专题06 三角函数与解三角形（期末真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题06 三角函数与解三角形 3大高频考点概览 考点01 三角函数 考点02 三角恒等变换 考点03 解三角形 地 城 考点01 三角函数 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（24-25高三上·山东威海·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·山东日照·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．直线为的图象的一条对称轴 D．在区间上的值域为 5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增 6．（23-24高三上·山东烟台·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．当时，的最小值为 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知函数的图象关于点对称，在上单调递减，．将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（    ） A． B．， C． D．为偶函数 地 城 考点02 三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东济南·期末）已知函数其中实数，存在使得在区间上有最大值M，在区间上有最小值m，且，则的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）设 ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东日照·期末）若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·山东烟台·期末）“直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．对任意，都有 C．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上的值域为 三、填空题 11．（24-25高三上·山东泰安·期末）若函数在［上是减函数，且，，则 ． 12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数定义域为，若存在实数，（）使得对于定义域内任意实数，均有成立，则称为“可平衡”函数，有序数对称为的“平衡”数对.若，，且，均为函数的“平衡”数对，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（24-25高三上·山东青岛·期末）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 14．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，求的长． 15．（24-25高三上·山东日照·期末）已知等差数列的公差，集合. (1)若，，求集合； (2)若，集合中恰好有两个元素，求； (3)当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由. 地 城 考点03 解三角形 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 二、多选题 3．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是Z上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为S，当最大时，为等边三角形，则（    ） A．Z的离心率为 B．若S的圆心在外，则 C．若，则S的面积为 D．若，则S的半径为 三、填空题 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 5．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ．    6．（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 四、解答题 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知内角的对边分别为，． (1)证明：； (2)求的最小值． 8．（24-25高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，求的最小值. 9．（24-25高三上·山东青岛·期末）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 10．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，求的长． 11．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，. (1)求； (2)若，求的面积. 12．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 13．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中AC平分    (1)若求； (2)若 （ⅰ）求； （ⅱ）求 14．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 15．（24-25高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，已知 ． (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，且，求的长． 16．（24-25高三上·山东滨州·期末）中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)延长至点，使得，试探究是否为定值？并说明理由． 17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． (1)求证：为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 18．（23-24高三上·山东青岛·期末）记的内角、、所对的边分别为、、. (1)证明：若，则； (2)探究：是否存在一个，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由． 19．（23-24高三上·山东烟台·期末）若的内角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的面积. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数与解三角形 3大高频考点概览 考点01 三角函数 考点02 三角恒等变换 考点03 解三角形 地 城 考点01 三角函数 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】先将两函数利用诱导公式变为同名函数，再由平移规则计算可得. 【详解】易知， 又因为， 因此只需将图象上所有的点向右平移个单位即可. 故选：D 2．（24-25高三上·山东威海·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得. 【详解】函数， 因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象. 故选：C 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数的最小正周期为，由题意可得，可得出关于的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则该函数的最大值为，最小值为， 且， 所以，、中一个为函数的最大值，一个为函数的最小值， 设函数的最小正周期为，则， 即，可得，所以，的可能取值为. 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高三上·山东日照·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．直线为的图象的一条对称轴 D．在区间上的值域为 【答案】ACD 【分析】利用，即可判断A选项；利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断B选项；利用判断C选项；根据时利用正弦函数的性质判断选项D. 【详解】由函数的部分图象知，，解得；因为，所以，A正确； 由五点法作图结合图象可知，解得，所以； 时不是单调函数，所以在区间不是单调函数，B不正确； 因为，所以直线为的图象的一条对称轴，C正确； 时所以，所以在区间上的值域为，D正确， 故选：ACD. 5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】由的图象经过点，求出的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】对选项A，因为，即，又，所以，故A正确； 对选项B，由对选A知，则，故B正确； 对选项C，又， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对选项D，由， 因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：AB. 6．（23-24高三上·山东烟台·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用三角函数的图象变换，求出，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】结合题意：要得到函数的解析式，只需将向左平移个单位长度. 所以, 对于选项A: 由可得，所以,故选项A正确； 对于选项B:将代入得：，所以的图象不关于直线对称，故选项B错误； 对于选项C:对于，令，则， 因为，所以，而在上单调递增，所以在上单调递增，故选项C正确； 对于选项D: 对于，令，则， 因为，所以，结合正弦函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，故，即时，，故选项D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知函数的图象关于点对称，在上单调递减，．将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（    ） A． B．， C． D．为偶函数 【答案】AC 【分析】由已知函数在上单调递减，则周期，又图象关于点对称, 关于对称，可得，从而确定，可判定A、B、C；再由图象平移得函数，可判断D. 【详解】因为函数在上单调递减， 则周期， 则由，可知函数图象关于对称， 又函数图象关于点对称, 所以，所以，A正确； 当时，函数取得最小值，则， ，B错误； 由， 所以 ，C正确； 将的图象向右平移个单位得到函数的图象， ， 则为奇函数，D错误. 故选：AC 地 城 考点02 三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再结合两角和差的正弦公式分析求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用已知条件求出的值，然后将表示为，再运用两角和的余弦公式来求解的值. 【详解】已知，那么. 因为，根据， 可得：. 则. 把，，，代入上式可得： . 故选：B. 3．（24-25高三上·山东济南·期末）已知函数其中实数，存在使得在区间上有最大值M，在区间上有最小值m，且，则的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的图象性质列式求解即得. 【详解】函数， 由，得，依题意，函数在上既有最大值，又有最小值， 因此，解得，所以的所有可能取值构成的集合为. 故选：B 4．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正切公式可求得，利用二倍角的正切公式可求得. 【详解】由题意可得，， 所以， 故. 故选：C. 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）设 ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式化简所求式子，再将齐次分式转化为表示的式子，即可求解. 【详解】 . 故选：D 6．（24-25高三上·山东日照·期末）若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式结合两角和的正切公式可求得所求代数式的值. 【详解】由三角函数定义可得， 所以 . 故选：B. 7．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意切化弦可得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：C. 8．（24-25高三上·山东烟台·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得. 【详解】因， 则. 故选：A. 9．（23-24高三上·山东烟台·期末）“直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可． 【详解】若直线与平行， 易得:，故：， 则 得不到，故不是充分条件； 反之，当时成立，故直线与平行，是必要条件； 故“直线与平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 二、多选题 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．对任意，都有 C．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【分析】由正弦函数的单调性判断A，由对称性判断B，由图象变换判断C，求出的值域后判断D． 【详解】因为， 对于A，令，则，即的一个单调增区间为，则在上单调递增，故选项A正确； 对于C，图象向左平移个单位长度得到，，故选项C正确； 对于B，由于，所以，故选项B错误； 对于D，当，则 所以，故选项D错误. 故选：AC． 三、填空题 11．（24-25高三上·山东泰安·期末）若函数在［上是减函数，且，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为， 所以， 又因为在区间上是减函数， 所以， 两式相减，得， 因为，所以. 故答案为： 12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数定义域为，若存在实数，（）使得对于定义域内任意实数，均有成立，则称为“可平衡”函数，有序数对称为的“平衡”数对.若，，且，均为函数的“平衡”数对，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据“平衡”数对的含义先求出的表达式，利用换元法，结合对勾函数的单调性可求答案. 【详解】因为是“平衡”数对，所以， 即， 所以. 同理可得， 所以， 令，则，， 由对勾函数的性质可得在单调递减， 所以时，有最大值；时，有最小值； 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·山东青岛·期末）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，可得，再根据得，再由正弦定理可得； （2）先由倍角公式可得，，再由两角差的正弦公式可得. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 因，所以， 由，则， 由正弦定理得  则. （2）因， . 14．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量平行得方程，利用二倍角公式，辅助角公式化简即可求解； （2）在中，由余弦定理解得，再分别在和中用余弦定理表示，利用相等关系列方程求解即可. 【详解】（1）， ， ， ，又， ， ，，， ， . （2）在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）. ，. 在中，， 在中，， ， ， ， 解得. 15．（24-25高三上·山东日照·期末）已知等差数列的公差，集合. (1)若，，求集合； (2)若，集合中恰好有两个元素，求； (3)当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）令，求出数列的通项公式，可得其周期，结合周期性可求得集合； （2）求得，，，根据题意可知或或，结合可求出的值，进而可求得数列的通项公式，结合周期性检验即可； （3）由可得或，结合可得出、、，然后对的取值进行分类讨论，根据、、、中至少有个值相等进行推理，推出矛盾，从而说明满足条件的不存在. 【详解】（1）令，因为，，则， 则，周期为. 又因为，，， 所以，由周期性可知，. （2）因为，，， 因为恰好有两个元素，所以，或或， 因为，则，且， 若，则，可得； 若，则，即， 解得，则， 所以或. ①当时，，周期为， 所以，，，此时，符合题意； ②当时，，周期为， 所以，，，，此时，符合题意； 综上，或. （3）不存在使得集合恰好有三个元素，证明如下： 因为，则有或， 因为为公差的等差数列， 故，所以，又，故、、. ①当时，因为、、、中至少有个值相等， 此时，不成立； ②当时，因为、、、至少有个值相等， 此时，必然有， 即，则，即且不是整数，故不符合条件； ③当时，因为、、、至少有个值相等， 此时，必然有或， 若，则，即且不是整数， 若则，即且不是整数，    故不符合条件； 综上，不存在使得集合恰好有三个元素. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题. 地 城 考点03 解三角形 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得. 【详解】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得到，求出，由三角形面积公式得，，，根据，求出，由基本不等式，得到，从而求出面积最小值. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 二、多选题 3．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是Z上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为S，当最大时，为等边三角形，则（    ） A．Z的离心率为 B．若S的圆心在外，则 C．若，则S的面积为 D．若，则S的半径为 【答案】ABD 【分析】点P位于椭圆Z的短轴端点时最大，求得椭圆的离心率判断A；考虑S的圆心在上的情况，可求得，可判断B；由正弦定理可得，进而可求面积判断C；由可得，可判断D. 【详解】 ， 当且仅当时取等号，所以点P位于椭圆Z的短轴端点时，最大， 若此时为等边三角形， 则，由椭圆的定义知，故椭圆的离心率为，故A正确； 所以，两边平方可得，所以， 若S的圆心在外，可以先考虑S的圆心在上的情况，此时为直角三角形， 不妨设P在第一象限，则， 故若S的圆心在外，此时小于S的圆心在上的情况， 故，故B正确； 若，则S的半径由正弦定理可知，故S的面积为，故C错误； 设坐标原点为O，则，故，此时P位于Z的短轴端点， 故，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是利用余弦定理可求得的最小值，进而确定时，最大，进而可求解. 三、填空题 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 5．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】首先得到，设，由正弦定理表示出，再把的面积表示出来，最后转化为三角函数值域问题，利用三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，，所以，设，则， 在中由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以，显然当，即时，最大值为. 故答案为： 6．（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可. 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 四、解答题 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知内角的对边分别为，． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证. （2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，由正弦定理得， 则 于是或（不成立），所以. （2）由（1）知，，， 则 ， 由，得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 8．（24-25高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，求的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 可得， 因为，所以. （2）由可得， 即， 可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 9．（24-25高三上·山东青岛·期末）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，可得，再根据得，再由正弦定理可得； （2）先由倍角公式可得，，再由两角差的正弦公式可得. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 因，所以， 由，则， 由正弦定理得  则. （2）因， . 10．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量平行得方程，利用二倍角公式，辅助角公式化简即可求解； （2）在中，由余弦定理解得，再分别在和中用余弦定理表示，利用相等关系列方程求解即可. 【详解】（1）， ， ， ，又， ， ，，， ， . （2）在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）. ，. 在中，， 在中，， ， ， ， 解得. 11．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用二倍角余弦公式计算结合正弦定理计算求解即可； （2）应用正弦定理结合两角和正弦求解，最后应用面积公式计算. 【详解】（1）因为，又， 所以，又， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 因为为钝角， 所以. （2）因为， 所以. 由（1）知， 所以. 又 所以. 12．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用角之间的关系消去角C，运算即可得到再求角即可； （2）不妨设利用中线求出b，再利用正弦定理求解，进而在三角形中求解即可. 【详解】（1）在，因为，由正弦定理得： 即 即 因为 所以 而 所以 整理得 因为中 所以 又所以 （2）因为AM是边BC的中线，所以 则 不妨设则所以 即解得或舍 所以 在中即 即， 解得即 所以，在中 又易知，P是重心，所以 所以 13．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中AC平分    (1)若求； (2)若 （ⅰ）求； （ⅱ）求 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由已知可得，进而利用余弦定理可求得； （2）（ⅰ）设则，设，利用余弦定理可求得，求解即可；（ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角，可求得，进而利用二倍角的正弦公式可求得. 【详解】（1）由题意可知AC平分因此 则， 而， 故在中，由余弦定理可得. （2）（ⅰ）设则，设，则， 由余弦定理可得， 所以，解得. （ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角， 则 故. 14．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以            ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 15．（24-25高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，已知 ． (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，利用和角的正弦公式求解即得； （2）利用正弦定理用表示，再用余弦定理列出方程求解. 【详解】（1）由，可得, 则， 整理得， ，， 因此，又， 所以. （2）因为是上靠近的三等分点，且， 则，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 故.    16．（24-25高三上·山东滨州·期末）中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)延长至点，使得，试探究是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和正、余弦定理计算可得或，若可得，即可证明； （2）由题意可得、，根据余弦定理化简计算，结合（1）可得，变形即可下结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理和余弦定理，得， 所以，即， 解得或， 若，则，又，所以，， 此时，有，即，所以． （2）因为，所以． 因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以，为定值． 17．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． (1)求证：为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，再结合余弦定理分析证明； （2）设，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，，成等差数列，则， 又因为，由余弦定理可得， 即，解得， 所以为等边三角形. （2）设，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，即， 由正弦定理可得. 18．（23-24高三上·山东青岛·期末）记的内角、、所对的边分别为、、. (1)证明：若，则； (2)探究：是否存在一个，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，最大边长为． 【分析】（1）由，利用三角恒等变换证明出，再利用正弦定理可证得结论成立； （2）假设存在，其三边为三个连续的自然数、、，设这三边所对的角分别为、、，可得，由（1）中的结论结合余弦定理可求出的值，即可求得最长边的边长. 【详解】（1）证明：若，则 ， 所以，由正弦定理得：． （2）解：假设存在，其三边为三个连续的自然数、、， 设这三边所对的角分别为、、，则若最大角是最小角的两倍，即． 由（1）知，，即． 由余弦定理知，，所以，， 即，因为，解得，经检验满足条件． 于是最大边长为． 因此，存在一个，其三边为三个连续的自然数，最大边长为． 19．（23-24高三上·山东烟台·期末）若的内角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）在三角形中，对已知条件进行“边化角”，化简后再利用两角和的正余公式，求出角的余弦值，从而求出角的大小； （2）由余弦定理求出的值，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）， ， 即， ． （2）在中，由余弦定理， 或， 所以面积为：或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $