专题03 平面向量与复数（期末真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题03 平面向量与复数 3大高频考点概览 考点01 平面向量的运算 考点02 坐标系下平面向量的运算 考点03 复数 地 城 考点01 平面向量的运算 一、单选题 1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量ξ，η满足，则 B．命题“，”的否定是“，” C．设，则“”是“”的必要而不充分条件 D．已知平面内两个单位向量，的夹角为θ，若，则 3．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东枣庄·期末）若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 二、多选题 6．（24-25高三上·山东淄博·期末）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则（    ） A．莱洛三角形的周长为 B．以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为 C．点P为弧上的一点，则的最小值为 D．点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 三、填空题 7．（24-25高三上·山东滨州·期末）设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则 ． 8．（山东省聊城市多校2024-2025学年高三上学期期末诊断检测数学试题）已知向量满足，则 ． 四、解答题 9．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 地 城 考点02 坐标系下平面向量的运算 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设向量，，则在上的投影为（    ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知向量，，若，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知向量满足，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 5．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B．3 C．4 D． 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、多选题 8．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 9．（24-25高三上·山东威海·期末）设向量，则（    ） A．是⊥的充分条件 B．是⊥的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 三、解答题 10．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，求的长． 地 城 考点03 复数 一、单选题 1．（24-25高三上·山东威海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）若，其中，则（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东日照·期末）若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高三上·山东枣庄·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 8．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 9．（24-25高三上·山东淄博·期末）若，则复数z的虚部是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·山东青岛·期末）复数（，i为虚数单位），是z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 13．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知则（    ） A．z有可能为实数 B．z不可能为纯虚数 C．的最小值为1 D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量与复数 3大高频考点概览 考点01 平面向量的运算 考点02 坐标系下平面向量的运算 考点03 复数 地 城 考点01 平面向量的运算 一、单选题 1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积公式，求解即可. 【详解】结合题意：设向量与夹角为， ， 因为，所以，解得. 因为，所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量ξ，η满足，则 B．命题“，”的否定是“，” C．设，则“”是“”的必要而不充分条件 D．已知平面内两个单位向量，的夹角为θ，若，则 【答案】C 【分析】利用方差的性质计算可判断A；根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B；根据充分条件、必要条件的定义判断C；利用向量的夹角公式求得判断D. 【详解】因为随机变量ξ，η满足，所以，故A错误； 命题“，”的否定是“，”，故B错误； 由，可得或，所以可得“”是“”的必要而不充分条件，故C正确； 因为，所以，又，是单位向量， 所以，所以，又， 所以，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， 故选：D 4．（24-25高三上·山东枣庄·期末）若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】由，得，即，而， 因此，而， 所以. 故选：C 5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【答案】B 【分析】根据条件可得，，利用向量的线性运算表示，结合数量积的运算律可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴ . 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高三上·山东淄博·期末）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，则（    ） A．莱洛三角形的周长为 B．以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为 C．点P为弧上的一点，则的最小值为 D．点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】每段圆弧的长度为圆周长的，计算三段圆弧总长度即可判断选项A；先求出底面积为三个扇形的面积减去两个正三角形的面积，然后求体积即可判断选项B；设为的中点，为的中点，，求解最小值即可判断选项C；因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或∠，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值即可判断选项D. 【详解】每段圆弧的长度为圆周长的，三段圆弧的总长度为 所以莱洛三角形的周长为，故A正确； 该几何体底面积为三个扇形的面积减去两个正三角形的面积， 正三角形的面积为， 扇形的面积为圆面积的，故扇形的面积为. 所以该几何体底面积为：. 故体积为，故B正确； 设为的中点，为的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的最小值为，故C错误； 当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，设，， 原式 其中所以，又因为，所以， 所以当时，原式取最小值. 当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，设，， 原式 ，又因为，所以， 所以时，原式取最小值. ∵，故原式取最小值.故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 7．（24-25高三上·山东滨州·期末）设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则 ． 【答案】6 【分析】利用向量夹角公式求出，进而求出即可得解. 【详解】由，，，得，而， 因此，所以. 故答案为：6 8．（山东省聊城市多校2024-2025学年高三上学期期末诊断检测数学试题）已知向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】由，得，整理得， 所以. 故答案为：2 四、解答题 9．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用角之间的关系消去角C，运算即可得到再求角即可； （2）不妨设利用中线求出b，再利用正弦定理求解，进而在三角形中求解即可. 【详解】（1）在，因为，由正弦定理得： 即 即 因为 所以 而 所以 整理得 因为中 所以 又所以 （2）因为AM是边BC的中线，所以 则 不妨设则所以 即解得或舍 所以 在中即 即， 解得即 所以，在中 又易知，P是重心，所以 所以 地 城 考点02 坐标系下平面向量的运算 一、单选题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设向量，，则在上的投影为（    ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解. 【详解】∵，， ∴，， ∴在上的投影为. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知向量，，若，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由向量垂直转化为数量积为0，进而可得. 【详解】由得，得， 故选：C 3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知向量满足，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在上的投影公式得到方程，求出，结合求出答案. 【详解】由题意得，在上的投影向量为， 故，即，， 解得. 故选：A 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题意可得，，又，可得，可求. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 5．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】由向量垂直求出得到的坐标，然后计算其模长即可. 【详解】向量，， 因为，所以，解得， 所以，所以， 故选：A 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量平行列方程，从而求得. 【详解】， 由于， 所以. 故选：C 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算. 【详解】由题意， 则，， . 故选：A 二、多选题 8．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 9．（24-25高三上·山东威海·期末）设向量，则（    ） A．是⊥的充分条件 B．是⊥的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 【答案】AC 【分析】AB选项，由得到方程，求出或，A正确，B错误；CD选项，根据向量平行得到方程，求出或，C正确，D错误. 【详解】AB选项，，解得或， 故是⊥的充分条件，A正确，B错误； CD选项，令，解得或， 故是的必要条件，C正确，D错误. 故选：AC 三、解答题 10．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知在中，内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量平行得方程，利用二倍角公式，辅助角公式化简即可求解； （2）在中，由余弦定理解得，再分别在和中用余弦定理表示，利用相等关系列方程求解即可. 【详解】（1）， ， ， ，又， ， ，，， ， . （2）在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）. ，. 在中，， 在中，， ， ， ， 解得. 地 城 考点03 复数 一、单选题 1．（24-25高三上·山东威海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念得，进而根据复数的乘法运算可得. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由题意可知，利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可. 【详解】由，得， ， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式代入计算即得. 【详解】由是方程的3个根，得， 所以 . 故选：B 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）若，其中，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数乘法，结合复数相等求出，再求出复数的模. 【详解】由，得，而，解得， 所以. 故选：B 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法计算得到复数，然后由共轭复数的定义得到 【详解】∵， ∴， ∴ 故选：B. 6．（24-25高三上·山东日照·期末）若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 7．（24-25高三上·山东枣庄·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 8．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数乘法法则求出，因为乘积为纯虚数，所以且，即可求得结果. 【详解】因为，所以且，解得 故选：C 9．（24-25高三上·山东淄博·期末）若，则复数z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得虚部. 【详解】因为，则， 所以复数z的虚部是. 故选：B. 10．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】依题设，且，由是实数，推理化简，求出，即可求出复数，即得的虚部. 【详解】依题意，设，且， 则， 因是实数，故，解得， 则，，故的虚部是2. 故选：D. 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义及向量运算可求解答案. 【详解】设复数，在复平面内对应的点为，则由题意, 因为，所以，即为正三角形，其高线长为； . 故选：C 12．（23-24高三上·山东青岛·期末）复数（，i为虚数单位），是z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由共轭复数的概念以及复数的乘法运算可得结果. 【详解】因为，所以， ， 解得， 故选：B. 二、多选题 13．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知则（    ） A．z有可能为实数 B．z不可能为纯虚数 C．的最小值为1 D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 【答案】ABD 【分析】化简得，，结合每个选项的条件逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，，其中， 若z为实数，则符合题意，故A正确； 由于z实部为-2，故不可能纯虚数，故B正确； 当时取得最小值，且最小值为2，故C错误； 若z在复平面内所对应的点在第三象限，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $