2.5 2.5.1 第1课时　直线与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5．1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 学习目标　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，以培养数学运算、逻辑推理能力．(重点) 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题，以提升数学运算、逻辑推理能力．(重点、难点) 唐代大诗人白居易在《忆江南》写道：“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，它生动地描绘了日出的绚丽景象．大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识．如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线形成的地平线看做一条直线． 问题1　请大家观察一下，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？ 提示：直线与圆相交，相切，相离． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P91～92，分析思考：“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，各有什么优势？ 提示：“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”，运算较为烦琐，相切或相交时可以进一步求出公共点的坐标；“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质，运算量较小． (2)请认真阅读教材P92，分析思考：在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？ 提示：可以看直线方程和圆的方程组成方程组解的个数或者看圆心到直线的距离与半径的关系． (3)请认真阅读教材P91～93，分析思考：从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？ 提示：1条，2条，切线上的一点和切线斜率． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)过半径外端的直线与圆相切．(　　 ) (2)过一点作圆的切线一定有两条．(　　 ) (3)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．(　　 ) (4)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　直线与圆的位置关系的判断 问题2　在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？ 提示：通过直线与圆的公共点个数来判断，直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点． 问题3　除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？ 提示：比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当d<r时直线与圆相交，当d＝r时直线与圆相切，当d>r时直线与圆相离． 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判 断 方 法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 温馨提示 (1)代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法． (2)判断直线与其他二次曲线的关系时，常用代数法． 例1　(链接教材：人A版教材P91例1)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [思路点拨] 构想 转化 反思 代数法 转化为直线与圆的交点个数问题 这两个方法哪个方法更好理解，更适合自己？ 几何法 转化为圆心到直线的距离与半径的比较 解：方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 类题通法 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 【迁移运用】 1.当a(a>0)分别取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相离、相交？ 解：法一　将已知圆的方程化为标准方程： (x－a)2＋(y＋1)2＝a. 圆心为(a，－1)，半径为，则圆的圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为d＝＝＝. 当＝，即a＝2时，直线和圆相切； 当>，即a>2时，直线和圆相离； 当<，即0<a<2时，直线和圆相交． 法二　将直线方程与圆的方程联立成方程组得 将①代入②，得2x2－6ax＋5a2－a＝0. Δ＝(－6a)2－4×2×(5a2－a)＝－4a2＋8a＝－4a(a－2)， 当a＝2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆相切， 当0<a<2时，Δ>0，直线与圆有两个公共点，此时直线与圆相交， 当a>2时，Δ<0，直线与圆没有公共点，此时直线与圆相离． 　圆的弦长问题 直线AB与圆O相交于A、B两点，圆O的半径为r. 问题4　△AOB是什么三角形？ 提示：根据垂径定理可知，△AOB是等腰三角形． 问题5　AB长度该如何表示？ 提示：详见知识梳理． 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 例2　(链接教材：人A版教材P91例1)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． [思路点拨] 构想 转化 反思 代数法 直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4联立方程 这两种方法的区别，哪种方法更适合自己？ 几何法 找到弦AB的中点M，得到圆心到直线的距离OM，构造直角三角形 解：法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解．解这个方程组得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 法二　如图， 设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点), 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2＝2＝2. 名师点睛 (1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 【迁移运用】 2.已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程． 解：(1)方法一：如图所示，过点O作OC⊥AB. 由已知条件得直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 因为圆心为(0，0)，所以|OC|＝＝. 因为r＝2，所以|BC|＝＝. 所以|AB|＝2|BC|＝. 方法二：当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1， 代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0. 所以x1＋x2＝1，x1x2＝－. 所以|AB|＝·|x1－x2| ＝＝. (2)如图所示， 连接OP，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB. ∵kOP＝－2，∴kAB＝， ∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 　圆的切线问题 问题6　同学们思考一下，与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程有几条？并写出他们的直线方程． 提示：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论： (1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx， 则＝，解得k＝±1， 故直线方程为x＋y＝0，即x－y＝0； (2)直线在x，y轴上的截距均不为0， 则可设直线方程为＋＝1(a≠0)， 即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝， 解得a＝4(a＝0舍去)，故直线方程为x＋y＝4. 综上，满足条件的直线有3条． 问题7　 你能说出，解答本题容易出现错误的原因吗？ 提示：解答本题容易对“在x，y轴上的截距相等”理解错误，出现遗漏的情况． 圆的切线的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0． (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 例3　(链接教材：人A版教材P92例2)(1)过点M(－3，3)作圆C：(x－1)2＋y2＝25的切线，则切线方程为________． 解析：由题可知点M(－3，3)在圆C上， kMC＝＝－，则切线的斜率为， 所以切线方程为y－3＝(x＋3)，化简可得4x－3y＋21＝0. 答案：4x－3y＋21＝0 (2)过点M(－4，3)作圆C：(x－1)2＋y2＝25的切线，则切线方程为________． 解析：由题可知点M(－4，3)在圆C外， 当切线斜率不存在时，切线方程为x＝－4，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋3＝0，由＝5得k＝， 所以切线方程为y－3＝(x＋4)，即8x－15y＋77＝0， 综上所述，所求切线方程为x＝－4或8x－15y＋77＝0. 答案：x＝－4或8x－15y＋77＝0 名师点睛 (1)设切线方程时注意斜率是否存在； (2)求过圆外一点的圆的切线时，若用几何法求出的切线只有一条，则另一条切线的斜率是不存在的，可根据圆外点的坐标直接写出方程. 【迁移运用】 3.(1)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________． 解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0)，即圆心为(－1，0). 因为直线x＋y＋3＝0与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 即r＝＝， 所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 (2)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________． 解析：如图所示， 因为S四边形PAOB＝2S△POA. 又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|＝2＝2. 为使四边形PAOB的面积最小， 当且仅当|OP|达到最小时满足要求，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，故|OP|min＝＝2. 故四边形PAOB面积的最小值为2＝8. 答案：8 (3)半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y＝0和x－y－6＝0均相切，求该圆的标准方程． 解：如图， 由题意可设圆心坐标为(a，－1)，r＝1. 则d＝＝1，即|a－5|＝2，解得a＝或， 所求圆的方程为＋(y＋1)2＝1或(x－)2＋(y＋1)2＝1. 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　 ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：选B.∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1， ∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0，0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心． 2．圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y－4＝0 D．x－y＋2＝0 解析：选C.∵()2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上，∴P为切点． ∵切点与圆心连线的斜率为－， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y＋1＝(x－)，即x－y－4＝0. 3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　 ) A．－2 B．－12 C．2 D．12 解析：选CD.圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或b＝12. 4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为____． 解析：直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2，0)到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2. 答案：2 5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________________． 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，则圆心坐标为(1，2)，半径长为1.设所求直线的方程为y＝kx(由题意易得直线的斜率存在)，即kx－y＝0. 由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，所以圆心在直线kx－y＝0上，于是k－2＝0，即k＝2.故所求直线的方程为y＝2x. 答案：y＝2x (链接教材P92例2拓展延伸) 1．关于切线方程的几个重要结论 (1)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切于点Q(x0，y0)的切线l的方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2．切点弦所在直线的方程 (1)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线的方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. 3．切线长公式 过圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0或(x－a)2＋(y－b)2＝r2的两条切线，则切线长为＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $