第六章 几何图形初步 第15讲 角的计算综合培优讲义 2025-2026学年人教版 七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦角的计算综合应用，系统梳理三角板特殊角（30°、45°、60°、90°）的叠加与差运算、长方形折叠前后角度不变性质、角的位置分类讨论及双角平分线模型等核心知识点，构建从具体工具操作到抽象模型应用的递进学习支架。 该资料通过三角板叠放、纸片折叠等情境培养几何直观，结合分类讨论例题强化推理意识，双角平分线模型总结提升模型应用能力。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同情境，帮助学生查漏补缺，提升综合解题能力。

第15讲角的计算综合培优 目录 课时1三角板为背景的角度计算 *1 课时1练习题.… .4 课时2长方形折叠问题中的角度计算7 课时2练习题 8 课时3角的计算（分类讨论） .11 课时3练习题 .14 课时4双角平分线模型 18 课时4练习题 .21 课时1三角板为背景的角度计算 知识讲解 一、利用三角板求角度三角板中有特殊角30°，45°，60°，90°，因此利用这些特 殊角相加、相减，就可以求出一些角的角度值或画出相应的角· 1 145 450 30 60° 45 45 130° 60 二、利用三角板画角利用三角板画角度，先明确30°，60°，45°，90°可使用，再 将其叠加叠减，明确方式，即可将角度画出· 例题1 1如图所示，将一个直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果 ∠A0C=28°，那么∠B0D等于(). A.72 B.62 C.529 D.28 知识讲解 角度大小为15°倍数的角均可使用三角板画出. 15°=45°-30°=60°-45° 30°、45°、60° 75°=45°+30° 90° 105°=45°+60° 120°=90°+30° 135°=180°-45°=90°+45° 2 150°=180°-30°=90°+60° 165°=90°+45°+30 180° 例题2 1如图，将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，若∠1=40°，则2的度 数为(). A.60° B.50 C.40° D.30° 例题3 1将一副三角板按如图放置（两个三角板的直角顶点重合），若B=28°，则 ∠a=°. 例题4 1.将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°， ∠E=∠B=45°. 3 (1)求证：∠ACE=∠BCD (2)猜想∠ACB与∠ECD的数量关系并说明理由. 课时1练习题 1.将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的 一边上，若∠1=38°，则∠2的度数是（)· A.28 B.529 C.62 D.72 2.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则 ∠BOC等于 B 3如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，下列角度中不能 使用这一副特制的三角板画出的是(）· 4 文36 45 72 729 45 A.54 B.72 C.150° D.171° 4.如图，将两块直角三角板按不同方式进行叠放 (1)在图1中，两块三角板的直角顶点C重合.若∠DCE=25°，求∠ACB的度数； (2)图2中是两块相同的三角板，且60°锐角的顶点A重合，则∠DAB与∠CAE满足 怎样的等量关系，请说明理由 D 图1 图2 5 课时2长方形折叠问题中的角度计算 知识讲解 折叠前后角度相等. 9例题1 1综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行 了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A处，EF为折痕，如图①所 示 (1)若LAEF=30°，求∠A'EB的度数. (2)在第一问的基础上，又将长方形的另一个角也折过去，并使点B落在EA'上的 B处，折痕为EG,如图②所示，求LFEG的度数. (3)若改变∠AEF的大小，则EA'的位置也随之改变，那么∠FEG的大小是否改 变？请说明理由， 图0 图② 6 例题2 2.如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE, EF折叠，使点B,C分别与点G,H重合，点E,G,H恰好在同一条直线上. 若∠AEH=3∠HEF,则LAEH-∠HEF的度数为( ) G A.22.5 B.30°C.45° D.60° ⑨刷题3 3.将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若 ∠1=51°，∠2=20°，∠3的度数 B 课时2练习题 1,将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若 2LABE=∠DBC,则∠DBC为() A A A.70° B.65 C.60° D.45° 2.将一张长方形纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF,GF为两条折 痕，若∠BFC=28°，则∠EFG的度数为(). D A G -,D ⊙ -C A.56° B.76 C.96 D.108 3.()如图1，将一张长方形纸片折叠一角，得到折痕EF,若∠EFA=35°，则 ∠AFB= (②)将长方形纸片按图2方式折叠，EF,FG为折痕，点A,B,F恰好在同一条 8 直线上，求∠EFG的度数； (③)将长方形纸片按图3方式折叠，DE,CE为折痕，若∠AEB=15°，请直接写 出∠DEC的度数， C D G D C D y> B A B 图1 图2 图3 课时3角的计算（分类讨论) 知识讲解 角度的分类计算：对于角度计算问题，我们在解决的过程中也会经常遇到需要 我们分类讨论的题目，而这一类题目基本上也是由画图引起的，所以一定注意 几何题目一定要有图 在平面内，当固定一条射线后再引出一条射线组成角时，需要考虑引出的射线 在原先射线的哪一侧· 如图，己知∠AOB=a和∠BOC=月，且a>P,求∠AOC的度数时，需要考虑位置 不同而导致的多解· 1、若OC在OB逆时针方向，则如下图：∠AOC=∠AOB+∠BOC=a+B 9 2、若OC在OB顺时针方向，则如下图：∠AOC=LAOB-∠BOC=a-B 3、若最后计算所得角度大于180°，则要用360°减去计算结果，换成一个不超过 180°的值·如下图，计算结果原表示的是虚线部分，要转化成为实线部分， (由于初中研究的角度a大小满足：0<a≤180°)· B 【总结】已知 求∠AOC ∠AOB∠BOC 例题1 1.下面是小马虎解的一道题. 题目：在同一平面上，若∠B0A=70°，∠B0C=15°，求∠AOC的度数， 解：根据题意可画出图 :∠AOC=∠B0A-∠B0C=70°-15°=55 .∠A0C=55 若你是老师，会判小马虎满分吗？若会，请说明理由；若不会，请将小马虎的 错误指出.并给出你认为正确的解法. B 10第15讲角的计算综合培优 目录 课时1三角板为背景的角度计算.… .1 课时1练习题 4 课时2长方形折叠问题中的角度计算 7 课时2练习题… 8 课时3角的计算（分类讨论) 11 课时3练习题.… 14 课时4双角平分线模型 18 课时4练习题 21 课时1三角板为背景的角度计算 日知识讲解 一、利用三角板求角度三角板中有特殊角30°，45°，60°，90°，因此利用这些特 殊角相加、相减，就可以求出一些角的角度值或画出相应的角· 145o 45 了45 459 130309 60> 60△ 二、利用三角板画角利用三角板画角度，先明确30°，60°，45°，90°可使用，再 将其叠加叠减，明确方式，即可将角度画出· O例题1 1.如图所示，将一个直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果 ∠A0C=28°，那么∠B0D等于(). A.729 B.629 C.529 D.289 【答案】B 日知识讲解 角度大小为15倍数的角均可使用三角板画出. 15°=45°-30°=60°-45 30°、45°、60 75°=45°+30 90° 105°=45°+60 120°=90°+30° 135°=180°-45°=90°+45 150°=180°-30°=90°+60° 165°=90°+45°+30° 180° 2 目例题2 1.如图，将两块三角板的直角顶点重合后叠放在一起，若∠1=40°，则2的度数 为() A.60 B.50° C.40° D.309 【答案】C Q例题3 1.将一副三角板按如图放置（两个三角板的直角顶点重合），若∠B=28°，则 La=°. 【答案】152 目例题4 1.将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°， ∠E=∠B=45°. (1)求证：∠ACE=∠BCD. (2)猜想LACB与∠ECD的数量关系并说明理由. 【答案】(1)∠ACD=∠ECB=90, .∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-LECD, LBCD=∠ECB-∠ECD=90°-LECD, .∠ACE=∠BCD (2)猜想：∠ACB+∠ECD=180°. ∠ACD=∠ECB=90°， :.∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCD+∠ECD =∠ACD+∠BCD =90°+90°=180°. 课时1练习题 1.将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的 一边上，若∠1=38°，则2的度数是()· 4 2 A.28 B.52 C.62 D.72° 【答案】B 【解析】解：∠1=38°，∠3=90 ÷.∠2=180°-90°-38°=52 故选：B 3 2.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠A0D=150°，则 LBOC等于 D 【答案】30° 【解析】解：∠AOB=∠C0D=90°，∠A0D=150 .∠B00=∠A0B+∠C0D-∠A0D=90°+90°-150°=30 故答案为：30° 3.如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，下列角度中不能 使用这一副特制的三角板画出的是()· 文36 45 72 729 45 A.54 B.72 C.150 D.1719 【答案】C 【解析】解：A.54°=90°-36°，则54°能画出： B.72°能画出； C.150°不能写成36°、72°、45°、90°的和或差的形式，不能画出： D.171°=90°+45°+36，则171°能画出. 故选：C 4.如图，将两块直角三角板按不同方式进行叠放 (1)在图1中，两块三角板的直角顶点C重合.若∠DCE=25°，求∠ACB的度数； (2)图2中是两块相同的三角板，且60°锐角的顶点A重合，则∠DAB与∠CAE满足 怎样的等量关系，请说明理由. D 图1 图2 【答案】(1)∠ACB=155°： (2)∠DAB+∠CAE=120°：证明见解析 【解析】(1)由题意得∠ACD=∠BCE=90° ,∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠DCE=25 ·.∠ACB=∠ACD+(LBCE-∠DCE) =90°+(90°-25) =155°； (2)∠DAB+∠CAE=120°.理由如下： ∠DAB+∠CAE =(LDAC+∠CAB)+(LBAE-∠CAB) =∠DAC+∠BAE =60°+60° =120° 课时2长方形折叠问题中的角度计算 日知识讲解 折叠前后角度相等. 9例题1 7 1.综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行 了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A处，EF为折痕，如图①所 示 (1)若LAEF=30°，求∠AEB的度数. (2)在第一问的基础上，又将长方形的另一个角也折过去，并使点B落在EA上的 B处，折痕为EG,如图②所示，求∠FEG的度数， (3)若改变∠AEF的大小，则EA的位置也随之改变，那么∠FEG的大小是否改变？ 请说明理由. 图① 图2 【答案】（1)①120°.(2)90°；(3)不变，理由略 日例题2 2.如图，点E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE,EF 折叠，使点B,C分别与点G,H重合，点E,G,H恰好在同一条直线上.若 ∠AEH=3LHEF,则∠AEH-∠HEF的度数为(） G A.22.5 B.30° C.45° D.60 6 【答案】C 9例题3 3.将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若 ∠1=51°，∠2=20°，∠3的度数 D D G B 2 【答案】49° 课时2练习题 1.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若 2LABE=∠DBC,则∠DBC为(). A.70° B.65 C.60 D.45 【答案】C 【解析】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠ABE,∠DBC=∠DBC, 又.'∠ABE+∠ABE+∠DBO+∠DBC=180°， 9 .∠ABE+∠DBC=90°， 设∠ABE=a, .:2LABE=∠DBC .∠DBC=2a, 即a+a+2a+2a=180°， 6a=180°， 解得a=30°， .2a=60°， 即∠DBC=∠DBC=60°. 故选：C。 2.将一张长方形纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF,GF为两条折痕， 若∠BFC=28°，则∠EFG的度数为(）. 0 E B A.56 B.76 C.96 D.108° 【答案】B 【解析】解：根据题意，可得：∠CFG=∠CFG,∠BFE=∠BFE :∠EFG=∠BFE+LCFG-∠BFC,∠BFC=28°， .∠EFG=∠BFE+∠CFG-28 ,∠BFE+∠EFG+∠CFG=180°， :.∠BFE+∠CFG=180°-∠EFG. 10