大家好，我们是河北省保定市易县第三中学的代表队。我是刘娜老师，我是王宇辉老师，我们的指导老师是王学慧老师。我们带来的题目是新高考一卷22题。我们将从试题呈现、问题解决、追本溯源、辨识练习四方面展开解说。首先我们一起回顾一下题目，题目中给到点P到X轴的距离等于点P到02分之1的距离。第一小问，求动点P的轨迹方程，考察曲线方程的求解难度较小，增强学生答题自信。第二小问，已知矩形abcd有三个点在W上，证明矩形abc d的周长大于三倍根号3。周长问题是弦长问题，大于三倍根号三考察函数最值问题。运算量大、思维量大对学生数学运算、逻辑推理、数学建模素养有较高要求。下面我们就一二小问分别展开解说。第一小问思路一，直接将题目中的几何关系转化为代数运算，得到W的方程。思路二，利用抛物线的定义直接得到W的方程，也就是两种解法，直接法和定义法。第二小问，已知矩形abcd有三个点在W上，我们不妨设abc三点在W上，证明矩形ABCD的周长大于三倍根号3，即二倍的AB加BC大于三倍根号3。本题是在常规题过曲线上一定点沿两条互相垂直的弦拓展为过曲线上移动点沿两条互相垂直的弦。那我们应该怎么办呢？其中一条线的变化会引起另外一条线的变化，一条弦确定，另外一条弦也随之确定。所以我们可以先研究其中一条弦AB弦长是由哪些量引起。通过观察动图我们可以发现AB弦长可以由B点坐标和AB倾斜角和斜率引起，也可看成由AB2点坐标引起。所以我们有思路一，点斜式，思路二，参数方程。思路三，三点坐标得到周长是关于两个变量或三个变量的函数，再借助减元思想缩小为单变量函数，利用下面4种方法求其最小值，从而证得矩形的周长大于三倍的根号3。下面我们按三种思路分别展开解说。思路一，设B点坐标和直线ab斜率，得直线AB方程与抛物线方程联立，得到周长是关于X0K的函数，再借助主元思想，以X0为主元，结合双绝对值函数、单绝对值函数即放缩法，将周长缩小为关于K的函数，求其最小值，从而证得矩形周长大于三倍根号3。下面我们按三种解法分别展开解说。解法一，借助双绝对值函数模型，先求周长的表达式，直线AB的斜率K由抛物线的对称性不妨设其大于0。人力直线与抛物线方程由韦达定理。此时需注意有矩形ABCD存在或判别式，可知K不等于二倍的X0。再由弦长公式得AB弦长，通过变量替换以负K分之一代K得到BC弦长。此时负K分之一不等于二倍的X0。我们得到周长是关于X0和K的双绝对值函数，下面再求周长的取值范围。我们可记住主源思想，以X0为主源，将双变量函数转化为单变量函数。再借助分类讨论思想去掉绝对值，以零点分段法，以二分之K和-2K分之一将其分成三段，第一段单调递增，第三段单调递减，中间一段单调性不确定，需对X0的系数K分之2减2。分类讨论，一，当系数大于零时，函数的单调性为减增增。很容易发现，当X0等于-2K分之一时，函数取得最小值FX0大于F-2K分之一，即二倍的根号下K方分之一加K方的3次方。为简化运算，我们可将根号内部看成JK下面求JK的最小值。我们可通过下面5种方法求GK的最小值，进而证明周长大于三倍根号3。方法一，可利用导数。通过求导，我们知函数先减后增有最小值，进而证得周长大于三倍根号3。方法2，为了降低运算级别，可将JK两边取对数得到hk利用导数求得HK的最小值，进而得到JK的最小值，正的周长大于三倍根号3。方法三，为了求GK的最小值，我们可将GK展开，将其中的3K方加K方分之一配凑成4K方加K方分之一K的4次方减K的平方，通过配方法配凑成K的平方减2分之1的平方，再利用完全平方和进基本不等式可得到JK大于等于4分之27，此时等号能够取到，所以可证得周长大于三倍根号3。方法4，可将一拆分成2分之1和2分之1，再利用三元基本不等式可得到JK大于等于4分之27，进而得到周长大于三倍根号3。方法五，可将K还原成tangent，得到JK等于cosine c的4次方sine c的平方分之一，求JK的最小值，即求cosine t的次方sine减3的平方的最大值，可将其配凑成和为定值，再利用三元基本不等式得到最大值，进而证明周长大于三倍根号32。当系数等于零时时，周长为定值，大于三倍根号三显然成立3，当系数小于零时，函数的单调性为减增。很容易发现当X0等于二分之K时，函数取得最小值L大于F2分之K下面在正极大于三倍根号3，我们可利用方法一，将其中的根号下一加K方换元成X得到X的函数，再利用导数求得最小值为三倍根号3，进而证得周长大于三倍根号3。方法2，可通过变量替换以负K分之一代K又回到了第一种情况，可通过同样的方法证明周长大于三倍根号3，综合上面1233种情况均可得到矩形ABCD的周长大于三倍根号三目标实现。解法二，借助单绝对值函数模型先求周长表达式，利用抛物线的对称性，不仅可以将K设为大于0，也可将X0设为大于等于0，得到周长是关于X0和K的单绝对值函数，再求周长取值范围。可借助主元思想化双变量函数为单变量函数，再利用分类讨论思想去掉绝对值符号一，当2X0大于K时，该函数单调递增，有L大于J2分之K正极大于三倍根号3，方法同上。2、当2X0小于K时，该函数单调性、不确定性，需要对X0的系数分类讨论。当系数等于零时，L是定值，大于三倍根号3，显然成立。当系数大于零时，函数单调递增，有GX0大于G0证明其大于三倍根号3。可利用基本不等式证G零大于四倍根号2，此时等号取不到。当系数小于零时，函数单调递减，GX0大于G2分之K证明其大于三倍根号3。方法同解法一，综合一二可证得矩形ABCD的周长大于三倍根号3。解法三，放缩法先求周长表达式，再借助放缩法求周长取值范围。当K的绝对值小于等于一时，可利用根号下一加K方分之一，大于等于根号下一加K方将周长表达式中的根号下一加K方分之一缩小为根号下一加K方，再将二倍的X0减K的绝对值加二倍的X0加K分之一的绝对值，利用三角不等式缩小为差的绝对值，即K加K分之一的绝对值，则周长缩小为关于K的函数。下面正题大于三倍根号三方法同解法一的第一类情况，而当K的绝对值大于一时，可利用根号下一加K方分之一小于根号下。一加K方将周长表达式中的根号下一加K方缩小为根号下一加K方分之一。再将二倍的X0减K的绝对值加二倍的X0加K分之一的绝对值，利用三角不等式缩小为K的函数正齐大于三倍根号三同解法一中的第三类情况，综上则证得矩形ABCD的周长大于三倍根号3。思路二，将抛物线向下平移4分之1个单位长度，可将抛物线的方程化为Y等于X方，简化运算，设B点坐标和直线倾斜角可得直线参数方程与抛物线方程联立得到周长是关于X0西塔的函数。借助主源思想，以X0为主源，将周长表达式缩小为关于data的函数，再利用下面两种方法求其最小值，从而证得矩形的周长大于三倍根号3。接下来看一下它的详细解答过程。直线AB的参数方程与抛物线方程联立，利用弦长公式得AB弦长，再利用变量替换，由AB垂直于BC用二分之派加西塔替换西塔得BC弦长，得到周长是关于X0西塔的双绝对值函数，再利用抛物线的对称性，设西塔大于0，小于二分之派X0大于0，将周长化为关于X零西塔的单绝对值函数，再求取值范围。借助主流思想，化双变量函数为单变量函数，再利用分类讨论思想去掉绝对值符号一。当X0大于零小于二倍的cosine西塔分之sine t时，该函数的单调性不确定，需要对X0的系数进行分类讨论。当系数大于零时，函数单调递增，有FX0大于F0，正齐大于三倍根号3，可利用基本不等式和重要不等式证明F0大于四倍根号2，注意此时不能取到等于四倍根号2，从而证得FX零大于F0大于四倍根号2，从而证得L大于三倍根号3，当系数等于零时，L是定值，大于三倍根号三显然成立。当系数小于零时，函数单调递减，有FX0大于F2倍的cosine t分之sine t等于cosine 3，T方分之2。下面正题，大于三倍根号3，可先将cosset 3 set方平方凑成和为定值，利用三元基本不等式求得其最大值，从而证得L大于三倍根号3。方法2，将co senate换元成T利用导数求得co senate sin t方的最大值，最后证得L大于三倍根号3。2、当X0等于二倍的cosine t分之sine西塔时，FX0等于cosine t sine西塔方分之2，证明其大于三倍根号三同一的第三类情况。3、当X零大于二倍的cosine西塔分之sine塔时，该函数单调递增。FX零大于F2倍的cosine t分之sine ent同理可证得其大于三倍根号3。综合三类情况得到矩形ABCD的周长大于三倍根号3。思路三，可设abc三点坐标，由两点间的距离公式得到AB弦长和BC弦长，进而得到周长是关于ABC的函数。下面利用减元思想及放缩法将周长缩小为K的函数在正极大于三倍根号3。提到减元思想，如何实现减元呢？我们可寻找abc三点之间的关系，因AB和BC垂直斜率之积等于负一，我们可得到KAB等于A加B等于KKBC等于B加C等于负K分之一。代入周长表达式中，此时得到周长是关于KABC的函数。周长表达式中含有根号下一加可以和根号下一加K方分之一。不妨设K的绝对值小于等于一，此时有根号下一加K方分之一大于等于根号下一加K方可将周长表达式中的根号下一加K方分之一缩小为根号下一加K方B减C的绝对值。加上A减B的绝对值，可通过三角不等式将其缩小为A减C的绝对值，此时仍然含有KAC3个变量，可将A减C配凑成A加B减去B加C将A加B等于KB加C等于负K分之一代入将周长表达式缩小为K的函数。下面正题大于三倍根号三同思路一中的解法一的第一种情况，通过前面速度123对周长最值点的探究发现，当X40趋于二分之K时，其本质就是点B趋向于点A时，此时有AB趋向于0，周长就趋向于二倍的BC所以我们只需验证二倍的BC大于三倍根号3即可。当点A趋向于点B时，直线AB是点B处的切线，设B点坐标，通过求导得AB斜率，因AB和BC垂直得BC的直线方程，联立BC与抛物线方程，由弦长公式得到BC弦长。此时BC弦长是关于X0的函数。我们可将其中的四倍的X0的平方换元成T则得到BC是关于T的函数，周长是关于T的函数，下面正极大于三倍根号3，方法同上。同理，当点B趋向于点C时，可证得周长大于三倍根号3。所以我们可以从极限思想更好的理解一下这道题。通过上面三种思路的分析，最终都转化成了以下几种模型，模型一双绝对值函数或箕型。模型二双绝对值函数平底锅型模型三单绝对值函数皆以波形。模型四三角不等式。由上面的模型一二三可知，函数的最小值在区间端点处取得。当设AB方程为点斜式方程时，函数的最小值在二分之K和-2K分之一处取得。所以我们只需比较F2分之K和F-2K分之一的大小即可进一步优化解题过程。我们不妨设K大于0，F2分之K和F-2K分之1，通过变形我们发现比较其大小只需比较K方和K的大小即可。一、当K大于零小于一时，函数的最小值在-2K分之一处取得，下面在正极大于三倍根号三方法同思路一的第一种情况。2、当K等于一时，周长为定值，大于三倍根号三成立。3、当K大于一时，函数的最小值在二分之K处取得下面在正极大于三倍根号三方法同思路一的第三种情况。综上均可得到矩形ABCD的周长大于三倍根号3，当设直线AB的方程为参数方程时，求函数的最小值只需分成两类。当二倍的X0等于tangy set或二倍的X0等于负的cotangent ent时，由于上述取等条件不成立，进而得到周长大于三倍根号3。通过本道题目的分析，我们发现本题的模型1234均源于人教B版数学选修4-5不等式选讲绝对值不等式的解法中的单绝对值不等式的解法，双绝对值不等式的解法及绝对值的三角不等式。为了更好的掌握以上内容，我们将题目进行辨试。一可将矩形ABCD周长换成矩形ABCD面积，求其最大值。2、可将矩形ABCD换成正方形ABCD，求其边长的最小值。请同学们利用多种方法求其最值。通过这道题的分析，我们有以下感悟，动中取静，限构模型。通法为本，妙招天花。以上就是我们对这道题的详细解说，谢谢观看，欢迎大家批评指正。