2026届高考物理培优专题导学案：极限思想在物理学中的应用

该高中物理高考复习学案聚焦极限思想在动力学、滑轮系统、功能关系及电学中的应用，按物理模块构建知识网络，通过文本研学揭示极限法简化复杂问题的本质，结合典型例题引导学生自主梳理临界条件分析、变力做功等核心考点，形成从概念到应用的层次化学案体系。 亮点在于科学思维导向的例题分层设计与自主诊断工具，如动力学中通过假设摩擦因数趋近零分析临界角度，电路中假设电阻短路/断路简化等效电路，培养学生模型建构与科学推理能力。每份例题均配详细解析与错因分析，学生可自主诊断薄弱环节，教师能依据学情精准指导，助力学生高效突破高考重难点，提升自主复习实效。

人教版物理 培优专题二 唐山市第二中学 极限思想在物理学中的应用 （选准研究对象，找准突破点） 文本研学 极限思想是物理学中一种重要的分析方法，通过假设变量趋近于特定值（如零或无穷大）来简化复杂问题，揭示物理规律的本质。这种方法在高中物理及更高级的课程中应用广泛，以下结合具体例子进行说明。 一、极限思想在动力学中的体现 极限思想源于数学，但在物理学中被用于处理连续变化的过程。这种方法能将抽象概念（如瞬时加速度、电场强度）具体化。‌例如瞬时速度与加速度‌：当时间间隔Δt无限小时，平均速度的极限即为瞬时速度；同理，瞬时加速度是平均加速度的极限‌‌；平抛运动‌：若水平初速度v₀趋近于零，运动可近似为自由落体运动，便于分析极限情况‌‌；斜面问题‌：分析物体滑动条件时，假设摩擦因数趋近于零（无摩擦）或无穷大（完全静摩擦），可快速确定临界角度‌‌。 例题分析 例1．如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 例2．如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F等于（已知重力加速度为g）（　　） A．mgcosα B． mgsinα C．mgcos 2α D．mgsin 2α 例3．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动（），盘面上离转轴距离1m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。小物体质量为2kg，与盘面间的动摩擦因数为0.8，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为，取。则下列说法正确的是（　　） A．角速度的最大值是 B．小物体运动到与圆盘中心等高的位置时所受的摩擦力大于10N C．取不同数值时，小物体在最高点受到的摩擦力的范围为 D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为 例4．如图所示，质量的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量的小球B相连，今用跟水平方向成角的力，拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取 。求： （1）运动过程中轻绳与水平方向夹角θ； （2）木块与水平杆间的动摩擦因数μ。 （3）当角为多大时，力F使球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？最小拉力为多少？（只要求写出角度的函数值） 二、极限思想在滑轮系统中的体现 ‌阿特伍德机（滑轮系统）‌：当物体质量M远大于m（M≫m）时，绳子拉力T趋近于mg，加速度a趋近于g。这种极限假设简化了受力分析‌. 例5．打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。 （1）求C的质量； （2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小； （3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。 三、极限思想在功能中的体现 变力做功：将位移无限细分，各小段视为恒力做功，求和后取极限得到总功 碰撞问题：在子弹射入木块的案例中，假设木块长度趋近于无穷大，可证明木块位移始终小于其长度，从而排除错误选项 例6．如图所示的装置由一半径为的半圆管与半径为的半圆管组合而成，将装置固定在水平面上，一直径略小于圆管内径的小球置于M点，该小球受到一方向始终沿轨道切线方向的外力，且保持其大小F不变，当小球由M点运动到管口的另一端N点的过程中，该外力对小球所做的功为（    ） A．0 B．FR C． D． 例7．如图所示，可视为质点、质量为的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，点与圆心的连线与竖直方向的夹角为。已知圆轨道的半径为，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为，重力加速度为，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．玩具车在点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过、两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为 三、极限思想在电学中的体现 ‌电路分析‌：在串联电路中，假设某电阻趋近于零（短路）或无穷大（断路），可简化等效电路计算电流或电压‌ ‌电容器实验‌：研究平行板电容器时，假设极板间距d趋近于无穷大，电容C趋近于零，说明极板间几乎无法储存电荷‌‌ 例8．如图所示电路，由个定值电阻、个开关、一个电压表和一个电池组成，电池内阻不可忽略，先闭合开关，逐步闭合开关、、、……。随着开关的闭合，下列说法正确的是（　　） A．电压表示数减小 B．电压表示数增大 C．电压表示数可能先增大后减小 D．电压表示数可能先减小后增大 例9.机器人（Robot）是一种能够半自主或全自主工作的智能机器。机器人能够通过编程和自动控制来执行诸如作业或移动等任务。研究机器人中导电材料Z的导电规律： (1)为了测量通过Z的电流随电压从零逐渐增大过程中的变化规律，设计的如图1的电路图存在错误，请在图上予以纠正 ； (2)上述实验测得Z的电流与电压的关系，作出如图2的图线；温度传感器得到Z的电阻随温度的变化规律如图3。根据图像可判断Z的电阻随电流变大而______。 A．增大 B．不变 C．减小 (3)某同学设计制作了如图4的测温电路。已知电源电动势E=1.5V、内阻r=5Ω、R0=10Ω。闭合开关，电压表示数为0.5V，求： ①此时Z的温度 （结果保留3位有效数字）； ②若环境温度改变，Z的电功率将如何变化 。 (4)科学家研究发现，磁敏电阻（GMR）的阻值随所处空间磁场的增强而增大，随所处空间磁场的减弱而变小，如图所示电路中，GMR为一个磁敏电阻，R、R2为滑动变阻器，R1、R3为定值电阻，当开关S1和S2闭合时，电容器中一带电微粒恰好处于静止状态。则（　　） A．只调节电阻R，当P1向右端移动时，电阻R1消耗的电功率变大 B．只调节电阻R，当P1向右端移动时，带电微粒向下运动 C．只调节电阻R2，当P2向下端移动时，电阻R1消耗的电功率变大 D．只调节电阻R2，当P2向下端移动时，带电微粒向下运动 (5)如图所示，，L为一个标有“12V、12W”的灯泡，若改变滑动变阻器触片的位置，使L正常发光时，安培表的示数为1.5A，伏特表的示数恰好为零（即AB两点电势相等，电势差为零），求： 电阻的阻值； 电源电压U； 滑动变阻器的功率。 总结：极限在高中物理中的应用 物理优势‌：极限法能突出主要矛盾，避免复杂计算，尤其适用于选择题或存在隐含临界条件的问题‌。 注意事项‌：使用时需确保极限假设在物理允许范围内（如点电荷模型中距离不能真正趋近零，否则违背质点假设）。‌ 参考答案 题号 例1 例2 例8 例6 例3 例7 答案 B D A C AB BD 例1．B 【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 例2．D 【详解】小球受力如图所示 在小球缓慢上升过程中，小球合力为零，当拉力T与支持力N垂直时，拉力最小，最小值为 Tmin=mgsinα 对小球和斜面整体分析，根据平衡条件可知 故选D。 例3．AB 【详解】A．当小物体随圆盘转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得 解得 故A正确； B．小物体运动到与圆盘中心等高的位置时所受的摩擦力与重力沿圆盘向下分力的合力提供向心力，则 故B正确； C．根据A选项求得的最大角速度分析，最高点处，小物体同样由摩擦力和重力共同提供向心力，但此时摩擦力向上，为最高点的最小摩擦力 , 此时若角速度降低，则摩擦力增大，到停下来时，为最高点摩擦力的最大值，因此 故C错误； 重力沿圆盘向下的分力 由于 圆盘的角速度最大时小物体在最高点 解得 所以取不同数值时，小物体在最高点受到的摩擦力的范围为 故C正确； D．小物体由最低点运动到最高点的过程中，动能增量为0，由动能定理得 解得摩擦力所做的功为 故D错误。 故选AB。 例4．（1）30° ； （2）  ；（3）， 17N 【详解】（1）设细绳对B的拉力为T，以小球为研究对象，分析受力，作出受力图，如图 由平衡条件可得 代入解得 即 （2）以木块和小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图 再平衡条件得 又 得到 代入解得 （3）以木块和小球组成的整体为研究对象，分析受力情况 再平衡条件得 又 联立得 令 即 则 当 时F有最小值，即 时，F有最小值 例5．（1）；（2）6.5mg；（3） 【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知 解得 （2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知 解得 CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知 解得 F=6.5mg （3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知 令 对上式求导数可得 当时解得 即 此时 于是有 解得 此时C的最大动能为 例6．C 【详解】根据做功的基本公式，力的大小不变，方向在改变，但力的方向一直与速度方向相同，由微元法可知 故选C。 例7．BD 【详解】A．在A、B两点的受力如图所示 玩具车在A点受轨道所给支持力沿半径指向圆心，由牛顿第三定律可得，玩具车在A点对轨道的压力沿半径背离圆心，故A错误； B．在B点，由向心力公式有 解得，故B正确； C．在A点，由向心力公式有 两式相加可得 根据牛顿第三定律，玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为，故C错误； D．将圆轨道分成N段，每段的长度为 因玩具车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段P、Q，根据C选项可知在P、Q两小段的压力之和为定值，可得克服摩擦力做功之和为 解得 所以玩具车从最低点到最高点克服摩擦力做功为，故D正确。 故选BD。 例8．A 【详解】随着开关逐步闭合，外电路并联电阻数量增加，总电阻R减小，根据闭合电路欧姆定律 可知总电流增大，路端电压 故电压表示数减小。 故选A。 例9．(1)见解析 （2）C （3）． 减小 （4）A （5）；； 【解析】(1)．为了测量通过Z的电流随电压从零逐渐增大过程中的变化规律，电路应选择分压式，如图 （2）．由图可知图像上任一点与原点连线的斜率逐渐增大，根据欧姆定律可知，导体的电阻不断减小，可判断Z的电阻随电流变大而减小。 故选C。 （3）．[1]由闭合电路欧姆定律 解得    由图3可知 [2]Z消耗的功率可表示为 当时，Z消耗的功率最大，故若环境温度改变，Z的电功率将减小。 （4）．AB．只调节电阻，当向右端移动时，滑动变阻器接入电路的阻值增大，电源电动势不变，所以电路中的电流减小，电磁铁的磁性减弱；由于电磁铁磁性的减弱，导致了磁敏电阻GMR的阻值减小，则通过的电流增大，其电功率增大．电容器两端的电压增大，板间场强增大，微粒所受的电场力增大，所以带电微粒向上运动，故A正确，B错误； CD．只调节电阻，当向下端移动时，回路中电流不变，电阻消耗的电功率不变，电容器板间电压增大，板间场强增大，微粒所受的电场力增大，所以带电微粒向上运动，故CD错误。 故选A。 （5）灯泡的电流为： 伏特表的示数恰好为零，即AB两点电势相等，则电阻两端电压与灯泡两端电压相等， 电阻的阻值为 电源电压U，则有 伏特表的示数恰好为零（即AB两点电势相等，电势差为零），则有 灯泡的电阻为 解得 滑动变阻器的功率为 学科网（北京）股份有限公司 $