专题03 动态圆模型（讲义）物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中物理动态圆模型，系统梳理放缩圆（速度方向一定、大小不同，圆心共线）、旋转圆（速度大小一定、方向不同，圆心共圆）、平移圆（速度大小方向一定、入射点不同，圆心共线）三类模型，通过模型剖析、例题精讲及变式训练搭建学习支架。 资料以模型建构为核心，结合典型例题与变式训练，培养学生科学思维与科学推理能力。如通过几何关系分析临界条件，提升磁场中粒子运动问题解决能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题03 动态圆模型 【模型一】放缩圆法 【模型剖析】 1. 适用条件: 粒子速度方向一定, 大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子, 粒子垂直进入匀强磁场时, 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。 2. 轨迹特点: 轨迹圆圆心在同一条直线上 如图所示, 假设粒子带正电, 速度越大, 轨迹圆的半径也越大, 又出发位置相同, 这些带电粒子射入磁场后, 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 上, 相当于将轨迹圆的半径以入射点 为定点，为直径所以直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹圆就叫放缩圆。 3. 寻找临界条件 以入射点 为定点,将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹, 从而找到临界圆。 【例题精讲】 【例1】（多选）（2025春•运城期末）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度v0进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．粒子在磁场中运动的时间 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A．粒子带正电，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．根据题意作图，如图，粒子圆周运动半径为 根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； CD．粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 则有 故C正确，D错误。 故选：BC。 【例2】（2025•庐阳区校级开学）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，半圆弧bc的半径为R，ab、cd与直径bc共线，a、b两点间的距离等于圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a点以大小不同的速率垂直于ab射入磁场。不计粒子所受重力及粒子之间的相互作用，sin37°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．若粒子经过圆心O，则粒子射入磁场时的速率为 B．若粒子经过圆心O，则粒子在磁场中的运动时间为 C．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子射入磁场时的速率为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：AB．若粒子经过圆心O，则粒子轨迹如图 有几何关系知R2+r2＝（2R﹣r）2 解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得做圆周运动的速度为 由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为127°，则时间，故AB错误； CD．当轨迹圆弧所对应的弦与bc半圆形边界相切时，轨迹圆弧所对应的弦与ab的夹角最大，那么轨迹的圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图所示 圆心恰好位于b点，此时r'＝R 根据洛伦兹力提供向心力 解得洛伦兹力提供向心力 由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为120°，则粒子在磁场中的运动时间为，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•湖南期中）如图所示，直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为m、电荷量均为e，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．可能有粒子从M点射出磁场 B．从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C．从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D．负粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【解答】解：A.根据题意可知，正粒子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示 由正粒子的运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，故A错误； C.当从MN边射出的正粒子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，根据几何关系可知圆心角为120°，则最长时间 tm 故C正确； B.负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负粒子从D点离开磁场时，则 得 所以负粒子的速度大小为 故B错误； D.粒子从P、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为 故D错误。 故选：C。 【变式训练2】（2024秋•南岗区校级期末）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解答】解：从a点和d点射出的电子运动轨迹如图所示： 根据几何关系可得，a点射出粒子半径Ra 由 代入数据解得va d点射出粒子半径为R，有 解得R 由 代入数据解得vd 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练3】（多选）（2025•广西开学）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，d为ac边的中点，e为bc边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从a点以大小不同的速率沿ab方向射入磁场，分别从d、c、e点射出磁场，其轨迹圆心分别为O1、O2、O3（图中未标出），所用时间分别为t1、t2、t3，且t1：t3＝3：2，ab边长度为L，则（　　） A．t2：t3＝3：2 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从c点与从e点射出的速率之比为 D．O1、O3两点距离为 【答案】ACD 【解答】解：A．粒子运动轨迹如下图所示 从d、c两点射出时对应的圆心角都等于90°，所以它们在磁场中运动时间也相等，即t1＝t2 根据题意可知t1：t3＝3：2 所以t2：t3＝3：2 故A正确； B．根据题意可知t1：t3＝3：2 且从d点射出时对应的圆心角为90°，所以从e点射出时对应的圆心角为60°，即 得 故B错误； C．根据ab＝L，结合几何关系得 rc＝O2c＝L 由牛顿第二定律 得 由于q、m、B相同，速度与半径成正比 故C正确； D．O1、O3两点距离为 故D正确； 故选：ACD。 【变式训练4】（多选）（2025•闽侯县校级三模）如图所示，直角三角形ACD区域内有垂直三角形平面的匀强磁场，∠A＝30°，∠C＝90°，AD边长为L，在AC边中点P在三角形平面内沿与PA边夹角为30°的方向向磁场内射入质量为m、电荷量为q的各种不同速度的带正电粒子，有的粒子能沿垂直AD边的方向射出磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．磁场方向垂直三角形平面向里 B．当粒子速度大小为时，粒子的运动轨迹与AD边相切 C．AD边有粒子射出的区域长度接近 D．AC边有粒子射出的区域长度接近 【答案】BC 【解答】解：A．由于射出的粒子有的能沿垂直AD边射出，由左手定则可知磁场方向一定垂直三角形平面向外，故A错误； B．设粒子射出速度大小为v0时，轨迹与AD相切，设轨迹半径为r， 根据几何关系， 解得粒子的运动半径满足： 根据洛伦兹力提供向心力， 解得粒子速度大小： 故B正确； CD．由几何关系可知，AD边有粒子射出区域长度接近，AC边有粒子射出区域长度接近 故C正确，D错误。 故选：BC。 【模型二】旋转圆法 【模型剖析】 1. 适用条件: 粒子出发地点相同，速度大小一定, 但方向不同。 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子, 粒子垂直进入匀强磁场时, 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。 2. 轨迹特点: 轨迹圆的圆心在同一个圆上 如图所示, 假设粒子带正电, 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点 为圆心、半径 的圆上,这个圆称为“轨迹圆心圆”, 相当于将最外侧的轨迹圆以入射点 为定点进行顺时针旋转, 可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型就旋转圆模型. 3. 寻找临界圆 以入射点 为定点,把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的粒子的轨迹,结合边界条件， 从而找到临界圆。 【例题精讲】 【例1】（2025秋•城阳区期中）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。t＝0时刻，位于坐标原点O的粒子源沿xOy平面向各个方向均匀持续发射速度大小为的粒子。已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力及粒子间相互作用。在时间内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为（　　） A． B． C． D．πL2 【推理过程】 【答案】A 【解答】解：对带电粒子受力分析，根据洛伦兹力提供向心力，可得：，粒子圆周运动的半径的最大值为：； 根据匀速圆周运动特点，可得：，即在时间内，粒子在磁场中圆周运动的圆心角满足：，解得：， 由几何关系可知弦长满足：，解得：， 由左手定则，可知粒子在磁场中向右偏转，则沿x轴负方向射出的粒子，在磁场中的位置为整个能到达区域的左边界； 其他粒子依次到达右侧，其大致轨迹如图所示： 结合几何关系，可得：，解得：，即可得到其在磁场中可到达的区域面积为：， 解得：，故BCD错误，A正确。 故选：A。 【例2】（2025•安徽）如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得，解得粒子的轨迹半径为R＝d，故A错误； B、当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1。 根据几何关系可知s上min＝d； 当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，所以上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C、根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系可知，此时离y轴距离为d，所以下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D、根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，为tminT，故D错误。 故选：C。 【例3】（2025•崆峒区校级模拟）如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在圆心O的上方沿水平方向关于圆心O对称放置粒子收集板，板长为R，圆周上与圆心等高的P点有一粒子源，可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相等、方向均与磁场方向垂直的同种粒子，部分粒子可垂直打在收集板上。粒子的质量为m，电荷量为+q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．粒子发射速度的大小为 C．能够打在收集板上的粒子数占总数的 D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A.由左手定则可判断圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B.由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有 解得 故B错误； C.从磁场射出的刚好打在收集板左端的粒子，其运动轨迹如图所示 由几何关系可得 ∠α＝30° ∠θ＝30° 同理可知刚好打在收集板右端的粒子，其入射速度方向与PO的夹角也为 ∠θ'＝30° 则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为 故C正确； D.粒子在磁场中运动的周期 T 解得 打在收集板右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有 故D错误。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•百色期末）如图，直角三角形abc中∠a＝30°，ac＝L，处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则（　　） A．ab边上有粒子到达区域的长度为 B．ab边上有粒子到达区域的长度为 C．从ac边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】B 【解答】解：AB．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得运动半径满足 如下图所示 由几何关系可得ab边上有粒子到达区域的长度为，故A错误，B正确； C．当c点入射速度方向趋近于平行ca时，从ac边射出的粒子在磁场中运动的时间趋近于0，故C错误； D．粒子的运动轨迹如下图所示 粒子从ab边上f点射出时，对应的圆心角最大，所用时间最长，最大圆心角为120°，由洛伦兹力提供向心力，最长时间为，故D错误。 故选：B。 【变式训练2】（2025•芜湖二模）如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P点有一粒子源，P点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带负电的粒子，粒子质量为m，电荷量为﹣q，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（　　） A．从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9：2 【答案】B 【解答】解：A．粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得 解得 粒子运动轨迹如下图所示 由几何关系可知，从x轴射出磁场的粒子所对应的角度范围为90°，则从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 故A错误； B．粒子运动轨迹如下图所示 由几何关系可知，从OM之间射出磁场的粒子所对应的角度范围为30°，则从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 故B正确； C．到达x轴的粒子中，当粒子到达P点正下方位置对应圆心角最小，所用时间最短，如图所示 故 故C错误； D．粒子运动轨迹如下图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中运动的最长路径对应的圆心角为360°，最短路径对应的圆心角为60°，可知粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为smax：smin＝360°：60°＝6：1 故D错误。 故选：B。 【变式训练3】（多选）13．（2025春•山西期末）如图所示，边长为2a的等边三角形PQR区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。底边中点O处有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向均匀发射同种带正电的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为q，速度大小均为。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子不可能垂直PQ边出射 B．从Q点射出的带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 C．从P点射出的带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 D．从QR边射出的粒子占总粒子数的 【答案】BD 【解答】解：A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由 解得r＝a 由于粒子的运动轨迹半径等于等边三角形边长的一半，如图所示 若粒子沿OP方向射入磁场，轨迹圆心恰好在Q点，则此粒子可以垂直PQ边出射，故A错误； BD．如上图所示，轨迹恰好经过Q点的粒子在O点入射方向与OQ的夹角为θ，轨迹的圆心角为60°，所以从Q点射出的带电粒子在磁场中运动的时间为 且易知θ＝30°，可得从QR边出射的粒子应占总粒子数的比为 故BD正确。 C．假设磁场范围允许，粒子从O点出发，在磁场中做圆周运动经过P点射出磁场，则所用时间为 题中粒子欲沿圆周经过P必先从PR边射出磁场，所以粒子不可能完成上述假设的运动，故C错误。 故选：BD。 【变式训练4】（2025•西安校级模拟）如图所示，O点是一个粒子源，能在平面内沿看各个方同均匀、持续地发射电荷量为q、质量为m、速度大小恒定的带正电粒子。半圆形区域内以及水平线MON以下存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆心为O，粒子从边界射出磁场的最远位置为P点，O、P之间的距离为2R，则（　　） A．有三分之二的带电粒子射出磁场 B．从圆弧边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子源发射粒子的速度大小为 D．从P点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为 【答案】BC 【解答】解：C、由粒子从边界射出磁场的最远位置为P，可知OP长度为粒子圆周运动的直径，故r＝R，由洛伦兹力提供向心力可知：，得，故C正确； D、由C选项分析可知，从P射出磁场的粒子，在磁场中运动的时间满足：，而周期：，联立解得：，故D错误 B、由几何关系可知，从圆弧边界射出磁场的粒子，在磁场中运动的弦长都是R，由几何关系可知，其时间为：，而周期：，联立解得：，故B正确； A、由几何关系可知，不能从磁场出去的粒子的临界情况如下图所示： 由圆形特点可知：α＝β＝30°，故从O点发射的粒子中，能出去的比例为：，故A错误。 故选：BC。 【变式训练5】（多选）（2025春•达州期末）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。a、b、c、d为圆形区域边界的四等分点，半径oa的中点p处有一粒子源，能在纸面内沿各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为的正电粒子。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 B．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 C．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最长时间为 D．圆弧ad上有粒子射出的区域弧长为 【答案】BD 【解答】解：AB、根据题意可知，粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得qvB＝m 可得粒子做圆周运动的轨道半径为r 代入数据解得r， 能离开圆形区域的粒子，当粒子从a点离开时，粒子运动轨迹对应的圆心角最小，在圆形区域内运动的时间最短，如图所示 根据几何关系可知轨迹对应的圆心角为60°，则最短时间为tmin，故A错误，B正确； C、根据题意可知，能离开圆形区域的粒子，当粒子从圆弧ac上离开且粒子运动轨迹与圆弧ac相切时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，在圆形区域内运动的时间最长，如图所示 由几何关系可知轨迹对应的圆心角为α＝180°+60°＝240° 则最长时间为tmax，故C错误； D、根据题意可知，圆弧ad上有粒子射出位置离a点最远时，粒子运动轨迹刚好与圆弧ad相切，如图所示 根据几何关系可知θ＝60°，则圆弧ad上有粒子射出的区域弧长为l，故D正确。 故选：BD。 【模型三】平移圆法 【模型剖析】 1. 适用条件: 速度大小一定, 方向一定，入射点不同，且为直线边界。 粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等， 方向相同。但入射点不同， 粒子进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就象把一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。 2. 轨迹特点: 轨迹圆圆心在同一条直线上。 如图所示, 假设粒子带负电, 不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上, 该直线与入射点的连线重合. 3. 寻找临界条件 将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移, 从而找到粒子运动的临界圆。 【例题精讲】 【例1】（2024春•南京期中）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为﹣q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ac边射入场区，结果在ab边仅有的区域内有粒子射出。已知ab边长为，不计粒子重力及粒子间相互作用，粒子的入射速度为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】B 【解答】解：粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 在ab边仅有的区域内有粒子射出 解得粒子的入射速度 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【例2】（2025•海南一模）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有： 解得： 根据洛伦兹力提供向心力： 联立解得匀强磁场的最大磁感应强度： 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•宝鸡二模）如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，CD＝L，θ＝30°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为（　　） A．40% B．47.3% C．52.7% D．60% 【答案】C 【解答】解：粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力 可得：r＝0.3L 当粒子的轨迹与AC边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的右侧临近点，设此时入射点为E，则 r 解得： 当粒子的轨迹与CD边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的左侧临近点，设此时入射点为F，则 解得： 则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的入射点的长度为 解得： 所以，粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练2】（多选）．（2025•湖北二模）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为+q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】BC 【解答】解：AB、粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，解得r，因为bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图1中实线所示，由几何关系得：rL，则粒子的入射速度v，故A错误，B正确； C、从a点入射的粒子在磁场运动的最长轨迹为πrπL，故C正确； D、与bc边相切恰从bc边射出的粒子的轨迹（如图2），对应的最大偏转角最大为，根据tT，T，可知从bc边射出的粒子在磁场内最长时间为t，故D错误。 故选：BC。 1．（2025•浉河区校级三模）在xOy平面的0≤y＜a的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的质子从原点O均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的三分之二，不计质子间相互作用，则质子在磁场中的临界轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由洛伦兹力充当向心力，即 可知速率相等的大量质子的运动半径也相等， 根据从原点O均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的三分之二，则从磁场上边界射出的质子的发射角度范围60° 则质子在磁场中的临界轨迹可能正确的是D。故ABC错误，D正确。 故选：D。 2．（2025•湖南一模）如图所示，圆的半径为R，圆心为O。圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0。圆上P点粒子源平行圆面向圆内各个方向发出速度大小为的带正电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计重力，粒子在磁场中运动的时间可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得qvB0＝m，解得r＝2R 区域圆直径对应的轨迹圆的圆弧是粒子在磁场中的最长运动轨迹，如图所示 由几何知识可知，粒子在磁场中转过的最大圆心角θ＝60° 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T 粒子在磁场中的最长运动时间tmax，故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．（2025春•上饶期末）如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为2L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量大小为q的带正电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，从PQ边界线射出的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为L，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从PQ边射出的区域长为2L C．从PQ边射出的所有粒子中通过磁场最短的时间为 D．斜向上与MN夹角为37°方向射入的粒子恰好从b点射出 【答案】B 【解答】解：ABD、粒子运动轨迹如图所示 根据几何知识得r2＝L2+（2L﹣r）2，sinα，解得rL，α＝53°， 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v， 由几何知识可知，粒子从PQ边射出区域的长度s＝db＝2cb＝2L，故AD错误，B正确； C、从PQ边射出的粒子中，从b点离开磁场的粒子运动时间最短，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得sin0.8，解得θ＝106°， 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T， 粒子在磁场中的最短运动时间t，故C错误。 故选：B。 4．（2025春•宝安区校级期中）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是（　　） A．，正电荷 B．，负电荷 C．，正电荷 D．，负电荷 【答案】B 【解答】解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如下图所示， 粒子运动过程中与x轴的最大距离为a，可得粒子的轨道半径r与a的关系为： 由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 联立解得： 根据左手定则，可知粒子带负电。故ACD错误，B正确。 故选：B。 5．（2024秋•石家庄期末）如图所示，在一直线边界上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。直线边界上有一粒子源位于O点，零时刻粒子源同时向纸面内沿两个不同的方向发射速度大小均为v、质量均为m、电荷量均为q的粒子，且两个粒子先后经过该边界上另外一点P，P点到O点的距离为。若不计粒子重力和粒子间的相互作用，则这两个粒子到达P点的时间差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由得 可知，半径相同，根据题意可知 根据几何关系可知，两粒子入射与边界OP方向夹角分别为60°和120°根据题意可知，出射方向速度与边界OP方向夹角60°和120°，如图 两粒子运动周期 两个粒子在磁场中运动所对应的圆心角分别为240°和120°，两个粒子到达P点的时间差为 故ABD错误，C正确。 故选：C。 6．（2024秋•南岗区校级期末）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为 （　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解答】解：从a点和d点射出的电子运动轨迹如图所示： 根据几何关系可得，a点射出粒子半径Ra 由 代入数据解得va d点射出粒子半径为R，有 解得R 由 代入数据解得vd 故ABC错误，D正确。 故选：D。 7．（2024秋•大连校级期中）如图所示，在x＞0，y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（　　） A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点 B．从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C．从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 【答案】D 【解答】解：A．带正电的粒子从P点沿与x轴正方向成30°角的方向射入磁场中，轨迹如图所示 粒子在磁场中要想到达O点，转过的圆心角肯定大于180°，因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点，故A正确； BCD．根据 又 联立，解得 由于P点的位置不确定，所以粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角是轨迹圆弧与y轴相切时即300°，运动时间为 可知从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为。 最小的圆心角是P点在坐标原点时即120°，运动时间为 可知从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间范围 故BC正确，D错误。 本题选错误的，故选：D。 8．（2025春•成都期末）如图所示，一个边界为PQ、MN（两边界上有磁场）的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，则MN边界上有质子射出的区域长度为（　　） A． B． C． D．2d 【答案】C 【解答】解：从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，即当入射角度与PQ边界为60°角入射时恰好与MN边界相切，如图甲所示 由几何关系可知 R+Rcos60°＝d 解得 此时，可确定质子从MN边界射出的最高点；当质子与PQ边界平行入射时，如图乙所示 此时为质子从MN边界射出的最低点，则由几何关系可知，MN边界上有质子射出的区域长度 故C正确，ABD错误； 故选：C。 （多选）9．（2025春•桂林期末）如图所示，足够长的荧光板PQ上方存在垂直纸面向里的匀强磁场。荧光板上N点正上方有一粒子源M，能够均匀地向纸面内各个方向同时发射速度大小为v、比荷为的带负电粒子。N点到粒子源M的距离为d，粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子从出发到荧光板的最短时间为 B．粒子从出发到荧光板的最长时间为 C．打到荧光板上的粒子数占总粒子数的三分之一 D．粒子能打到荧光板上的区域长度为 【答案】AD 【解答】解：A、所有粒子运动的线速度大小相等，粒子在磁场中运动时间与弧长成正比，由几何知识可知从粒子源出发，打到P点的粒子运动轨迹对应弦长最短，时间最短， 作出粒子运动的弧长最长和最短的轨迹如图所示，最短弧长的轨迹经过P点，最长弧长的轨迹与MN相切于T点。 设此时粒子速度方向转过的角度为2θ，根据几何关系可得，求得θ＝53°， 则从粒子源出发到板的最短时间为，故A正确； B、从粒子源出发打到荧光板MN上P点右侧与荧光板恰好相切的点（图中T点）的粒子运动的时间最长，由几何知识可得此时轨迹所对应圆心角读数为α＝233°，则可得运动时间，故B错误； D、设粒子打在荧光板MN上的左侧最远处的点为K点，由几何关系可知 粒子能打到板上右侧最远点为Q，由几何知识可得 则粒子能打到荧光板上的区域长度为，故D正确； C、根据以上分析可知，由几何知识可求得打到荧光板上的粒子从粒子源向四周发出时所在范围对应的角度为2×53°＝106°， 所以打到荧光板上的粒子数占总粒子数为，故C错误。 故选：AD。 （多选）10．（2025春•东莞市期末）如图所示，在直角△AOC区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B。O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为m，电荷量为+q，速率均为v，OC长为d且∠OAC＝60°，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．从AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．带电粒子在磁场中的运动半径为d C．AC边上有粒子到达区域的长度为 D．OC边上有粒子到达区域的长度为 【答案】ACD 【解答】解：B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得r，故B错误； A、从AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间的运动轨迹交AC于M点，圆弧所对应的圆心角为60°，粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，从AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间tmin，故A正确； C、AC边上有粒子到达区域的长度为MN间的距离，由几何知识得MN＝2rcos30°﹣（d），解得MN，故C正确； D、OC边上有粒子到达的区域长度为OD间的距离，由几何知识得OD＝2rcos30°，解得ODd，故D正确。 故选：ACD。 （多选）11．（2025•汕头二模）如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以速度v0从a点沿x轴正方向射入磁场，不计粒子重力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间 C．若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与y轴正方向的夹角为60° D．若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 【答案】BD 【解答】解：A．若粒子恰好从c点射出磁场，几何关系可知，粒子圆周运动半径为r＝L，根据洛伦兹力提供向心力，半径满足 解得 故A错误； B．若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，轨迹如下图所示 设轨迹圆半径为R，几何关系可知： 解得半径满足： 则此时圆心角满足： 可知圆心角为：θ＝53° 则粒子在磁场中运动的时间满足： 故B正确； C．若，根据洛伦兹力提供向心力，则轨迹圆半径满足： 这种情况粒子从cd边射出，设粒子射出磁场时速度方向与y轴正方向夹角为β，则圆心角满足： 即β≠60° 故C错误； D．若粒子从cd边射出磁场，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大不超过180°，则最长运动时间，所以粒子在磁场中运动的时间一定不超过。 故D正确。 故选：BD。 12．（2025秋•乌鲁木齐校级期中）如图所示，三角形EFG所在的区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，匀强磁场的方向垂直纸面向里。三角形EFG中∠EGF＝30°，∠EFG＝90°，EF长为L。F处有一粒子源，能沿FG方向发射出大量带电荷量为+q的同种粒子，粒子质量为m，带电粒子重力不计，试求： （1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间。 【答案】（1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值等于； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间等于。 【解答】解：（1）当粒子运动轨迹与EG边相切时，轨迹如图所示 根据几何关系得 得 又由洛伦兹力提供向心力可得 可得 （2）由洛伦兹力提供向心力 可得 当v0＝vm时，粒子运动轨迹与EG边相切，此时圆心角最大为150°，时间最长为 答：（1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值等于； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间等于。 13．（2025秋•南阳期中）如图所示，一个圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），圆形磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为B，O为圆心，P为其竖直直径的下端点，Q为其水平直径的左端点。P点有一个粒子源，可同时沿180°范围向磁场中均匀发射速度大小相同的质量为m，电荷量为q的带正电粒子，已知所有粒子的最远出射点为Q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求： （1）粒子的速度大小； （2）所有粒子轨迹在磁场中扫过的面积； （3）从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占粒子总数的比例。 【答案】（1）粒子的速度大小为； （2）所有粒子轨迹在磁场中扫过的面积为； （3）从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占粒子总数的比例为。 【解答】解：（1）由于所有粒子的速度大小相等，所以粒子的半径相等，又因为Q为粒子的最远出射点，所以PQ为粒子轨迹的直径。由于圆形磁场的半径为R，所以 则粒子的轨迹半径 由 得 解得 （2）所有粒子的轨迹扫过的区域如图所示 可以将区域分为3部分，第1部分为对应圆心角为90°的弓形，第2部分为以PQ为半径的扇形，第3部分为以PQ为直径的半圆第1部分的面积 由几何关系可知第2部分对应的圆心角为45°，则第2部分的面积 第3部分的面积 则所有粒子轨迹扫过的面积 （3）从Q点出射的粒子的轨迹如图所示 由几何关系可知其初速度与水平方向的夹角θ＝45°，该粒子的圆心角为180° 入射角比该粒子小的粒子出磁场时轨迹的圆心角都大于该粒子的圆心角，故这些粒子在磁场运动的时间都比该粒子长，所以当从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占总粒子数的比例 答：（1）粒子的速度大小为； （2）所有粒子轨迹在磁场中扫过的面积为； （3）从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占粒子总数的比例为。 14．（2025•江西二模）如图所示，在xOy坐标的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴和y轴上装有两相互垂直的平面荧光屏，在第一象限坐标（l，2l）的M点处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，均为，速度方向均在xOy平面内，分布在0～360°范围内。观察发现：x轴上的荧光屏OP之间发光，在P、Q之间的任一位置会先后两次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求： （1）粒子的运动半径和P点的坐标； （2）粒子打到荧光屏上的最短时间（用反角函数表达）； （3）Q点先后两次发光的时间间隔。 【答案】（1）粒子的运动半径为2l；P点的坐标； （2）粒子打到荧光屏上的最短时间为 （或、）； （3）Q点先后两次发光的时间间隔。 【解答】解：（1）由牛顿第二定律有 可知带电粒子运动的半径为 P点是发光的最远点，因此MP为圆轨迹的直径，根据几何知识可得 解得 所以P点的坐标为 （2）带电粒子运动到y轴上的荧光屏最短的弦长为l，对应的圆心角为2θ，则 由牛顿第二定律有 相应的最短时间为 （或、） （3）Q点第二次发光时，粒子的运动轨迹与x轴相切，由几何知识可得，其对应的圆心角为 第一次发光时，粒子的运动轨迹对应的圆心角为 因此两次发光的时间间隔为 答：（1）粒子的运动半径为2l；P点的坐标； （2）粒子打到荧光屏上的最短时间为 （或、）； （3）Q点先后两次发光的时间间隔。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 动态圆模型 【模型一】放缩圆法 【模型剖析】 1. 适用条件: 粒子速度方向一定, 大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子, 粒子垂直进入匀强磁场时, 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。 2. 轨迹特点: 轨迹圆圆心在同一条直线上 如图所示, 假设粒子带正电, 速度越大, 轨迹圆的半径也越大, 又出发位置相同, 这些带电粒子射入磁场后, 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 上, 相当于将轨迹圆的半径以入射点 为定点，为直径所以直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹圆就叫放缩圆。 3. 寻找临界条件 以入射点 为定点,将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹, 从而找到临界圆。 【例题精讲】 【例1】（多选）（2025春•运城期末）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度v0进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．粒子在磁场中运动的时间 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A．粒子带正电，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．根据题意作图，如图，粒子圆周运动半径为 根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； CD．粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 则有 故C正确，D错误。 故选：BC。 【例2】（2025•庐阳区校级开学）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，半圆弧bc的半径为R，ab、cd与直径bc共线，a、b两点间的距离等于圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a点以大小不同的速率垂直于ab射入磁场。不计粒子所受重力及粒子之间的相互作用，sin37°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．若粒子经过圆心O，则粒子射入磁场时的速率为 B．若粒子经过圆心O，则粒子在磁场中的运动时间为 C．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子射入磁场时的速率为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：AB．若粒子经过圆心O，则粒子轨迹如图 有几何关系知R2+r2＝（2R﹣r）2 解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得做圆周运动的速度为 由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为127°，则时间，故AB错误； CD．当轨迹圆弧所对应的弦与bc半圆形边界相切时，轨迹圆弧所对应的弦与ab的夹角最大，那么轨迹的圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图所示 圆心恰好位于b点，此时r'＝R 根据洛伦兹力提供向心力 解得洛伦兹力提供向心力 由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为120°，则粒子在磁场中的运动时间为，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•湖南期中）如图所示，直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为m、电荷量均为e，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．可能有粒子从M点射出磁场 B．从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C．从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D．负粒子在磁场中运动的最长时间为 【变式训练2】（2024秋•南岗区校级期末）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3】（多选）（2025•广西开学）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，d为ac边的中点，e为bc边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从a点以大小不同的速率沿ab方向射入磁场，分别从d、c、e点射出磁场，其轨迹圆心分别为O1、O2、O3（图中未标出），所用时间分别为t1、t2、t3，且t1：t3＝3：2，ab边长度为L，则（　　） A．t2：t3＝3：2 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从c点与从e点射出的速率之比为 D．O1、O3两点距离为 【变式训练4】（多选）（2025•闽侯县校级三模）如图所示，直角三角形ACD区域内有垂直三角形平面的匀强磁场，∠A＝30°，∠C＝90°，AD边长为L，在AC边中点P在三角形平面内沿与PA边夹角为30°的方向向磁场内射入质量为m、电荷量为q的各种不同速度的带正电粒子，有的粒子能沿垂直AD边的方向射出磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．磁场方向垂直三角形平面向里 B．当粒子速度大小为时，粒子的运动轨迹与AD边相切 C．AD边有粒子射出的区域长度接近 D．AC边有粒子射出的区域长度接近 【模型二】旋转圆法 【模型剖析】 1. 适用条件: 粒子出发地点相同，速度大小一定, 但方向不同。 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子, 粒子垂直进入匀强磁场时, 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。 2. 轨迹特点: 轨迹圆的圆心在同一个圆上 如图所示, 假设粒子带正电, 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点 为圆心、半径 的圆上,这个圆称为“轨迹圆心圆”, 相当于将最外侧的轨迹圆以入射点 为定点进行顺时针旋转, 可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型就旋转圆模型. 3. 寻找临界圆 以入射点 为定点,把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的粒子的轨迹,结合边界条件， 从而找到临界圆。 【例题精讲】 【例1】（2025秋•城阳区期中）如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。t＝0时刻，位于坐标原点O的粒子源沿xOy平面向各个方向均匀持续发射速度大小为的粒子。已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力及粒子间相互作用。在时间内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为（　　） A． B． C． D．πL2 【推理过程】 【答案】A 【解答】解：对带电粒子受力分析，根据洛伦兹力提供向心力，可得：，粒子圆周运动的半径的最大值为：； 根据匀速圆周运动特点，可得：，即在时间内，粒子在磁场中圆周运动的圆心角满足：，解得：， 由几何关系可知弦长满足：，解得：， 由左手定则，可知粒子在磁场中向右偏转，则沿x轴负方向射出的粒子，在磁场中的位置为整个能到达区域的左边界； 其他粒子依次到达右侧，其大致轨迹如图所示： 结合几何关系，可得：，解得：，即可得到其在磁场中可到达的区域面积为：， 解得：，故BCD错误，A正确。 故选：A。 【例2】（2025•安徽）如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得，解得粒子的轨迹半径为R＝d，故A错误； B、当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1。 根据几何关系可知s上min＝d； 当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，所以上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C、根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系可知，此时离y轴距离为d，所以下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D、根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，为tminT，故D错误。 故选：C。 【例3】（2025•崆峒区校级模拟）如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在圆心O的上方沿水平方向关于圆心O对称放置粒子收集板，板长为R，圆周上与圆心等高的P点有一粒子源，可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相等、方向均与磁场方向垂直的同种粒子，部分粒子可垂直打在收集板上。粒子的质量为m，电荷量为+q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．粒子发射速度的大小为 C．能够打在收集板上的粒子数占总数的 D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A.由左手定则可判断圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B.由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有 解得 故B错误； C.从磁场射出的刚好打在收集板左端的粒子，其运动轨迹如图所示 由几何关系可得 ∠α＝30° ∠θ＝30° 同理可知刚好打在收集板右端的粒子，其入射速度方向与PO的夹角也为 ∠θ'＝30° 则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为 故C正确； D.粒子在磁场中运动的周期 T 解得 打在收集板右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有 故D错误。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•百色期末）如图，直角三角形abc中∠a＝30°，ac＝L，处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电粒子。不计粒子的重力和相互间作用力，则（　　） A．ab边上有粒子到达区域的长度为 B．ab边上有粒子到达区域的长度为 C．从ac边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【变式训练2】（2025•芜湖二模）如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P点有一粒子源，P点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带负电的粒子，粒子质量为m，电荷量为﹣q，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（　　） A．从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9：2 【变式训练3】（多选）13．（2025春•山西期末）如图所示，边长为2a的等边三角形PQR区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。底边中点O处有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向均匀发射同种带正电的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为q，速度大小均为。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子不可能垂直PQ边出射 B．从Q点射出的带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 C．从P点射出的带电粒子在磁场中做圆周运动的时间为 D．从QR边射出的粒子占总粒子数的 【变式训练4】（2025•西安校级模拟）如图所示，O点是一个粒子源，能在平面内沿看各个方同均匀、持续地发射电荷量为q、质量为m、速度大小恒定的带正电粒子。半圆形区域内以及水平线MON以下存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆心为O，粒子从边界射出磁场的最远位置为P点，O、P之间的距离为2R，则（　　） A．有三分之二的带电粒子射出磁场 B．从圆弧边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子源发射粒子的速度大小为 D．从P点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为 【变式训练5】（多选）（2025春•达州期末）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。a、b、c、d为圆形区域边界的四等分点，半径oa的中点p处有一粒子源，能在纸面内沿各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为的正电粒子。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 B．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为 C．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最长时间为 D．圆弧ad上有粒子射出的区域弧长为 【模型三】平移圆法 【模型剖析】 1. 适用条件: 速度大小一定, 方向一定，入射点不同，且为直线边界。 粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等， 方向相同。但入射点不同， 粒子进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就象把一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。 2. 轨迹特点: 轨迹圆圆心在同一条直线上。 如图所示, 假设粒子带负电, 不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上, 该直线与入射点的连线重合. 3. 寻找临界条件 将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移, 从而找到粒子运动的临界圆。 【例题精讲】 【例1】（2024春•南京期中）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为﹣q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ac边射入场区，结果在ab边仅有的区域内有粒子射出。已知ab边长为，不计粒子重力及粒子间相互作用，粒子的入射速度为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】B 【解答】解：粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 在ab边仅有的区域内有粒子射出 解得粒子的入射速度 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【例2】（2025•海南一模）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有： 解得： 根据洛伦兹力提供向心力： 联立解得匀强磁场的最大磁感应强度： 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•宝鸡二模）如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，CD＝L，θ＝30°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为（　　） A．40% B．47.3% C．52.7% D．60% 【变式训练2】（多选）．（2025•湖北二模）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为+q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 1．（2025•浉河区校级三模）在xOy平面的0≤y＜a的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的质子从原点O均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的三分之二，不计质子间相互作用，则质子在磁场中的临界轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•湖南一模）如图所示，圆的半径为R，圆心为O。圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0。圆上P点粒子源平行圆面向圆内各个方向发出速度大小为的带正电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计重力，粒子在磁场中运动的时间可能为（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•上饶期末）如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为2L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量大小为q的带正电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，从PQ边界线射出的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为L，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的速度大小为 B．粒子从PQ边射出的区域长为2L C．从PQ边射出的所有粒子中通过磁场最短的时间为 D．斜向上与MN夹角为37°方向射入的粒子恰好从b点射出 4．（2025春•宝安区校级期中）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是（　　） A．，正电荷 B．，负电荷 C．，正电荷 D．，负电荷 5．（2024秋•石家庄期末）如图所示，在一直线边界上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。直线边界上有一粒子源位于O点，零时刻粒子源同时向纸面内沿两个不同的方向发射速度大小均为v、质量均为m、电荷量均为q的粒子，且两个粒子先后经过该边界上另外一点P，P点到O点的距离为。若不计粒子重力和粒子间的相互作用，则这两个粒子到达P点的时间差为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•南岗区校级期末）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．（2024秋•大连校级期中）如图所示，在x＞0，y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（　　） A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点 B．从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C．从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 8．（2025春•成都期末）如图所示，一个边界为PQ、MN（两边界上有磁场）的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，则MN边界上有质子射出的区域长度为（　　） A． B． C． D．2d （多选）9．（2025春•桂林期末）如图所示，足够长的荧光板PQ上方存在垂直纸面向里的匀强磁场。荧光板上N点正上方有一粒子源M，能够均匀地向纸面内各个方向同时发射速度大小为v、比荷为的带负电粒子。N点到粒子源M的距离为d，粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子从出发到荧光板的最短时间为 B．粒子从出发到荧光板的最长时间为 C．打到荧光板上的粒子数占总粒子数的三分之一 D．粒子能打到荧光板上的区域长度为 （多选）10．（2025春•东莞市期末）如图所示，在直角△AOC区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B。O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为m，电荷量为+q，速率均为v，OC长为d且∠OAC＝60°，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．从AC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．带电粒子在磁场中的运动半径为d C．AC边上有粒子到达区域的长度为 D．OC边上有粒子到达区域的长度为 （多选）11．（2025•汕头二模）如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以速度v0从a点沿x轴正方向射入磁场，不计粒子重力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子恰好从bc边的中点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间 C．若粒子的速度，则粒子射出磁场时的速度方向与y轴正方向的夹角为60° D．若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间一定不超过 12．（2025秋•乌鲁木齐校级期中）如图所示，三角形EFG所在的区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，匀强磁场的方向垂直纸面向里。三角形EFG中∠EGF＝30°，∠EFG＝90°，EF长为L。F处有一粒子源，能沿FG方向发射出大量带电荷量为+q的同种粒子，粒子质量为m，带电粒子重力不计，试求： （1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间。 13．（2025秋•南阳期中）如图所示，一个圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），圆形磁场区域的半径为R，磁感应强度大小为B，O为圆心，P为其竖直直径的下端点，Q为其水平直径的左端点。P点有一个粒子源，可同时沿180°范围向磁场中均匀发射速度大小相同的质量为m，电荷量为q的带正电粒子，已知所有粒子的最远出射点为Q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求： （1）粒子的速度大小； （2）所有粒子轨迹在磁场中扫过的面积； （3）从Q点出射的粒子出磁场时，还在磁场中的粒子占粒子总数的比例。 14．（2025•江西二模）如图所示，在xOy坐标的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴和y轴上装有两相互垂直的平面荧光屏，在第一象限坐标（l，2l）的M点处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，均为，速度方向均在xOy平面内，分布在0～360°范围内。观察发现：x轴上的荧光屏OP之间发光，在P、Q之间的任一位置会先后两次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求： （1）粒子的运动半径和P点的坐标； （2）粒子打到荧光屏上的最短时间（用反角函数表达）； （3）Q点先后两次发光的时间间隔。 学科网（北京）股份有限公司 $