尊敬的各位老师大家好。我们组讲解的题目是2023年新高考数学一卷第22题。我们的讲解分为两个部分，第一部分是解题方法探讨，第二部分是问题溯源与拓展。下面我们讨论本题的解题方法。问题一比较简单，我们设P点的坐标为XY于是有两点之间的距离公式，我们可以推导欧米伽的方程。问题一属于常规性基本问题，此处不作讨论。问题二是一个关于矩形周长的几何不等式问题，显然先得把矩形的周长表示出来，也就是说我们得把矩形的边长表示出来。那么由题目给出的条件，我们应当如何来表示边长？选择什么样的变量来进行表示边长？表示出来后又应当如何来化解这个不等式？毋庸置疑，不等式问题的解决需要运用放缩、换元、基本不等式、代数恒等变形等手段，重要的是如何来进行应用，运用到何种程度，我们怎样利用其蕴含的数学思想和相关工具才能达到目的，这是决定能否找到正确解题思路和方法的关键。由题目的已知条件，我们不能有这样的思考，一是直接设点，利用距离公式求边长来表示不等式。二是利用直线的点斜式方程，通过求直线与抛物线的交点坐标，利用斜率表示交点的坐标，从而求得矩形边长来表示不等式。三是直接设矩形的两边，再利用等式条件来建立矩形两边的数量关系，来寻求问题的解决。下面我们分别讨论以上的思考方法。一直接设点法。所谓直接设点法就是直接设ABC3点的坐标，于是利用垂直的条件，我们可以得到X2加X一的和乘X3加X2的和等于负一。于是我们再利用两点之间的距离公式，可以得到AB2点的距离和BC2点的距离。于是我们就可以将原来的问题转化为X2减X一的绝对值乘根号下一加X2加X一的平方加上X3减X2的绝对值乘根号下一加X3加X2的平方大于2分之3倍的根号3。那根据X1加X2的和乘X2加X3的和等于负一，我们不妨设X2加X3的绝对值大于等于一则X1加X2的绝对值就小于等于一。于是我们就可以将这个式子当中的X3加X2替换为X1加X2分之1。这样我们只需证明这样的一个不等式。那如何来证明这个不等式一呢？它的左边是一个多元函数，而多元函数的极值中学没有涉及，只能另辟蹊径。那怎么办？针对不等式一的形式，我们自然会问，能否对一式进行适当的放缩化简不等式？能否通过去掉绝对值符号来化简不等式？能否直接运用基本不等式解决问题？如何减少问题中的圆，将不等式简化？下面我们分别进行探讨。我们对一式进行适当的放缩，利用X1加X2的分之一的绝对值大于等于一大于等于X1加X2的绝对值。然后我们再利用绝对值的性质，我们就可以将原式化简为大于等于X3减X一的绝对值乘根号下一加X1加X2的平方。然后再利用X1加X2的和乘X2加X3的和等于负一进行小于到此电源也已经减小到了一个，也就是X1加X2。我们注意到X1加X2与X1加X2分之1同号，故不妨设X1加X2大于0，这样问题就进一步划归为当X大于0小于等于一时，证明FX等于X加X分之一的和乘根号下一加X的平方大于2分之3倍的根号3。其实证明这个不等式的方法有许多种，下面我们以求导数的方法为例来进行讲解。我们求出FX的导数，然后再令F1PX等于0，可以算出X等于二分之根号2。经过验证，FX在X等于二分之根号2处取得最小值为2分之3倍的根号3。最后我们来说明原不等式不能取等号。实际上如果等号成立的话，也就是X1加X2等于二分之根号2，X2加X3等于负的根号20，并且还有X2加X3的平方等于X1加X2的平方等于一，也就是2分之1等于二等于一，这显然是矛盾的，所以原不等式是不能去等号的。这种放缩思路的关键是前后两步放缩第一步是利用了X1加X2与X1加X2分之1的大小进行放缩，然后再利用X2加X一的和乘X3加X2等于负一进行适当的假设。第二步是利用了绝对值的性质，消去了多余的元素，又将绝对值符号合并成一个。第二种方法是射线法，也就是用直线的点斜式方程，通过求直线与抛物线的交点，由斜率表示出矩形顶点的坐标，从而求得矩形的边长来讨论问题。这也是解析几何当中典型的解题思路和基本的解题策略。我们不妨设ABC3点在W上，然后利用垂直条件设出直线AB与直线BC的斜率以及B的坐标。于是利用点斜式我们就可以得到直线AB的方程与直线BC. 的方程。通过联立直线AB与抛物线的方程，再利用韦达定理，我们可以进一步表示出A点的坐标。于是利用两点之间的距离公式，我们可以表示出AB之间的距离。同理我们也可以得到BC2点的距离，最后我们就可以表示出AB的距离加上BC2点的距离。到此我们已经将问题划归为设点法的情形。下面我们选择一种方法，不妨设K的绝对值小于等于一。于是我们就可以将AB的距离加BC的距离放缩为大于等于根号下一加K的平方乘以K加K分之一的绝对值。到此又归结为前面的二式问题解决。由上面。的分析和讨论可以看到，无论是直接设点法还是射线法，本质上都是一致的。设点法中的X1加X2实际上就是直线AB的斜率，X2加X3就是直线BC的斜率。下面我们通过三角参数法来进行解决。我们知道解析几何中参数方法是盛行的，而且非常有效。注意到矩形以及抛物线图形的特点，我们可以直接设矩形的边长，通过引入三角参数来表示矩形顶点的坐标来讨论问题。如图，设BC的距离为L1，AB的距离为L2，BC和过B与X轴平行的直线成西塔角，设B点的坐标为X0，Y0，于是我们可以表示出A点和C点的坐标。由于AC都在抛物线上，那我们就可以将AC代入到抛物线的方程，我们就可以得到如下的两个式子。这样我们可以直接计算L一和L2，也就是用X0和西塔的三角函数来表示矩形的半周长L一加L2，然后进行讨论。通过观察我们可以发现，L一加L二是一个关于2倍X0的1次函数。由抛物线的对称性，我们不妨设X0大于等于0。类似于前面的方法，我们可以做如下的讨论，当sine西塔分之一等于cosine西塔分之一时，也就是西塔等于四分之派时，我们可以得到L一加L二是一个定值，等于两倍的根号2。而当sine西塔分之一小于cosine西塔分之一，也就是西塔大于四分之派时，由于X0是大于等于零的，那么L一也大于0，从中我们可以得到2倍X0的范围是大于等于0小于tangent西塔，所以借助。两倍。X0的范围，我们可以将L一加L2进行放缩，得到不等式3。最后。当sine西塔分之一大于cosine西塔分之一时，也就是当西塔小于四分之派时，我们可以借助X0大于等于0，将L一加L2进行放缩，得到不等式4。实际上我们可以用均值不等式来完成最后的证明。利用均值不等式，我们可以证明L一加L二大于等于2分之3倍的根号3，并且原不等式等号不成立。其实观察不等式三和不等式四这两个式子问题，也可以划归为函数的极值问题。如果X大于0小于二分之根号2，证明FX等于X减去X的3次方，小于等于三倍根号3分之2。这也是一个常规的函数极值问题，解决它的方法有很多，这里我们运用求导的方法来进行解决。我们求出FX的导数，然后再令F1撇X等于0，容易得到当X等于三分之根号3时，FX取得最大值三倍根号3分之2。于是我们就可以证明这个不等式引入三角参数的好处是直接表示了矩形的边长，同时省去了去绝对值的麻烦，这样后面的放缩就比较容易。最后我们利用加强命题法来进行解决。由于问题要证明矩形的周长大于三倍根号3，我们不禁要问，这样的矩形其周长是否存在最小值？如果存在，这个最小值自然要大于三倍根号3。因此我们可以通过探索更一般的命题，求这个矩形周长的最小值。如果这个加强拓展的问题解决了，预证不等式自然就成立。这里我们不妨还是设ABC3点的坐标，利用垂直条件表示出AB2点的距离加上BC2点的距离。这里不妨设X2加X3的绝对值大于等于一，于是X1加X2的绝对值就小于等于一。为了方便再令X1加X2等于K于是AB2点的距离加DC2点的距离就可以用含K与X2的式子来进行表示。然后我们可以利用均值不等式进行放缩，通过放缩我们可以得到一个关于X2的2次函数。然后再利用配方法与二次函数的性质，我们又可以进行进一步的放缩。接着我们再利用均值不等式可以得到AB的距离加BC的距离大于等于2倍根号2，该不等式当K等于正-1X2等于零时取得等号。综上所述，矩形ABCD周长的最小值为四倍根号2，从而矩形的周长大于三倍的根号3。在这个方法中。我们直接应用平均不等式，通过配方利用二次函数的性质消去X2，然后继续应用平均不等式就十分自然了。无论是直接设点法，还是间接射线法，或者是三角参数法，实际上本质都一样。而刚才的加强命题的方法才彻彻底底地揭示了问题的本质，高水平的试题可以有效测试学生的能力、素养和水平。一道高水平的数学试题应着眼于考察学生解决数学问题必备的数学洞察力和应用数学思想方法，来解决数学问题的综合能力。如今数学教学当中，大量的数学题目纠缠在一些细枝末节的技巧或者繁琐的计算上，不注重基本知识、基本技能和基本思想方法的掌握。作者认为，数学思直觉思维的培养，数学思想方法的熏陶，数学思维能力的提升，应当成为中学数学教学的主流。第二部分问题溯源和拓展。一问题溯源在第二十二题的讨论中用到了形如FX等于M倍的X减A的绝对值加N倍的X减B的绝对值的最小值问题。它有一般的结论，利用零点分段法可以完成证明，这里不再讨论。设点法中的不等式，我们可以将它进行改写。进一步，这个不等式可以进行加强推广，并利用我们刚才的结论。进行证明。2、问题拓展。下面的问题一实际上是第22题的推广。在这个问题当中的等腰直角三角形的面积是否存在最小值，事实上是存在的。于是问题一又可以进行拓展和推广，为问题2。而问题2，我们已经在前面的加强命题法中解决了问题2。在前面加强命题法的讨论中，其实也解决了第22题的一般情形，也就是下面的问题3。问题三不仅是对22题的深入和拓展推广，也真正揭示了问题的本质。以上是我们讲解的内容，不足之处请各位老师批评指正。