专题02 函数及其性质（期末复习讲义，必备知识+8大重难题型精讲+分层过关）高一数学上学期北师大版

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理函数的对应关系、定义域值域等八大核心考点，明确复习目标与考情规律，结合知识框架图呈现函数定义、单调性、奇偶性等知识的内在逻辑，清晰标注高频易错点如定义域限制、单调区间表示等重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，设置基础通关练、重难突破练、综合拓展练满足不同层次需求。题型四“复合函数‘同增异减’运用”通过分解内外层函数单调性，培养学生数学思维的逻辑推理能力，题型五“定义法证明单调性”提供规范答题模板，强化推理意识。每个题型附易错点拨，帮助学生规避错误，既支持自主复习构建知识网络，也为教师精准教学提供清晰路径。

专题02 函数及其性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的对应关系 能准确判断变量间的函数关系 基础必考点，常出现在小题 函数定义域值域 熟练求解分式、根式、实际情境下函数的定义域，能用配方法、单调性法求值域 高频易错点：忽略定义域限制（如根式被开方数非负） 函数的表示法（解析式、图像） 能通过待定系数法、换元法求函数解析式（新元范围标注完整），能根据解析式绘制简单函数图像 易错点：换元法求解析式时漏新元定义域 （注意分段函数的表示方法） 函数的单调性 能用定义法规范证明函数单调性 核心必考考点，大题常作为第一问 函数的最值 能快速确定二次函数、幂函数的单调区间，结合单调性求函数最值 易错点：单调区间用 “∪” 连接不连续区间 函数的奇偶性 能先验证定义域对称性，再用定义判断函数奇偶性，能利用奇偶性求解析式 命题趋势：常与单调性、奇偶性综合命题 幂函数的图像 能识别 5 类常见幂函数的图像 基础考点，选择 / 填空考查 幂函数的性质 掌握其定义域、奇偶性、单调性，利用幂函数比较大小 命题趋势：常与单调性、奇偶性综合命题 知识点01 函数的定义 定义：设A、B是两个非空数集，若对集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，则称f：A→B为从A到B的一个函数，记作。 三要素：定义域（A）、对应关系（f）、值域（B中y的集合）。 求解函数定义域/值域解题方法： 1. 定义域：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2. 值域：（1）的值域是；（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为；（3）的值域是；（4）且的值域是；（5）且的值域是． ·示例：下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确； 对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误； 故选：C ·易错点：相同函数除对应方式相同外还应该判断定义域是否相同。 知识点02 函数的性质 1. 函数单调性 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 定义法证明单调性： ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． 常用结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． ·示例：已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明。 【解析】在上递减，理由如下： 任取，且，则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上递减 知识点03 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点（前提条件是定义域关于原点对称） 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 奇偶性解题技巧方法： (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； (2)奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如；对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型：奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数 ④函数或函数． ·示例：已知函数为偶函数，则函数的值域为___________. 【答案】 【解析】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 知识点04 函数的对称性与周期性 1. 函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 2. 函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 对称性与周期性解题技巧方法： 对称性： （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 对称性与周期性关系： （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. ·示例：（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于选项，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，则正确； 对于选项，∵，∴，∴, ∴的周期为，∴，则正确； 对于选项，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误； 对于选项，将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，则正确. 故选：ABD. 知识点05 简单幂函数及其性质 1. 幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3. 常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 ·示例：已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则. 故选：A 题型一 复杂函数的定义域或值域 解｜题｜技｜巧 一、复杂函数定义域解题技巧：分式 + 根式混合型：这类函数同时含分母不为零、偶次根式下非负的约束，需逐一列出条件再求解不等式组；复合函数型:核心原则是 “内函数的值域是外函数的定义域”，解题分两步：第一步由外函数定义域确定内函数的取值范围；第二步根据内函数范围反求自变量x的范围。 二、复杂函数值域解题技巧：配方法（二次函数及相关复合函数）：适用于含二次式的函数，通过配方转化为顶点式，结合定义域求最值；换元法（根式、高次混合型）：针对含根号的复杂函数，通过换元简化为熟悉函数；分离常数法（分式函数）：适用于分子分母为同次整式的分式函数；分段函数值域：分段求各区间的值域，最终取所有区间值域的并集。 易｜错｜点｜拨 忽略复合函数定义域逻辑、换元后忽略新变量范围、含参函数漏分类讨论、结果表达不规范、分段函数值域求并集而非交集。 【典例1】(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一·福建福州某校·月考)若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·广东佛山顺德区国华纪念中学·月考)若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(19-20高一上·重庆巴蜀中学·月考)已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高一上·浙江嘉兴海宁高级中学·期中)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4】(25-26高一上·广东广州执信中学·期中)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 题型二 判断是否属于同一函数 答｜题｜模｜板 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 易｜错｜点｜拨 未判断定义域，只判断了对应法则。 【典例1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B． C．， D．，，0，，，，0， 题型三 分段函数运用（结合其它章节的函数） 答｜题｜模｜板 1. 分段函数与一次 / 二次函数结合：先根据题干条件确定分段节点（如售价区间、人数分界等）；再在每个区间内建立一次或二次函数表达式；最后结合一次函数单调性、二次函数配方法求各段最值，最终整合所有区间结果。 2. 分段函数与函数单调性结合：保证每段函数自身单调，如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的关系；确保分段点处满足单调性，递增则左段最大值≤右段最小值，递减则左段最小值≥右段最大值；联立不等式组求解参数范围。 易｜错｜点｜拨 忽视分段点处的函数值衔接、分段函数与二次函数结合时忽略区间限制、实际问题中遗漏隐含分段条件、参数范围求解时漏条件。 【典例1】(25-26高一上·河北保定部分校·)已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一上·北京育英中学·期中)已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(20-21高一上·河南洛阳·期中)已知函数若存在互不相等的实数a，b，c，d满足|=|，则的取值范围为（    ） A．(0,+) B．(-2,+ C． D． 【变式2】(19-20高二·山东枣庄第三中学·)已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式3】(18-19高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4】(19-20高一上·湖南常德临澧一中·)已知函数．若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型四 复合函数“同增异减”运用 答｜题｜模｜板 一、求复合函数值域（结合单调性求最值） 1. 分解函数并求定义域，判断复合函数的单调性； 2. 计算单调性区间端点对应的函数值，即为值域的边界值。 二、求含参复合函数的参数范围（进阶题型） 1.分解含参复合函数，明确参数对内外层函数单调性的影响； 2.根据题干中复合函数的单调性要求，列出内外层函数单调性的匹配条件； 3. 结合定义域等隐含条件，联立不等式组求解参数。 易｜错｜点｜拨 混淆内外层函数的自变量与中间变量、多层复合函数漏层分析、含参复合函数漏讨论参数对定义域的影响、误将外层函数定义域当作复合函数定义域。 【典例1】(25-26高一上·辽宁营口九师联盟·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一上·福建福州十校·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【变式3】函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【变式4】已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型五 定义法证明函数单调性+最值/参数求解 答｜题｜模｜板 一、定义法证明函数单调性：在区间；计算（或，统一符号便于判断）；对差式进行化简，目标是转化为“可直接判断符号”的形；根据的条件，结合变形后的差式，判断的符号；明确函数在区间上的单调性 二、结合单调性求最值/参数范围：证明单调性后，可利用“单调函数在区间端点处取得最值”的性质求解最值，或根据单调性的约束条件求参数范围，核心是“单调性结论→不等关系→求解”。 易｜错｜点｜拨 作差后变形不彻底，无法判号、求最值时忽略区间“开闭”、含参函数漏“恒成立”条件。 【典例1】(25-26高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一上·湖北黄冈·期中)已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.若对所有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·广东广州天天向上联盟·期中)已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高一上·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数，其中a，b为常数，且，． (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【变式4】(25-26高一上·广东广州第四中学·期中)已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式：. 题型六 函数单调性、奇偶性与不等式结合的综合运用 答｜题｜模｜板 单调性与奇偶性的核心作用：奇偶性定“对称”（将非对称区间的变量转化到对称区间，如f(-x)转化为±f(x)）；单调性定“大小”（去掉函数符号时保持不等号方向或反向）。结合不等式时，需先明确函数性质，再分步转化求解。核心解题思路是“性质转化→不等式化简→求解验证”，即先利用奇偶性转化变量范围，再结合单调性去掉函数符号，最终转化为常规不等式求解。 易｜错｜点｜拨 忽略奇偶性对单调性的区间限制，盲目去符号、混淆奇函数与偶函数的单调性联动规律、含参函数未用奇偶性先定参，直接分析单调性、误用“f(0)=0”的条件，忽略奇函数在x=0处有定义。 【典例1】(25-26高一上·广东中山迪茵公学·期中)设偶函数的定义域为R， 当时，是减函数， 则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一上·河北定州·调研)已知定义在上的偶函数满足：，都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高三上·河北部分校·)已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高一上·福建厦门外国语学校·期中)已知函数的定义域为，满足，且为奇函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【变式4】(25-26高一上·江苏南通·期中)已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型七 函数对称性与周期性 答｜题｜模｜板 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【典例1】（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图像关于点对称 C． D． 【变式1】（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（    ） A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称 C． D． 【变式2】（多选题）（2024·山东滨州·统考二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ） A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D． 题型八 与幂函数有关的复杂函数的不等式解集或参数 答｜题｜模｜板 1.幂函数与其他函数结合的不等式解集求解：先确定复合函数的定义域，再将不等式转化为“幂函数的最简不等式”，结合单调性求解。 2.含参幂函数的参数范围求解：先根据“幂函数定义”确定参数的初步范围，再结合单调性进一步缩范围。 3.含参幂函数不等式恒成立求参：将不等式转化为“参数与函数最值的关系”，如恒成立，等价于，再求参数。 易｜错｜点｜拨 避坑关键：定义域优先、单调性分区间、参数分离看符号、平方保证非负。 【典例1】(25-26高一上·湖北襄阳第四中学·期中)已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高三上·辽宁丹东敬业实验高级中学·期中)已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(21-22高一上·上海徐汇中学·月考)①函数值域为；②函数为偶函数；③函数在上恒成立；④若任意都有.已知函数：①；②；③；④.其中同时满足以上四个条件的函数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】在这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高三上·江苏镇江第一中学、镇江中学·)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.(17-18高一·四川眉山眉山中学·月考)已知函数，则满足的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3.(25-26高一上·河南名校大联考·期中)已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4.(17-18高一上·陕西西安第一中学·期中)已知，若，则下列各式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知实数，函数若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 2.(21-22高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数则，该函数的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 3．(25-26高一上·山东青岛第十九中学·期中)设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 4.(25-26高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知函数，且. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (3)若，求的最大值和最小值 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(23-24高一上·浙江宁波镇海中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.(19-20高一上·安徽合肥一六八中学·期末)已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.(22-23高一下·云南红河哈尼族彝族·期末)函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（    ）． A．在上单调递增 B． C．若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则 D．函数有2个零点 4.(25-26高一上·北京十一实验中学·)已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数及其性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数的对应关系 能准确判断变量间的函数关系 基础必考点，常出现在小题 函数定义域值域 熟练求解分式、根式、实际情境下函数的定义域，能用配方法、单调性法求值域 高频易错点：忽略定义域限制（如根式被开方数非负） 函数的表示法（解析式、图像） 能通过待定系数法、换元法求函数解析式（新元范围标注完整），能根据解析式绘制简单函数图像 易错点：换元法求解析式时漏新元定义域 （注意分段函数的表示方法） 函数的单调性 能用定义法规范证明函数单调性 核心必考考点，大题常作为第一问 函数的最值 能快速确定二次函数、幂函数的单调区间，结合单调性求函数最值 易错点：单调区间用 “∪” 连接不连续区间 函数的奇偶性 能先验证定义域对称性，再用定义判断函数奇偶性，能利用奇偶性求解析式 命题趋势：常与单调性、奇偶性综合命题 幂函数的图像 能识别 5 类常见幂函数的图像 基础考点，选择 / 填空考查 幂函数的性质 掌握其定义域、奇偶性、单调性，利用幂函数比较大小 命题趋势：常与单调性、奇偶性综合命题 知识点01 函数的定义 定义：设A、B是两个非空数集，若对集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，则称f：A→B为从A到B的一个函数，记作。 三要素：定义域（A）、对应关系（f）、值域（B中y的集合）。 求解函数定义域/值域解题方法： 1. 定义域：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2. 值域：（1）的值域是；（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为；（3）的值域是；（4）且的值域是；（5）且的值域是． ·示例：下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确； 对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误； 故选：C ·易错点：相同函数除对应方式相同外还应该判断定义域是否相同。 知识点02 函数的性质 1. 函数单调性 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 定义法证明单调性： ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． 常用结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． ·示例：已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明。 【解析】在上递减，理由如下： 任取，且，则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上递减 知识点03 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点（前提条件是定义域关于原点对称） 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 奇偶性解题技巧方法： (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； (2)奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如；对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型：奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数 ④函数或函数． ·示例：已知函数为偶函数，则函数的值域为___________. 【答案】 【解析】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 知识点04 函数的对称性与周期性 1. 函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 2. 函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 对称性与周期性解题技巧方法： 对称性： （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 对称性与周期性关系： （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. ·示例：（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于选项，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，则正确； 对于选项，∵，∴，∴, ∴的周期为，∴，则正确； 对于选项，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误； 对于选项，将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，则正确. 故选：ABD. 知识点05 简单幂函数及其性质 1. 幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3. 常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 ·示例：已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则. 故选：A 题型一 复杂函数的定义域或值域 解｜题｜技｜巧 一、复杂函数定义域解题技巧：分式 + 根式混合型：这类函数同时含分母不为零、偶次根式下非负的约束，需逐一列出条件再求解不等式组；复合函数型:核心原则是 “内函数的值域是外函数的定义域”，解题分两步：第一步由外函数定义域确定内函数的取值范围；第二步根据内函数范围反求自变量x的范围。 二、复杂函数值域解题技巧：配方法（二次函数及相关复合函数）：适用于含二次式的函数，通过配方转化为顶点式，结合定义域求最值；换元法（根式、高次混合型）：针对含根号的复杂函数，通过换元简化为熟悉函数；分离常数法（分式函数）：适用于分子分母为同次整式的分式函数；分段函数值域：分段求各区间的值域，最终取所有区间值域的并集。 易｜错｜点｜拨 忽略复合函数定义域逻辑、换元后忽略新变量范围、含参函数漏分类讨论、结果表达不规范、分段函数值域求并集而非交集。 【典例1】(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义得的定义域，进而可得所求结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 【典例2】(25-26高一·福建福州某校·月考)若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，由，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C 【变式1】(25-26高一上·广东佛山顺德区国华纪念中学·月考)若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得， 解得，所以的定义域为. 故选：D 【变式2】(19-20高一上·重庆巴蜀中学·月考)已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一个函数括号内的范围必须相同.由,解得,即可求得值域,即函数的定义域为.再令,即可求得函数的定义域. 【详解】 解得: 即的定义域为: 则 根据同一个函数括号内的范围必须相同 函数的定义域为. 中 解得 故选:B. 【点睛】本题考查了复合函数的定义域问题,注意函数定义域指的是范围,而函数题目中同一个函数括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁. 【变式3】(25-26高一上·浙江嘉兴海宁高级中学·期中)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【变式4】(25-26高一上·广东广州执信中学·期中)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 题型二 判断是否属于同一函数 答｜题｜模｜板 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 易｜错｜点｜拨 未判断定义域，只判断了对应法则。 【典例1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确； 对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误； 故选：C 【变式1】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误， 故选：. 【变式2】下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B． C．， D．，，0，，，，0， 【答案】D 【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数， 故选：D． 题型三 分段函数运用（结合其它章节的函数） 答｜题｜模｜板 1. 分段函数与一次 / 二次函数结合：先根据题干条件确定分段节点（如售价区间、人数分界等）；再在每个区间内建立一次或二次函数表达式；最后结合一次函数单调性、二次函数配方法求各段最值，最终整合所有区间结果。 2. 分段函数与函数单调性结合：保证每段函数自身单调，如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的关系；确保分段点处满足单调性，递增则左段最大值≤右段最小值，递减则左段最小值≥右段最大值；联立不等式组求解参数范围。 易｜错｜点｜拨 忽视分段点处的函数值衔接、分段函数与二次函数结合时忽略区间限制、实际问题中遗漏隐含分段条件、参数范围求解时漏条件。 【典例1】(25-26高一上·河北保定部分校·)已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由换元法进行，将方程转换为，结合分段函数讨论分析求解即可. 【详解】令，由，得． 当时，恒成立，此时， 所以或解得； 当时，，则，解得，不满足题意舍去， 所以的取值范围为． 故选：A． 【典例2】(25-26高一上·北京育英中学·期中)已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 【变式1】(20-21高一上·河南洛阳·期中)已知函数若存在互不相等的实数a，b，c，d满足|=|，则的取值范围为（    ） A．(0,+) B．(-2,+ C． D． 【答案】D 【解析】画出函数图象，根据图象结合对称性知，，，根据双勾函数性质得到范围. 【详解】，则，画出函数图像，如图所示： ，则， 不妨取，根据对称性知，，即， ，，故，故. 故选：D. 【点睛】方法点睛：数形结合是解决函数问题的重要方法，画出图象根据图象性质结合对称性和双勾函数的性质是解题的关键. 【变式2】(19-20高二·山东枣庄第三中学·)已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由减函数可知在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出和的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出． 【详解】是R上的单调递减函数， 在上单调递减，在上单调递减， 且在上的最小值大于或等于． ，解得， 作出和的函数草图如图所示： 恰有两个不相等的实数解， ，即， 综上，． 故选：D． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题． 【变式3】(18-19高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元 ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知，当 时，， 当 时， 所以当 时 ，令，则 ， 从而问题转化为不等式 在上恒成立， 即 在 上恒成立， 问题转化为求函数在 上的最大值， 又因为 在上先减后增，即： 为单调递减，为单调递增. 所以 ，所以. 故选:D. 【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力. 【变式4】(19-20高一上·湖南常德临澧一中·)已知函数．若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图像，根据求得的取值范围，再结合图像求得的取值范围. 【详解】画出函数图像如下图所示，由于，结合图像可知，且，，令，解得，令，解得.结合图像可知的取值范围是. 故选D. 【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 题型四 复合函数“同增异减”运用 答｜题｜模｜板 一、求复合函数值域（结合单调性求最值） 1. 分解函数并求定义域，判断复合函数的单调性； 2. 计算单调性区间端点对应的函数值，即为值域的边界值。 二、求含参复合函数的参数范围（进阶题型） 1.分解含参复合函数，明确参数对内外层函数单调性的影响； 2.根据题干中复合函数的单调性要求，列出内外层函数单调性的匹配条件； 3. 结合定义域等隐含条件，联立不等式组求解参数。 易｜错｜点｜拨 混淆内外层函数的自变量与中间变量、多层复合函数漏层分析、含参复合函数漏讨论参数对定义域的影响、误将外层函数定义域当作复合函数定义域。 【典例1】(25-26高一上·辽宁营口九师联盟·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数的定义域，再根据复合函数的单调性原则求单调性即可. 【详解】由题意知，解得或， 令，对称轴为， 则在上单调递减，在单调递增， 又是增函数，所以的单调递增区间是. 故选：D. 【典例2】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性判断即可. 【详解】由题可得：，解得：或，所以函数的定义域为：， 令，则在上单调递减，在上单调递增； 则在上单调递减；结合复合函数单调性可得函数的单调递减区间是； 故选：D 【变式1】(24-25高一上·福建福州十校·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 【变式2】下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】C 【分析】根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解. 【详解】对A，由，解得或， 则函数的定义域为或，如图， 所以函数的单调增区间为，故A错误； 对B，， 函数的定义域为 ，所以在和上分别为减函数， 但不能说定义域内单调递减，故B错误； 对C，函数，如图， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，故C正确； 对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以的单调减区间为， 又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误. 故选：C 【变式3】函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间. 【详解】设，则有且， ，则， 所以函数的定义域为：且， 由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和； 又因为在区间和上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和. 故选：C. 【变式4】已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【详解】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． 题型五 定义法证明函数单调性+最值/参数求解 答｜题｜模｜板 一、定义法证明函数单调性：在区间；计算（或，统一符号便于判断）；对差式进行化简，目标是转化为“可直接判断符号”的形；根据的条件，结合变形后的差式，判断的符号；明确函数在区间上的单调性 二、结合单调性求最值/参数范围：证明单调性后，可利用“单调函数在区间端点处取得最值”的性质求解最值，或根据单调性的约束条件求参数范围，核心是“单调性结论→不等关系→求解”。 易｜错｜点｜拨 作差后变形不彻底，无法判号、求最值时忽略区间“开闭”、含参函数漏“恒成立”条件。 【典例1】(25-26高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【典例2】(25-26高一上·湖北黄冈·期中)已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有.若对所有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质求实数取值范围. 【详解】已知在上是奇函数，且，对任意，有 因此在上严格递减， 由奇函数性质得，所以， 不等式等价于， 即，令， 当时，递减，最小值在处： ， 得或，结合得或， 当时，递增，最小值在处： ， 得或，结合得或， 当时，成立，取并集得：. 故选：A 【变式1】(25-26高一上·广东广州天天向上联盟·期中)已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，根据题意分析可知在定义域内单调递增，且，对不等式整理可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】构造， 因为，，，都有， 可得，可知在定义域内单调递增， 又因为，则， 对于，则，即， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2】(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式3】(25-26高一上·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数，其中a，b为常数，且，． (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求解即得. （2）利用减函数的定义推理得证. （3）利用（2）的结论，求出函数在指定区间上的最值. 【详解】（1）函数，由，得，解得， 所以. （2）由（1）得，任取， 则， 由，得，，， 则，即， 所以函数在区间上是减函数. （3）由（2）得函数在区间上是减函数， 则当时，，当时，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式4】(25-26高一上·广东广州第四中学·期中)已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）任取且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式 【详解】（1）函数在区间上是增函数； 任取且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是严格增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是严格增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 题型六 函数单调性、奇偶性与不等式结合的综合运用 答｜题｜模｜板 单调性与奇偶性的核心作用：奇偶性定“对称”（将非对称区间的变量转化到对称区间，如f(-x)转化为±f(x)）；单调性定“大小”（去掉函数符号时保持不等号方向或反向）。结合不等式时，需先明确函数性质，再分步转化求解。核心解题思路是“性质转化→不等式化简→求解验证”，即先利用奇偶性转化变量范围，再结合单调性去掉函数符号，最终转化为常规不等式求解。 易｜错｜点｜拨 忽略奇偶性对单调性的区间限制，盲目去符号、混淆奇函数与偶函数的单调性联动规律、含参函数未用奇偶性先定参，直接分析单调性、误用“f(0)=0”的条件，忽略奇函数在x=0处有定义。 【典例1】(25-26高一上·广东中山迪茵公学·期中)设偶函数的定义域为R， 当时，是减函数， 则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质和单调性可解. 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以，， 又当时，是减函数，， 所以. 故选：C. 【典例2】(25-26高一上·河北定州·调研)已知定义在上的偶函数满足：，都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性定义以及函数奇偶性可得不等式，解不等式可得结论. 【详解】由得，则在上单调递增， 又由偶函数性质知，所以， 即，整理得， 解得或， 所以原不等式的解集为． 故选：C． 【变式1】(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知定义在上的函数满足下列条件：①，②，③对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得为偶函数且在上单调递减，即可得到函数的取值情况，再分类讨论即可. 【详解】由②，即，所以为偶函数； 由①，则； 由③对，，当时，都有， 可得在上单调递减，所以在上单调递增， 所以当时，当或时， 所以不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：C 【变式2】(24-25高三上·河北部分校·)已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【详解】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 【变式3】(25-26高一上·福建厦门外国语学校·期中)已知函数的定义域为，满足，且为奇函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得到，由为奇函数，得到，进而得到函数周期，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则， 所以， 所以， 又，得， 所以，则， 则， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 所以， 所以， 其它三个选项条件不足无法计算， 故选：A. 【变式4】(25-26高一上·江苏南通·期中)已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小. 【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增， 由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 题型七 函数对称性与周期性 答｜题｜模｜板 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【典例1】（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图像关于点对称 C． D． 【答案】ABD 【解析】因为是奇函数，所以．因为，所以，所以，则正确； 因为，所以，所以， 因为，所以，则的图像关于点对称，则B正确； 因为，所以， 所以（为常数），所以（为常数）． 因为，所以． 令，得，所以，则． 因为是奇函数，所以，所以， 所以，所以，所以， 即是周期为4的周期函数． 因为，所以，所以， 所以，即是周期为4的周期函数． 因为，所以，，所以，，，则 ，， 故，，即C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式1】（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（    ） A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称 C． D． 【答案】ABC 【解析】由得， 由求导得， 又得，所以， 所以，所以， 所以， 所以4为函数的一个周期，A正确； ，故， 因此， 故函数的图象关于点对称，B正确， 在中，令 由得 为常数，故， 由函数的图象关于点对称， ， 因此， 所以由于的周期为4，所以的周期也为4， 由于，所以， ， 所以，故C正确， 由于 ,故D错误， 故选:ABC 【变式2】（多选题）（2024·山东滨州·统考二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ） A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D． 【答案】ACD 【解析】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确， 由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而， 所以的图象关于对称， 对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确 对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确， 对于B，，所以8不是的周期， 故选：ACD 题型八 与幂函数有关的复杂函数的不等式解集或参数 答｜题｜模｜板 1.幂函数与其他函数结合的不等式解集求解：先确定复合函数的定义域，再将不等式转化为“幂函数的最简不等式”，结合单调性求解。 2.含参幂函数的参数范围求解：先根据“幂函数定义”确定参数的初步范围，再结合单调性进一步缩范围。 3.含参幂函数不等式恒成立求参：将不等式转化为“参数与函数最值的关系”，如恒成立，等价于，再求参数。 易｜错｜点｜拨 避坑关键：定义域优先、单调性分区间、参数分离看符号、平方保证非负。 【典例1】(25-26高一上·湖北襄阳第四中学·期中)已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据幂函数的概念和单调性求的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以 ，所以. 又幂函数是定义在上的增函数， 所以 . 故选：C 【典例2】设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 【变式1】(24-25高三上·辽宁丹东敬业实验高级中学·期中)已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，原不等式可转化为，根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【详解】令，则， 所以不等式可化为， 即，因为是奇函数且在上单调递增， 所以，则， 所以在上恒成立，则， 即实数的取值范围是. 故选：A 【变式2】(21-22高一上·上海徐汇中学·月考)①函数值域为；②函数为偶函数；③函数在上恒成立；④若任意都有.已知函数：①；②；③；④.其中同时满足以上四个条件的函数有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】分别作出①；②；③；④四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解. 【详解】分别作出①；②；③；④四个函数的图象： 由图知，四个函数的值域都是都满足①； 由图知：①；②；③图象关于轴对称，都是偶函数，④的定义域为不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④不满足条件②；排除函数④； 条件③：函数在上恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在上单调递增，由四个函数图象可知，①，③，④满足条件③，函数②不满足条件③，排除函数②； 对于条件④： 函数①：如图任意都有，故函数①满足条件④， 函数③：如图任意都有，故函数③满足条件④， 所以同时满足以上四个条件的函数有函数①、函数③，共有个， 故选：C 【变式3】在这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由不等式的几何意义知，符合条件的函数图象必是上凸的，再对四个函数图象进行一一验证. 【详解】由不等式的几何意义知，符合条件的函数图象必是上凸的， 函数的图象在是下凸的，故不满足； 函数的图象在是下凸的，故不满足； 函数的图象在是上凸的，故满足； 函数的图象在是上凸的，故满足； 故选B. 【点睛】本题考查上利用数形结合思想求解问题，理解不等式所表达的图象特征是快速求解本题的关键，考查逻辑推理能力和直观想象能力. 【变式4】已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高三上·江苏镇江第一中学、镇江中学·)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，令， 因为，所以， 所以 则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 2.(17-18高一·四川眉山眉山中学·月考)已知函数，则满足的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用换元法，令，结合函数定义域对进行分类讨论，求出值或范围，反算对应值即可. 【详解】令，则，当时，， 或（舍去）， 则若，则；若，则，无解， 当时，成立，由，即，解得，或解得， 综上可知得的范围是或. 故选：A. 3.(25-26高一上·河南名校大联考·期中)已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令得，所以， 又在上单调递增，所以时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 4.(17-18高一上·陕西西安第一中学·期中)已知，若，则下列各式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上递增判断即可． 【详解】解：因为函数在上是增函数， 所以在上是增函数， 又， ． 故选：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一上·江苏盐城五校联考·期中)已知实数，函数若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，按分段判断代入列式求解. 【详解】当时，，，由， 得，解得，则； 当时，，，由， 得，解得，矛盾，无解， 所以的值为. 故选：A 2.(21-22高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数则，该函数的单调递减区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用二次函数的性质判断的区间单调性，再由根式的性质及复合函数的单调性判断确定的递减区间即可. 【详解】令，若，可得， ∴在上递增，在上递减； 又在定义域上为递减， ∴在上递减. 故选：D 3．(25-26高一上·山东青岛第十九中学·期中)设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调性，分类求解，即可得答案. 【详解】由题意可设，因为是定义在上的奇函数， 则，所以是定义在上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即， ； 当时，，即，即， ， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 4.(25-26高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知函数，且. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (3)若，求的最大值和最小值 【答案】(1)； (2)证明见解析. (3)，. 【分析】（1）由，代入函数解析式，求实数m的值； （2）定义法证明的单调性； （3）由函数单调性求区间内函数的最值. 【详解】（1）由，得； （2）由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增. （3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，， . 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(23-24高一上·浙江宁波镇海中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 2.(19-20高一上·安徽合肥一六八中学·期末)已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先考虑函数在上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可. 【详解】设函数 在上是增函数 ，解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题. 3.(22-23高一下·云南红河哈尼族彝族·期末)函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（    ）． A．在上单调递增 B． C．若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则 D．函数有2个零点 【答案】BD 【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出的图像，数形结合来处理. 【详解】由于为偶函数，则关于对称，则，故， 结合可得，，用取代，得到， 用取代，得到，于是的周期为， 由可得，结合可得，故为奇函数. A选项，根据幂函数的性质，在上递增，根据奇函数性质，在上递增， 又关于对称，则在上递减，又的周期为，故在上递减，A选项错误； B选项，奇函数的定义域为，故，由于的周期为，故， 由，取得到，取，得到， 故，由于的周期为，故 C选项，先作出在上的图像， 若时，横坐标交点之和为， 若时，横坐标交点之和为 若，根据的对称性可得，交点的横坐标之和为， 故，除了交点之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：， 设的横坐标为，则，解得，当时，，， 根据周期性，，C选项错误； D选项，在同一坐标系下作出和的图像如下，由图像可知有两个交点，故有2个零点，D选项正确. 故选：BD 【点睛】本题综合考察了幂函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可作出函数图像，数形结合是解题的关键. 4.(25-26高一上·北京十一实验中学·)已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为1. 【分析】（1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增. （2）在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $