6.4二项分布、超几何分布练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

二项分布、超几何分布 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设随机变量X服从两点分布，若，则( ) A.0.7 B.0.75 C.0.3 D.0.25 2.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是( ) A. B. C. D. 3.产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为X，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3，则下列判断不正确的是( )（参考：超几何分布其均值） A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布 C. D. 4.在n重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为p，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则X的方差为( ) A. B. C.1 D.2 5.已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，，，的期望分别为，，方差分别为，，则( ) A.， B.， C.， D.， 6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，若，且，则( ) A.6 B.5 C.4 D.3 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知随机变量X、Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 8.随机变量，且，则( ) A. B. C. D. 9.在某独立重复试验中，事件A，B相互独立，且在一次试验中，事件A发生的概率为P，事件B发生的概率为，其中.若进行n次试验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件发生的次数为Z，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10.若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则( ) A. B. C.X的数学期望 D.X的方差 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率均为，设他参加一次答题活动得分为，则____________. 12.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 13.如果随机变量，且，，则______________. 14.袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望______________． 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第m天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第n天跳绳的概率为. (1)求； (2)证明为等比数列； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，.记小华前n天跳绳的天数为X，求. 1.答案：B参考答案 解析：由题意有：解得.故选：B. 2.答案：C 解析：依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量，，，，X服从超几何分布，所以黑球个数的数学期望是.故选：C 3.答案：D 解析：对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若，则，与选项C矛盾，D错误.故选：D 4.答案：B 解析：因为2次试验中恰好发生1次的概率为，所以，化简得.解得或.因为随机变量，所以. 当时，；当时，. 综上，.故选：B. 5.答案：A 解析：由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，5，的可能取值为0，1，2，3，4，5， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布，根据超几何分布的均值方差公式得： ，，，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得：，，即， ，所以，.故选：A. 6.答案：A 解析：由题意得，所以，解得或.又，即，所以，所以，所以.故选A. 7.答案：ABC 解析：因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错.故选：ABC. 8.答案：AB 解析：根据随机变量，且，根据二项分布的性质，可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误.故选：AB. 9.答案：BC 解析：由题意得，，所以，，，，故A错误，B正确； 因为事件A，B相互独立，所以，所以，所以，故C正确； ，，故D错误.故选BC. 10.答案：ACD 解析：由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为，取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数，知，故A正确； ，故B错误； X的数学期望，故C正确﹔ X的方差，故D正确.故选：ACD． 11.答案： 解析：由题意得的可能取值为5，4，3，2，，， 则， 则. 12.答案：①.2②.1 解析：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上相互独立，所以，所以，.故答案为：2；1. 13.答案： 解析：因为，，所以，所以①，又，所以②，①代入②，得，解得.故答案为：. 14.答案： 解析：若黑球数小于2，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，设有个黑球，则，解得满足题意，由题意白球的个数为X服从超几何分布，所以随机变量X的数学期望为.故答案为：. 15.答案：(1) (2)证明见解析 (3) 解析：(1)由题意，，第3天跳绳有两种情况：第1天跳，第3天跳，其概率为； 第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为.. (2)由题意得，小华第天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为， 小华第天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为， ，即，. ，， 是以为首项，为公比的等比数列. (3)，，， ，，，， ， ，. 记他前n天中，第i天跳绳的天数为.由题意得，服从两点分布，且， 因为，所以 ， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $