大家好，我是来自胶州市第三中学的老师赵选贺。今天我为大家讲解的题目是新课标一卷第21题。我将从试题分析、试题解析、命题溯源、命题面试四个方面为大家进行讲解。首先我们先来看一下原题，甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下，若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲乙的概率各为0.5。此题一共有三问，第一问和第二问。第一问求第二次投篮的人是乙的概率，第二问求第二次投篮的人是甲的概率。第三问是告诉XI服从两点分布，即前N次，也就是从第一次到第N次投篮，中甲投篮的次数为Y求Y的期望。我们对此题进行分析。第一问其实是考察我们同学对全概率公式的理解。第二问是运用递推公式求概率公式。第三问重点考察对两点分布的理解，主要是运用等比数列求和。此题考察了同学们的逻辑推理、数学建模、数学运算三种核心素养。好，下面我们进入详细的分析。此题通过推导概率公式，构建概率模型，再结合数列的相关知识进行运算，侧重考察了同学们对两点分布的理解和运用，那么就需要同学们对数学符号语言有较强的理解能力。首先我们来看第一问，回到题干当中有这样一句话，若命中则此人继续投篮，若未命中则换对方投篮。那么第一问求的是第二次投篮的人是乙的概率。那我们分析若第二次投篮的人是乙，那么第一次投篮会有两种情况。第一种情况可能是投篮的人是第一次投篮的人是甲且未命中。第二种情况可能第一次投篮的人是乙且命中，这样第二次投篮的人都会是乙。好，那我们这样分析，第一次投篮的人是甲且未命中，那么它的概率应该是让0.5乘未命中的概率0.4。第二种情况，第一次投篮的人是乙且命中，那么这个概率应该用0.5乘以投篮的命中率0.8。这样此问。应该把这两种情况的概率相加，求得第二次投篮的人是乙的概率是0.6。好，那我们将第一问规范作答，先记第二次投篮的人是乙为事件A那么PA等于0.5乘0.4，加0.5乘0.8等于0.6。那么我们继续来分析第二问，第二问的分析我们主要可以有两种思路。同学们想第一种思路，我们可以在第一问的基础上继续来探究。第三次投篮的人是甲的概率，第四次投篮的人是甲的概率，那么一次是不是可以寻找规律求得第二次投篮的人是甲的概率呢？这就是思路，一由特殊到一般由题干。我们可以得到第一次投篮的人是甲的概率是0.5，那么第二次投篮的人是甲的概率。概率有两种算法，一是根据第一问的结果，用一减0.6可以得到0.4。第二种算法就是跟第一问的分析一样，第二次投篮的人是甲的概率。我们有两种可能情况，一种是第一次投篮的人是甲且命中，那么甲继续投篮。第二种情况是第一次投篮的人是乙且未命中，那么患甲投篮这样概率可以计算为0.5乘0.6加0.5乘0.2等于0.4。那同学们是不是可以仿照这个继续求得第三次投篮的人是甲的概率呢？好，那么这时候我们也分析它有两种情况需要先考虑第二次投篮的人是甲还是乙。那么第二次投篮的人是甲且命中，第三次他继续投篮，第二次投篮的人是乙且未命中。那么擐甲投篮，这样它的概率用上一边求得的0.4乘上甲命中的概率0.6加上以投篮的概率0.6乘上以投篮未命中的概率0.2等于0.36。那是不是第四次投篮的人是甲的概率也继续这么计算呢？好，我们可以得到这样一个式子，0.36乘0.6加0.64乘0.2等于0.344。由第一次、第二次、第三次、第四次这样分析过来，我们发现如果要求第二次投篮的人是甲的概率，我们需要考虑的是第I减一次投篮的人是甲还是乙。这样我们先对他进行符号表示，我们记第二次投篮的人是甲的概率为PI那么第二次投篮的人是乙的概率就是一减PI。类似于以上过程，我们可以表示为第二次投篮的人是甲的概率是PI等于0.6乘PI减1，也就是第二件一次投篮的人是甲且命中的概率再加上0.2乘1减PI减1，也就是第二减一次投篮的人是乙且未命中的概率。好，这就是第一个思路。由特殊到一般，我们得到的是关于PI的一个递推公式。好，我们看一下此种思路到这一步的规范性作答。好，那我们再想一下有没有其他思路。刚刚我们是通过列举观察分析可得。有同学对全概率公式有较强的理解能力的话，那么这一问其实我们也可以根据全概率公式进行分析。我们考虑到若第二次投篮的人是甲，则第I减一次投篮有两种情况。一种情况是第I减一次投篮是甲且命中，第二种情况是第I减一次投篮是以且未命中。那么我们直接对应进行符号表示，再将两种情况的概率相加，它的和就是第二次投篮的人是甲的概率。好，我们把它进行规范性作答，要先写符号表示，再根据全概率公式计算可得，也是关于PI的一个递推公式。好，无论是思路一还是思路2，我们都得到的是关于PI的递推公式。这在数列的学习当中比较常见，所以接下来要考察的是由这样一个式子，也就是数列的递推公式要求出的是求第二次投篮的人是甲的概率，也就是求PI。他其实是考察了由数列递推公式求数列的通项公式。这里我们有三种解法，第一种解法我们可以采取待定系数法，第二种解法可以采取构造法，第三种我们也可以采取不动点法。好。下面我们详细来看一下由递推公式求数列通项公式。好，第一种方法待定系数法。同学们需要对等比数列的递推公式有较强的理解能力，那么可以设出PI的通项公式是等比数列的递推公等比数列的通项公式加常数项的形式里边有参数A和B需要求出。那我们代入题干可得到P1等于0.5和第一问得到的P2等于0.4，就可以求出里边的A和B第二种方法也是同学们熟悉的构造法观察PI等于5分之2倍的PI减一又加常数5分之1，那么我们可以构造一个等比数列。通过化简可以求出里面的参数。兰达好，第三种方法不动点法将PI和PI减一都转化为同一个参数，XX等于5分之2，X加5分之1，通过化简可以求得X。好，下面我们来详细看一下解法一，待定系数法。好，待定系数法的第一步分析可设其实是一个观察到分析的过程。后边由已知带入系数就是待定系数法。此种方法是由不会变会渐进式突破的一种方式，也是此题的通解不依赖二级结论或者是模型。第二种方法构造法是我们是构造我们熟悉的等比数列模型。第三种方法不动点法。那么这里直接将PI和PI减一都设为X考察了同学们的发散思维。好，继续来看一下第三问。第三问提到XI服从两点分布，这需要我们回忆一下两点分布。两点分布在教材上的概念是对于只有两个结可能结果的随机实验，它的分布列。实际上X为在一次实验中成功的次数记作0或1。在这里我们继续分析，告诉XI服从两点分布，我们可以得到关于xi的两点分布的分布列。XI有两种可能结果，就是零和1XI等于一时，它的概率记为QI那么XI等于零时，它的概率就记为一减QI这里的I可以从一取到N这个题的难点就在于如何正确理解两点分布。结合题干记前N次投篮当中甲投篮的次数为Y那我们可以这样来分析，如果我记YI为第二次投篮中甲投篮的次数，那么YI其实也是服从两点分布的。比如第一次投篮中甲投篮的次数可能是零或者是10，代表第一次投篮是乙，也就是甲没有投篮。那么一代表第一次投篮的人是甲，所以Y一服从两点分布。这样来数每一次投篮当中的甲投篮的次数其实都服从两点分布，也就是YI可能的结果是零或1。YI取一时对应的概率是QI，YI取零时对应的概率是一减QI我们又知道Y一加Y2加到YN把里边所有的零和1加起来，它的次数其实就是前N次中甲投篮的次数，我们就可以得到YI求和等于Y那么这个过程要求我们同学对数学符号语言有较强的理解能力，也告诉我们老师在教学当中要强调知识间的相关性，加强各部分知识间的相互联系。那么概率的学习一定要注重数学符号的表达与理解。好，第三问我们继续分析，我们记YI为第I次投篮中甲投篮的次数。那么YI服从的是两点分布，可以得到YI等于一的概率就是PI也就是第二问求得的数列的通项公式。好，那么继续带入。根据乞丐给的解这个解析式，我们可以带入求Y的期望，就是求YI求和的期望，也就是求PI的和。其实第三问就是考察我们将数列求前N项和根据PI的通项公式的特点，它是一个等比数列求和加常数项求和。好，第三问我们规范作答。好，以上就是我们对此题的一个分析。此题的命题背景是，本题可以追溯到教材选择性必修第三册复习参考题七第91页的第十题。同学们可以阅读一下该题。经过分析，此题如果要计算N次传球后球在甲手中的概率，我们就需要考虑上一次，也就是第N减一次传球后，球一定不在甲手中，也就是在乙或丙手中。这样经过分析，我们也可以列出关于PN的一个表达式，PN等于2分之1倍的1减PN减1，它也是关于PN的递推公式，所以此题也是考察了由递推公式求数列的通项公式。好，那么第21题的第二问与2019年全国一卷理科21题，还有2023年中科大少年班初试第五题也是类似的题目如下。好，感兴趣的同学可以课后进行尝试。这些题目都是数列递推公式，解决数列概率问题，背景都是马尔科夫链。那么马尔科夫链就是我们21题的命题溯源。马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也在机器学习和人工智能方面有着积极广泛的应用。他的数学定义如下，简单来说，IXI加一时刻的状态条件依赖于前一状态XI那么在现实生活中，我们也存在着许多马尔科夫链，例如著名的有图模型、赌徒模型是一个甲乙两人玩的抛硬币游戏，那么在计算概率时用到的就是等比数列求和。还有在2023年广东统考二模第二十题的第二问，也带有一个博弈和无限次的特点。概率论上著名的朋友游戏也有博弈背景。以下是广东省佛山市高三二模题。好，同学们可以在课后进行练习。在这里老师给出一个经典赌徒破产问题。好，最后是根据以上的命题分析，命题溯源是高考的21题进行的命题面试。那么经以上分析，此题我们可以对条件进行改编。好在这个题里边我们比赛的结束条件和原题给出的比赛结束条件是不同的。原题给出的比赛题结束条件是甲乙共投了N个球，那么电视题老师给出的是当乙总共投进N球时比赛结束。那么这样在条件更改后甲投篮的次数是受乙投篮次数的影响。所以我们需要以投进球的次数为考虑的过程量。这个题可以进行怎样的。解决呢？好，以下就是我们的解题思路，欢迎同学们进行分析解决，并给出更多的面试的题目。好，以上就是我对新课标一卷第21题的一个主要分析，感谢老师和同学们的观看。