐标设成X2Y2，那P点的横坐标就可以建立X1Y1、X2Y2之间的关系。那通过MN和双曲线联立就可以得到X1Y1X2Y之间的某种关系。好，所以我们需要设置线MN那MN设成点斜式还是横截距式呢？通过分析我们得到MN的斜率可以不存在，但MN的斜率不能为零。那设成横截距式，也就是X等于MY减4，能够简化我们的运算。好，A一坐标是个-20，那MA一的方程就可以用X1Y1来表示，NA2的方程也可以用X2Y来表示。我们联立两条直线，然后把X一等于MY1减4，X2等于MY2减4代入就可以得到P点的横坐标是这样一个式子，但这个式子里面它是一个非对称的结构，那如何转化是我们的难点。我们来观察一下这个结构，发现它分子的第一项是个二次项，除此之外其他的项都是个一次项。我能否把第一项给它转化，使这个分式的结构一致？好，我们先。联立。看一下，联立MN和双曲线，通过韦达定理得到了Y1乘Y2和Y1加Y2。好，所以我的分子的第一项2M倍的Y1乘Y2就是三倍的Y1加2。这样我们把一个二次项转化成了一次项，从而使这个分式的结构一致。通过简单的代入就可以得到，分子和分母为相反数，它的比值是一个负一，进而P在定值直线X等于负一上。这种解法应该是我们的常规方法，甚至是我们考场上的首选方法，要重点掌握。同学们在想，我要表示P点的坐标能否找一个几何量，我不直接求出来，P点坐标就是P点的横坐标一定，那哪个几何量是确定的？来我们来看左边这个图形，A1A2是两个定点，P点在X等于负一这样一条定直线上好，我们看到了我们熟悉的一个结构，在我们教材选择性必修第一册109页练习4。两条直线的斜率之比是个定值，轨迹是条定直线。我们反过来，P点在定直线上，那PA一与PA2斜率之比是否是一个定值？我们可以通过简单的运算，我把P点坐标设成MN那KPA1比KPA2就是M减2，比上M减2，我要说明横坐标是一个定值，既要说明它俩的比值是一个定值，反值一成立。好，这样我们就。把P点横坐标的求解问题转化成了证明斜率之比是个定值的问题，体现了一个树形结合的思想。好，我们由求谁设谁，我们可以设直线PA一和PA二分别为Y等于K1X减2和Y等于K2X减2，MN和-4 03点共线。我可以用K一来表示出M点坐标，K2来表示出N点坐标到M1和双曲线联立。好，由韦达定理，当然这个里面的X1X2就是XM和XA一那两根之积，也就是-2乘X1等于4减K一方分之-4，K1方减16，进而得到X一带入到直线里面得到了Y1。同理我们可以得到N点的坐标和K2之间的关系。根据三点共线，我可以用斜率相等，但同学们用的时候要特别注意考虑MN斜率不存在的情况。所以这个题的步骤里面你需要补充一下，MN斜率不存在。好，我们。得到这样。一个等式，我需要把它化简，发现它是一个双变量问题。我需要给它一分解，分解成了这个形式。因为MN在左值，并且K1乘K2小于0，所以K1比K22是-3，也就是M等于负一，故P在定直线X等于负一上。好，这样一种。方法。我们把P点横坐标的求解问题转化成了斜率之比的证明问题。好，但是它的运算量也挺大的，也是我们的常规方法。好，它运算量大在于我们需要两次联力设了双直线，那我们能否设一条直线就可以把这个问题解决呢？好，我们接着分析。KPA1比KP2就是KMA1比上KNA2。这个比值如果我直接带坐标的话，发现非对称，那如何处理？我想把这个符号给它画成一致，需要建立NA2的斜率与NA一的斜率之间的关系。那就要想到我们的双曲线的第三定义。在我们的课本121页有这样一个探究，双曲线上任何一个点与两个顶点连线，这两条直线的斜率之积是个定值，而这个定值就是我们的A方分之B方。由此我们可以把这KA2分之1，也就是4分之1倍的KNAE，然后把坐标带入一个非常对称的形式。好了，这是我们说的第三种方法。先特殊后一般确定目标联想熟悉的斜率模型和第三定义，把非对称转化为对称。这种方法应该是这道题的最优解，需要我们对斜率模型以及第三定义非常熟悉。好了，我们再接着分析，PA2与PA一斜率之比是个定值，PA2与NA一斜率之积是个定值。那我们就可以得到了MA一与AA一斜率之积应该是一个定值。好了，出现了这个形式，发现它都是Y比上X加二的形式。好，如果我们整体代换就用到一个方法，叫其次化的方法。好，我们的目标是Y比上X加2，所以我们的直线可以设成MX加2加NY等于一。设成我们的截距式MN过点-4 0，解得M是负的2分之1。好，然后我们需要把双曲线的方程给它一整理，4X方减Y方减16等于0。我们把X加二给它凑出来，就会出现4X加2的平方减Y方减16倍的X加二等于0。里面既有二次也有一次。我们把这个一次项给它乘以一个一一的妙用，出现了4X加2的平方减Y方减16倍的X加2，后面乘的这一块是个一等于0，我们给它稍微一整理，就会出现了Y方加上16NX加2Y减4减16MX加2的平方，两边同时除以X加2的平方，就得到了Y除X加2的平方，加上16N乘以Y除X加2减4加16M等于0。我们把Y除X加二看成一个整体。那这样一个1元2次方程的两根之积正好是我的km a1乘KNAE是Y一除以X1加2乘Y2除以X2减2是个-12。再结合我们的第三定义。很容易得到P点在定直线X等于负一上，这是我们的法四其次化构造斜率的韦达定理。好，我们的法一法二、法三用的都是设直线，而我们的直线有的设成了横截距式，有的设成了典型式和截距式。但这几种设法都有局限性，那直线如何设它没有局限性呢？同学们能想到我们应该可以设成直线的参数方程。好了，这是我的法五法五和法三它的思路是一致的，只是我用了参数方程，避免了讨论，可以把运算相应的简化。好了，我们的法一到法五都是用的射线连理伟达，我们可不可以不射线设点，不连你了。好，我们有我们的定比点差法，我可以把PM设成兰姆达倍的MA1PN设成缪倍的NA2。这样MN两个点的坐标分别用MN lampl表示出来，通过三点共线建立lama和缪的关系，这样MN就可以表示成小M小N和谬的关系。代入数据线就可以得到M等于负一好。当然此解法我们要看到本题的命制背景是几点极限，而定比点差是化解点极限无法做解答题的重要手段，体现了设点重要的方法，可以作为拓展思维的一种方法，它把方程的思想体现的很彻底。还有一种方法是曲线系，它来源于我们的教材选择性必修第一册第80页16题。经过两曲线交点的曲线系是F1XY加lampe f2XY等于0。这样我们可以把PA1PA2和MN给它设出来，联立PA1PA2解得P点坐标。二次曲线PA1P2以及MNA1A2的四个焦点是MNA1A2。双曲线或者四个焦点我们可以得到如下的方程，通过对比系数。得到。观察一下我们最后需要得到的是MN之间的关系。这是我们的发七曲线系，还有发八是极点极限的背景。根据极点极限的定义可得，P对应的极限过点-4 0。由配极原则可知，P在对应的极限X等于负一上。这八种解法我们的前提都需要它由特殊到一般的一个思想，把P点横坐标的求解转化成P点横坐标是X等于负一的证明，体现了一个直观想象的素养。无论是何种方法，我们都需要分析条件与结论的联系，体现了转化化归的思想，建立表达所求变量与主动变量的关系，构造函数与方程的思想，分析与结构运算，消元与减元的代换思想。来说一下这个背景，我列了三道题，2020年全国一卷，这个题它也是非对称的，韦达定理，我们我和我们的常规解法一致。而08年安徽和2020全国一这两道高考题，它的命制的背景都是几点极限。这要求我们要关注教材和高考题，而且要深度剖析教材与高考题，注意一题多解与一题多变，多想多算。拓展性的结论要选择性记忆。例如我们的几点极限，它的定义以几何意义，还有我们的配置原则是这道题的命题背景。好，最后我给大家找了两道题，一道是10年江苏卷的18题，一道是原创题。这道原创题的命制背景也是几点极限。第一问两种方法消参和第三定义。第二问常规方法即定比点差还有秒杀。谢谢各位观看，恳请各位批评指正。