专题02 带电粒子在有界磁场中的运动模型（讲义）物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，系统梳理圆心、半径、运动时间的确定方法，通过直线边界、平行边界、圆形边界等五大模型分类剖析，构建从基础参量到复杂情境的递进式学习支架。 资料以模型建构为核心，结合高考真题例题（如2025年安徽开学考）详细呈现科学推理过程，变式训练覆盖多情境。课中助力教师高效授课，课后学生可通过例题解析与分层训练巩固物理观念，提升科学思维与问题解决能力。

专题02 带电粒子在有界磁场中的运动模型 【分析方法】 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动参量的确定： 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α 【模型一】带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 【模型剖析】 直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)：多大角度进入，多大角度出。 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例题精讲】 【例1】（2025•安徽开学）如图，MN为范围足够大的匀强磁场的下边界，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q带正电的粒子从P点以速度v0与MN成θ（0＜θ＜180°）角垂直射入磁场中，经过一段时间从Q点（图中没有标出）离开磁场，只考虑粒子所受的洛伦兹力作用，粒从P点运动到Q点的过程中（　　） A．粒子所受洛伦兹力冲量为零 B．粒子运动的时间最长为 C．θ＝90°时粒子运动的轨迹长为 D．θ＝30°时PQ两点间距离大于θ＝150°时PQ两点间距离 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、洛伦兹力不做功。由于粒子在磁场中不做完整圆周运动，其动量变化不为零，故洛伦兹力的冲量不为零，故A错误； B、粒子在磁场中运动时间，若圆心角超过180°，则运动时间大于，故B错误； C、当θ＝90°时粒子运动轨迹为半圆周，圆半径，故轨迹长度，故C正确； D、由数学关系可知，当θ＝30°与θ＝150°时PQ两点间距相等，故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025秋•济南期中）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π），以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近 C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度不变 【推理过程】 【答案】AD 【解答】解：A.如图，画出粒子在磁场中运动的轨迹，由几何关系得：轨迹对应的圆心角α＝2π﹣2θ 粒子在磁场中运动的时间为 粒子运动的周期为 可得 则得知：粒子的运动时间与v无关，若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，故A正确； C.若θ一定，则粒子在磁场中运动的时间都相等，故C错误； B.设粒子的轨迹半径为r，根据 得 如上图 若v一定，且θ是锐角时，θ越大，AO越大，粒子在离开磁场的位置距O点越远；若θ是钝角，θ越大，AO越小，粒子在离开磁场的位置距O点越近；故B错误； D.粒子在磁场中运动的角速度 又 则得 与速度v无关，故D正确。 故选：AD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•安徽模拟）如图所示，在水平虚线上方空间存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，质子（）从O点以速度v1水平向右射入磁场，沿轨迹OA从下边界飞出磁场，飞出时相对入射方向的偏转角为90°；α粒子（）从O点以速度v2水平向右射入磁场，沿轨迹OB从下边界飞出磁场，飞出时相对入射方向的偏转角为60°，不计质子和α粒子的重力，则质子和α粒子在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2：1 B．速率之比为2：1 C．周期之比为1：2 D．时间之比为2：1 【变式训练2】（2025•湖北二模）如图所示，MN上方有垂直纸面向外的匀强磁场，一不计重力的带电粒子以初速度v0从磁场边界MN上E点进入磁场，然后从磁场边界MN上F点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从F点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025春•宝安区校级期中）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是（　　） A．，正电荷 B．，负电荷 C．，正电荷 D．，负电荷 【变式训练4】（多选）（2025春•汨罗市校级期末）不计重力的两个带电粒子1和2经小孔S垂直磁场边界，且垂直磁场方向进入匀强磁场，在磁场中的轨迹如图所示，分别用v1与v2，t1与t2，与表示它们的速率、在磁场中运动的时间及比荷，则下列说法正确的是（　　） A．若，则v1＞v2 B．若v1＝v2，则 C．若，则t1＞t2 D．若t1＝t2，则 【模型二】平行边界磁场模型 【模型剖析】 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例题精讲】 【例1】（2025秋•广东月考）如图所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域abcd，下列判断正确的是（　　） A．电子可从cd边射出 B．电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越小 C．从a点射出的电子比从b点射出的电子速率小 D．从bc边射出的电子在匀强磁场中运动的时间相等 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：A、根据左手定则判断，电子进入磁场后沿顺时针方向偏转，因此不可能从cd边射出，故A错误； B、由洛伦兹力公式可得轨道半径，解得电子速率越大时轨道半径越大，故B错误； C、通过几何分析可知，从a点射出的电子轨道半径大于从b点射出的电子，因此从a点射出的电子速率更大，故C错误； D、由周期公式可知所有电子周期相同，且从bc边射出的电子恰好完成半圈运动，故运动时间，故D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025春•枣庄校级期末）如图所示，垂直于纸面的有界匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，纸面内一束电子从M点以速度v垂直于磁场边界射入，从N点穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，在磁场中运动的时间为t1。若仅将磁感应强度大小改为B′（未知），电子经时间t2到达磁场右边界的P点，恰好不能飞出。下列说法正确的是（　　） A．电子的比荷 B．电子运动时间 C．磁感应强度大小 D．两电子的运动时间之比 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：AB．当磁感应强度大小为B时，由洛伦兹力提供向心力得 根据几何关系 可得rsinθ＝d 且从N点穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°， 解得电子的比荷为 电子运动时间满足，故A错误，B正确； C．当磁感应强度大小为B′时，粒子的轨道半径满足 解得磁感应强度大小，故C正确； D．当磁感应强度大小为B′时，根据电子运动的时间与周期的关系，电子运动时间为 则两电子的运动时间之比为，故D错误。 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2024秋•雨花区校级期末）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带负电的粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025•岳阳二模）如图所示，在0≤x≤l的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从坐标原点O处沿图示方向射入磁场中，已知θ＝60°。粒子穿过x轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是（　　） A．带正电， B．带正电， C．带负电， D．带负电， 【变式训练3】（2024秋•沈阳期末）如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　） A．两粒子的周期之比为Ta：Tb＝1：1 B．两粒子的轨迹半径之比为 C．两粒子的电荷量之比为|qa|：|qb|＝1：2 D．两粒子的速度之比为 【变式训练4】（多选）6．（2025•河北模拟）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q（q＞0）的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ＝30°的方向以一定的速度v0（大小未知）射入磁场中，从PQ边界射出磁场时与PQ的夹角为60°。则v0的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5】（多选）（2023秋•德城区校级期末）如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为θ。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做的功为0 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 【模型三】圆形边界磁场模型 【模型剖析】 1． 正对圆心射入圆形磁场区域：径向射入，必径向射出。 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 2.不对圆心射入圆形磁场区域：射入方向和射出方向的反向沿长线必在磁场圆和轨迹圆的连线上。 两个等腰三角形，一个共同的底边,若r=R，构成菱形 【例题精讲】 【例1】（2024秋•东城区校级月考）在一个圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边缘的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动的时间较长 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、从题图两粒子的偏转方向，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误。 B、根据洛伦兹力充当向心力： 变形可得速度大小为： 那么洛伦兹力大小： 由几何关系知，b粒子运动半径大，可知b粒子在磁场中所受洛伦兹力较大，故B错误。 C、根据动能公式： b粒子运动半径大，可知b粒子动能较大，故C正确。 D、由运动学公式： 代入速度值可得： 故两粒子的周期相同 根据，b粒子在磁场中运动所对应圆弧的圆心角较小，b粒子在磁场中运动的时间较短，故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025秋•和平区校级期中）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，∠AOC＝60°，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　） A．从B点离开磁场的粒子带正电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为1：3 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为1：3 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为2：3 【推理过程】 【答案】CD 【解答】解：A.带电粒子在磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由左手定则可知，从B点离开的粒子带负电，故A错误； B.粒子运动轨迹如图所示： 由几何关系可知：RNR，RMR， 带电粒子在磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可知：， 所以正负粒子电荷量大小之比为qM：qN＝RN：RM＝3：1，故B错误； C.粒子做匀速圆周运动，周期， 所以正负粒子运动周期之比为TM：TN＝RM：RN＝1：3，故C正确； D.由几何关系可知，正粒子圆周运动的圆心角为120°，负粒子圆周运动的圆心角为60°， s所以正负粒子运动时间之比为tM：tNTM：TN＝2：3，故D正确。 故选：CD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO夹30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ＝120°，不计粒子重力，则（　　） A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 【变式训练2】（2024秋•上城区校级期末）圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　） A．a粒子速率最大 B．c粒子的洛伦兹力最小 C．a粒子在磁场中运动的时间最长 D．它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc 【变式训练3】（2024秋•武汉期末）如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率v0从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v0为 B．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好能从K点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为 D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v0为 【变式训练4】（2024春•南宁期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点（未画出）反向射出，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　） A．该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B．该点电荷在磁场中的运动时间为 C．该点电荷的比荷为 D．若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为 【变式训练5】（多选）（2025•临泉县校级三模）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于其平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，A、B′、C、D、E、F把圆周六等分。现有带正电的粒子由A点以不同速度对准圆心O进入磁场，由圆周上的不同点射出。设粒子的质量为m、电荷量为q，速度为v0时粒子正好由B′点飞出磁场。则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向里 B．改变带电粒子的电性，速度变为2v0，则一定由E点射出 C．从圆弧CD之间（不含C点）飞出的带电粒子速度一定大于3v0 D．带电粒子的比荷 【模型四】环形磁约束模型 【模型剖析】 图一 图二 图三 临界半径：图一：. 图二： 图三：勾股定理，解得： 【例题精讲】 【例1】（2025•沧州一模）一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、R的环状区域内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从P点沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不计粒子重力。则该粒子的运动周期为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何知识 解得 根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何知识可知 即 θ＝60° 故一个周期内粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 3×[360°﹣（180°﹣60°）]＝720° 粒子在磁场中运动的周期为 故粒子在磁场中运动的时间为 根据运动学公式可知，粒子在小圆内运动的时间为 故粒子的周期为 ，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•济南开学）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0，圆心为O。一个质量为m，带电量为﹣q的粒子从内圆上A点开始在纸面内运动，并能再次返回A点。粒子初速度的大小为v，方向指向O点。不考虑带电粒子所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．外圆半径至少为R0 B．外圆半径至少为3R0 C．粒子返回A点的最短时间为 D．粒子返回A点的最短时间为 【推理过程】 【答案】AD 【解答】解：AB.粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：，代入数据可得：R，如图所示： 外圆和粒子运动轨迹相切时，半径最小，由几何关系可知，外圆半径最小为：rR，代入数据可得：r，故A正确，B错误； CD.粒子返回A点的运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，粒子进入磁场3次后再次经过A点，粒子在内圆做匀速直线运动的时间：t1， 粒子每次进入磁场后做圆周运动的角速度：，所转过的圆心角为：θ，粒子做圆周运动的总时间：t2， 粒子返回A点总时间：t＝t1+t2，代入数据可得：t，故C错误，D正确。 故选：AD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025秋•雁塔区校级期中）在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和4a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025•陕西开学）如图所示，一垂直于纸面向外的环形匀强磁场的磁感应强度大小为B，环形区域内、外半径分别为R、2R，圆心为O，AD为外圆的直径。一不计重力、比荷为k的带正电粒子从环形磁场区域外缘的C点沿平行于半径AO方向以大小为v的速度射入磁场，已知OC连线和OA方向的夹角为30°，若要使粒子能进入环形内环无磁场区域，则速度v的最小值为（　　） A．kBR B．kBR C．kBR D．kBR 【变式训练3】（2025•晋中模拟）极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率v0向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成θ角向上方（图中2方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练4】（多选）（2025•漳州开学）如图为托卡马克装置中磁场截面的示意图。环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0，外圆半径为2R0。在内圆边界上的A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好不从磁场外边界射出。已知三粒子带正电、比荷均为，粒子a的速度方向沿半径方向向外，粒子b和c速度方向相反且均与a的速度方向垂直。不计粒子重力及其相互作用，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则（　　） A．粒子a的速度大小为 B．粒子b的速度大小为 C．粒子b和c从A点开始到返回A点的最短时间相等 D．粒子a从A点开始到第一次到达磁场外边界的时间为 【模型五】三角形边界磁场模型 【模型剖析】: 三角形边界磁场的三种类型 类型 考法解析 粒子从底边射出的临 界轨迹图: 临界情况: 半径为 的轨迹圆与右侧边相 切,当 时,粒子从底边射出。 粒子从右侧边射出的 临界轨迹图: 临界情况一: 半径为 的轨迹圆与左侧边相切 于 点,当 时, 粒子从右侧边射出。 临界情况二：若轨迹圆 与左侧边相切于延长线的 点,则半径为 的轨迹圆通过上顶点时为临界情况,当 时,粒子从右侧边射出。 粒子从左侧边射出的 临界轨迹图: 当 或 时, 粒子从左侧边射出。 【例题精讲】 【例1】．（2025春•湖南期中）如图所示，直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为m、电荷量均为e，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．可能有粒子从M点射出磁场 B．从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C．从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D．负粒子在磁场中运动的最长时间为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A.根据题意可知，正粒子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示 由正粒子的运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，故A错误； C.当从MN边射出的正粒子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，根据几何关系可知圆心角为120°，则最长时间 tm 故C正确； B.负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负粒子从D点离开磁场时，则 得 所以负粒子的速度大小为 故B错误； D.粒子从P、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为 故D错误。 故选：C。 【例2】．（2025•海南一模）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有： 解得： 根据洛伦兹力提供向心力： 联立解得匀强磁场的最大磁感应强度： 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2024秋•如皋市期中）如图所示，边长为L的等边三角形区域内有匀强磁场。大量电子从B点射入磁场中，入射方向分布在与BC边的夹角为α（0≤α≤60°）的范围内，在磁场中的运动半径均为L。不计电子间的相互作用。则在磁场中运动时间最长的电子入射时的α角为（　　） A．0° B．15° C．30° D．45° 【变式训练2】（2023秋•金安区校级期末）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【变式训练3】（多选）．（2025•广西开学）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，d为ac边的中点，e为bc边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从a点以大小不同的速率沿ab方向射入磁场，分别从d、c、e点射出磁场，其轨迹圆心分别为O1、O2、O3（图中未标出），所用时间分别为t1、t2、t3，且t1：t3＝3：2，ab边长度为L，则（　　） A．t2：t3＝3：2 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从c点与从e点射出的速率之比为 D．O1、O3两点距离为 【变式训练4】（多选）（2025春•运城期末）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度v0进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．粒子在磁场中运动的时间 【变式训练5】（多选）．（2025•重庆模拟）如图所示，固定、光滑且边长为L的等边三角形abc，处于与其平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中（图中未画出）。一比荷为k的粒子从ab边中点O垂直ab边进入磁场，最后恰好能回到O点。该粒子与三角形各边发生碰撞前后速度大小不变、方向相反，粒子所带电荷量始终不变，不计粒子重力。则该粒子的速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•锡山区校级期中）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1：2 2．（2025春•大通县期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的正电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。则磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•重庆期末）如图所示，圆环区域内（含边界）充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），圆环内侧半径为r，外侧半径为R。一比荷为k的带电粒子从圆心O处以大小为v的速度沿径向运动，粒子重力不计。要使该粒子进入圆环区域后不能从外侧离开，则圆环区域内匀强磁场的磁感应强度大小至少为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•广州模拟）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在N点速率小于在M点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 5．（2025•西城区校级三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 6．（2024秋•温州期末）如图所示，在xOy平面内，有一粒子源沿x正方向发射速率相等的质量为m、电荷量为+q的带电粒子。粒子射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度的大小为B。已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率 B．沿x轴入射的粒子在磁场中的运动时间 C．不同位置入射的粒子会从不同位置离开磁场 D．关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称 7．（2025春•锡山区校级月考）一半径为R的圆筒处于匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔M、N，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过120°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子运动的速度为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•大兴区校级开学）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在b点速率小于在a点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出 D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab＝R，bc＝2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为m，电荷量为﹣q的粒子均匀分布在宽为2R区域内，紧临且平行于da边以速度v0进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．进入矩形区域的粒子在矩形磁场中运动的最长时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到cd屏上的粒子数与打到bc屏上的粒子数的比例为 （多选）10.（2025春•运城期末）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度v0进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．粒子在磁场中运动的时间 （多选）11．（2025•五华区模拟）如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线。一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射入，若该带电粒子所带电荷量为q（q＞0）、质量为m（重力可忽略），下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子在磁场中飞行时间可能为 B．该带电粒子在磁场中飞行时间可能为 C．带电粒子的速度为时，带电粒子飞行时间最长 D．带电粒子的速度为时，带电粒子从bc边飞出磁场 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•衡水期中）如图甲所示，矩形区域ABCD内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.2T，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点平行AB方向以某一初速度v0射入一个质量为m、电荷量为q的正电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的AD边长2L，AB边长为L，L＝0.2m，该粒子的比荷5×107C/kg，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小v0； （2）若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，t＝0时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知T0π×10﹣7s，求该粒子射入磁场的速度v可能的取值以及粒子运动的时间。 13．（2025秋•乌鲁木齐校级期中）如图所示，三角形EFG所在的区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，匀强磁场的方向垂直纸面向里。三角形EFG中∠EGF＝30°，∠EFG＝90°，EF长为L。F处有一粒子源，能沿FG方向发射出大量带电荷量为+q的同种粒子，粒子质量为m，带电粒子重力不计，试求： （1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间。 14．（2025•盐池县三模）如图所示的容器由半径为R的半圆与一直角边为半圆直径的直角三角形组成，其中∠C＝60°。位于A点的粒子源可以将比荷均为的粒子以相同的速度v沿径向射入容器中，粒子打到容器边界上不发生反弹，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用力。 （1）若整个容器处于垂直纸面向外的匀强磁场中，正、负粒子在磁场中的运动时间之比为1：2，求负粒子的位移大小； （2）若整个容器处于平行纸面向下的匀强电场中，正、负粒子在电场中的运动时间之比为2：3，求负粒子的末速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 带电粒子在有界磁场中的运动模型 【分析方法】 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动参量的确定： 基本思路 图例 说明 圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 运动时间的确定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 ①t＝T ②t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α 【模型一】带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 【模型剖析】 直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)：多大角度进入，多大角度出。 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例题精讲】 【例1】（2025•安徽开学）如图，MN为范围足够大的匀强磁场的下边界，垂直纸面向外的匀强磁场的磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q带正电的粒子从P点以速度v0与MN成θ（0＜θ＜180°）角垂直射入磁场中，经过一段时间从Q点（图中没有标出）离开磁场，只考虑粒子所受的洛伦兹力作用，粒从P点运动到Q点的过程中（　　） A．粒子所受洛伦兹力冲量为零 B．粒子运动的时间最长为 C．θ＝90°时粒子运动的轨迹长为 D．θ＝30°时PQ两点间距离大于θ＝150°时PQ两点间距离 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、洛伦兹力不做功。由于粒子在磁场中不做完整圆周运动，其动量变化不为零，故洛伦兹力的冲量不为零，故A错误； B、粒子在磁场中运动时间，若圆心角超过180°，则运动时间大于，故B错误； C、当θ＝90°时粒子运动轨迹为半圆周，圆半径，故轨迹长度，故C正确； D、由数学关系可知，当θ＝30°与θ＝150°时PQ两点间距相等，故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025秋•济南期中）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π），以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近 C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度不变 【答案】AD 【解答】解：A.如图，画出粒子在磁场中运动的轨迹，由几何关系得：轨迹对应的圆心角α＝2π﹣2θ 粒子在磁场中运动的时间为 粒子运动的周期为 可得 则得知：粒子的运动时间与v无关，若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，故A正确； C.若θ一定，则粒子在磁场中运动的时间都相等，故C错误； B.设粒子的轨迹半径为r，根据 得 如上图 若v一定，且θ是锐角时，θ越大，AO越大，粒子在离开磁场的位置距O点越远；若θ是钝角，θ越大，AO越小，粒子在离开磁场的位置距O点越近；故B错误； D.粒子在磁场中运动的角速度 又 则得 与速度v无关，故D正确。 故选：AD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•安徽模拟）如图所示，在水平虚线上方空间存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，质子（）从O点以速度v1水平向右射入磁场，沿轨迹OA从下边界飞出磁场，飞出时相对入射方向的偏转角为90°；α粒子（）从O点以速度v2水平向右射入磁场，沿轨迹OB从下边界飞出磁场，飞出时相对入射方向的偏转角为60°，不计质子和α粒子的重力，则质子和α粒子在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2：1 B．速率之比为2：1 C．周期之比为1：2 D．时间之比为2：1 【答案】C 【解答】解：A、质子和α粒子的圆心O1和O2如图所示， 设质子的轨迹半径r1＝d，对α粒子，由几何关系可得：r2sin30°+d＝r2 化简解得：r2＝2d 故质子和α粒子的轨迹半径之比为1：2，故A错误； B、粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律可得： 化简可得： 已知质子和α粒子的比荷之比为2：1，则速率之比为1：1，故B错误； C、由周期公式有： 结合两种粒子自身参数，可知质子和α粒子的周期之比为1：2，故C正确； D、由轨迹可以看出，速度的偏转角即圆心角，则质子的运动时间： α粒子的运动时间：t2 故质子和α粒子在磁场中运动的时间之比为3：4，故D错误。 故选：C。 【变式训练2】（2025•湖北二模）如图所示，MN上方有垂直纸面向外的匀强磁场，一不计重力的带电粒子以初速度v0从磁场边界MN上E点进入磁场，然后从磁场边界MN上F点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从F点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：粒子在磁场中的轨道半径为r，根据洛伦兹力提供向心力，则有，解得，粒子离开磁场时弦长为 其中θ表示初速度与MN的夹角，则vsinθ表示速度在垂直MN方向的分速度，此值不变。 故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练3】（2025春•宝安区校级期中）如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是（　　） A．，正电荷 B．，负电荷 C．，正电荷 D．，负电荷 【答案】B 【解答】解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如下图所示， 粒子运动过程中与x轴的最大距离为a，可得粒子的轨道半径r与a的关系为： 由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 联立解得： 根据左手定则，可知粒子带负电。故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练4】（多选）（2025春•汨罗市校级期末）不计重力的两个带电粒子1和2经小孔S垂直磁场边界，且垂直磁场方向进入匀强磁场，在磁场中的轨迹如图所示，分别用v1与v2，t1与t2，与表示它们的速率、在磁场中运动的时间及比荷，则下列说法正确的是（　　） A．若，则v1＞v2 B．若v1＝v2，则 C．若，则t1＞t2 D．若t1＝t2，则 【答案】BC 【解答】解：A.带电粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，则有 所以 同一匀强磁场磁感应强度B相同，如果 由题图可知r1＞r2 所以不能确定v1和v2的关系，故A错误； B.若v1＝v2 因r1＞r2 则 故B正确； C.带电粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，则有， 若 则t1＞t2 故C正确； D.若t1＝t2 则 故D错误。 故选：BC。 【模型二】平行边界磁场模型 【模型剖析】 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【例题精讲】 【例1】（2025秋•广东月考）如图所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域abcd，下列判断正确的是（　　） A．电子可从cd边射出 B．电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越小 C．从a点射出的电子比从b点射出的电子速率小 D．从bc边射出的电子在匀强磁场中运动的时间相等 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：A、根据左手定则判断，电子进入磁场后沿顺时针方向偏转，因此不可能从cd边射出，故A错误； B、由洛伦兹力公式可得轨道半径，解得电子速率越大时轨道半径越大，故B错误； C、通过几何分析可知，从a点射出的电子轨道半径大于从b点射出的电子，因此从a点射出的电子速率更大，故C错误； D、由周期公式可知所有电子周期相同，且从bc边射出的电子恰好完成半圈运动，故运动时间，故D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025春•枣庄校级期末）如图所示，垂直于纸面的有界匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，纸面内一束电子从M点以速度v垂直于磁场边界射入，从N点穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，在磁场中运动的时间为t1。若仅将磁感应强度大小改为B′（未知），电子经时间t2到达磁场右边界的P点，恰好不能飞出。下列说法正确的是（　　） A．电子的比荷 B．电子运动时间 C．磁感应强度大小 D．两电子的运动时间之比 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：AB．当磁感应强度大小为B时，由洛伦兹力提供向心力得 根据几何关系 可得rsinθ＝d 且从N点穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°， 解得电子的比荷为 电子运动时间满足，故A错误，B正确； C．当磁感应强度大小为B′时，粒子的轨道半径满足 解得磁感应强度大小，故C正确； D．当磁感应强度大小为B′时，根据电子运动的时间与周期的关系，电子运动时间为 则两电子的运动时间之比为，故D错误。 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2024秋•雨花区校级期末）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带负电的粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得：，解得： 带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。由题意得：粒子带负电，临界轨迹如图所示： 由几何知识得：R+Rcos45°＝d，解得：，对应速率：，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练2】（2025•岳阳二模）如图所示，在0≤x≤l的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从坐标原点O处沿图示方向射入磁场中，已知θ＝60°。粒子穿过x轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是（　　） A．带正电， B．带正电， C．带负电， D．带负电， 【答案】B 【解答】解：CD.粒子能穿过x轴正半轴，则由左手定则知粒子带正电，故CD错误； AB.刚好没能从右边界射出磁场，轨迹与右边界相切，作出运动轨迹 由几何关系知r+rcos60°＝l 结合 得： 故B正确，A错误。 故选：B。 【变式训练3】（2024秋•沈阳期末）如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　） A．两粒子的周期之比为Ta：Tb＝1：1 B．两粒子的轨迹半径之比为 C．两粒子的电荷量之比为|qa|：|qb|＝1：2 D．两粒子的速度之比为 【答案】D 【解答】解：A．根据题图可知，带电粒子a和b在磁场中运动的圆心角分别为120°和60°，则 因为两带电粒子运动时间相同，所以可得两粒子的周期之比为 Ta：Tb＝1：2 故A错误； B．如图连接AB，AB连线是两粒子的运动圆弧对应的弦，则弦的中垂线（红线）与各自速度方向的垂直线（虚线）的交点即为各自圆心。如图： 根据几何关系，两粒子的轨迹半径分别为 所以两粒子的轨迹半径之比 故B错误； CD．两粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 可得粒子的轨迹半径为 运动的周期为 所以两粒子的电荷量之比为 |qa|：|qb|＝2：1 两粒子的速度之比为 故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练4】（多选）6．（2025•河北模拟）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q（q＞0）的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ＝30°的方向以一定的速度v0（大小未知）射入磁场中，从PQ边界射出磁场时与PQ的夹角为60°。则v0的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解答】解：粒子从F点射出时，轨迹圆心为O1，半径为R1，如图所示， 根据几何关系有：l＝AE﹣FG＝R1cos30°﹣R1cos60° 整理变形解得：R1 根据牛顿第二定律有： 联立代入解得： 粒子从D点射出时，轨迹圆心为O2，半径为R2，根据几何关系有：l＝AB+CD＝R2cos30°+R2cos60° 解得： 根据牛顿第二定律有： 联立代入可得：，故AB错误，CD正确。 故选：CD。 【变式训练5】（多选）（2023秋•德城区校级期末）如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为θ。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做的功为0 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 【答案】AD 【解答】解：A、洛伦兹力与粒子的速度方向始终垂直，可知洛伦兹力不做功，故A正确； B、粒子在穿越磁场的过程中，动量发生变化，根据动量定理，可知洛伦兹力的冲量不为0，故B错误； D、由图可知： 由几何关系可知：d＝rsinθ，由洛伦兹力提供向心力可知：，故，故D正确； C、由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的时间为：，结合D选项的分析可知：，故C错误。 故选：AD。 【模型三】圆形边界磁场模型 【模型剖析】 1.正对圆心射入圆形磁场区域：径向射入，必径向射出。 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 2.不对圆心射入圆形磁场区域：射入方向和射出方向的反向沿长线必在磁场圆和轨迹圆的连线上。 两个等腰三角形，一个共同的底边,若r=R，构成菱形 【例题精讲】 【例1】（2024秋•东城区校级月考）在一个圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边缘的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动的时间较长 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A、从题图两粒子的偏转方向，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误。 B、根据洛伦兹力充当向心力： 变形可得速度大小为： 那么洛伦兹力大小： 由几何关系知，b粒子运动半径大，可知b粒子在磁场中所受洛伦兹力较大，故B错误。 C、根据动能公式： b粒子运动半径大，可知b粒子动能较大，故C正确。 D、由运动学公式： 代入速度值可得： 故两粒子的周期相同 根据，b粒子在磁场中运动所对应圆弧的圆心角较小，b粒子在磁场中运动的时间较短，故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025秋•和平区校级期中）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、B、C为圆形区域边界上的三点，BC为直径，∠AOC＝60°，现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从B点离开磁场，另一个从C点离开磁场。粒子的重力及相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　） A．从B点离开磁场的粒子带正电 B．正、负粒子的电荷量大小之比为1：3 C．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为1：3 D．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为2：3 【推理过程】 【答案】CD 【解答】解：A.带电粒子在磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由左手定则可知，从B点离开的粒子带负电，故A错误； B.粒子运动轨迹如图所示： 由几何关系可知：RNR，RMR， 带电粒子在磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可知：， 所以正负粒子电荷量大小之比为qM：qN＝RN：RM＝3：1，故B错误； C.粒子做匀速圆周运动，周期， 所以正负粒子运动周期之比为TM：TN＝RM：RN＝1：3，故C正确； D.由几何关系可知，正粒子圆周运动的圆心角为120°，负粒子圆周运动的圆心角为60°， s所以正负粒子运动时间之比为tM：tNTM：TN＝2：3，故D正确。 故选：CD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，一半径为R的圆形区域内充满垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，O为圆形磁场区域的圆心。一带电粒子以速度v从磁场边界P点垂直射入磁场，射入时的速度方向与PO夹30°角，最后从磁场边界Q点射出。已知∠POQ＝120°，不计粒子重力，则（　　） A．该粒子带正电 B．该粒子沿OQ方向射出磁场 C．该粒子在磁场中运动的半径为R D．该粒子在磁场中运动的时间为 【答案】C 【解答】解：A.由图可知，粒子做顺时针匀速圆周运动，粒子带负电，故A错误； B.入射方向与半径夹角为30°，则射出磁场时与半径的夹角也为30°，故B错误； C.由，可得粒子在磁场中运动的半径为R，故C正确； D.由图可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的弦切角为60°，运动时间，故D错误。 故选：C。 【变式训练2】（2024秋•上城区校级期末）圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　） A．a粒子速率最大 B．c粒子的洛伦兹力最小 C．a粒子在磁场中运动的时间最长 D．它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc 【答案】C 【解答】解：AB．粒子的轨迹如图所示 根据 解得 由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同，在同一个磁场中，c粒子的轨道半径最大，所以c粒子速率最大，c粒子的洛伦兹力最大，故AB错误； CD．粒子做圆周运动的周期为 故在同一个磁场中，它们做圆周运动的周期Ta＝Tb＝Tc 根据运动时间和周期的关系： 由于a粒子转过的圆心角最大，则a粒子在磁场中运动的时间最长，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练3】（2024秋•武汉期末）如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率v0从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v0为 B．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好能从K点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为 D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v0为 【答案】B 【解答】解：A、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，粒子的轨迹如图所示， 由几何关系得： 由洛伦兹力提供向心力，则有： 联立得粒子的入射速度为：，故A错误； B、若粒子恰好能从N点射出，画出符合条件的粒子轨迹如图所示， 由几何关系得：FO′2+FN2＝NO′2，FN＝R+Rsinα 即： 联立解得： 可知∠PO′N＝30°，则粒子在磁场中运动的时间为：，故B正确； C、若粒子恰好能从K点射出，画出该粒子的运行轨迹如图所示， 根据平面几何的知识，可知四边形POKO'是菱形，则粒子在磁场中运动的半径：r3＝R，故C错误； D、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，画出符合条件的运动轨迹如图所示， 根据几何关系可知：∠OPQ＝60°﹣45°＝15° 因ΔPOQ为等腰三角形，则根据数学知识有： 由于ΔPO′Q为等腰直角三角形，可知： 由洛伦兹力提供向心力，可得： 联立以上各式解得：，故D错误。 故选：B。 【变式训练4】（2024春•南宁期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点（未画出）反向射出，不计电荷的重力，下列说法正确的是（　　） A．该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B．该点电荷在磁场中的运动时间为 C．该点电荷的比荷为 D．若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为 【答案】C 【解答】解：A.因点电荷射入磁场时初速度方向不是沿半径方向，则该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线也不会通过O点，故A错误； B．粒子在磁场中的运动轨迹如图 由几何关系可知，该点电荷在磁场中的运动半径为 则运动时间为 故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力得 解得该点电荷的比荷为 故C正确； D．若磁场反向，粒子运动轨迹如图 设粒子在磁场中运动圆弧所对的圆心角为2θ，则由正弦定理可知 解得 故，该点电荷在磁场中运动的时间 故D错误。 故选：C。 【变式训练5】（多选）（2025•临泉县校级三模）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于其平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，A、B′、C、D、E、F把圆周六等分。现有带正电的粒子由A点以不同速度对准圆心O进入磁场，由圆周上的不同点射出。设粒子的质量为m、电荷量为q，速度为v0时粒子正好由B′点飞出磁场。则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向里 B．改变带电粒子的电性，速度变为2v0，则一定由E点射出 C．从圆弧CD之间（不含C点）飞出的带电粒子速度一定大于3v0 D．带电粒子的比荷 【答案】ACD 【解答】解：A、根据左手定则，带正电的粒子由A点对准圆心O进入磁场，从B'点飞出，粒子所受洛伦兹力指向圆心，所以磁场方向垂直纸面向里，故A正确； BC、带正电的粒子和带负电的粒子运动轨迹如图所示 带正电的粒子以速度v0入射，由A运动到B′时，根据几何关系，可得运动轨迹半径r1＝Rtan30° 由洛伦兹力提供向心力有 解得 改变带电粒子的电性，若粒子由E点射出，根据几何关系，可得运动轨迹半径r2＝Rtan60° 又 解得v′＝3v0 由对称性分析可知从圆弧CD之间（不含C点）飞出的带电粒子速度一定大于3v0，故B错误，C正确； D、根据B选项分析有 解得 故D正确。 故选：ACD。 【模型四】环形磁约束模型 【模型剖析】 图一 图二 图三 临界半径：图一：. 图二： 图三：勾股定理，解得： 【例题精讲】 【例1】（2025•沧州一模）一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、R的环状区域内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从P点沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不计粒子重力。则该粒子的运动周期为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何知识 解得 根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何知识可知 即θ＝60° 故一个周期内粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为3×[360°﹣（180°﹣60°）]＝720° 粒子在磁场中运动的周期为 故粒子在磁场中运动的时间为 根据运动学公式可知，粒子在小圆内运动的时间为 故粒子的周期为，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•济南开学）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0，圆心为O。一个质量为m，带电量为﹣q的粒子从内圆上A点开始在纸面内运动，并能再次返回A点。粒子初速度的大小为v，方向指向O点。不考虑带电粒子所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．外圆半径至少为R0 B．外圆半径至少为3R0 C．粒子返回A点的最短时间为 D．粒子返回A点的最短时间为 【推理过程】 【答案】AD 【解答】解：AB.粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：，代入数据可得：R，如图所示： 外圆和粒子运动轨迹相切时，半径最小，由几何关系可知，外圆半径最小为：rR，代入数据可得：r，故A正确，B错误； CD.粒子返回A点的运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，粒子进入磁场3次后再次经过A点，粒子在内圆做匀速直线运动的时间：t1， 粒子每次进入磁场后做圆周运动的角速度：，所转过的圆心角为：θ，粒子做圆周运动的总时间：t2， 粒子返回A点总时间：t＝t1+t2，代入数据可得：t，故C错误，D正确。 故选：AD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025秋•雁塔区校级期中）在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫磁约束。如图所示是一磁约束装置的简化原理图，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和4a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的氘核从圆心沿半径方向进入磁场。已知氘核质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据牛顿第二定律得 解得 磁感应强度越小时，半径越大，为使该氘核的运动被约束在图中实线圆所围成的区域内，最大半径时与实线圆相内切，如图所示 有r4a 解得r 代入半径公式得B 故A正确，BCD错误； 故选：A。 【变式训练2】（2025•陕西开学）如图所示，一垂直于纸面向外的环形匀强磁场的磁感应强度大小为B，环形区域内、外半径分别为R、2R，圆心为O，AD为外圆的直径。一不计重力、比荷为k的带正电粒子从环形磁场区域外缘的C点沿平行于半径AO方向以大小为v的速度射入磁场，已知OC连线和OA方向的夹角为30°，若要使粒子能进入环形内环无磁场区域，则速度v的最小值为（　　） A．kBR B．kBR C．kBR D．kBR 【答案】B 【解答】解：带正电粒子在垂直于纸面向外的环形匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即 可得 已知粒子的比荷 化简得v＝kBr 要使粒子能进入环形内环无磁场区域，粒子运动轨迹与内环相切时，半径最小，此时速度最小，由左手定则可知，粒子所受洛伦兹力向下，运动轨迹圆心在C点正下方O′点，设粒子运动轨迹的半径为r 则有OO′＝R+r 由于OC连线和OA方向的夹角为30°，且环形区域内、外半径分别为R、2R，则由几何关系有 联立解得 代入数据得 故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式训练3】（2025•晋中模拟）极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率v0向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成θ角向上方（图中2方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若高能粒子仍以速率v射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示 根据图中几何关系可得AF＝r＝4R，AO＝FO＝3R 粒子也恰好不能到达地球表面，则有 故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练4】（多选）（2025•漳州开学）如图为托卡马克装置中磁场截面的示意图。环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0，外圆半径为2R0。在内圆边界上的A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好不从磁场外边界射出。已知三粒子带正电、比荷均为，粒子a的速度方向沿半径方向向外，粒子b和c速度方向相反且均与a的速度方向垂直。不计粒子重力及其相互作用，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则（　　） A．粒子a的速度大小为 B．粒子b的速度大小为 C．粒子b和c从A点开始到返回A点的最短时间相等 D．粒子a从A点开始到第一次到达磁场外边界的时间为 【答案】BC 【解答】解：A、粒子恰好不从磁场外边界射出，粒子a的运动轨迹如图所示 由几何知识得ra＝2R0，tanα，解得ra，α＝37° 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvaB＝m，解得va，故A错误； B、粒子恰好不从磁场外边界射出，粒子b的运动轨迹如图所示 由几何知识得R0+2R0＝2rb，解得rbR0， 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvbB＝m，解得vb，故B正确； C、粒子恰好不从磁场外边界射出，粒子c的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T， 粒子b和c从A点开始到第一次返回A点转过的圆心角θ＝360°相等， 两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T相等，粒子的运动时间t相等，故C正确； D、粒子a从A点开始到第一次到达磁场外边界转过的圆心角β＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+37°＝127°， 粒子a从A点开始到第一次到达磁场外边界的时间t，故D错误。 故选：BC。 【模型五】三角形边界磁场模型 【模型剖析】: 三角形边界磁场的三种类型 类型 考法解析 粒子从底边射出的临 界轨迹图: 临界情况: 半径为 的轨迹圆与右侧边相切，当 时,粒子从底边射出 粒子从右侧边射出的 临界轨迹图: 临界情况一: 半径为 的轨迹圆与左侧边相切于 点,当 时, 粒子从右侧边射出。 临界情况二：若轨迹圆 与左侧边相切于延长线的 点,则半径为 的轨迹圆通过上顶点时为临界情况,当 时,粒子从右侧边射出。 粒子从左侧边射出的 临界轨迹图: 当 或 时, 粒子从左侧边射出。 【例题精讲】 【例1】．（2025春•湖南期中）如图所示，直角三角形MPN区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源不断沿垂直于PM方向射入速度大小不同的正、负电粒子。粒子的质量均为m、电荷量均为e，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．可能有粒子从M点射出磁场 B．从D点离开磁场的粒子的速度大小为 C．从MN边射出的正粒子在磁场中运动的最长时间为 D．负粒子在磁场中运动的最长时间为 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A.根据题意可知，正粒子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示 由正粒子的运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，故A错误； C.当从MN边射出的正粒子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，根据几何关系可知圆心角为120°，则最长时间tm 故C正确； B.负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负粒子从D点离开磁场时，则 得 所以负粒子的速度大小为 故B错误； D.粒子从P、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为 故D错误。 故选：C。 【例2】．（2025•海南一模）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有： 解得： 根据洛伦兹力提供向心力： 联立解得匀强磁场的最大磁感应强度： 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练】 【变式训练1】（2024秋•如皋市期中）如图所示，边长为L的等边三角形区域内有匀强磁场。大量电子从B点射入磁场中，入射方向分布在与BC边的夹角为α（0≤α≤60°）的范围内，在磁场中的运动半径均为L。不计电子间的相互作用。则在磁场中运动时间最长的电子入射时的α角为（　　） A．0° B．15° C．30° D．45° 【答案】C 【解答】解：在磁场中运动时间可知圆心角越大，在磁场中运动时间越长，根据数学知识可知，所对应弦长越长，圆心角越大，由于在磁场中的运动半径均为L，所以当电子过C点时，对应弦长最长，圆心角最大，由图可知 BC边长等于半径，所以△BOC等边三角形，∠OBC＝60°此时在磁场中运动时间最长，电子入射时的α角为 α＝30° 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练2】（2023秋•金安区校级期末）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子可能从B点射出 B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 【答案】C 【解答】解：B．粒子垂直于BC边射出，其运动轨迹如图甲所示 则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，可得： ，故B错误； C．粒子从C点射出，其运动轨迹如图乙所示 根据几何关系可得： 解得： 粒子运动轨迹对应的圆心角的正弦值为：，可得：∠O＝60° 粒子在磁场中运动的时间为：，故C正确； D．由洛伦兹力提供向心力得：，解得： 若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示 粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误； A．根据D选项的分析，可知由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误。 故选：C。 【变式训练3】（多选）．（2025•广西开学）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，d为ac边的中点，e为bc边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从a点以大小不同的速率沿ab方向射入磁场，分别从d、c、e点射出磁场，其轨迹圆心分别为O1、O2、O3（图中未标出），所用时间分别为t1、t2、t3，且t1：t3＝3：2，ab边长度为L，则（　　） A．t2：t3＝3：2 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子从c点与从e点射出的速率之比为 D．O1、O3两点距离为 【答案】ACD 【解答】解：A．粒子运动轨迹如下图所示 从d、c两点射出时对应的圆心角都等于90°，所以它们在磁场中运动时间也相等，即 t1＝t2 根据题意可知t1：t3＝3：2 所以t2：t3＝3：2 故A正确； B．根据题意可知t1：t3＝3：2 且从d点射出时对应的圆心角为90°，所以从e点射出时对应的圆心角为60°，即 得 故B错误； C．根据ab＝L，结合几何关系得 rc＝O2c＝L 由牛顿第二定律 得 由于q、m、B相同，速度与半径成正比 故C正确； D．O1、O3两点距离为 故D正确； 故选：ACD。 【变式训练4】（多选）（2025春•运城期末）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度v0进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．粒子在磁场中运动的时间 【答案】BC 【解答】解：A．粒子带正电，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．根据题意作图，如图，粒子圆周运动半径为 根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； CD．粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 则有 故C正确，D错误。 故选：BC。 【变式训练5】（多选）．（2025•重庆模拟）如图所示，固定、光滑且边长为L的等边三角形abc，处于与其平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中（图中未画出）。一比荷为k的粒子从ab边中点O垂直ab边进入磁场，最后恰好能回到O点。该粒子与三角形各边发生碰撞前后速度大小不变、方向相反，粒子所带电荷量始终不变，不计粒子重力。则该粒子的速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：设粒子速度大小为v，据题分析知，粒子在等边三角形内做匀速圆周运动（设半径为R），要使粒子恰好回到O点，需满足 又由 联立可得其中n＝0，1，2，3，⋯） 故AC正确，BD错误。 故选：AC。 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•锡山区校级期中）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1：2 【答案】C 【解答】解：作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 AC.根据几何知识可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 故A错误，C正确； B.粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 由几何知识可得 rb＝R 解得 结合题意可得 解得 故B错误； D.根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 两粒子在磁场中偏转的圆心角 θa＝120° θb＝60° 则两粒子在磁场中运动的时间之比为 ta：tb＝θa：θb＝120°：60°＝2：1 故D错误。 故选：C。 2．（2025春•大通县期末）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的正电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角。则磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示， 从磁场中射出时速度方向改变了θ角，所以粒子做圆周运动的圆心角为θ， 根据几何关系有：r 由牛顿第二定律得：Bqv 解得：B，故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．（2025春•重庆期末）如图所示，圆环区域内（含边界）充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），圆环内侧半径为r，外侧半径为R。一比荷为k的带电粒子从圆心O处以大小为v的速度沿径向运动，粒子重力不计。要使该粒子进入圆环区域后不能从外侧离开，则圆环区域内匀强磁场的磁感应强度大小至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设磁场的磁感应强度大小至少为Bmin，该粒子在磁场中做匀速圆周运动的最大半径为Fmin，要使粒子进入圆环区域后不能从外侧离开 ⊥ 由分析和几何关系可得 又， 联立解得 故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．（2025•广州模拟）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在N点速率小于在M点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长 【答案】C 【解答】解：A.根据左手定则，可以判断该粒子带负电，故A错误； B.洛伦兹力不做功，故粒子在磁场中运动时速度大小不变，故B错误； C.根据，可知仅增大磁感应强度，粒子运动半径减小，故可能从N点下方射出，故C正确； D.仅增大入射速率，粒子运动半径增大，在磁场中运动时的圆周角变小，故时间变短，故D错误。 故选：C。 5．（2025•西城区校级三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【答案】B 【解答】解：A.根据周期公式 因为m、q、B都相同，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期T相同，故A错误； B.由图可知，粒子a在磁场中运动轨迹所对的圆心角θa大于粒子b运动轨迹所对的圆心角θb，又因为T相同，根据 可知a粒子运动的时间较长，故B正确； C.由于洛伦兹力始终与粒子运动方向垂直，根据功的定义 W＝Fscosα（α为F与s的夹角） 这里α＝90°，cosα＝0，所以洛伦兹力对粒子不做功，即洛伦兹力对a、b做功都为0，故C错误； D.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 可得 由图可知a粒子的运动半径ra小于b粒子的运动半径rb，因为m、q、B相同，所以a粒子的速率较小，D错误。 故选：B。 6．（2024秋•温州期末）如图所示，在xOy平面内，有一粒子源沿x正方向发射速率相等的质量为m、电荷量为+q的带电粒子。粒子射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度的大小为B。已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率 B．沿x轴入射的粒子在磁场中的运动时间 C．不同位置入射的粒子会从不同位置离开磁场 D．关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称 【答案】D 【解答】解：AB．已知沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从P点射出，则该粒子在磁场中的运动轨迹为圆周，其轨迹半径r与磁场区域的半径R相等，即r＝R，轨迹的圆心角为90°。粒子在磁场中做匀速圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律得： ，解得粒子的速率为： 粒子在磁场中运动周期为：T 该粒子在磁场中的运动时间为：，故AB错误； C．粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等，根据磁聚焦模型（如图1所示）可知，粒子源沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后均从P点射出，故C错误； D．设关于x轴对称入射的两个粒子从a、b点进入磁场，从磁场中离开时的速度方向与y轴夹角分别为α、β，两个粒子做圆周运动的圆心分别是O1、O2。如图2所示， 过P点做a、b点连线的垂线段，垂足为C点，由几何关系可得∠O1PC＝α，∠O2PC＝β 因：O1P＝O2P＝R，故：∠O1PC＝∠O2PC，即：α＝β 即关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称，故D正确。 故选：D。 7．（2025春•锡山区校级月考）一半径为R的圆筒处于匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔M、N，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过120°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子运动的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：粒子恰好从小孔N飞出圆筒时筒转过120°，由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动所转过的圆心角为60°，半径为R，如图所示 则粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 根据 且 解得带电粒子运动的速度为 故ACD错误，B正确； 故选：B。 8．（2025•大兴区校级开学）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在b点速率小于在a点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出 D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 【答案】C 【解答】解：A.根据左手定则，可以判断该粒子带负电，故A错误； B.洛伦兹力不做功，故粒子在磁场中运动时速度大小不变，故B错误； C.根据，可知仅增大磁感应强度，粒子运动半径减小，故可能从b点左侧射出，故C正确； D.减小速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动时的圆周角变大，故时间变长，故D错误。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab＝R，bc＝2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度分别等于矩形区域的边长）。两个区域内均存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一群质量为m，电荷量为﹣q的粒子均匀分布在宽为2R区域内，紧临且平行于da边以速度v0进入圆形区域。不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．进入矩形区域的粒子在矩形磁场中运动的最长时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到cd屏上的粒子数与打到bc屏上的粒子数的比例为 【答案】ACD 【解答】解：B.粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得r＝R 故B错误； ACD.由于粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，根据几何关系可知，粒子在矩形磁场中的轨迹最长为四分之一圆弧（如图所示） 则运动时间为 解得 由于粒子平行射入圆形磁场，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，再结合几何关系可知，沿平行于Oa方向射入的粒子打在b点，此时为最远路径，如图所示 则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得 如图2所示，打到C点的粒子速度方向与ad边垂直，是由f点射入的粒子。故打在bc边的粒子占进入矩形区域内粒子个数比。假设从e点射入的粒子正好打在d点，由于粒子半径与Od的长度相等，该方向的粒子的圆心角为θ＝60°，由图可知ef为打到cd边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为50°，则打在cd边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为 则打到cd屏上的粒子数与打到bc屏上的粒子数的比例为，故ACD正确。 故选：ACD。 （多选）10.（2025春•运城期末）如图所示的虚线为边长为L的正三角形，在正三角形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），d、e为ab、bc边的中点。一重力不计的带正电粒子（粒子的比荷为k），由d点垂直ab以初速度v0进入磁场，从e点射出磁场，则（　　） A．磁场的方向垂直纸面向外 B．磁感应强度大小 C．粒子在磁场中运动的时间 D．粒子在磁场中运动的时间 【答案】BC 【解答】解：A．粒子带正电，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．根据题意作图，如图，粒子圆周运动半径为 根据牛顿第二定律有 解得 故B正确； CD．粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 则有 故C正确，D错误。 故选：BC。 （多选）11．（2025•五华区模拟）如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线。一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射入，若该带电粒子所带电荷量为q（q＞0）、质量为m（重力可忽略），下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子在磁场中飞行时间可能为 B．该带电粒子在磁场中飞行时间可能为 C．带电粒子的速度为时，带电粒子飞行时间最长 D．带电粒子的速度为时，带电粒子从bc边飞出磁场 【答案】BD 【解答】解：AC、由题意可知，可知带电粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，它做匀速圆周运动，粒子带正电，由左手定则可知它将向ab方向偏转，带电粒子可能的轨道如下图所示： 这些轨道的圆心均在与v方向垂直的OM上。带电粒子在磁场中运动， 洛伦兹力提供向心力，有：，得，运动的周期为； 由周期表达式可知，带电粒子做匀速圆周运动的周期与半径、速率均没有关系，这说明了它在磁场中运动的时间仅与轨迹所对的圆心角大小有关； 由图可以发现带电粒子从入射边进入，又从入射边飞出时，其轨迹所对的圆心角最大， 带电粒子从ad边飞出的轨迹中，与ab相切的轨迹的半径，是它所有可能轨迹半径中的临界半径r0， 当r＞r0时，在磁场中运动时间是变化的，当r≤r0时，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最长的。 由上图可知，三角形O2EF和三角形O2OE均为等腰三角形，由几何关系可知：，轨迹所对的圆心角为， 运动的最长时间为：，解得：； 由图还可以得到：，解得：； 即时，粒子在磁场中的运动时间相同，为：，带电粒子的速度满足：，故AC错误； B、结合AC选项的分析图可知，粒子从dc边射出时，圆心角最小，临界情况为：，即其在磁场中的运动时间范围为：，故B正确； D、当时，r＝L，若从bc边出磁场，其轨迹如下图： 由几何关系可知：bM＝L﹣Lsin60°，bM＝Lcosθ，bH＝Lsinθ，解得：，符合条件，即粒子从bc边射出合理，故D正确。 故选：BD。 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•衡水期中）如图甲所示，矩形区域ABCD内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.2T，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点平行AB方向以某一初速度v0射入一个质量为m、电荷量为q的正电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的AD边长2L，AB边长为L，L＝0.2m，该粒子的比荷5×107C/kg，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小v0； （2）若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，t＝0时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知T0π×10﹣7s，求该粒子射入磁场的速度v可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】（1）该粒子射入磁场时的速度大小为4×106m/s； （2）该粒子射入磁场的速度v可能的取值为，粒子运动的时间为（n＝1，2，3⋯）。 【解答】解：（1）粒子的运动轨迹如图1所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系可知 代入数据，解得：r＝2L＝0.4m 由 代入数据，解得： （2）因为 而粒子圆周运动周期为 解得T＝2π×10﹣7s 粒子的轨迹如图2所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系可得 由 联立上述方程可解得： 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为： 代入上述公式，可解得 代入数据解得（n＝1，2，3⋯） 答：（1）该粒子射入磁场时的速度大小为4×106m/s； （2）该粒子射入磁场的速度v可能的取值为，粒子运动的时间为（n＝1，2，3⋯）。 13．（2025秋•乌鲁木齐校级期中）如图所示，三角形EFG所在的区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，匀强磁场的方向垂直纸面向里。三角形EFG中∠EGF＝30°，∠EFG＝90°，EF长为L。F处有一粒子源，能沿FG方向发射出大量带电荷量为+q的同种粒子，粒子质量为m，带电粒子重力不计，试求： （1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间。 【答案】（1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值等于； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间等于。 【解答】解：（1）当粒子运动轨迹与EG边相切时，轨迹如图所示 根据几何关系得 得 又由洛伦兹力提供向心力可得 可得 （2）由洛伦兹力提供向心力 可得 当v0＝vm时，粒子运动轨迹与EG边相切，此时圆心角最大为150°，时间最长为 答：（1）能从EF边离开磁场的粒子速度最大值等于； （2）粒子从F运动到EG边所用的最长时间等于。 14．（2025•盐池县三模）如图所示的容器由半径为R的半圆与一直角边为半圆直径的直角三角形组成，其中∠C＝60°。位于A点的粒子源可以将比荷均为的粒子以相同的速度v沿径向射入容器中，粒子打到容器边界上不发生反弹，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用力。 （1）若整个容器处于垂直纸面向外的匀强磁场中，正、负粒子在磁场中的运动时间之比为1：2，求负粒子的位移大小； （2）若整个容器处于平行纸面向下的匀强电场中，正、负粒子在电场中的运动时间之比为2：3，求负粒子的末速度大小。 【答案】（1）若整个容器处于垂直纸面向外的匀强磁场中，正、负粒子在磁场中的运动时间之比为1：2，负粒子的位移大小为R； （2）若整个容器处于平行纸面向下的匀强电场中，正、负粒子在电场中的运动时间之比为2：3，负粒子的末速度大小为2v。 【解答】解：（1）由和 得 所以正负粒子轨迹半径相同，周期相同。粒子在磁场中的运动时间可表示为 其中θ为弦切角。由正负粒子运动时间之比为1：2，可知 又因为正粒子向下偏转，若打到三角形斜边上，则θ正＝30°，对应θ负＝60°，根据弦切角画出负粒子末位置P2，补充粒子轨迹如下图所示 由几何关系可知，ΔAP2O为等边三角形，所以AP2＝R 若正粒子打到三角形直角边上，则负粒子弦切角一定小于正粒子弦切角，即负粒子运动时间小于正粒子，与题目条件不符，所以正粒子只能打到三角形斜边上。 （2）两粒子初速度相同，且与电场方向垂直，则两粒子的运动可看成类平抛运动。 设AO方向为x轴，电场方向为y轴，正负粒子沿x轴方向速度相同，均为v，沿y轴方向加速度大小相等，均为 则有vy正＝2at，vy负＝3at 所以 由平抛运动中速度角与位移角关系可知 解得 所以负粒子末速度大小为 答：（1）若整个容器处于垂直纸面向外的匀强磁场中，正、负粒子在磁场中的运动时间之比为1：2，负粒子的位移大小为R； （2）若整个容器处于平行纸面向下的匀强电场中，正、负粒子在电场中的运动时间之比为2：3，负粒子的末速度大小为2v。 学科网（北京）股份有限公司 $