亲爱的同学们，大家好。我们是来自云南省安宁市昆钢第一中学的熊洪志，以及云南省安宁中学太平学校的刘勇、刘珂兰。今天将由我代表我们团队为大家带来2023年全国新高考数学二卷第22题的解法探究。请大家先认真阅读题目，拿到这样一道导数压轴题，我们首先应该思考此题考察的必备知识有哪些。此题主要考察利用导数证明不等式，利用导数研究函数的极值。作为2023年新高考二卷的最后一道大题，本题以三角函数和对数函数为载体，对学生的问题转化能力和推理论证能力提出了较高要求。其中，第一问思维起点较低，通过两次做差构造新函数，并运用导数判断新函数单调性即可求解。第二问跳出了常见的复合函数，以三角函数和对数函数的复合形式出现，主要考察函数极值的定义，即已知函数极值点求参数取值范围的问题。接下来我们来看具体的解题过程。首先对于第一问要求我们证明当X大于零小于一时，X减X方小于sine，x小于X是一件一道比较常见的双边不等式的证明问题。那么根据学习经验，我们可以采用做差构造新函数或者是做商构造新函数进行求解。认真观察此题的结构，我们可以发现通过做差构造新函数比较简洁，所以我们可以通过构造FX等于X减sine x对FX进行求导，则F1撇X等于一减cosine x根据余弦函数的有界性，我们可以得到F1撇X大于0，对任意的X属于0到1成立，则FX在0到1上单调递增，进而求得FX大于F0等于0，证明了X大于sine x同样的方法，我们可以令GX等于sine x减括号X减X的平方。拆开得X方减X加sine x同样对其求导，得到G撇X等于2X减1加cosine x由于对于这样的一个函数，在此我们不能很好的判断其正负，所以对其再次求导得到2.30X是大于零恒成立的，说明一阶导在0到1上单调递增，进而可以得到G1撇0大G1撇X大于G1撇0等于0，也就是G1撇X大于零在0到1上恒成立，所以得到GX在0到1上单调递增，进而证明了sine x大于X减X的平方。通过这样两次构造新函数，我们就证明了这样的一道双边不等式的问题。接下来我们一起来探讨第二问的解题思路。已知函数FX等于cosine AX减ln括号一减X的平方，则X等于零是FX的极大值点，要求A的取值范围。对于这种已知函数的极值点求参数取值范围的问题，我们应该怎么去处理呢？其实在高中阶段对于此类问题的考察非常广泛。那么已知函数极值点求参数取值范围常见的思考角度有三种。首先第一种我们可以利用数形结合翻译题目中的隐含条件找到切入口，也可以利用导函数的零点确定参数的分类标准，对参数A进行分类讨论。最后一种就是从极值点的定义出发，根据极值的定义从必要性和充分性两个方面进行论证。接下来我们来看看具体的解题过程思路。一数形结合法，我们通过对FX求导得到F1撇零等于0，再根据FX在X等于0处取得极大值。所以可以得出在X等于零附近左侧一阶导大于0，在X等于零附近的右侧一阶导应该小于0。数形结合我们可以得到X等于零是函数的极大值点就一定会满足在X等于零处的二阶导要小于等于0。那么具体的解法，首先通过一减X的平方大于0，可以求出FX的定义域为-1到1，通过求导得到F1撇零等于0。又因为X等于零是函数FX的极大值点，所以X等于零附近左侧一阶导大于0，则X等于零附近的右侧一阶导小于0。通过数形结合我们得到在X等于零处的二阶导应该小于等于0。通过对函数求二阶导，得到在零处的二阶导等于2减A的平方小于等于0，解得A小于等于负根号2或者是A大于等于根号2。那么通过这样的树形结合，我们先缩小了A的取值范围，再进行分类讨论。当A等于正负根号二时，一阶导F1撇X等于一减X的平方分之2，X减根号二倍sine 2X由一我们可以知道可以对一阶导进行放缩。也就是当X大于零小于二分之根号2的时候，我们可以得到负根号二倍sine根号2X应该大于-2X所以F1撇X大于2X乘上括号一减X平方分之一减一是大于零的。也就是说FX在0到2分之根号2上单调递增与X等于零是FX极限的值点矛盾，所以A不等于正负根号2。当A小于负根号2或A大于根号2的时候，我们可以计算发现在X等于零处的二阶导小于0。又因为二阶导在4.00附近连续，所以我们可以知道存在德尔塔属于0到1，使得当X属于负德尔塔到高潮的时候，在X等于零处的二阶导小于0。那么当X属于负德尔塔到0时，应该有F1撇X大于F1撇零等于0。当X属于0到德尔塔时，有F1撇X小于F1撇零等于0，此时X等于零是函数FX极大值点。综上我们可以求出A的取值范围为负无穷到负根号2比上根号2到正无穷。那么我们还可以通过思路二必要性探路来解决此题。由题意我们得FX在X等于零附近，应该是先增后减。求导后发现F1撇零等于0，也就是说在零的附近一跌倒应该先正后负。考虑到在零处的二阶导应该小于0，是X等于0，是函数极大值的必要条件。那么我们进一步缩小A的取值范围，再对A进行验证即可。也就是说同样先求出函数FX的定义域，一阶导F1撇X等于一减X方分之2X减A倍sine AX所以得到一阶导F1撇零等于0。对其求二阶导，得到F2撇X等于一减X的平方分之平方分之二倍的一加X的平方减A方乘以cosine AX求得F2撇0等于2减A方，由X等于零是函数FX的极大值点，可以得到必要条件应该是F2撇0小于0，解得A小于负根号2或A大于根号2。接下来我们只需要对充分性进行验证，也就是验证当A小于负根号2或A大于根号二时，X等于零确实是FX的极大值点。再次为了计算方便，我们令B等于A的绝对值大于根号2，因为FX等于cosine AX减去ln 1减X的平方，进一步可以得到FX等于cosine BX减ln 1减X的平方，而且F负X计算之后等于FX所以FX是偶函数一阶导等于一减X的平方分之2X减B倍sine BXX属于-1到1。结合着第一问，我们讨论的证明的不等式范围是在0到1之间。所以我们在此可以对B进行分类讨论。也就是当B方大于0小于等于二时，取B分之一和一中的较小值为X0。那么当X属于X0到X0时，EX一定属于0到1之间。由一中的结论我们可以得到，F1撇X就大于一减X的平方分之X倍的B方乘以X方加2减B方是恒大于零的，也就是一阶导是大于零的。进而我们可以说明，当X属于零到M也就是0到1的一个子区间时，F1撇X大于0，即FX是在零到M上单调递增。又因为FX是偶函数，所以它在负M到0上单调递减，此时X等于零是FX的极小值点，不符合题意。那么当B方大于二时，也就是A小于负根号2或A大于根号2的时候，可以取X属于0到B分之1，是0到1的一个子区间，那么DX就属于0到1。根据刚刚的方法，我们同样可以对一阶导进行放缩，并构造YX为一个新函数。对其进行求导，我们可以得到Y1撇X大于0，对任意的X属于0到B分之一恒成立，也就是新函数FXX在零到B分之一上单调递增。那么又因为F0等于2减B方小于0以及FB分之一大于0。我们可以知道FX在零到B分之一内存在唯一的0点X1，使得当X属于0到X1时，FX小于01次时，F1撇X就小于0，FX单调递减。又因为X是偶函数，所以FX在负X1到领域上单调递增，此时X等于零是FX的极大值点。通过这样的讨论，我们得出A的取值范围为负无穷到负根号2比上根号2到正无穷。第三个角度，我们可以借助函数的单调性讨论，再根据偶函数的性质对A进行分类讨论。由于A是一个参数，所以我们在分类讨论的过程中，可以从最特殊的临界值开始讨论。也就是当A等于零时，函数FX等于负的ln括号一减X的平方。根据复合函数的单调性，我们可以得出FX在0到1上单调递增，在-1到0上单调递减。此时X等于零是FX的极小值点，不符合题意，所以得到A不等于0。那么当A不等于0的时候，参照解法2，我们可以令B等于A的绝对值大于0。因为FX可以转化为等于cosine BX减ln括号一减X的平方，而且FX为定义域内的偶函数。我们可以参照解法二中的分类讨论的两点进。进行求解，具体的解析过程不再做过多的赘述。那么通过以上的三种解法，我们可以都可以求出A的取值范围。在此老师给大家补充我们高数技巧中的两种解法思路。4 1元函数极值的第二充分条件具体内容是，若函数FX在零与X01到德尔塔内一阶可导，在X0处存在二阶导数，而且满足F1撇X0等于0，F2撇X0不等于0。那么当F2撇X0小于零的时候，FX在X0处取得极大值。当F2撇X0大于0的时候，FX在X等于0处取得极小值。这个定理具体的证明，感兴趣的同学可以通过扫描右边的二维码查看。根据一元函数函数的第二充分条件，我们就可以求出FX的一阶导。而且F1撇零等于零又二阶导，F2撇X等于负的A方cosine AX加一减X的平方分之一，加一加X平方分之一，所以得到F2撇0等于2减A方，可以进一步求出三阶导，而且得到3阶导等于0以及四阶导就求出来。那么当A大于负根号2小于根号2的时候，我们可以求得一阶导等于0，二阶导大于0，此时X等于零应该是极小值点。当A小于负根号2或A大于根号2的时候，此时X应该是极大的值点。通过这样的过程我们可以求出A的取值范围就为负无穷到负根号2比上根号2到正无穷。解法五也就是我们的思路五就是泰勒公式。其实泰勒公式在高中阶段，特别是在我们的高考数学的选择压轴题中，还是经常用到的。比如说2022年全国乙卷的第七题，甲卷理科的第十二题，以及2021年全国乙卷理科第十二题，均可借助泰勒公式巧妙求解。那么传统的泰勒公式大家可以了解一下，所以对于此题的另外一种解法，我们就可以借助泰勒公式将FS展开，得到一加2分之1括号2减A的平方乘以X方，加24分之括号A的4次方，加12乘上X的4次方，根据FX在X等于0处取得极大值，所以我们可以知道存在X属于德尔塔，德尔塔使得FX小于等于F0一定成立。通过计算发现F0等于1，所以只需要满足开头展开是一加二分之括号2减A的平方乘以X方加24分之A的4次方加12倍的X的4次方加省略小于等于一，最终就可解得A的取值范围为负根号2或者根A大于根号2。通过这样的解法我们可以知道，其实解法四和解法五都是高数技巧。那么有兴趣的同学可以自己下来之后进行探究。同学们要注意在处理这类已知函数的极值点，求参数取值范围的问题中，我们的方法一直到方法三是大家需要重点掌握的，也就是我们的通信通道。其实对于泰勒公式而言，它在我们的教材上也是有原型的。有兴趣的同学可以自己翻阅教材人教A版必修第一册的第五章，可以发现泰勒公式在我们的教材中的应用。那么对于此题我们可以知道它的第一小问源自人教A版选择性必修第二册的第97页的一个练习题，要求大家证明sine x小于XX属于零到派。其实它就将导数与三角函数巧妙结合起来了，考察借助导数证明不等式的问题。那么函数与导数中的参数范围问题一直是高考考查的热点提醒，特别是已知X0为函数的极值点，求参数的取值范围问题是近几年高考的热点问题。比如2016年山东文科卷的第20题、18年北京卷的第19题以及18年全国三卷的第21题都对此类问题进行了考察。那么有兴趣的同学可以通过完成这样两道高考真题，检验自己对此类问题的掌握情况。完成的同学可以通过扫描右边的二维码查看参考答案。对于此题我们可以将第二个问做进一步的推广，变成已知函数FX等于cosine AX减A倍ln括号一减X的平方，再这个对数型函数的前面加上参数A同样若AX等于零是函数的极大值点，求A的取值范围。那么具体的解题过程，我们可以参考前面的解法四，也就是一元函数极值的第二充分条件进行求解，有兴趣的同学自己下来尝试解决。在这个地方老师给大家准备了两道与已知函数极值点求参数取值范围有关的高考题或者是模拟题。大家可以通过先自行求解，再扫描二维码查看参考答案，检验自己的学习情况。其实对于胰岛素复习备考，我们可以从以下几个点入手。首先教师应该引导学生有效整合数学知识点，强化学生的发散性思维，提升学生的创新意识，引导学生深入研究数学知识与数学命题。学生在复习过程中一定要掌握导数概念、导数公式、导数运算法则的，并做到灵活运用，能够求出函数的单调性、最值、零点、切点、极值等问题。3、还需要保持独立思考的良好习惯，深入钻研题目，熟练掌握数学基础知识，归纳总结解题过程中体现出来的数学思想方法。做到这些，相信大家在处理这类导出问题的过程中一定会迎刃而解。谢谢大家。我的分享到此结束，欢迎大家批评指正。