大家好，我是天津市第102中学纪宏伟。大家好。我是来自于天津市第七中学的徐元航指导教师，天津市河东区教师发展中心刘春红老师。今天我们汇报的题目是聚焦高考把握脉络，立足核心素养，强化思维过程。以2023年天津卷第14题为例，我们将从以下六个方面来进行阐述。第一方面，题目呈现在三角形ABC中，角A等于三分之派，向量BC的模等于一，D为AB的中点，E为CD的中点。若设向量AB等于向量A向量AC等于向量B则向量AE可用向量A向量B表示为，若向量BF等于3分之1倍的向量BC则向量AE和向量AF的数量积的最大值为。第二部分分析与思维导图。先来分析一下这道题，本题是一道平面向量的题。一般来说平面向量的题入手的思路有两种，一是基底法，二是坐标法。下面我们来具体看一下这道题。第一个空条件当中给出来了三角形中各点的位置，所以选用基底法来求解。第二个空问的是最大值。所以从总体的思路来看，我们还是考虑通信通法，也就是基底法和坐标法分别来求解。我们先来看基底法，我们先将向量AE和向量AF用向量A和向量B线性表示，进而向量AE和向量AF的数量积就可以用向量A和向量B来表示。在三角形ABC当中又有余弦定理，或者是用向量A减向量B的模等于一，均可以得出向量A的模与向量B的模的平方和与乘积之间的等量关系。经过整理之后可以得出向量AE和向量AF的数量积。用向量A和向量B的数量积或者是向量A和向量B模的乘积的形式来表达，求出二者的最大值即可得出结果。所以求二者的最大值就显得尤为关键。接下来我们将给出四种求二者最大值的思路。首先看思路一，重要不等式。根据重要不等式和余弦定理得出来的等量关系，我们会得出向量A和向量B模的乘积的最大值，从而得出结果。思路二，我们考虑用正弦定理观察到题当中给出来了三角形当中的一边和其中一边所对的角。我们可以选择正弦定理，将向量A的模与向量B的模用角A或者角C来表示，从而达到减少变量的目的。思路三我们借助于这个公式观察到向量AE和向量AF数量积的式子是用向量A和向量B的数量积来表示的。所以将向量A和向量B的数量积用这个公式代换之后，利用数形结合的思想可以求出最大值。思路四是秒杀法。由均值不等式的思维可以知道，当向量A的模和向量B的模相等，并且等于一时取得最大值，代入之后可以得出结果。第二种大的方法是坐标法，通过建立合适的坐标系，设合适的变量。本题我们设了角BCA等于西塔，将所有点的坐标用西塔表示出来，进而向量AE向量AF以及向量AE和向量AF的数量级就可以用西塔来表示。求关于西塔的函数的最大值即可得出结果。下面我们把刚才的所有思路整理成一个大的思维导图。主体的思路有两种，第一种是基底法，那么在求最大值时我们给出来了四种求最大值的思路。第二种大的主线是坐标法，基底法和坐标法是我们解决这一类问题的通性通法。下面来看第三部分详细的解答过程。先来看基底法，第一个空，因为D为AB的中点，E为CD的中点，所以向量AE等于2分之1倍，向量AD加上2分之1倍向量AC向量AD还等于2分之1倍的向量AB经过代换之后可以得出结果。第二个空如图所示，因为向量AF等于向量AB加上向量BF向量BF还等于3分之11倍的向量BC向量BC还等于向量AC减向量AB经过代换可以得出结果，由此向量AE和向量AF都用向量A和向量B线性表示出来了。所以向量AE和向量AF的数量级就可以用向量A和向量B来表示。在三角形ABC当中，又由于余弦定理经过整理之后，可以得出下面的这个式子。将上式带入到新式当中，可以得出向量AE和向量AF的数量积可以等于4分之3倍的向量A和向量B的数量积加上6分之1，或者是8分之3倍的向量A和向量B模的乘积加上6分之1的形式，求出它们的最大值即可得出结果。下面我们来集中求二者的最大值。方法一，我们用重要不等式，根据重要不等式和余弦定里得出来的等量关系，我们会知道向量A的模和向量B的模的乘积是小于等于一的当气仅当向量A的模等于向量B的模时，等号成立。所以此时向量AE和向量AF的数量积的最大值即可得出。方法二是正弦定理。在三角形ABC当中，由正弦定理经过代入整理之后，可以得出这样的一个式子。所以向量A的模和向量B的模此时都可以用角C来表达，所以向量AE和向量AF的数量积就可以用角C来表达。经过化简二倍角公式代换辅助角公式最终可以整理成4分之1倍的sine 2C减去六分之派加24分之7的形式。由于角C是大于0小于3分之2派的，所以2C减六分之派的范围即可得出。那么当2C减六分之派等于二分之派的时候，也就是正弦等于一时，我们的数量积取得最大值，此时最大值是24分之13。方法三是借助于这个公式，我们将向量A和向量B的数量积用这个公式代换，又由于向量A等于向量AB向量B等于向量AC代换之后可以得出这个关系式，设M为线段BC的中点，所以向量AB加上向量ac就等于二倍的向量AM向量AB减向量的AC就等于向量CB所以整理之后会得出下面的这个式子。又因为CB的长度等于一，所以数量积就可以用向量AM的模来表达，求出向量AM膜的最大值，即可求出数量积的最大值。我们可以认为点A在弦BC所对的某个圆弧上运动，我们来看一下运动的轨迹。由三角形当中两边之和大于第三边可以知道，当AOM3点共线时，AM最长。此时向量AM的模的最大值等于AO加上OM如图所示，我们知道取得最大值的时候，三角形ABC是一个边长为一的等边三角形。由此OB的长度，OM的长度以及OA的长度都可以得出。此时向量AM模的最大值就等于AO加上OM等于二分之根号3，由此向量AE和向量AF数量积的最大值就可以求出。方法四是秒杀法。无论从已知得出来的等式还是求最大值的式子，我们都可以看出向量A的模与向量B的模地位是等同的。也就是说将二者互换之后，式子是保持不变的。所以根据均值不等式求最值的原理，当且仅当二者相等等于一时取得最大值。将其代入之后，可以得出数量积的最大值。第二种大的思维是坐标法，观察图形当中的特点，遵照着各点坐标表示起来都相对容易的原则，如图所示，建立平面直角坐标系，设角BCA等于西塔，其中西塔大于0，小于3分之2派。由于CB的长度等于一，所以OB的长度以及OC的长度都可以用西塔来表达。又因为角BAC等于三分之派，所以OA的长度也可以用西塔表达。此时A点、B点和C点的坐标均可以用西塔表示。又因为D是AB的中点，E是CD的终点向量BF等于3分之1倍的向量BC所以D点、E点和F点都可以用西塔来表示。所以向量AE和向量AF以及向量AE和向量AF的数量积就可以用西塔来表示。经过二倍角公式的代换，辅助角公式整理，我们可以得出数量积就等于4分之1倍的sine 2西塔，加上六分之派加24分之7的形式，求出正弦的最大值，即可得出数量积的最大值。由于西塔是大于0小于3分之2派，所以当sine 2西塔加六分之派等于一时，我们的数量积取得最大值，此时最大值是24分之13 4。试题研究首先先来看试题分析，从近四年的天津高考卷中平面向量的题来看，高考复习2020年天津卷第15题2021年天津卷第15题，2022年天津卷第十四题，2023年天津卷第十四题。从这四道题当中我们会发现他们的出题位置均是在填空题的后两个题的位置，并且都是以舜空题形式出现。他们用的基本方法都是基底法和坐标法，所以我们要对这两种方法掌握的同时，要学会灵活应用。他们的第二个空都是来求最值，所以我们要善于去利用求函数值域的多种方法来去求最值。二是试题溯源。人教A版教材53页习题6.4的第12题。这道教材的习题是根据平面向量的知识来解决三角形中的问题，将已知问题转化为求向量AM与向量BN的夹角问题，既可以用基底法，也可以用坐标法来求解。2023年天津卷的第14题是基于教材习题的基础之上，加入了均值不等式、正余弦定理等等的知识，是一道综合题，考察了学生的综合能力，充分体现了数学的核心素养。五试题链接我们给出来了两道小题，两道小题的共同特点是，第一个空均是基底法来表示向量。第二空均是求最值。先来看第一道小题，我们给出来的方法是基底法在求最值时，我们给出两种思路，第一种是重要不等式，第二种是秒杀法，这是详细的解答过程。第二个题我们依然给出来的是基底法，在求最值时给出来了两种思路。思路一是均值不等式求最值，思路二是秒杀法求最值，这是详细的解答过程。方法一，方法26讲题. 总结在学习的过程中，对一道题的深入研究要从一道题上升到一类题，多题归一，总结通性通法，活学活用。另外，发散思维，研究这道题的多种解法，尝试用多种思维来解决问题，强化思维，及时总结，全面归纳，熟悉命题的脉络，培养数学建模能力、逻辑思维能力以及运算能力，提高学生的数学核心素养。以上是我们的汇报，感谢各位的聆听，敬请批评指正。