专题07 计数原理与概率统计（期末真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题07 计数原理与概率统计 3大高频考点概览 考点01 二项式定理与计数原理 考点02 随机变量及其分布 考点03 统计 地 城 考点01 二项式定理与计数原理 一、单选题 1．（24-25高三上·山东济南·期末）若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将二项式变形为，然后利用二项式展开的通项公式，即可求得a1的值. 【详解】因为， 令，则，所以， 又因为展开式的通项为， 令，解得，所以， 故选：D. 2．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用间接法即可得解. 【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 3．（24-25高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据二项式定理的运算性质展开求解即可. 【详解】， 含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C． 二、多选题 4．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 三、填空题 5．（24-25高三上·山东济南·期末）从数列的前100项中，选出不同的3项，使其从小到大排列后，构成等比数列，则共有 种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为 . 【答案】 【分析】由题意可将中的项按连续取3项、间隔1项取、间隔2项取、…、间隔49项取，从而计算出所有的取法以及公比之和. 【详解】解：由题意若将连续3项取，取到3项为：…则共有98种选法，公比均为2； 若间隔1项取，取到3项为：…共有96种选法，公比均为 若间隔2项取，取到3项为：…共有94种选法，公比均为 … 若间隔49项取，取到3项为：共有2种选法，公比均为 则共有…种选法， 所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为…① 则…② ①-②可得… 所以 故答案为：2450 6．（24-25高三上·山东枣庄·期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】二项式展开式的通项为： 令，得 所以的系数为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）二项式展开式中含项的系数为80，则 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用二项式定理列式计算得解. 【详解】二项式展开式中含的项为，依题意，， 即，解得. 故答案为：5 8．（23-24高三上·山东烟台·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】先求得二项式展开式的通项为，结合通项进而求得项的系数. 【详解】由二项式展开式的通项为， 则的展开式中，含的项为， 所以项的系数为. 故答案为：. 9．（24-25高三上·山东淄博·期末）的展开式中，常数项为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的展开式为通项， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高三上·山东威海·期末）现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本. (1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率； (2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据相邻、不相邻问题的处理方法可得结果. （2）分析得的可能取值为，计算对应的概率可得结果. 【详解】（1）记事件：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻， 则. （2）的可能取值为， ， ， ， ∴的分布列为 2 3 4 ∴. 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）定义：由个数（；）排成的行列数表称方阵，其中为方阵中第行第列的数.现有方阵，通过变换将变换为（例如通过可将变换为），其中为中第行第列的数，，. (1)经过变换为，求； (2)设集合，都有，首次变换满足，记. ①求，； ②若，从集合中任取个数，表示两数都为奇数的概率，证明：. 【答案】(1) (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接利用题设定义，即可求解； （2）①根据条件，利用题设定义得，进而有，或，， 再分类讨论，即可求解；②根据题设得，再通过分类讨论可得，当时，，当时，，再利用的单调性，即可求解. 【详解】（1），所以 （2）①， 所以，所以， 因为，， 所以，或，， 若，，则，所以， 若，，则，所以， 综上，所以，. ②因为，所以， 即与奇偶不同，又，所以为偶数， 所以当为奇数时，为偶数，为奇数； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 因为，， 所以， 所以在，，…，中， 共有偶数个奇数，即集合中有偶数个奇数， 当（）时，中有个奇数，不符合题意， 当（）时，中有个奇数，不符合题意， 当（）时，中有个奇数，符合题意， 当（）时，中有个奇数，符合题意， 所以当时， ，递减，所以， 当时， ，递增，所以， 综上. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 12．（24-25高三上·山东青岛·期末）记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为．若存在整数使得，则记．若存在和，使得，则称是可约的．对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． (1)设，证明：是3不可分的； (2)已知：若是不可分的，则不是可约的．证明：不是可约的； (3)若（其他未写出的各项都是0），证明：不是不可分的． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用是3不可分的定义推理得证. （2）利用不是可约的定义推理得证. （3）利用不是不可分的的定义，并分类讨论推理得证. 【详解】（1）依题意，， 则， 由于都是3的倍数，6不是的倍数，1不是3的倍数， 所以是3不可分的. （2）由（1）知，是3不可分的，则不是可约的， 若是可约的，则存在与使得， 则， 与不是可约的矛盾，因此不是可约的. （3）对于，若存在，以及质数，使得是不可分， 由 则有3不是的倍数；以及和是的倍数；但不是的倍数， 分两种情况讨论： ①若是的倍数，则由是的倍数，得，此与不是的倍数矛盾； ②若不是的倍数，则由是的倍数，得是的倍数；再由是的倍数， 仍然有，此与不是的倍数矛盾， 所以不是不可分的. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 地 城 考点02 随机变量及其分布 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解. 【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B， 则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据的极差与众数之和为 B．数据的第百分位数是 C．在使用经验回归方程进行预测时，决定系数可以用来检检模型的拟合效果，其中越大，模型的拟合效果越好 D．一个袋子中有大小和质地完全相同的个球（标号为），从袋中不放回地依次随机摸出个球.设事件“第一次摸到标号小于的球”，事件“第二次摸到标号小于的球”，则与相互独立 【答案】AC 【分析】对于A，直接求出极差与众数，即可求解；对于B，直接求出第百分位数，即可求解；对于C，利用决定系数越大，模型的拟合效果越好，即可解；对于D，求出，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，数据的极差与众数分别为，其和为，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以数据的第百分位数是，故选项B错误， 对于选项C，因为决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以选项C正确， 对于选项D，因为，，， 则，所以与不独立，故选项D错误， 故选：AC. 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可判定A；由得，，可判断B、D；然后由根据公式求解即可判断C. 【详解】由知正态分布曲线的对称轴为，，， 因为，所以，， 故A、D不正确，B、C正确. 故选：BC. 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则 身高 体重 合计 大于 小于等于 大于 a b 小于等于 d 总计 附：若，则． ，其中． A．根据正态分布估计 B．根据正态分布估计 C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联 D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立 【答案】ABC 【分析】利用正态分布的性质计算可求得判断A；判断B；利用独立性检验计算可判断CD. 【详解】因为该地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布， 由正态分布可得， 若从该地区随机选取成年男士100人，则身高大于177的人数约为16人， 所以，故A正确； 因为体重（单位：）服从正态分布． 因为体重大于， 所以可得从该地区随机选取成年男士100人，体重大于73的数约为16人， 所以体重小于等于73的数约为84人，故，故B正确； 若，则， 零假设：该地区成年男士身高超过与体重超过无关， 计算可得， 由小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以该地区成年男士身高超过与体重超过相关联，故C正确；D错误. 故选：ABC. 6．（24-25高三上·山东日照·期末）下列说法正确的是（    ） A．样本数据、、、、、、的分位数是 B．数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为 C．若随机变量，则 D．若随机变量，且，则 【答案】AD 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用平均数的性质可判断B选项；利用独立重复试验的概率公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，将样本数据由小到大排列依次为：、、、、、、， 因为，因此，这组样本数据的分位数是，A对； 对于B选项，数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为，B错； 对于C选项，若随机变量，则，C错； 对于D选项，若随机变量，且， 则，D对. 故选：AD. 7．（24-25高三上·山东潍坊·期末）为了解某地区推广新农业技术后的农作物亩产量（单位：千克）情况，从该地区抽取样本，得到推广新技术后农作物的平均亩产量为510，样本方差为4.已知该地区以往农作物的平均亩产量为500，样本方差为36，假设以往农作物的亩产量和推广新技术后的亩产量都服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的概念和密度曲线的性质即可得出结论. 【详解】由题意得，，故A错误B正确； ，，所以，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题 8．（24-25高三上·山东青岛·期末）从编号1，2，…，的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ；（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ． 【答案】 【分析】（1）写出随机变量的可取值和抽取抽到编号1的概率为，由此得到，由期望的公式求出其期望. （2）由期望的可加性，分别算出这三个数第一次出现，第二次出现，第三次出现的数学期望，再相加即可. 【详解】（1）设抽取小球数为，的可取值为：，则抽到编号1的概率为，没抽到编号1的概率为, 则，，，， ∴，① ，② ①②得：， ∴， ∴； （2）设表示停止时抽取次数，设表示第一次出现中任意一个数的次数， 因为每次抽到中任意一个数的概率为，根据（1）的结论可知， 设表示已经出现中任意一个数后，再次出现两个数中任意一个数的次数， 此时每次抽到剩下两个数中任意一个数的概率为，根据（1）的结论可知， 设表示已经出现中任意两个数后，再出现最后一个数的次数， 此时每次抽到最后一个数的概率为，根据（1）的结论可知， 由期望的可加性知： . 故答案为：. 【点睛】方法点睛，本题考查了随机变量的数学期望，利用期望的可加性是解决本题的关键，将随机变量的期望利用（1）中的方法和结论拆分成三个随机变量的期望来完成即可. 9．（24-25高三上·山东威海·期末）已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为 . 【答案】 【分析】甲比乙进球数多包含以下三种情况：①甲进1球，乙进0球，②甲进2球，乙进1球，③甲进2球，乙进0球，由此能求出甲比乙进球数多的概率． 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次， 甲比乙进球数多包含以下两种情况： ①甲进1球，乙进0球，概率为：， ②甲进2球，乙进1球，概率为：， ③甲进2球，乙进0球，概率为： 甲比乙进球数多的概率． 故答案为： 10．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机事件A，B相互独立，且则的值为 . 【答案】 【分析】利用求解. 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）一个点从数轴的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方向：若出现，面之一时，向负方向移动个单位；若出现，，，面之一时，向正方向移动个单位．投掷次骰子，该点位置的平均值为 ．投掷次骰子后，概率大于的点的位置存在的最小区间为 ． 【答案】 【分析】根据古典概型计算概率，可得投掷次骰子时位置值的分布列，即可得均值；再列出投掷次时位置值的分布列，进而确定所求区间. 【详解】设投掷次时的位置值为，易知的可能取值有，， 则，， 则的分布列为 则均值为； 设投掷次时的位置值为，则的可能取值有，，，，，，， 则，， ，， ，， ， 则， 且，， 所以概率大于的点的位置存在的最小区间为， 故答案为：；. 四、解答题 12．（24-25高三上·山东临沂·期末）某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． (1)求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； (2)记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别求出甲、乙同学获得一个零食的概率，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望. 【详解】（1）设“甲同学获得一个零食”为事件A，“乙同学获得一个零食”为事件B，“甲、乙两名同学恰好各获得一个零食”为事件C． ， 则； 所以甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率为； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， . X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 13．（24-25高三上·山东青岛·期末）高血压是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近 5 个季度社区高血压患者的血压情况统计. 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低（或治愈）人数 320 270 210 150 100 (1)若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲，乙，丙三组进行挑战，其规则为：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战某组，则下次挑战权在该组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，，经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有人. (2)分布列见解析，期望 【分析】（1）首先计算和，再代入参考公式，求回归方程，代入，即可求解； （2）首先确定，再根据随机变量的意义，结合独立事件概率公式，即可求分布列，最后代入期望公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，， ， ， 所以回归方程， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有人. （2）由题知，的所有可能值为0,1,2， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望. 14．（23-24高三上·山东青岛·期末）为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用表示，，利润用y（单位：万元）表示，已知与的经验回归方程为． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912 t 0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544 (1)求的值（结果精确到1）； (2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X. （i）求X的分布列及数学期望； （ii）规定：进行多轮选择，每轮出现记为，出现记为，先出现为甲胜，先出现为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为且最终甲胜的概率”，求，及甲胜的概率． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据．其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，． 【答案】(1)3;2 (2)（i）分布列见解析，；（ii），， 【分析】（1）借助回归直线方程知识，将题干条件的数据代入计算即可； （2）由题意知，X的可能取值为2，3，4，分别计算出概率,列出分布列计算期望；依次计算概率即可. 【详解】（1）由已知公式得， 所以，， 所以. （2）（i）由题意知，X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 其分布列为 2 3 4 ． 当第一轮为时，若第二轮为，则甲胜；若第二轮为，则乙胜， 所以; 当第一轮为时，若第二轮为，则最终甲胜的概率为，若第二轮为，则最终甲胜的概率为； 所以，解得． 故甲胜的概率． 地 城 考点03 统计 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）通过简单随机抽样，获得了某市户居民的月均用水量数据（单位：），制作如下频率分布表： 分组 合计 频数 9 频率 根据表中数据，估计月均用水量的样本数据的分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格数据结合百分位数的定义求结论即可. 【详解】由题表可知，月均用水量在以下的居民用户所占比例， 在以下的居民用户所占的比例为， 因此分位数一定位于内. 由，可以估计月均用水量的样本数据的分位数为. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用中位数的定义直接求得结果. 【详解】样本数据1，3，5，7，9，11，13，15的中位数是. 故选：C 3．（24-25高三上·山东威海·期末）下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于； 选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大. 选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数. 选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大. 综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小. 故选：A. 4．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差＝观测值－预测值），则（   ） A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48 【答案】A 【分析】由题意先求出时的预报值，通过残差列出方程，求解即得的值. 【详解】由题意，，解得. 故选：A. 5．（23-24高三上·山东青岛·期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产品和最大规模的国际合作平台.树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图.该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（    ） A．72 B．76 C．78 D．85 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图直接计算即可. 【详解】由题中频率分布直方图知区间的频率为： 则在区间的频率为：， 所以第60百分位数在区间，且设为，则， 解得. 故选：B 二、多选题 6．（24-25高三上·山东济南·期末）已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为则（    ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距 A． B．当时，对应样本点的残差为 C．表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D．去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 【答案】BCD 【分析】求出样本中心点，利用样本中心点在经验回归方程上求出判断；利用残差的概念判断；利用百分数的概念判断；利用样本中心点正好是可判断. 【详解】由表中数据可得 因为经验回归方程为，经过点 则，解得：，故错误； 当时，， 残差为故正确； 因为， 所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是从小到大排列的第4个数，为11，故正确； 因为，所以去掉样本点后，y与x的样本相关系数计算公式中的分子、分母都不发生变化不变，所以相关系数的值不变，故正确. 故选：. 7．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知样本数据的平均数为，则数据（    ） A．与原数据的极差相同 B．与原数据的中位数相同 C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同 【答案】AD 【分析】根据题意，由数据平均数、方差、中位数、极差的定义分析选项，综合可得答案. 【详解】由样本数据的平均数为，可得， 其方差为， 对于数据，其平均数， 其方差； 即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确； 由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A正确； 对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误. 故选：AD 8．（24-25高三上·山东淄博·期末）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（    ） A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为，乙的中位数为，故A正确； 甲的极差为，乙的极差为，故B正确； ，所以甲的第75百分位数为，乙的第75百分位数为，故C错误； 由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：ABD 三、解答题 9．（24-25高三上·山东青岛·期末）现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 数量y 200 260 280 350 420 440 500 (1)若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:） (2)某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用表中数据先求出平均数，再代入公式计算可求得，得出回归方程后进而可预测结果； （2）分别判断出有放回和无放回的分布模型，再分情况讨论即可计算出概率. 【详解】（1）依题意可得； 又， 所以， 可知， 所以经验回归方程为， 将代入该方程可得预测第10天该地区门锁的销售数量为； （2）有放回时，随机变量对应的概率为； 无放回时，随机变量对应的概率为； 若，则有以下情况： 当时，，此时概率为； 当时，或，此时概率为; 因此可得的概率为. 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）某种产品每吨成本7万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 8 9 10 9 (1)若与线性相关，求关于的经验回归方程； (2)根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到） 附：（参考公式） 【答案】(1)； (2)万元/吨. 【分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）由（1）的结论，求出销售利润函数式，再借助二次函数最值求解. 【详解】（1）依题意，，， ， 因此， 所以关于的经验回归方程为. （2）依题意，销售利润为， 当时，取得最大值， 所以预测销售价格是万元/吨时，该产品销售利润最大. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计数原理与概率统计 3大高频考点概览 考点01 二项式定理与计数原理 考点02 随机变量及其分布 考点03 统计 地 城 考点01 二项式定理与计数原理 一、单选题 1．（24-25高三上·山东济南·期末）若则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 4．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 三、填空题 5．（24-25高三上·山东济南·期末）从数列的前100项中，选出不同的3项，使其从小到大排列后，构成等比数列，则共有 种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为 . 6．（24-25高三上·山东枣庄·期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）二项式展开式中含项的系数为80，则 ． 8．（23-24高三上·山东烟台·期末）的展开式中的系数为 . 9．（24-25高三上·山东淄博·期末）的展开式中，常数项为 ． 四、解答题 10．（24-25高三上·山东威海·期末）现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本. (1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率； (2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望. 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）定义：由个数（；）排成的行列数表称方阵，其中为方阵中第行第列的数.现有方阵，通过变换将变换为（例如通过可将变换为），其中为中第行第列的数，，. (1)经过变换为，求； (2)设集合，都有，首次变换满足，记. ①求，； ②若，从集合中任取个数，表示两数都为奇数的概率，证明：. 12．（24-25高三上·山东青岛·期末）记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为．若存在整数使得，则记．若存在和，使得，则称是可约的．对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． (1)设，证明：是3不可分的； (2)已知：若是不可分的，则不是可约的．证明：不是可约的； (3)若（其他未写出的各项都是0），证明：不是不可分的． 地 城 考点02 随机变量及其分布 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据的极差与众数之和为 B．数据的第百分位数是 C．在使用经验回归方程进行预测时，决定系数可以用来检检模型的拟合效果，其中越大，模型的拟合效果越好 D．一个袋子中有大小和质地完全相同的个球（标号为），从袋中不放回地依次随机摸出个球.设事件“第一次摸到标号小于的球”，事件“第二次摸到标号小于的球”，则与相互独立 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则 身高 体重 合计 大于 小于等于 大于 a b 小于等于 d 总计 附：若，则． ，其中． A．根据正态分布估计 B．根据正态分布估计 C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联 D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立 6．（24-25高三上·山东日照·期末）下列说法正确的是（    ） A．样本数据、、、、、、的分位数是 B．数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为 C．若随机变量，则 D．若随机变量，且，则 7．（24-25高三上·山东潍坊·期末）为了解某地区推广新农业技术后的农作物亩产量（单位：千克）情况，从该地区抽取样本，得到推广新技术后农作物的平均亩产量为510，样本方差为4.已知该地区以往农作物的平均亩产量为500，样本方差为36，假设以往农作物的亩产量和推广新技术后的亩产量都服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高三上·山东青岛·期末）从编号1，2，…，的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ；（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ． 9．（24-25高三上·山东威海·期末）已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为 . 10．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机事件A，B相互独立，且则的值为 . 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）一个点从数轴的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方向：若出现，面之一时，向负方向移动个单位；若出现，，，面之一时，向正方向移动个单位．投掷次骰子，该点位置的平均值为 ．投掷次骰子后，概率大于的点的位置存在的最小区间为 ． 四、解答题 12．（24-25高三上·山东临沂·期末）某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． (1)求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； (2)记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 13．（24-25高三上·山东青岛·期末）高血压是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近 5 个季度社区高血压患者的血压情况统计. 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低（或治愈）人数 320 270 210 150 100 (1)若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲，乙，丙三组进行挑战，其规则为：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战某组，则下次挑战权在该组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，，经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 14．（23-24高三上·山东青岛·期末）为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用表示，，利润用y（单位：万元）表示，已知与的经验回归方程为． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912 t 0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544 (1)求的值（结果精确到1）； (2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X. （i）求X的分布列及数学期望； （ii）规定：进行多轮选择，每轮出现记为，出现记为，先出现为甲胜，先出现为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为且最终甲胜的概率”，求，及甲胜的概率． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据．其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，． 地 城 考点03 统计 一、单选题 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）通过简单随机抽样，获得了某市户居民的月均用水量数据（单位：），制作如下频率分布表： 分组 合计 频数 9 频率 根据表中数据，估计月均用水量的样本数据的分位数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高三上·山东威海·期末）下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差＝观测值－预测值），则（   ） A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48 5．（23-24高三上·山东青岛·期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产品和最大规模的国际合作平台.树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图.该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（    ） A．72 B．76 C．78 D．85 二、多选题 6．（24-25高三上·山东济南·期末）已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为则（    ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距 A． B．当时，对应样本点的残差为 C．表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D．去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 7．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知样本数据的平均数为，则数据（    ） A．与原数据的极差相同 B．与原数据的中位数相同 C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同 8．（24-25高三上·山东淄博·期末）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（    ） A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 三、解答题 9．（24-25高三上·山东青岛·期末）现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 数量y 200 260 280 350 420 440 500 (1)若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:） (2)某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率． 10．（24-25高三上·山东青岛·期末）某种产品每吨成本7万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 8 9 10 9 (1)若与线性相关，求关于的经验回归方程； (2)根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到） 附：（参考公式） 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $