各位老师同学大家好，我是来自山东省胶州市第一中学的李静。我讲解的题目是新高考一卷第22题。该体以抛物线作为考察载体，以抛物线中与切线垂直的弦长最值为命题背景，运算结构是无关联的双变量和双绝对值形式的不等式，考察了求轨迹、方程、坐标法、不等式、放缩、消元等知识方法，蕴含了分类讨论、函数思想、数形结合、转化化归等数学思想，体现了直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养。接下来，我将对题目进行具体讲解。首先看第一问，考察了抛物线的定义，轨迹方程的求法，体现了方程思想和转化化归的思想。求轨迹方程我们可以用直接法，转化条件设P点的坐标为XY要拿出P点到X轴的距离和到02分之1的距离，建立等量关系，化简得到轨迹方程Y的X方加4分之1。方法二定义法体现了化归的思想，有提议该轨迹是由焦点在Y轴正半轴的抛物线向上平移得到的，所以我们可以设出抛物线方程X方等于2PY加T由焦点和准线的位置即可得到交准距P等于2分之1，再代入顶点坐标04分之1，即可得到T等于-4分之1，则轨迹方程可求。方法三，平移加定义体现了转化思想。将所求抛物线向下平移4分之1个单位，即可得到以04分之1为焦点，以Y等于-4分之1为准线的抛物线的标准方程Y等于X方，再将其向上平移4分之1个单位即可。下面分析第二问，第二问证明矩形ABCD的周长大于三倍的根。3、考察了用坐标法表达纤长无关联的双变量和双绝对值结构不等式的处理。要表达周长，我们有三个方面的考虑。一可以常规射线法用斜率表达嫌长。我们需要设出B点的坐标和直线BA的斜率K则直线BC的斜率为负K分之一。二设点法也是抛物线中常见的简化运算的方法，可以用点来表达。现场设出矩形的三个顶点为ABC，由垂直关系构建X1、X2、X3的等量关系，则三个变量即可消元变成两个变量。3、参数方程法所求的是弦长，不可用直线的参数方程直接表达，设出B点的坐标和直线BA的倾斜角。西塔以上三种方法表达的弦长均是无关联的双变量和双绝对值的结构。这是本题的思维导图。首先确定解题方向，有射线法、设点法和参数方程法。其中设点法又分为以点为参和以斜率为参两种方法。第二步，在每种设法下表达周长。第三步，处理双变量和双绝对值的结构。因为最终要确定周长的范围，所以目标是将其转化为一元函数的形式。第四步，一元函数最值求解。接下来我将详细展示每种阵法正法一通法，射线法以斜率为参，设出B点的坐标BA垂直于BC则直线BABC的斜率分别为K负K分之一，表达出直线AB的方程。与抛物线联立得到德耳塔等于K减2B的平方大于0，则K不等于2B当K等于2B时，直线AB为B点处的切线，此时我们可以得到弦长AB等于根下一加K方K减2B的绝对值。将K替换成负K分之一，即可得到弦长BC等于根下一加K方分之一K分之一加2B的绝对值。至此我们得到了矩形周长的表达式，可以看到周长里含有两个绝对值，K减2B的绝对值和K分之一加2B的绝对值。我们的想法是去绝对值，由图形的对称性，不妨设K大于0，B大于等于0，则K分之一加2B绝对值即可去掉。对于这个式子的思考方向，我们考虑到双变量问题，可以设置组员讨论或进行消元，而绝对值可以进行去绝对值分类讨论，或利用双绝对值函数图像的性质或者放缩加消元转化为一元函数解决。我们的目标是将绝对值去掉，将双变量变为单变量。接下来我们看具体的处理方式。处理方式一，主元法去绝对值分类讨论，可以选定形式较为简单的B为主元，K为参数进行去绝对值讨论。可以看到周长里只有K减2B1个绝对值，而且K不等于2B显然分K大于2B与K小于2B2种情况。一、当K小于2B时，取绝对值表达出的关于B的函数形式如下，可以看到B前面的系数大于0，所以该是关于B单调递增。当B等于二分之K时，LB大于L二分之K化简结果为两倍的根下K方加一括起来3次方比上K的4次方，该式是大于等于三倍的根三的后，我会对此进行详细说明。当2B大于等于0小于K时，去绝对值，结果如下。可以看到该式关于B的单调性，尤其系数根下一加K方分之一减根下一加可以帮决定。显然当B大于一时，该系数小于零还是关闭单调递减。所以LB大于L二分之K当K大于0小于等于一时，系数大于零该是关于B单调递增。所以LB大于等于L0结果如下，我们不妨设这个式子为FK通过求导得到FK是单调递减的，所以FK大于等于F1，等于四倍的根二，大于三根三，显然周长是大于三倍的根三的处理方式。2，利用双绝对值函数图像的性质。双绝对值函数图像有如下三种形式，可以看到最小值在两个分界点处取到，而周长作为B的函数，它的分界点在B等于二分之K和B等于负的2K分之一出去。所以我们只需要证明F2分之K和F负的2K分之一大于等于三倍的根三即可。化简结果如下，可以看到在化简之前，两个式子具有统一性，均可转化为两倍的根号一加T方乘以T加T分之一的形式。所以我们只需要研究这一个函数的最值即可，后文会进行详细说明。处理方式3，放缩加绝对值三角不等式消元。我们可以观察到根下一加K方和根下一加K方分之一有公因式可提。当我们提出根下一加K方分之一时，括号里的式子如下，可以看到K减2B和K分之一加2B相加即可消掉B而只有当两个绝对值系数相等时才可以利用绝对值的三角不等式进行放缩，所以我们只需要讨论K和一的大小关系，当K大于等于一时，括号里的式子大于等于K减2B的绝对值加K分之一加2B的绝对值，利用绝对值三角不等式放缩即得大于等于K加K分之一。同理，当我们提出根下一加K方时，括号里形式如下。显然当K大于零小于一时，括号里的式子放缩成大于等于K加K分之一。我们观察到放缩出的这两个式子恰是上一种处理方式中两个间断点处的函数值。在上述三种处理双绝对值的方式中，我们都转化出了同样的两种一元函数的形式。接下来分别对这两个函数的最值求法进行解答。常规方法利用导数求其最值，由式子的复杂性我们令K方等于T化简之后求导即可得到这两个式子的最值是大于等于三倍的根三的结合上文等号是取不到的。算法二利用三元均值不等式求解，我们观察一是分母是K的4次方，分子是一加K的平方。括起来3次方可以将K方拆成二分之K方。加二分之K方，则利用三元均值不等式，分子即可转化为K的4次方，从而约分形成定值。同样道理，对于二式，将一拆成2分之1加2分之1，通过三元均值不等式，分子即可化为K的平方，从而实现约分形成定值。算法3 2元基本不等式。通过刚才的分析，一二两个式子均可划归成二式的形式。我们将一加K方括材3次方展开除以K方得到式子如下，通过配方配凑可以得到平方大于等于04K方加K方分之一大于等于4，所以整个式子大于等于4分之27开根后即可得到三倍的根三。算法是三角换元由根下一加K方。我们联想到一加tangent c平方等于cosine西的平方分之一，进而可以开根。所以我们令K等于tangent西塔，将一二两个式子化简成三角形式。以一为例，sine西塔平方可以再转化成一减cosine西塔平方。所以这两个式子最终都划归成了函数T乘以1减T方的形式。也可由的平方加cosine 4的平方等于一为定值得到提示，将该式平方之后配以系数2，即得到分母三项加和为定值即可利用三元均值不等式求解证法二设点法点为参由平移的不变性，将抛物线化为Y的X方。设矩形的三个顶点为ABC且X1小于X2，小于X3则直线BA的斜率为X1加X2，直线BC的斜率为X2加X3。由斜率之积等于负一，可以建立X1、X2、X3的等量关系，将X3用XX2进行表示。同时我们不妨设X2加X3是大于等于一的，X1加X2的绝对值是小于等于一的。则周长L用点坐标表达如下，在这里X2加X3的平方可以放缩成大于等于X1加X2的平方。整理结果如下，进一步将X3进行等量代换，转换成X1X2形式表达，显然令X1加X2绝对值等于T上市，即可划归成我们之前研究的函数形式。这里取等条件有两个，一个是X1加X2的绝对值等于一，另一个是当T等于二分之根号时，该函数取得最值。显然，两个等号不能同时成立正法三设点法斜率为参。在刚才我们讨论的方法中将X1加X2用斜率KAB表示，则周长表达成根下一加KB的平方X3减X一的形式，而X3减X一也可以用斜率KBC减KBA表示，将KBC转化成负的KAB分之1，该是又化归成了我们之前所讨论的函数形式。证法四，直线的参数方程，将抛物线化为Y的X方，设出B点的坐标，直线BA的倾斜角为西塔。在这里我们不妨设西塔大于0小于二分之派，则直线BA的参数方程表达如下，这里T的几何意义即弦长AB代入抛物线方程，我们可以得到T等于tangent，t减2B比上cosine塔。将西塔替换为西塔加二分之派即可得到弦长BC我们可以看到这里有个减2B这里有个加2B所以通过变形B即可消掉，也即AB乘以cosine西塔加上BC乘以sine西塔等于tangent西塔加tangent西塔分之1g sine西塔乘以cosine 3分之1。因为我们要研究周长两倍的AB加BC所以AB和BC的系数要保持一致，即对西塔和cosine它的大小进行讨论。当cosine西塔大于sine西塔上市要小于cosine西塔乘以AB加BC所以我们可以得到AB加BC是大于sine西塔乘以cosine的平方分之一。同理当cosine西塔小于等于sine西塔上是小于等于sine西塔乘以AB加BC所以我们可以得到AB加BC大于等于4的平方乘以cosine分之一，也就是我们前文所研究的两个三角形式。当然由双绝对值函数的性质，我们也可以只研究两个转折点处的函数值。即当2B等于tangent t和2B等于负tangent 2分之1时的函数值。解题感悟，一、本题问题情境简洁，但思维内涵创新，看似是解析几何题，实际上坐标法表达的部分比较自然，难点在于如何处理双变量不等式求最值，考查函数导数的意味更浓一些。并且由于在解析几何的背景下，学生可能并没有做好使用不等式技巧方面的准备，更加考察了学生的创新思维和灵活应用的能力。2、熟练通行通法，抓住解题本质本题抓住双变量消元和去绝对值的本质，再辅以解决双变量问题的通法，即可找到行之有效的策略。在平时的解题教学中，注重通性通法的归纳总结，帮助学生尽快找到解题的通路。同时也要注重思维的提升，尝试一题多解、一题妙解、多题一解及特殊背景下的速算解法，使学生能多角度思考，优化解题方法。3、关注素养，化繁为简新高考改革背景下，更关注学生的解题素养，在搭建复习框架的过程中，留心不同板块的知识点关联及考察方式，面对考题时能拆解为不同的数学模型，化繁为简，真正做到熟练运用。接下来是试题研究，该试题溯源于1998年上海竞赛题，我们来揭示命题规律，2分之3倍的根三代表什么含义？在矩形ABCD中，BA垂直BC显然当C点远离B点时，矩形的周长是越来越大的当C点靠近B点时，矩形的形状越来越细长。此时直线BC趋向于B点处的切线，BC的斜率趋向于2B。设过B点与抛线相切的直线为L1，过B点与L一垂直的直线为L2，L2与抛物线交于另点E则此时B点处的切线斜率为二，B矩形的周长趋向于两倍的BE表达出来即为我们研究的这个一元函数形式。所以这里存在一个极限问题，即矩形越细长，它的周长就越趋向于与切线垂直的弦的长度的2倍。接下来是两道原创命题。第一道命题来源是将问题的情境一般化。第二个题是将命题背景由抛物线改为了椭圆形，并且给出了相应的练习。以上就是我对本集的分析，谢谢大家指导。