专题08 平面解析几何（期末真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题08 平面解析几何 4大高频考点概览 考点01 圆与直线 考点02 椭圆 考点03 双曲线 考点04 抛物线 地 城 考点01 圆与方程 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．（23-24高三上·山东聊城·期末）直线：（）与圆：相交于、两点，下列说法正确的个数为（    ） ①直线过定点        ②时，弦最长 ③时，为等腰直角三角形    ④时，弦长为 A．3 B．2 C．1 D．4 3．（24-25高三上·山东威海·期末）已知是与的等比中项，直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（22-23高三上·山东泰安·月考）已知圆与圆外切，则直线被圆M截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 7．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高三上·山东菏泽·期末）设圆C：上恰好有三个点到直线的距离等于1，则圆半径r的值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 二、多选题 10．（24-25高三上·山东威海·期末）设，已知函数（    ） A．在上单调递减 B．当时，存在最小值 C．设，则 D．设，若存在最小值，则 三、填空题 11．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 12．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 13．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ． 14．（24-25高三上·山东济南·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： . ①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交. 15．（23-24高三上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 . 16．（23-24高三上·山东枣庄·期末）为坐标原点，为抛物线的焦点，过上的动点（不为原点）作的切线，作于点，直线与交于点，点，则的取值范围是 . 17．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的标准方程可以是 .（写出一个满足条件的圆的标准方程即可） 四、解答题 18．（22-23高三上·山东日照·期末）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆的上顶点，点为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的离心率及其标准方程； (2)圆圆心在原点，半径为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，试说明直线与圆的位置关系，并证明. 地 城 考点02 椭圆 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东威海·期末）设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东枣庄·期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 6．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点在上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三上·山东济南·期末）在平面直角坐标系xOy中，给定n个点到这n个点的距离之和为定值d的点的轨迹，称为“多焦点曲线”，其轨迹方程记为已知则（    ） A．多焦点曲线所围成图形的面积为 B．多焦点曲线是焦点为的椭圆 C．若存在满足方程的点则 D．若多焦点曲线所围成图形的面积为S，则 8．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是Z上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为S，当最大时，为等边三角形，则（    ） A．Z的离心率为 B．若S的圆心在外，则 C．若，则S的面积为 D．若，则S的半径为 9．（22-23高三上·山东滨州·期末）设点，，的坐标分别为，，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B． C． D．有且仅有3个点，使得的面积为 三、填空题 10．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知椭圆的上，下焦点分别为为上一点，且，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为 ． 11．（23-24高三上·山东聊城·期末）椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，给出以下四个命题： ①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为12； ②椭圆上存在点，使得； ③椭圆的离心率为； ④为椭圆：上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4. 其中正确的序号有 . 四、解答题 12．（24-25高三上·山东枣庄·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆的右焦点，直线与相交于点，求的面积. 13．（24-25高三上·山东济南·期末）已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 (1)求C的标准方程； (2)若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 14．（24-25高三上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作轴的垂线与曲线在第一象限的交点为，过点的直线与曲线相切，且与轴交于点. （i）点是曲线上异于的一点，且，求直线的方程； （ii）过点且斜率不为0的直线交曲线于两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，求证：轴. 15．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：过点，且离心率． (1)椭圆的方程； (2)过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 16．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，椭圆与双曲线有共同的焦点，点是椭圆上任意一点，则的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点，使得，则当直线转动时，点在某一定直线上运动，求该定直线的方程. 17．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 18．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知O为坐标原点，点P在椭圆上，的左、右焦点恰为双曲线的左、右顶点，的离心率． (1)求的标准方程； (2)若直线l与相交于A，B两点，AB中点W在曲线上．探究直线AB与双曲线的位置关系. 19．（23-24高三上·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，. (1)求的标准方程； (2)直线交直线于点，证明：，，三点共线. 20．（22-23高三上·山东滨州·期末）已知椭圆C：离心率为，焦距为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标. 21．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为，与轴的交点为，若，，试问是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由． 地 城 考点03 双曲线 一、单选题 1．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·山东滨州·期末）如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，过点的直线与在第一象限交于点，若，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知为双曲线的一个焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与的另外一条渐近线交于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 5．（23-24高三上·山东威海·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（19-20高二上·山东烟台·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．直线与双曲线有两个公共点 7．（23-24高三上·山东潍坊·期末）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在上，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．的渐近线方程为 8．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高三上·山东威海·期末）已知双曲线的半焦距为，直线过点且与的一条渐近线平行，若原点到的距离为，则的离心率为 . 10．（22-23高三上·山东潍坊·期末）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与的两条渐近线分别交于点，.若线段的中点为，，则的离心率 . 四、解答题 11．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点. (1)求的方程； (2)①若点关于轴的对称点为，求证直线恒过定点，并求出点的坐标； ②若，求面积的最大值. 12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知双曲线左焦点为；点在上． (1)求的方程； (2)已知的右顶点为，圆与直线交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与交于两点．当点到直线的距离最大时，求的值． 地 城 考点04 抛物线 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知分别为抛物线的焦点，平行于x轴的直线与分别交于A，B两点，且，则四边形为（    ） A．任意不规则的四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．平行四边形 二、多选题 2．（23-24高三上·山东烟台·期末）我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线分别逆时针旋转可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（    ） A．开口向下的抛物线的方程为 B．若，则 C．设，则时，直线截第一象限花瓣的弦长最大 D．无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值 3．（23-24高三上·山东滨州·期末）拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一个点反射，沿直线射出，经过点，则（    ） A． B． C．延长交直线于点，则，，三点共线 D．若平分，则 三、填空题 4．（23-24高三上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 . 5．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为 . 四、解答题 7．（24-25高三上·山东泰安·期末）如图，已知点在抛物线上，且轴，坐标原点到的距离为2，． (1)求的方程； (2)如图，点在上且在左侧，点在线段上，四边形为矩形，将矩形以轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体体积的最大值； (3)如图，过点作圆（且）的切线，设与的另一个交点分别为，证明：直线过定点． 8．（24-25高三上·山东威海·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为. (1)当时，求； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设为的面积，证明：为定值. 9．（23-24高三上·山东日照·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）. (1)求抛物线的标准方程，并证明； (2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 10．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知点 和直线： ，直线过直线上的动点M且与直线垂直，线段的垂直平分线l与直线相交于点P． (1)求点P轨迹C的方程； (2)过点F的直线l与C交于 两点．若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 4大高频考点概览 考点01 圆与直线 考点02 椭圆 考点03 双曲线 考点04 抛物线 地 城 考点01 圆与方程 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】根据圆心间距离及半径和差的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】由题意可得的半径的半径 且，故两圆相交. 故选： 2．（23-24高三上·山东聊城·期末）直线：（）与圆：相交于、两点，下列说法正确的个数为（    ） ①直线过定点        ②时，弦最长 ③时，为等腰直角三角形    ④时，弦长为 A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，可判断①；由圆的弦长公式计算可判定②③④． 【详解】由题可知圆心，半径， 当时，恒成立，所以直线过定点，①正确； 时，：，圆心到的距离为，此时直线l过圆心，弦AB就是直径，最长，②正确； 时，：，圆心到的距离为， 所以弦长，此时， 所以不为直角三角形，③错误； 时，：，圆心到的距离为， 所以弦长，故④正确， 故选：A. 3．（24-25高三上·山东威海·期末）已知是与的等比中项，直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由题意，，圆心到直线的距离为，利用圆的弦长公式得，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】 因是与的等比中项，故，， 圆的圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 则， 设， 则， 当且仅当时等号成立， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是巧妙变形得到，进而巧妙换元结合基本不等式求最值. 4．（22-23高三上·山东泰安·月考）已知圆与圆外切，则直线被圆M截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆外切得出圆心距等于半径之和可求出，再根据几何法可求出弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为1， 由题意，得，即，解得， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的线段的长度为. 故选：C. 5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 【答案】C 【分析】由题意得，分别令、即可判断. 【详解】由题意不妨设，则，即， 当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误. 故选：C. 7．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数. 【详解】由题意圆是以为圆心1为半径的圆； 即是以为圆心3为半径的圆； 圆心距满足，所以两圆相离， 所以两圆的公切线条数为4. 故选：D. 8．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过定点，当与垂直时，最小，由垂径定理得到最小值. 【详解】变形为， 圆心为，半径为4， 过定点，当与垂直时，最小， 由垂径定理得，最小值为. 故选：B 9．（22-23高三上·山东菏泽·期末）设圆C：上恰好有三个点到直线的距离等于1，则圆半径r的值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求圆心到直线的距离，再利用数形结合可得的值. 【详解】圆心到直线的距离， 若圆上有3个点到直线的距离等于1，则. 故选：D 二、多选题 10．（24-25高三上·山东威海·期末）设，已知函数（    ） A．在上单调递减 B．当时，存在最小值 C．设，则 D．设，若存在最小值，则 【答案】BCD 【分析】对于A：取，画图即可判断，对于B，由函数单调性即可判断；对于C,数形结合即可判断，对于D：先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，分析可解. 【详解】对于A，取，画出函数图象， 可知在不是单调递减；故A错误； 对于B：对于B，当时， 当时，； 当时，显然取得最小值； 当时，， 综上：取得最小值，故B正确； 对于C，结合图像， 易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，，故C正确； 依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴下方的图象（即半圆）； 当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线； 因为， 结合图象可知，要使取得最小值，则点在上， 点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然要保证在上，才能满足取得最小值， 所以只需，即都可满足题意，保证， 否则无最小值，故.D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D选项，解决的关键求出，且上，从而可得的取值范围. 三、填空题 11．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【分析】利用切线长公式，将问题转化为求圆心到直线的距离即可. 【详解】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 12．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 【答案】 【分析】先利用题设条件求出圆的半径，根据抛物线的定义求得点的坐标，最后利用斜率公式计算即得. 【详解】 如图，由可知，，设准线与轴交于点， 因以为圆心的圆与准线交于两点，则, 又，则, 设点，则，解得， 当，则，故，于是. 故答案为：. 13．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案. 【详解】由题意得，即圆心在上，半径为， 故的最小值等于的最小值减去半径， 设，由于与关于对称， 的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍， 由，可得，令，解得， 故在点处的切线与平行，此时到的距离最小， 最小值为， 故的最小值为， 则的最小值等于. 故答案为： 【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下： ①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值； ②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解. 14．（24-25高三上·山东济南·期末）写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： . ①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交. 【答案】（答案不唯一） 【分析】设圆的标准方程为 由 ②得出，再由 ③得出，即可求出结果. 【详解】因为圆心在轴上， 所以设圆的标准方程为， 圆与轴相切，所以 圆化为标准方程为，圆心为，半径为， 又圆与圆相交，所以 则，解得：， 取，，此时圆的标准方程为 . 故答案为：（答案不唯一）. 15．（23-24高三上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】 利用抛物线的定义结合圆的性质数形结合计算即可. 【详解】 如图所示，易知，直线过定点， 且Q在以为直径的圆上，不妨设其圆心为E，显然半径， 分别过E，P作准线的垂线，垂足为M，G， 结合抛物线定义有， 当且仅当均在线段上时取得等号. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：关于圆锥曲线线段和差最值问题，通常利用数形结合思想，本题首先确定直线过定点得出Q轨迹为圆，结合抛物线的定义转化线段和结合圆的性质计算即可. 16．（23-24高三上·山东枣庄·期末）为坐标原点，为抛物线的焦点，过上的动点（不为原点）作的切线，作于点，直线与交于点，点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，切线方程为，联立抛物线方程，由根的判别式为0得到，从而得到直线和直线的方程，联立得到，结合，求出点的轨迹方程为，且，数形结合得到的最值，得到取值范围. 【详解】由题意得，设，， 设切线方程为，联立得， ，由得，， 则直线的斜率为，直线的方程为， 直线的方程为，即， 联立与得， 其中当时，，当时，， 解得，则， 由于，则， 将代入中得，， 整理可得，即， 故点的轨迹方程为，且， 点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆（去掉两个点）， 连接，则为的最大值，为的最小值， 最大值为， 最小值为， 且由对称性可得，两点与的距离等于到的距离相等， 综上，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标. 17．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的标准方程可以是 .（写出一个满足条件的圆的标准方程即可） 【答案】．（注：圆心到直线的距离为半径即可） 【分析】根据题意结合函数的单调性和对称性得，进而可得直线与圆相切，即可写出答案. 【详解】由函数得， 所以在定义域上单调递增， 又因为， 所以关于对称， 则，即， 因为，所以，即， 所有满足的点中，有且只有一个在圆上， 则直线与圆相切，假设圆心， 所以，所以圆可以是， 故答案为: ．（注：圆心到直线的距离为半径即可） 四、解答题 18．（22-23高三上·山东日照·期末）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆的上顶点，点为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的离心率及其标准方程； (2)圆圆心在原点，半径为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足，试说明直线与圆的位置关系，并证明. 【答案】(1)，椭圆的方程为； (2)直线与圆相切，证明见解析. 【分析】(1)由题意可得，设，由，可得，代入椭圆方程得，从而可得，再由即可求得椭圆的方程； (2)先证明直线与圆相切，分直线的斜率存在与不存在两种情况分别证明；当线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，只要求出点到直线的距离即可；直线的斜率不存在时，只要求出直线的方程为或即可；从而可得直线与圆相切；同理可证线与圆相切. 【详解】（1）解：由题意可得， 设， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 即，代入椭圆方程得：， 所以， 所以， 因数， 即， 所以， 又因为， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）解：直线与圆相切. 证明：因为关于原点对称， 所以 ，，， 所以， 设， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线和椭圆方程可得：， 即， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 则原点到直线的距离， 所以此时直线与圆相切； 当直线的斜率不存在时，依题意可得， 由，可得， 所以， 又因为， 所以， 所以直线的方程为或， 所以原点到直线的距离， 所以此时直线与圆相切， 综上所述直线与圆相切； 同理可证直线与圆相切； 所以直线与圆相切. 地 城 考点02 椭圆 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示及的面积，可得点坐标，代入椭圆方程，化简可得离心率. 【详解】 如图所示，设椭圆方程为， 易知，， 则，， 又，则， 则，易知，即， 由，，三点共线， 则，所以，则， 即，又在椭圆上，即，即， 则， 故选：C. 2．（24-25高三上·山东威海·期末）设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据条件计算可得点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，结合椭圆定义可得结果. 【详解】设点，则点到的距离，， 由得，， ∴点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，其中， 根据椭圆定义得，. 故选：D. 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的对称性及定义结合离心率公式即可求解. 【详解】由于为等边三角形，由椭圆的对称性可得,所以, 由椭圆的定义可得,所以椭圆的离心率. 故选：C 4．（23-24高三上·山东枣庄·期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 【答案】C 【分析】由题意得，分别令、即可判断. 【详解】由题意不妨设，则，即， 当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误. 故选：C. 6．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点在上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题给条件得到的齐次式，解之即可求得的离心率. 【详解】由题意可得，则， 则，又 ，， 则为等边三角形，则，即， 故的离心率. 故选：D 二、多选题 7．（24-25高三上·山东济南·期末）在平面直角坐标系xOy中，给定n个点到这n个点的距离之和为定值d的点的轨迹，称为“多焦点曲线”，其轨迹方程记为已知则（    ） A．多焦点曲线所围成图形的面积为 B．多焦点曲线是焦点为的椭圆 C．若存在满足方程的点则 D．若多焦点曲线所围成图形的面积为S，则 【答案】ACD 【分析】对于A，可知表示以为圆心，1为半径的圆，即可判断； 对于B，推出表示线段 对于C，取点以为边作等边其中点Q在内，得到即可判断； 对于D，分别以点、、为圆心，2为半径作圆弧、、推出满足条件的点M在三个圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内包含点、、即可求解. 【详解】对于A，表示到点的距离的曲线， 是以为圆心，1为半径的圆， 则多焦点曲线所围成图形的面积为故A正确； 对于B，表示到点和到点的距离之和为定值2的曲线， 因为所以多焦点曲线是线段故B错误； 对于C，存在满足方程的点 即 取点，可知和均为等边三角形， 显然当点M在内时，取得最小值， 如图： 以为边作等边，其中点Q在内，则， 由， 可得，，又，则≌， 可得， 则， 当且仅当点M为的中心时取等号，即，故C正确； 对于D，设满足多焦点曲线的点， 则， 若点M在内， 过点M作分别交、于点D、E， 则为等边三角形，即， 可知， 则 ， 故内的点不满足 若点M在三边上时， 根据对称性，不妨设点M在边上， 则 当且仅当点M与点或点重合时取等号， 因此，当点M在三边上时， 当且仅当点M与点、、重合时满足 若点M在外， 分别以点、、为圆心，2为半径作圆弧、、,如图： 根据对称性，不妨考虑点M在上的情况， 此时不满足 当点M在三段圆弧围成的曲边三角形外时，显然不满足 故满足的点M在三段圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内包含点、、 所以多焦点曲线应该是经过点而且在三段圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内的一条封闭曲线， 所以所围成图形的面积大于的面积小于外接圆的面积. 故多焦点曲线所围成图形的面积S满足.故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 8．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是Z上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为S，当最大时，为等边三角形，则（    ） A．Z的离心率为 B．若S的圆心在外，则 C．若，则S的面积为 D．若，则S的半径为 【答案】ABD 【分析】点P位于椭圆Z的短轴端点时最大，求得椭圆的离心率判断A；考虑S的圆心在上的情况，可求得，可判断B；由正弦定理可得，进而可求面积判断C；由可得，可判断D. 【详解】 ， 当且仅当时取等号，所以点P位于椭圆Z的短轴端点时，最大， 若此时为等边三角形， 则，由椭圆的定义知，故椭圆的离心率为，故A正确； 所以，两边平方可得，所以， 若S的圆心在外，可以先考虑S的圆心在上的情况，此时为直角三角形， 不妨设P在第一象限，则， 故若S的圆心在外，此时小于S的圆心在上的情况， 故，故B正确； 若，则S的半径由正弦定理可知，故S的面积为，故C错误； 设坐标原点为O，则，故，此时P位于Z的短轴端点， 故，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是利用余弦定理可求得的最小值，进而确定时，最大，进而可求解. 9．（22-23高三上·山东滨州·期末）设点，，的坐标分别为，，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B． C． D．有且仅有3个点，使得的面积为 【答案】ACD 【分析】A选项，由题易得点的轨迹方程为； B选项，，可取等号； C选项，； D选项，利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，联立方程即可判断. 【详解】由题知，点P的轨迹是，，焦点在x轴上的椭圆，则，椭圆方程为， 故A选项正确； 对于B选项，，当点为F1A的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故B选项错误； 对于C选项，，因为，所以，所以 当点为AF2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，取最小值，故C选项正确； 对于D选项，设使得的面积为的P点坐标为， 由坐标知，，直线的方程为， 则，解得或， 联立，化简得， 则，因此存在一个交点； 同理可得直线与椭圆有两个交点； 综上，有且仅有个点，使得的面积为，故D选项正确； 故选：ACD 三、填空题 10．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知椭圆的上，下焦点分别为为上一点，且，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的定义结合已知条件可得出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可解得椭圆的离心率 【详解】如图，设，延长交于P，所以， 由题意知，，O是的中点，故点P是的中点，所以， 得， 又，则, 又点在的平分线上，所以， 故是等腰直角三角形，所以， 所以，所以，又， 所以， 又在中，，即， 又，所以， 故答案为： 11．（23-24高三上·山东聊城·期末）椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，给出以下四个命题： ①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为12； ②椭圆上存在点，使得； ③椭圆的离心率为； ④为椭圆：上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4. 其中正确的序号有 . 【答案】①②④ 【分析】①由的周长为4a求解判断；②根据以原点为圆心以c为半径的圆交y轴于椭圆的外部判断；③根据椭圆方程判断；④设，求得点P到圆心（0，0）的距离判断. 【详解】由椭圆得，，， ①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故①正确； ②因为，所以以原点为圆心以为半径的圆交轴于椭圆的外部， 所以存在点，使得，即使得，故②正确； ③椭圆的离心率为，故③错误； ④因为为椭圆上一点，设，， 则点到圆心的距离为 则其最大值为3，所以最大值为：，故④正确； 故答案为：①②④. 四、解答题 12．（24-25高三上·山东枣庄·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆的右焦点，直线与相交于点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过直线与椭圆的交点、直线斜率关系以及椭圆的基本性质来确定椭圆的参数； （2）先求出直线方程与椭圆的交点，进而得到线段长度，再求出点到直线的距离，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）设直线的方程为，代入椭圆， 解得点的坐标是. 因为，且，得. 又因为，所以. 因为，所以. 得. 所以，椭圆的方程为. （2）由题意知，，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 由，消去并整理得， 解得（舍去）或，此时， 故点的坐标为 所以. 又由题知，点的坐标为. 设点到直线的距离为， 则. 故. 13．（24-25高三上·山东济南·期末）已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 (1)求C的标准方程； (2)若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ） 【分析】（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，求出离心率解得利用求出b，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0，求出直线的斜率，进而求R的坐标；（ⅱ）不妨设点R的坐标是此时直线MN的方程可化为设点S到直线MN的距离为d，求出三角形的面积，分类讨论，求出d的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，所以所以 离心率解得所以 所以椭圆C的标准方程为 （2）（ⅰ）由（1）可得点坐标易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 由可得 ①直线MN斜率不存在时，在椭圆方程中令得 不妨设所以所以不成立； ②直线MN斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则其方程为 设 由方程组消去y，得 则有 所以有 所以 当时 所以点R的坐标是 同理当时，点R的坐标是 综上所述，点R的坐标是或 （ⅱ）根据对称性面积最大值与点R所在象限无关， 不妨设点R的坐标是，此时直线MN的方程可化为 设点S到直线MN的距离为d， 因为T为PN的中点，R为MN的中点，所以可得 ①直线l斜率不存在时，点S坐标为，此时点S到直线的距离 ②直线l斜率存在时，设直线l方程为， 由方程组消去y，得 则有 所以点S坐标为 所以可得 令令 当时，即此时直线PQ与MN重合面积为 当即时，则有 从而当即时取得最大值 此时所以所以面积最大值为 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元设函数再结合二次函数的性质求最值. 14．（24-25高三上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作轴的垂线与曲线在第一象限的交点为，过点的直线与曲线相切，且与轴交于点. （i）点是曲线上异于的一点，且，求直线的方程； （ii）过点且斜率不为0的直线交曲线于两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，求证：轴. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意可得其轨迹为椭圆，结合椭圆的性质即可得到其标准方程； （2）（i）根据题意，联立直线与椭圆方程代入计算，即可得到点的坐标，然后结合三角形的面积公式代入计算，即可得到在关于对称的直线上，即可得到结果；（ii）联立直线DE与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到直线的方程，再由直线与直线即可得到点的纵坐标，即可证明. 【详解】（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且焦距，长轴，所以，所以曲线的方程为. （2）    （i）由题意知，点的坐标为， 因为过点的切线斜率不为0，故设，与椭圆联立， 得，令，得①， 又过，则②，联立①②可得，则， 所以点的坐标为， 因为，故， 从而到的距离为到距离的2倍，即在关于对称的直线上， 又在椭圆上，从而关于对称，故直线方程为. （ii）方法一：因为，直线的斜率不为0， 故设直线DE的方程为， 与椭圆联立，得， 所以， 所以，所以， 又，则直线的方程为， 轴，直线与交于，则，所以， 故， 故轴. 方法二：设， 则，则①，又由， 两式作差可得：②， 结合①②可得，，所以， 又，则直线的方程为 轴，直线与交于，则， 故，故轴. 15．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：过点，且离心率． (1)椭圆的方程； (2)过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率以及焦距即可求解方程， （2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解. 【详解】（1）椭圆过点， ，又，， 解得：， 椭圆的方程为； （2） 设直线的方程为， 由得， 设， 则.， 四边形为平行四边形. 设，则， 所以，， 因为点在椭圆上， 所以得，解得， 当直线的斜率不存在时，显然不成立 所以，直线的方程为或 16．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，椭圆与双曲线有共同的焦点，点是椭圆上任意一点，则的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点，使得，则当直线转动时，点在某一定直线上运动，求该定直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据共焦点结合最值列方程得出即可得出椭圆方程； （2）先联立方程得出韦达定理，再结合向量关系得出，计算即可得出定直线. 【详解】（1）点是椭圆上任意一点，则的最大值为：，所以. 又与双曲线有共同的焦点，所以， 所以椭圆的方程为. （2）   由题意可知，直线的斜率必存在. 故可设直线的方程为， ，，由， 消去得， 由根与系数的关系得，， 由，得 所以，所以， 设点的坐标为，由，得， 所以，解得. 而， ，所以. 故点在定直线上. 17．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴的概念建立方程组，解之即可求解； （2）（ⅰ）设，：，联立椭圆方程，利用可得，结合得，解得，即可证明；（ii）由（i）可得点与直线垂直的直线方程，求出直线与轴交点，根据两点求距离公式证明，结合内角平分线定理即可下结论. 【详解】（1）根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． （2）（ⅰ）设点，所以，， 设直线的斜率为，方程为：，则， 由消去，得①， 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． （ⅱ）椭圆：的左、右焦点，． 方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：， 令，得，所以直线与轴交点， 所以，． （）， 同理．所以． 根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点, 所以， 即，，三点共线，所以直线过点． 方法2：设点，则， 根据题意得，解得 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 方法3：设点，则， 过垂直于的直线交于点， 由（ⅰ）可得：，则：． 联立直线与的方程得所以 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 18．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知O为坐标原点，点P在椭圆上，的左、右焦点恰为双曲线的左、右顶点，的离心率． (1)求的标准方程； (2)若直线l与相交于A，B两点，AB中点W在曲线上．探究直线AB与双曲线的位置关系. 【答案】(1) (2)直线AB与相切 【分析】（1）根据题意双曲线与椭圆的性质列式求，即可得方程； （2）设，，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，，结合题意可得，再联立直线l与双曲线方程分析判断位置关系，注意讨论直线l的斜率是否存在. 【详解】（1）由题可知： 所以，，解得． 所以椭圆C的标准方程为；． （2）设，， 若直线l斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则， 可得，， 设，则，， 可得，， 则， 同理可得：， 因为W在曲线上， 则，解得， 联立方程，消去y得：， 所以，直线AB与相切． 若直线l斜率不存在，由对称性知W在x轴上，W在曲线， 令，可得，且，解得， 则，直线，此时也有直线AB与相切， 综上可知：直线AB与相切． 【点睛】关键点点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件． 19．（23-24高三上·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，. (1)求的标准方程； (2)直线交直线于点，证明：，，三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件及椭圆的性质，结合椭圆中三者的关系即可求解； （2）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理及两点的斜率公式，结合两直线平行的条件即可求解. 【详解】（1）如图所示， 由，可得， 所以， 即，因为， 所以，解得，， 所以的标准方程为. （2）由题意知，直线斜率不为，如图所示， 设，，而， 由，整理得， 显然，则, 因为， 所以，即. 则 ， 所以，又因为有公共点， 所以，，三点共线. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．（22-23高三上·山东滨州·期末）已知椭圆C：离心率为，焦距为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率及焦距求出，即可得出椭圆方程； （2）由题意可得直线与直线的倾斜角互补，再联立方程后由根与系数的关系建立方程可求出关于d的方程，根据与d无关即可求出点的坐标. 【详解】（1）由已知得，             以，， 所以椭圆的方程为； （2）设，如图， 将直线代入 得：． ． 因为的角平分线与轴垂直，所以直线与直线的倾斜角互补， 所以，即， 所以， 又因为， 整理得 将①式代入上式，可得 整理得． 因为点的坐标与无关， 所以， 解得，或， 所以点的坐标为或． 21．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为，与轴的交点为，若，，试问是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）设点的坐标为，结合两点之间的斜率公式即可得答案，注意，也就是斜率不存在的情况； （2）设，则，再联立直线方程与椭圆方程，结合向量的坐标运算以及韦达定理化简可得为定值. 【详解】（1）设点的坐标为，则直线的斜率为， 直线的斜率为． 由已知，， 化简，得点的轨迹的方程为． （2）为定值，理由如下： 根据题意可知直线的斜率一定存在且不为0，设，则． 联立，消去，得． 则恒成立， 设，，则，． 又因为，，且， 所以．同理． 所以 ， 所以，为定值． . 【点睛】思路点睛：定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的. 地 城 考点03 双曲线 一、单选题 1．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令双曲线为，其渐近线为，，若得，求坐标且有，结合点线距离公式及已知得双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】令双曲线为，其渐近线为，， 若，则，且直线，联立， 消去y，可得，所以，则，且， 所以，则， 由，则，整理得， 所以，即， 则，可得或， 若，则，与矛盾，舍； 若，则，满足题设， 又，则.    故选：B 2．（22-23高三上·山东滨州·期末）如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由用表示出.根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为. 将渐近线方程化为一般式为，，    由点到直线距离公式可知，所以， 根据题意，则， 设，由双曲线对称性可知， 而，， 由正切二倍角公式可知， 即，化简可得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：B. 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，过点的直线与在第一象限交于点，若，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算可得，，由平面向量数量积的运算性质可得出，可得出关于、的齐次等式，由此可得出、满足的等量关系，由此可得出该双曲线渐近线的方程. 【详解】如下图所示： 因为，由双曲线的定义可得，则， 因为为的中点，则，则，所以，， 又因为， 所以，， 即，整理可得， 即，所以，， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法： （1）定义法：直接利用、求得比值，则焦点在轴上时，渐近线方程为，焦点在轴上时，渐近线方程为； （2）构造齐次式：利用已知条件结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 4．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知为双曲线的一个焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与的另外一条渐近线交于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设过右焦点垂直于渐近线的直线为，求出，利用向量关系表示出，再代入另外一条渐近线，整理计算即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为， 不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线为， 联立，解得， 设，由，可得， 即，解得，即， 因为在另外一条渐近线上， 所以整理得：，即，所以. 故选：C. 5．（23-24高三上·山东威海·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，利用双曲线定义可得，即可求解. 【详解】解：连接，则，如图所示： 由，得， 而点Q在双曲线的右支上，则，因为， 所以，即， 则双曲线的离心率为：， 故选：D 二、多选题 6．（19-20高二上·山东烟台·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．直线与双曲线有两个公共点 【答案】ABD 【解析】A．根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值；B．根据离心率的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据的大小关系判断出三角形的形状，再根据长度关系判断是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的，判断出直线与双曲线的交点个数. 【详解】A．因为，，所以，， 又因为，所以， 所以，所以，所以，故结论正确； B．，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确； C．因为，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以结论不成立； D．因为，所以，所以， 所以， 所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系：；(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点. 7．（23-24高三上·山东潍坊·期末）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在上，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，求出双曲线的标准方程，确定，，；根据双曲线的定义确定A选项，双曲线的焦距确定B选项，根据双曲线的离心率确定C选项，根据双曲线的渐近线确定D选项. 【详解】（，），所以双曲线的标准方程为， 双曲线为焦点在轴，所以，，，， ，；，所以A正确； ，所以B正确； 的离心率为，所以C错误； 双曲线的渐近线方程为，所以D正确. 故选：ABD 8．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据双曲线焦点的位置讨论，结合条件即得. 【详解】若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为， 则，解得，双曲线C方程为； 若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为， 则，解得，双曲线C方程为. 故选：AD. 三、填空题 9．（24-25高三上·山东威海·期末）已知双曲线的半焦距为，直线过点且与的一条渐近线平行，若原点到的距离为，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由点到线的距离公式及求解即可； 【详解】易知双曲线渐近线方程为：， 故可设方程为：，即， 由题意可得：， 所以，即， 化简可得：， 可得：或 又，所以， 所以，可得， 故答案为： 10．（22-23高三上·山东潍坊·期末）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与的两条渐近线分别交于点，.若线段的中点为，，则的离心率 . 【答案】 【分析】根据题意可得出直线方程，与渐近线方程联立解得交点，的坐标，再根据中点坐标公式求出，由直线斜率为2以及利用余弦定理解得，再利用两点间距离公式可得关于的方程，解得即可求得离心率. 【详解】由题意可知，双曲线的两条渐近线方程为 过点且斜率为2的直线方程为， 不妨设直线与渐近线交于点，与渐近线交于点，如下图所示： 联立可得， 同理得，所以的中点为 设过点且斜率为2的直线的倾斜角为，即，可得 所以， 由余弦定理可得 即， 整理可得， 即，解得或（舍） 所以双曲线离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题离心率问题时，关键是联立直线与渐近线方程解得交点，的坐标得出中点的坐标，再利用斜率以及由余弦定理找出等量关系，建立关于的方程，即可求得离心率. 四、解答题 11．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点. (1)求的方程； (2)①若点关于轴的对称点为，求证直线恒过定点，并求出点的坐标； ②若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；② 【分析】（1）根据已知条件确定，的值，求出双曲线的标准方程； （2）设直线的点斜式方程，结合对称性得到直线的方程，结合直线方程，确定直线过定点；然后把的面积表示为的函数，再利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意知， 解得， 所以的方程为. （2）如图： ①直线的方程为，设，则. 由，消得：. 所以. 所以 直线的方程为， 即 所以直线恒过定点. ②时， 令 所以 所以，在上单调递减 所以， 所以的最大值为，此时. 【点睛】方法点睛：在圆锥曲线部分，涉及最值问题，通常有以下思路解决： （1）转化为二次函数的值域问题求解； （2）利用基本（均值）不等式求最值； （3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值； （4）求导，分析函数的单调性求最值. 12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知双曲线左焦点为；点在上． (1)求的方程； (2)已知的右顶点为，圆与直线交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与交于两点．当点到直线的距离最大时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，建立方程组，求出，即可得到的方程； （2）设，，设方程为，联立，利用韦达定理得，，得到，，由已知，整理，可得或，分析可得方程为，与双曲线方程联立，可得，进而得，可得. 【详解】（1）由题意，，解得， 所以曲线的方程为． （2） 由（1）知，，设，， 显然直线的斜率存在，设方程为， 联立，得， 所以，，， 因为，令，则， 同理，， 因为圆与直线交于P，Q两点， ， 则，即， 即， 整理得， 即， 整理得， 所以，即或， 若，则过点，不合题意； 若，则．所以，恒过， 所以点到直线的距离，当且仅当，即时取得， 此时方程为，联立，解得， 则， 得， 所以的值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是设方程，再将其联立双曲线方程，得到韦达定理式，由，利用韦达定理式，得到或，得到恒过，再利点到直线的距离，得到方程为，再与双曲线方程联立，即可求解. 地 城 考点04 抛物线 一、单选题 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知分别为抛物线的焦点，平行于x轴的直线与分别交于A，B两点，且，则四边形为（    ） A．任意不规则的四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】设，由题设得，结合抛物线的定义列方程求得，即可得答案. 【详解】设，根据题意知，即，故， 由抛物线的定义，知， 当时，，故， 所以，即四边形是平行四边形. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高三上·山东烟台·期末）我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线分别逆时针旋转可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（    ） A．开口向下的抛物线的方程为 B．若，则 C．设，则时，直线截第一象限花瓣的弦长最大 D．无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值 【答案】ABD 【分析】根据图象的对称性判断A；由及抛物线方程得到点的坐标，由对称性得到点坐标，代入即可求，判断B；由题意得到直线截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可判断C；利用导数的几何意义求出过点的切线，借助图象的对称性判断D. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为， 若抛物线逆时针旋转，则开口向下，焦点为， 故开口向下的抛物线方程为：，故A正确； 对于B，由题意可知，关于轴对称， 因为，设，所以，， 因为点在抛物线上，所以， 所以，即，所以， 由在抛物线上，所以，解得，故B正确； 对于C，当，由得，所以， 由题意直线截第一象限花瓣弦长为，， 所以，令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取到最大值，故C错误； 对于D，由得， 过第二象限的两抛物线分别为：①，②， 对于①，，则，设切点坐标为， 所以过点的切线方程为：， 将点代入得，解得， 因为，故， 所以切线的斜率为，故无论为何值，切线斜率均为，其与直线的夹角为定值， 由题意可知，与关于直线对称， 故过点的两切线也关于直线对称，故的切线与直线的夹角为定值， 即无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助抛物线图象的对称性，利用导数的几何意义和导数求单调性及最值解决问题. 3．（23-24高三上·山东滨州·期末）拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一个点反射，沿直线射出，经过点，则（    ） A． B． C．延长交直线于点，则，，三点共线 D．若平分，则 【答案】BCD 【分析】设出直线方程，联立后得出两点纵坐标关系后可判断A；由选项A求出点可得可判断B；结合题意求得，由的横坐标相同得三点共线可判断C；由平分，根据平面几何的知识可证得，可判断D. 【详解】对于A，由题意点，解得，即点， 抛物线焦点， 所以直线的方程为，即， 将其代入可得， 由韦达定理可得到，故A错误； 对于B，由知，因为，所以， 代入可得，解得：，所以， 所以，故B正确； 对于C，易得的方程为，联立，故， 又轴，所以三点的横坐标都相同，则三点共线，故C正确； 对于D，若平分，所以， 又因为轴，轴，所以，故， 所以，则，故，， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．（23-24高三上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】 利用抛物线的定义结合圆的性质数形结合计算即可. 【详解】 如图所示，易知，直线过定点， 且Q在以为直径的圆上，不妨设其圆心为E，显然半径， 分别过E，P作准线的垂线，垂足为M，G， 结合抛物线定义有， 当且仅当均在线段上时取得等号. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：关于圆锥曲线线段和差最值问题，通常利用数形结合思想，本题首先确定直线过定点得出Q轨迹为圆，结合抛物线的定义转化线段和结合圆的性质计算即可. 5．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与准线交于两点，且，设直线的斜率为，则 ． 【答案】 【分析】先利用题设条件求出圆的半径，根据抛物线的定义求得点的坐标，最后利用斜率公式计算即得. 【详解】 如图，由可知，，设准线与轴交于点， 因以为圆心的圆与准线交于两点，则, 又，则, 设点，则，解得， 当，则，故，于是. 故答案为：. 6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为 . 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义计算可得结果. 【详解】由题意得，抛物线准线方程为. 设，根据抛物线定义得， ∴. 故答案为：4. 四、解答题 7．（24-25高三上·山东泰安·期末）如图，已知点在抛物线上，且轴，坐标原点到的距离为2，． (1)求的方程； (2)如图，点在上且在左侧，点在线段上，四边形为矩形，将矩形以轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体体积的最大值； (3)如图，过点作圆（且）的切线，设与的另一个交点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出的坐标为．代入解析式，解得即可； （2）设点，则，旋转体为圆柱，求得，再用体积公式得到，运用二次函数求最值即可； （3）设，由题意，得到直线方程，根据 直线与圆相切，得到，根据直线与圆相切可得借助同构和韦达定理得到，代入方程中计算即可. 【详解】（1）轴，到的距离为2，且， 的坐标为．在抛物线上， ，解得抛物线方程为. （2）设点，则， 将矩形DEFG以轴为旋转轴旋转半周得到的旋转体为圆柱， 设其底面半径为，高为，则 ， 圆柱体积 ， ， 当即时，取得最大值， （3）证明：设，由题意，直线斜率均存在， 直线， 直线，即， 直线与圆相切，， 即， 同理，由直线与圆相切可得， 是方程的两个解， ，代入方程中， 得：， ，即，解得， 直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：证明直线过定点，通常有两类： （1）直线方程整理为斜截式，过定点； （2）直线方程整理为点斜式，过定点. 8．（24-25高三上·山东威海·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为. (1)当时，求； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设为的面积，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由点在可得，根据直线的方程联立抛物线方程可得； （2）由点差法可得，得，进而确定，可得，进而可得，即得，即证； （3）由，由点差法可， 进而可得直线的斜率为，可得，由直线的方程为，可得到直线的距离为，进而，即证.   【详解】（1）    因为点在上，所以，解得， 由题意知的坐标为，直线的方程为：， 由，整理得，解得. （2）法一：由题意知的坐标为， 所以，又， 两式相减得，即， 由题意知，可得， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，可得， 所以， 可得，所以数列是等差数列. 法二： 由题意知的坐标为， 所以直线的方程为， 由，可得， 由题意知是直线与的公共点，所以， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，可得， 所以， 所以，所以数列是等差数列. （3）法一：的三个顶点为， 因为，两式相减得，即， 所以直线的斜率为， 可得， 直线的方程为， 即， 设到直线的距离为，则 所以， 所以为定值. 法2： 的三个顶点为， 可得， ， 所以 ， 所以为定值. 法3： 要证为定值，只需证， 即证与面积相等， 因为，两式相减得， 即， 所以直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为 所以，可得点到直线的距离相等， 所以，即为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键能用点差法得到，进而，确定是等差数列，可得，进而依次得到，，；第三问由，可得和直线的方程为，进而得到直线的距离，进而，即证. 9．（23-24高三上·山东日照·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）. (1)求抛物线的标准方程，并证明； (2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用焦点重合可计算出抛物线方程，设出直线分别联立椭圆及抛物线,求出弦长,进行转化即可证明； （2）当斜率存在时，由（1）的过程可易得，，表示出四边形的面积，还需讨论斜率不存在. 【详解】（1）设抛物线的方程为， 由椭圆得：，则，故抛物线的焦点坐标为， 所以，所以抛物线的方程为 易知过点的直线的斜率存在，故可设直线方程为， 设， 联立，消去得：， 则， 所以. 联立，消去得：， 则， 则, 又, ， 即. （2）设， 当直线的斜率存在且不为零时， 设直线方程为，则直线方程为， 由（1）的过程可知：， 由，以替换，可得， 所以四边形面积， 因为，所以， 所以 当直线的斜率不存在时， 联立，解得, 易得：， 所以四边形面积； 综上所述：，所以四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消元建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、四边形的面积等问题． 10．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知点 和直线： ，直线过直线上的动点M且与直线垂直，线段的垂直平分线l与直线相交于点P． (1)求点P轨迹C的方程； (2)过点F的直线l与C交于 两点．若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据抛物线的定义可判断东点轨迹为抛物线，即而求得抛物线方程； （2）设l的方程为，作与l平行且与C相切的直线，切点为D,表示出切点D的坐标，联立方程，求出弦长，利用三角形的面积可求得k的值，说明符合题意，C上恰好存在三个点，使得的面积等于，即得答案. 【详解】（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交于点P，所以， 即点P到定点的距离等于点P到直线：的距离， 由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线, 即点P轨迹C的方程为. （2）如图，作与l平行且与C相切的直线，切点为D, 由题知的面积等于． 由题意知直线l的斜率一定存在，设l的方程为 ， 方程可化为，则， 设，令，解得， 将代入，得，故， 所以D到l的距离， 由，消去y，得， ， 从而，， 所以， 故的面积，从而， 解得或， 此时或为使得的面积等于的一个点， 那么在直线l的上方必然也存在着一条直线和l平行，和l的距离为， 这条直线与抛物线有两个交点也使得的面积等于， 即此时C上恰好存在三个点，使得的面积等于， 所以l的方程为或． 【点睛】关键点点睛：要满足C上恰好存在三个点，使得的面积等于，关键在于找到使得面积等于时，和直线l平行且和抛物线相切的那条直线，即表示出切点坐标，从而表示出三角形的高，进而利用面积求得答案. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $