专题05 一元函数的导数及其应用（期末真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题05 一元函数的导数及其应用 2大高频考点概览 考点01 导数的概念与几何意义 考点02 导数的应用 地 城 考点01 导数的概念与几何意义 一、单选题 1．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解. 【详解】由题意杯子的底面面积， 则杯中溶液上升高度， 则， 当时，， 即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故选：A 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接求导得到，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以 故选:C 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知函数，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数的定义及导数的运算求解即可. 【详解】由题意，，故. 故选：D 二、多选题 6．（23-24高二上·山东临沂·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的导数公式，结合导数的运算法则和复合函数求导法则，分别进行判断即可. 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：BC 7．（23-24高二上·山东聊城·期末）下列求导运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断. 【详解】对于A：由于是常数，常数的导数是，即，错误； 对于B：，正确； 对于C：，正确； 对于D：，正确； 故选：BCD 三、填空题 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】设直线切曲线于点，切曲线于点，利用导数的几何意义写出直线的两个方程，可得出关于、的方程组，消去，求出的值，即为所求. 【详解】设直线切曲线于点，切曲线于点， 由得，则直线的方程为， 即； 由可得，则直线的方程为， 即， 所以，， 消去可得，即，可得， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知函数满足. (1)求在处的导数； (2)求的图象在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再令即可得出答案； （2）由（1）求得，再根据导数的几何意义即可得出答案. 【详解】（1）由， 得， 则， 所以； （2）由（1）得， 则， 所以的图象在点处的切线方程为， 即. 地 城 考点02 导数的应用 一、填空题 1．（23-24高二上·山东滨州·期末）若，且，都有，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调性，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可知，、均为正数， 因为，由， 所以，， 令，， 则， 由于， 可得时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，，则，即实数的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】思路点精：适当变形不等式，构造函数证明不等式恒成立时参数的范围. 2．（22-23高二上·山东滨州·期末）如图所示，ABCD是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设，当 cm时，包装盒的容积最大，最大容积为 ．    【答案】 10 【分析】利用可分别表示出包装盒侧面高和底边长，进而将容积表示出来，通过导数研究其最大值即可. 【详解】因为，，， 所以，包装盒底边长为， 因为阴影部分为等腰直角三角形， 所以包装盒侧面高为， 所以包装盒容积， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，取得最大值. 故答案为：10； 【点睛】实际问题要善于转化为数学问题，本题通过将实际问题转化为函数问题，进而利用导数研究函数的单调性，得到函数的最大值，从而得到答案. 二、解答题 3．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值. 【详解】（1）的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 （2）， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 4．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求出导函数，根据和分类讨论求解即可； （2）根据函数的单调性易知且，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）． ①若，，在为增函数； ②若，令，得. 当时，为减函数， 当时，为增函数. 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当时，在单调递减，在单调递增， 因为有两个零点，必有， 因为，所以.令， 则，所以在单调递减，而， 所以当时，，即. 又，故在有1个零点； 当时，因为，则，由得，由得， 所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以， 取，有， 所以在有1个零点. 综上所述，当有两个零点时，. 5．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)设，当时，求证为增函数； (2)当时，求证. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明为增函数，只需证明即可； （2）首先两种方法都是先把问题转化为，方法一是证明函数的最小值大于；方法二是通过构造函数的方法证明和. 【详解】（1）函数的定义域为， ， ， 因为，所以， 所以为上的增函数. （2）当时，，则有， 故只需证恒成立， 由（1）知当时，在上单调递增， 又， 由零点存在定理，可知在上有唯一实根，且， 当时，，当时，， 从而当时，取得最小值. 由，得， 即，所以， 故. 当且仅当时，上式等号成立， 所以，当时，. 综上所述，当时，恒成立. （2）方法二 当时，，则有，故只需证明当时，恒成立， 令，， 由得，由得，由得， 所以时. 所以恒成立，当时，等号成立. 所以即， 当且仅当时，等号成立， ，即，当且仅当时，等号成立. 所以成立. 综上，当时，恒成立. 6．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)； (3). 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的单调区间； （2）先由在定义域内单调递增得，再结合不等式求最小值即可； （3）先根据极值点得出导函数为0，结合韦达定理，再应用分离参数，构造函数，根据单调性求出最大值即可. 【详解】（1）由函数解析式，可得在定义域为， 当，，则， 令， 可得，即， 解得，. 所以当变化时，，的变化情况如下表： + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由函数解析式，可得在定义域为， 所以， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立. 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （3）因为函数有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的实数根，. 设，则有两个不相等的正实数根，， 故，且，， 所以，，， 又恒成立，即恒成立， . 设， 则，在恒成立， 故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系.利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是重点和难点。 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元函数的导数及其应用 2大高频考点概览 考点01 导数的概念与几何意义 考点02 导数的应用 地 城 考点01 导数的计算 一、单选题 1．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知函数，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 6．（23-24高二上·山东临沂·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东聊城·期末）下列求导运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知函数满足. (1)求在处的导数； (2)求的图象在点处的切线方程. 地 城 考点02 导数的应用 一、填空题 1．（23-24高二上·山东滨州·期末）若，且，都有，则的最大值为 . 2．（22-23高二上·山东滨州·期末）如图所示，ABCD是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设，当 cm时，包装盒的容积最大，最大容积为 ．    二、解答题 3．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 4．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 5．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)设，当时，求证为增函数； (2)当时，求证. 6．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $