专题07 线段上动点问题的三种考法（重难点培优：知识点总结+三大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题07 线段上动点问题的三种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：求值问题……………………………………………………………… 1 题型2：存在性问题…………………………………………………………… 7 题型3：定值问题……………………………………………………………… 14 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 22 知识梳理 1. 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。 重难点题型分类 【题型1：求值问题】 【例1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律． (1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________； (2)若数轴上点，点表示的数分别为，． 【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________； 【类比探究】线段的中点表示的数为_____________； (3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示） 若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10,3 (2)， (3)， 【分析】（1）根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答即可； （2）根据两点间的距离公式的计算方法解答；根据线段中点的计算方法解答； （3）根据和两点间的距离公式得到，先利用中点坐标公式求出的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：若数轴上点，点表示的数分别为8，，则则两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为：， 故答案为：10，3； （2）解：若数轴上点，点表示的数分别为，， 若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：,， 故答案为：； 线段的中点表示的数为：， 故答案为：； （3）解：若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为：， 故答案为：； 点为的中点，点为的中点， 表示的数为：，表示的数为：， 线段的长度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清楚点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 【变式1-1】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A和点B之间的距离，且a、b满足． (1)填空：_____，_____； (2)若点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P、Q分别为、的中点，设运动时间为t秒（）； ①问运动时间为多少时，点M与点N重合？ ②在运动过程中，点P和点Q能重合吗？如果能，请求出t值，如果不能，请说明理由； ③增加点O为原点，若，求t的值． 【答案】(1)，12 (2)①运动时间为6秒时，点M与点N重合；②点P与点Q不能重合，理由见解析；③ 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）①根据点M与点N重合可得，据此建立一元一次方程，解方程即可求解； ②根据建立方程，解方程得出，根据，即可得出结论； ③若，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：，12； （2）解：①依题意，得：，，， ∵点M与点N重合， ∴，即， 解得， 答：运动时间为6秒时，点M与点N重合； ②点P与点Q不能重合，理由如下： ∵P、Q分别为、的中点， ∴，， ∴当点P与点Q重合时， ∴，即， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴点P与点Q不能重合； ③由②可知：，， 若，则， ∴或（舍去）， ∴t的值为4． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段中点的计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【变式1-2】如图，在数轴上点A表示，点表示6．、为数轴上两点，点从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点到达原点后，立即以原来的速度返回向右运动．设点的运动时间为秒． (1)用含有的代数式表示点表示的数为 ； (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，若、、三点中恰有一点为另外两点所连线段的中点，求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)或或20 【分析】（1）数轴上点表示，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，列代数式即可得到答案； （2）根据t的取值范围，分和两种情况列方程求解即可； （3）根据t的取值范围，、、三种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上点表示，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动， 点表示的数是， 故答案为：； （2）当时，点表示的数是，点表示的数是， 则，解得； 当时，点表示的数是，点表示的数是， 则，解得； 所以当时，的值是2或； （3）当时，点表示的数是，点表示的数是， 点表示的数是6， 点是线段的中点， 则，， 解得； 当时，点表示的数是，点表示的数是， 点表示的数是6， 点是线段的中点， 则，， 解得； 当时，点表示的数是，点表示的数是， 点表示的数是6， 点是线段的中点， 则，， 解得； 综上，若、、三点中恰有一点为另外两点所连线段的中点，的值是或或20． 【点睛】此题主要考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，读懂题意和分类讨论是解题的关键． 【变式1-3】如图，数轴上的点O是数轴上的原点，点A表示数10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→ O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（） (1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____； (2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）； (3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t． 【答案】(1)5，6 (2)当时，动点P所表示的数是2t；当时，动点P所表示的数是20－2t (3)t的值为1.5或3.5或6.5或8.5 【分析】（1）根据是线段的中点，即可得到结论，根据路程速度时间即可得到结论； （2）当时，动点所表示的数为点运动的路程；当时，动点所表示的数为点运动的路程； （3）分与两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】（1）解：是线段的中点， ； 当时，点所表示的数是， 故答案为：5，6； （2）解：当时，动点所表示的数是， 当时，动点所表示的数是； （3）解：由（1）可得：B表示的数为：5， ①当时，动点所表示的数是， ， ， ，或， 解得，或； ②当时，动点所表示的数是， ， ， ，或， 解得，或． 综上所述，所求的值为1.5或3.5或6.5或8.5． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 【题型2：存在性问题】 【例1】在数轴上，点A，B，C表示的数分别是，，1．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度也向右运动． (1)运动前线段的长度为________； (2)当运动时间为多长时，点A和线段的中点重合？ (3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了实数与数轴的知识点，解题的关键是熟练的掌握实数与数轴的相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）先根据中点坐标公式求得B、C的中点，再设当运动时间为t秒长时，点A和线段BC的中点重合，根据路程差的等量关系列出方程求解即可； （3）设运动时间为y秒，分两种情况：①当点A在点B的左侧时，②当点A在点B的右侧时时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：运动前线段的长度为． （2）解：设当运动时间为t秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有 ， 解得． 故当运动时间为秒长时，点A和线段的中点重合． （3）解：存在，理由如下：设运动时间为y秒， 当点A在点B的左侧时，若满足线段，则 ． 依题意有， 解得． ； 当点A在点B的右侧时，，若满足线段，则 依题意有， 解得． 综上所述，符合条件的点A表示的数为或． 【变式1-1】已知数轴上点A，B对应的数字分别是和4，点P为数轴上的一点，对应的数是x． (1)若点P在线段AB上，且满足，求x． (2)若点P到A，B的距离之和为13，求x． (3)若点P从原点出发向右运动，与此同时点A，B也一并向右运动，点A，P，B的运动速度分别是每秒4个单位，2个单位，1个单位．是否存在某一时刻t，使得其中一点是另外两个点的中点．若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或6 (3)t的值为1或或 【分析】（1）由P在线段上，且，得，解方程求出x的值即可； （2）先计算出，可知点P在上不符合题意，再分两种情况，一是点P在线段的延长线上，则；二是点P在线段的延长线上，则，解方程求出相应的x的值即可； （3）根据题意，点A、P、B表示的数分别为、、，再分三种情况讨论，一是，则；二是，则；三是，则，解方程求出相应的t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴x的值是． （2）解：， 当点P在线段上，则，不符合题意； 当点P在线段的延长线上，则， 解得； 当点P在线段的延长线上，则， 解得， 综上所述，x的值为或6． （3）解：存在， 根据题意，点A、P、B表示的数分别为、、， 当时，如图1， 则， 解得； 当时，如图2， 则， 解得； 当时，如图3，则， 解得， 综上所述，t的值为1或或． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键． 【变式1-2】如图所示，已知数轴上两点M、N对应的数分别为 、4，点P为数轴上任意一点，  其对应的数为x． (1)MN的长为______； (2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)12 (2)； (3)存在，的值为或； (4)的值为或或3或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离以及一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）根据题意结合数轴上两点距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况计算； （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可． 掌握数轴上两点之间的距离表示方法以及进行分类讨论是解题关键． 【详解】（1）解：的长为， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）解：当点在点的左侧时． 根据题意得：， 解得． 在点和点之间时， 则， 方程无解，即点不可能在点和点之间． 点在点的右侧时，， 解得． 的值是或； （4）解：秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得或； 当时，， 解得或（舍去）； 综上，或或3或． 【变式1-3】如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．    (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，1或3 【分析】（1）根据关于的多项式是三次二项式得到，，得到点所表示的数是，点所表示的数是4，即可得到线段的长； （2）当点在线段上时，，由中点的定义即可得到线段的长；当点在线段上时，，由中点的定义即可得到线段的长； （3）分点在线段上和点在线段上两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）∵关于的多项式是三次二项式， ∴，， 解得，， ∴点所表示的数是，点所表示的数是4， ∴； （2）当点在线段上时，，    ∵点A为线段的中点， ∴； 当点在线段上时，，    ∵点A为线段的中点， ∴； ∴线段的长为或； （3）当点在线段上时，，解得， 当点在线段上时，，解得， 故存在值，当或时，线段的长度是． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、列代数式、数轴上两点之间的距离、线段的中点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 【变式1-4】已知数轴上A，B两点对应数分别为和4，P为数轴上一动点，对应数为． (1)若P为线段的三等分点，求P点对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等． 【答案】(1)0或2 (2)或 (3)2分或5分或8分 【分析】（1）根据题意结合图形即可解决问题； （2）分点P在线段的左边或右边两种情况来解答，列出方程即可解决问题． （3）设运动时间为t分，根据题意得：t分后点A对应的数为，点P对应的数为，点B对应的数为，然后分三种情况，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点A、B的对应的数分别为，4， ∴， ∵P为线段的三等分点， ∴点P对应的数为0或2； （2）解：存在． 设点P对应的数为x， ∵P点到A点、B点距离之和为10， ∴点P在A点的左侧或B点的右侧， ∴或， 解得：或； （3）解：设运动时间为t分， 根据题意得：t分后点A对应的数为，点P对应的数为，点B对应的数为， ∵点A和点P的速度相同， ∴点P始终为点A的右侧， 当点P到点A，B的距离相等，即时， ， 解得：； 当点B点A，点P的距离相等，即时， ， 解得：； 当点A到点B，点P的距离相等，即时， ， 解得： ∴经过时间2分或5分或8分时，其中一个点到另外两个点的距离相等． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程在数轴方面的应用问题；解题的关键是深刻把握题意，明确命题中的数量关系，正确列出方程． 【题型3：定值问题】 【例1】如图，已知数轴上点表示的数为9，点表示的数为-6，动点从点出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， (1)数轴上点表示的数为 （用含的式子表示） (2)当为何值时，？ (3)若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1). (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列一元一次方程，解方程求解即可； （3）分情况讨论，①当点在，两点之间时，②当点运动到点的左侧时，根据线段中点的性质，分别计算，即可求解． 【详解】（1）数轴上点表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 则数轴上点表示的数为 故答案为： （2），， ∵，∴，∴或， 解得或， ∴当或时，； （3）①当点在，两点之间时，如图1所示. . ②当点运动到点的左侧时，如图2所示. . 综上可知，当点在运动过程中，线段的长度为定值. 【点睛】本题考查了数轴动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 【变式1-1】【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4或2 (2)线段的长度为定值，6 【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数； ②由①可求出，再根据，即得出，解出t即可； （2）由分别为线段的中点，即得出，即可得出．求出，即可求出； 【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，； ②因为点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵ ∴， 解得：或2； （2）（2）线段的长度为定值，的长度为6． ∵分别为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键． 【变式1-2】已知数轴上、两点对应的数分别为和，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点到点、点的距离相等，写出点对应的数； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； (3)若数轴上点、所对应的数为、，其中为的中点，为的中点，无论点在何处，是否为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点对应的数是 (2)存在点，的值是或，理由见解析 (3)为一个定值，定值是 【分析】（1）由“点到点、点的距离相等”列方程可解得答案； （2）分在右侧和在左侧两种情况，分别列方程可解得答案； （3）利用表示出，，从而表示出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知点P只能在点A、点B之间，即：， 解得， ∴点对应的数是． （2）解：存在点，使点到点、点的距离之和是，理由如下： 当在右侧时，， 解得， 当在左侧时，， 解得， ∴的值是或． （3）解：为一个定值，理由如下： ∴为的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为一个定值，定值是． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点的距离公式和中点表示的数与两个端点表示的数的关系． 【变式1-3】如图1，在数轴上，A，B两点所表示的数分别是，4，点P以每秒3个单位的速度从点A向右运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向左运动，设运动时间为1． (1)当时，求P，Q两点之间的距离； (2)当点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时，求运动时间t； (3)如图2，将长度为2的线段(点M在点N的左侧)放在数轴上，点M表示的数为1，在点P，Q出发的同时，线段以每秒a个单位的速度向右运动，在整个运动过程中，是否存在某段时间，点P到线段中点的距离与点Q到线段中点的距离的和是一个定值，若存在，求出a的值和该过程持续的时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)存在：a的值为1，该过程持续的时长为3秒 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解； （2）根据“点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时”列方程求解； （3）根据“点P到线段中点的距离与点Q到线段中点的距离的和是一个定值”列式求解． 【详解】（1）解：依题意得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：3， ∴，即P、Q两点之间的距离为6； （2）解：由题意得：， 解得：或， 答：点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时，运动时间为或； （3）解：存在：a的值为1，该过程持续的时长为3秒． ∵将长度为2的线段(点M在点N的左侧)放在数轴上，点M表示的数为1， ∴点N表示的数为3， ∴的中点表示的数为2， ∴移动秒的中点表示的数为：， 又∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴点P到线段中点的距离为， 点Q到线段中点的距离为， ∴为定值， ∴含t的项要抵消，去绝对值后绝对值内的各式取其本身或其相反数， ∴或 ①当时，则， 则， 则当即， ， 所以a的值为1，该过程持续的时长为3秒． ②当时，此时无解． 综上所述：a的值为1，该过程持续的时长为3秒． 【变式1-4】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) _______； ______； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度？ ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5； (2)①8秒或6秒；②时，定值为35． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①用含t的代数式表示P，Q表示的数，再根据“两点距离2个单位长度”列出方程，可得答案；②用含t的代数式表示出、、，代入化简变形，再令t的系数为0，即可得出n值和的定值． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，， 故答案为：，5； （2）解：①P表示的数是：，Q表示的数是：， 由题意得：，即， 或， 解得或， 即8秒或6秒时，点P与点Q距离2个单位长度； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值．理由如下： P表示的数是：，Q表示的数是：，R表示的数是：， ，，， ， 当时，， 即当时，的值为定值，定值为35． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，列代数式，数轴上两点间的距离，整式加减的应用，一元一次方程的应用等，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示出、、． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 二、填空题 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 【答案】或33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，由点，之间的关系，可得出点对应的数为，当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，分点是线段的中点及点是线段的中点两种情况考虑（由点在点，的右边，可得出只有这两种情况），根据中点到另外两点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数为3，点在点的左侧，且， ∴点对应的数为． 当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点N对应的数为． 当点是线段的中点，即时，， 解得：； 当点是线段的中点，即时，， 解得：． 综上所述，的值为或33． 故答案为：或33． 三、解答题 5．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 7．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 8．（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)10或2； (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 9．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行以下操作探究： 操作一： （1）折叠数轴，若数1表示的点与数表示的点重合，则数表示的点与数______表示的点重合，数a表示的点与数______表示的点重合； 操作二： （2）折叠数轴，数表示的点与数6表示的点重合，回答以下问题： ①数2023表示的点与数______表示的点重合； ②数轴上A、B两点之间的距离为20，其中点4在B的左侧，若A、B两点折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______； ③在②的条件下，若数轴上点M表示的数是m，经折叠与点N重合，则点N到点B的距离______； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是______． 【答案】（1）2，；（2）①；②，12；；③；（3）2或3或4 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）判断出折痕为原点，由此即可得； （2）①先求出折痕为数2表示的点，再求出数2023表示的点与折痕点的距离，然后利用数轴的性质求解即可得； ②先求出点表示的数大于4，再求出点到折痕点的距离均为10，然后利用数轴的性质列出式子计算即可得； ③设点表示的数是，先数轴上点表示的数是，经折叠与点重合求出，再根据数轴的性质求解即可得； （3）如图（见解析），分三种情况：、和，先求出的长，再利用数轴的性质求出点表示的数，由此即可得． 【详解】解：（1）∵折叠数轴，数1表示的点与数表示的点重合， ∴折痕为原点， ∴数表示的点与数表示的点重合，数表示的点与数表示的点重合， 故答案为：2，． （2）①∵折叠数轴，数表示的点与数6表示的点重合， ∴折痕为数表示的点， ∴数2023表示的点与折痕点的距离为， ∴折叠数轴，与数2023表示的点重合的点表示的数是， 故答案为：； ②∵点4在点的左侧， ∴点表示的数大于4， ∵数轴上两点之间的距离为20，两点折叠后重合， ∴点到折痕点的距离均为， ∴点表示的数为，点表示的数， 故答案为：，12； ③设点表示的数是， ∵数轴上点表示的数是，经折叠与点重合， ∴或， 解得， ∵点表示的数12， ∴点到点的距离为， 故答案为：． （3）如图1，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图2，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图3，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上，折痕处对应的点所表示的数是2或3或4． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上有、两点，、两点所表示的有理数分别是和，其中为最大的负整数． (1)求线段的长； (2)线段上的两个动点，点为的中点，点、分别从、两点同时出发，相向而行，点的运动速度为3个单位/秒，点的运动速度为4个单位/秒，设运动时间为秒，的长为，用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，为何值时，，并求此时线段的长． 【答案】(1)14 (2)或 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． （1）根据题意得到，进而求出、两点所表示的有理数，再利用数轴上两点间距离公式求解即可； （2）由（1）知，，，根据题意可得，，，分点在原点右侧，点在原点左侧，两种情况讨论即可； （3）先表示出点表示的数为，点表示的数为，求出，结合，解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：∵为最大的负整数， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，，， 根据题意可得，，， 若点在原点右侧， ， ， ， ， 若点在原点左侧， ， ， ， ， ∴或． （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴或 ∴，或， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，． 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“，的级关联点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为，． 线段的长为______； 若点是“，的级关联点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在数轴上所对应的数是，且不与，两点重合，作“，的级关联点”，记为，作“，的级关联点”，记为，且满足，分别在线段和上，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上，两点表示的数分别为，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“，的级关联点”，记为，作“，的3级关联点”，记为，两点同时出发，设运动时间为，若，求出的值． 【答案】（1）；或； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求出线段的长度； 设点表示的数是，根据点是“，的级关联点”，可得方程，解方程求出，即为点表示的数； （2）设“，的级关联点”表示的数为，根据定义求出的值，设“，的级关联点”表示的数为，根据定义求出的值，进而求出的值； （3）用含的代数式分别表示出点和点表示的数，根据新定义把表示点和点的数也表示出来，根据，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：点，点表示的数分别为，， 线段的长为， 故答案为：； 解：设点表示的数是， 则，， 点是“，的级关联点”， ， 或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 点表示的数为或， 故答案为：或； （2）解：设“，的级关联点”表示的数为， 根据题意可得：， 解得：或， ∵在线段上， ∴， ∴， 设“，的级关联点”表示的数为， 根据题意可得：， 解得：或， ∵在线段上， ∴， ∴， 则当，时， 可得：； 综上所述，的值为； （3）当运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， 设，的级关联点表示的数为， 则有， 当时， 可得：(不符合题意，舍去)， 当时， 解得：， 设，的级关联点表示的数为， 则有， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ，两点表示的数分别为，， ， 当，时， 可得：， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)或； 当，时， 可得：， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)或； 综上所述，当或时，． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离、绝对值、新定义、一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离来解决问题，涉及分类讨论，动点问题，线段的关系，难度较大． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 线段上动点问题的三种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：求值问题……………………………………………………………… 1 题型2：存在性问题…………………………………………………………… 4 题型3：定值问题……………………………………………………………… 6 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 10 知识梳理 1. 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。 重难点题型分类 【题型1：求值问题】 【例1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律． (1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________； (2)若数轴上点，点表示的数分别为，． 【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________； 【类比探究】线段的中点表示的数为_____________； (3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示） 若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示） 【变式1-1】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A和点B之间的距离，且a、b满足． (1)填空：_____，_____； (2)若点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P、Q分别为、的中点，设运动时间为t秒（）； ①问运动时间为多少时，点M与点N重合？ ②在运动过程中，点P和点Q能重合吗？如果能，请求出t值，如果不能，请说明理由； ③增加点O为原点，若，求t的值． 【变式1-2】如图，在数轴上点A表示，点表示6．、为数轴上两点，点从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点到达原点后，立即以原来的速度返回向右运动．设点的运动时间为秒． (1)用含有的代数式表示点表示的数为 ； (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，若、、三点中恰有一点为另外两点所连线段的中点，求的值． 【变式1-3】如图，数轴上的点O是数轴上的原点，点A表示数10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→ O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（） (1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____； (2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）； (3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t． 【题型2：存在性问题】 【例1】在数轴上，点A，B，C表示的数分别是，，1．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度也向右运动． (1)运动前线段的长度为________； (2)当运动时间为多长时，点A和线段的中点重合？ (3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】已知数轴上点A，B对应的数字分别是和4，点P为数轴上的一点，对应的数是x． (1)若点P在线段AB上，且满足，求x． (2)若点P到A，B的距离之和为13，求x． (3)若点P从原点出发向右运动，与此同时点A，B也一并向右运动，点A，P，B的运动速度分别是每秒4个单位，2个单位，1个单位．是否存在某一时刻t，使得其中一点是另外两个点的中点．若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图所示，已知数轴上两点M、N对应的数分别为 、4，点P为数轴上任意一点，  其对应的数为x． (1)MN的长为______； (2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值； (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； (4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出t的值． 【变式1-3】如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．    (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由． 【变式1-4】已知数轴上A，B两点对应数分别为和4，P为数轴上一动点，对应数为． (1)若P为线段的三等分点，求P点对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等． 【题型3：定值问题】 【例1】如图，已知数轴上点表示的数为9，点表示的数为-6，动点从点出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， (1)数轴上点表示的数为 （用含的式子表示） (2)当为何值时，？ (3)若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由． 【变式1-1】【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【变式1-2】已知数轴上、两点对应的数分别为和，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点到点、点的距离相等，写出点对应的数； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； (3)若数轴上点、所对应的数为、，其中为的中点，为的中点，无论点在何处，是否为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【变式1-3】如图1，在数轴上，A，B两点所表示的数分别是，4，点P以每秒3个单位的速度从点A向右运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向左运动，设运动时间为1． (1)当时，求P，Q两点之间的距离； (2)当点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时，求运动时间t； (3)如图2，将长度为2的线段(点M在点N的左侧)放在数轴上，点M表示的数为1，在点P，Q出发的同时，线段以每秒a个单位的速度向右运动，在整个运动过程中，是否存在某段时间，点P到线段中点的距离与点Q到线段中点的距离的和是一个定值，若存在，求出a的值和该过程持续的时长；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) _______； ______； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度？ ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 三、解答题 5．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 7．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 8．（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 9．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 10．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行以下操作探究： 操作一： （1）折叠数轴，若数1表示的点与数表示的点重合，则数表示的点与数______表示的点重合，数a表示的点与数______表示的点重合； 操作二： （2）折叠数轴，数表示的点与数6表示的点重合，回答以下问题： ①数2023表示的点与数______表示的点重合； ②数轴上A、B两点之间的距离为20，其中点4在B的左侧，若A、B两点折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______； ③在②的条件下，若数轴上点M表示的数是m，经折叠与点N重合，则点N到点B的距离______； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是______． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上有、两点，、两点所表示的有理数分别是和，其中为最大的负整数． (1)求线段的长； (2)线段上的两个动点，点为的中点，点、分别从、两点同时出发，相向而行，点的运动速度为3个单位/秒，点的运动速度为4个单位/秒，设运动时间为秒，的长为，用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，为何值时，，并求此时线段的长． 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“，的级关联点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为，． 线段的长为______； 若点是“，的级关联点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在数轴上所对应的数是，且不与，两点重合，作“，的级关联点”，记为，作“，的级关联点”，记为，且满足，分别在线段和上，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上，两点表示的数分别为，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“，的级关联点”，记为，作“，的3级关联点”，记为，两点同时出发，设运动时间为，若，求出的值． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $