第七单元 数学广角--植树问题 （思维导图＋1考点＋1命题点+1种题型）-人教版五年级上册数学单元复习易错易混专项讲义

该小学数学讲义以“思维导图+考点梳理+题型精研”构建植树问题知识体系，通过知识导图呈现直线型（两端栽、两端不栽、一端栽）与封闭图形植树规律，结合表格对比棵数与间隔数关系，突出核心公式及易错点。 讲义亮点在于“考情分析+命题点突破”的精准设计，如以“教学楼台阶上楼”“街道路灯安装”等实际问题为例，引导学生用数学思维分析关系，培养模型意识与推理能力。题型覆盖多样，附解题技巧与易错点提醒，助力分层教学与自主复习。

第七单元 数学广角---植树问题 【思维导图＋1考点＋1命题点+1种题型（含1种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点 植树问题 04题型精研·考向洞悉 命题点 植树问题 题型 植树问题 单元考点 考查 频率 新课标要求 植树问题 ★★ 新课标要求学生需通过观察、猜测、推理等活动，探究直线型（两端栽、两端不栽、一端栽）和封闭图形植树问题的规律。借助数形结合、化繁为简思想建立数学模型，掌握棵数与间隔数的关系，能运用模型解决路灯安装、锯木头等实际问题，培养模型意识、应用意识和逻辑推理能力。 【考情分析】本单元考题以基础应用为主，覆盖直线型（两端栽、两端不栽、一端栽）和封闭图形三种植树类型，占分比约20%-30%。题型集中在填空、选择、应用题，重点考查棵数与间隔数的关系计算，常结合路灯安装、锯木头、方阵等实际场景命题。易错点多为混淆公式、忽略“两旁植树”或“锯次＝段数－1”等细节。命题趋势侧重数形结合思想应用，强调模型转化能力，难题多为规律探究类变式题，需熟练掌握核心公式并灵活迁移。 考点 植树问题 1、 植树问题 植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被平均分成若干段 (间隔)，由于路线和植树要求的不同，路线被平均分成的段数 (间隔数) 和植树棵数之间的关系也就不同。厘清棵数与间隔数之间的关系是解题关键。 2、在一条线段上植树 (两端都栽)： 间隔数＝总路长÷间隔长度，棵数＝间隔数＋1。 3、若已知间隔长度和棵数，可求间隔数和总路长： 间隔数＝棵数－1，总路长＝间隔长度×间隔数。 4、若已知棵数和总路长，可求间隔长度： 间隔长度＝总路长÷(棵数－1)。 5、在一条线段上植树 (两端都不栽)： 间隔数＝总路长÷间隔长度，棵数＝间隔数－1。 6、在一条线段上植树 (一端栽，一端不栽)： 棵数＝间隔数。 7、 在一条首尾相接的封闭曲线上植树： 棵数＝间隔数。 8、 敲钟、上楼问题类似于在一条线段上植树 (两端都栽) 的问题 敲的次数 (上的层数) 相当于植树棵数，间隔数＝敲的次数 (上的层数)－1。 1.（2024•贵州铜仁•期末）教学楼每一层有24个台阶，老师从一楼上楼去某教室，共走了72个台阶。老师是去第（ ）层的教室。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知每一层有24个台阶，共走了72个台阶，因为每走一层台阶对应一个间隔，所以用总台阶数除以每一层的台阶数，求出间隔数；因为一楼本身不需要走台阶，所以楼层数比间隔数多1，即楼层数＝间隔数＋1。 【详解】72÷24＋1＝3＋1＝4（层） 老师是去第4层的教室。 故答案为：C 2.（2024•湖南岳阳•期末）一块长方形菜地，长70米，宽50米，在每条边上每隔10米栽一棵树，四个角上都要栽，一共要栽多少棵树？ 【答案】24棵 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算出长方形菜地的周长，本题是封闭图形上的植树问题，用菜地的周长除以间隔长度即等于要栽树的棵数，据此即可解答。 【详解】(70＋50)×2÷10 ＝120×2÷10 ＝240÷10 ＝24（棵） 答：一共要栽 24 棵树。 3.（2024•河南安阳•期末）幸福村的中心街道全长1200米，在这条街道的一侧安装了太阳能路灯（两端都装），每隔40米装一盏，一共装了( )盏。 【答案】31 【分析】两端都栽的植树问题，棵数比间隔数多1，先根据“间隔数＝总长÷间距” 求出间隔数，在此基础上加上1就是一共装太阳能路灯的数量，据此解答。 【详解】1200÷40＋1 ＝30＋1 ＝31（盏） 所以，一共装了31盏。 4.（2024•河北孝感•期末）在一条长60m的小路两侧栽树，每隔4m栽一棵。如果只在一端栽树，共需要( )棵；如果两端都不栽，共需要( )棵。 【答案】30 28 【分析】只栽一端的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数；两端都不栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数－1；两端都栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数＋1。据此解答。 【详解】60÷4＝15（个） 15×2＝30（棵） 所以两侧栽树且只在一端栽树的话，共需要30棵。 (15－1)×2 ＝14×2 ＝28（棵） 所以两侧栽树且两端都不栽，共需要28棵。 5.（2024•山西晋中•期末） 某区大力推进新能源充电设施建设，幸福小区在某街道的一侧建了一处充电区（如图），共安装了40个充电桩（一个●表示一个充电桩），每隔2.4米安装一个充电桩（两端都不安装），这片充电区长多少米？ 【答案】98.4 米 【分析】两端都不安装充电桩时，间隔数＝充电桩数量＋。共安装40个充电桩，所以间隔数为40＋1＝41个。已知每个间隔距离是2.4米，用间隔数乘间隔距离就能得到充电区的长度。 【详解】40＋1＝41（个） 41×2.4＝98.4（米） 答：这片充电区长98.4米。 命题点 植树问题 题型 植树问题 核心是理清“总路长、间隔长度、间隔数、棵数”的关系 1、两端都栽 特征：路的两头都种树/装灯/插旗 关键关系：棵数＝间隔数＋1 公式推导：间隔数＝总路长÷间隔长度 2、两端都不栽 特征：路的两头都不种 关键关系：棵数＝隔数－1 3、一端栽，一端不栽 特征：只在路的一头种 关键关系：棵数＝间隔数 4、封闭图形（圆形、长方形、正方形等） 特征：首尾相连的图形周围种树 关键关系：棵数＝间隔数（和“一端栽一端不栽”规律相同） 1.（2024·河南郑州·期末） 小华家附近的公园里，有一处景点是“重走长征路”，用图文并茂的形式，展示了红军二万五千里长征中的感人故事。景点中有一条全长900米的道路和一个周长是360米的天鹅湖。 （1）在这条道路的一侧安装了太阳能路灯（两端都装），每隔50米装一个，一共装了( )个路灯。 （2）计划在天鹅湖周围栽柳树，每隔12米栽一棵，一共要栽( )棵柳树。 【答案】（1）19 （2）30 【分析】（1）根据植树问题，两端都栽，则用全长除以间隔再加1即可得解。 （2）由题意可知，根据植树问题，封闭路线植树相当于一端栽一端不栽，用全长除以间隔的距离即可得解。 【详解】（1）900÷50＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 一共装了19个路灯。 （2）360÷12＝30（棵） 一共要栽30棵柳树。 2.（2024·湖北随州·期末）笔直的跑道一旁插著49面小旗（两端都插），它们的间隔是4米，现在要改为间隔是6米，可以插多少面小旗？ 【答案】33面 【分析】本题考查了植树问题，根据公式如果植树线路的两端都植树，那么全长÷间距＝间隔数，用间隔数再加上1就是植树的棵树，由此可得：小旗的面数减 1的差乘间距，可得全长，将数据代入求出该跑道的长度，再用长度除以新的间距，最后加1，求出小旗的面数。 【详解】由分析可得：4×(49－1) ＝4×48 ＝192（米） 192÷6＋1 ＝32＋1 ＝33（面） 答：可以插 33 面小旗。 3.（2024·安徽滁州·期末）李军在一条笔直的公路上骑自行车，公路一旁每相邻两根电线杆的距离是相等的，他从第1根电线杆骑到第21根电线杆用了5分钟。照这样计算，如果李军骑自行车行30分钟，那么他应该骑到第多少根电线杆？ 【答案】121根 【分析】从第1根到第21根，骑车经过了20个间隔。将20个间隔除以5分钟，求出每分钟经过多少个间隔，再将这个商乘30分钟，求出30分钟能经过多少个间隔。将间隔数加上 1，即可求出他应该骑到第几根电线杆。 【详解】(21－1)÷5×30＋1 ＝20÷5×30＋1 ＝4×30＋1 ＝120＋1 ＝121（根） 答：他应该骑到第121根电线杆。 4.（2024·贵州铜仁·期末） 在一个周长为1000米的圆形池塘周围种树，每隔20米种1棵杨树，在每两棵杨树中间等距离的种了3棵松树，这个圆形池塘的周围共种了多少棵树？ 【答案】200棵 【分析】间隔总长÷间隔距离＝间隔数，植树棵数＝间隔数，由此求出1000米里有几个20米的间隔，用1000÷20即可求出一共有几棵杨树，已知在每两棵杨树中间等距离的种了3棵松树，用间隔数×3 即可求出松树的棵数，最后用松树的棵数加上杨树的棵数，即可求出树的总数量。 【详解】1000÷20＝50（棵） 50×3＝150（棵） 50＋150＝200（棵） 答：这个圆形池塘的周围共种了200棵树。 5.（2024·湖南张家界·期末）一座桥上的一侧有10块广告牌，每块广告牌长3.2米，高2米，每相邻的两块广告牌之间相距12米，其中靠近桥两端的广告牌距离桥端都是50米，这座桥长多少米？ 【答案】240米 【分析】每块广告牌的长度×块数＝广告牌总长度，根据植树问题的解题方法，10块广告牌中间有（10－1）个间隔，间距×间隔数＝间隔总长度，广告牌总长度＋间隔总长度＋两端的广告牌距离桥端距离×2＝桥长，据此列式解答。 【详解】3.2×10＋12×(10－1)＋50×2 ＝32＋12×9＋100 ＝32＋108＋100 ＝240（米） 答：这座桥长240米。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学广角---植树问题 【思维导图＋1考点＋1命题点+1种题型（含1种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点 植树问题 04题型精研·考向洞悉 命题点 植树问题 题型 植树问题 单元考点 考查 频率 新课标要求 植树问题 ★★ 新课标要求学生需通过观察、猜测、推理等活动，探究直线型（两端栽、两端不栽、一端栽）和封闭图形植树问题的规律。借助数形结合、化繁为简思想建立数学模型，掌握棵数与间隔数的关系，能运用模型解决路灯安装、锯木头等实际问题，培养模型意识、应用意识和逻辑推理能力。 【考情分析】本单元考题以基础应用为主，覆盖直线型（两端栽、两端不栽、一端栽）和封闭图形三种植树类型，占分比约20%-30%。题型集中在填空、选择、应用题，重点考查棵数与间隔数的关系计算，常结合路灯安装、锯木头、方阵等实际场景命题。易错点多为混淆公式、忽略“两旁植树”或“锯次＝段数－1”等细节。命题趋势侧重数形结合思想应用，强调模型转化能力，难题多为规律探究类变式题，需熟练掌握核心公式并灵活迁移。 考点 植树问题 1、 植树问题 植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被平均分成若干段 (间隔)，由于路线和植树要求的不同，路线被平均分成的段数 (间隔数) 和植树棵数之间的关系也就不同。厘清棵数与间隔数之间的关系是解题关键。 2、在一条线段上植树 (两端都栽)： 间隔数＝总路长÷间隔长度，棵数＝间隔数＋1。 3、若已知间隔长度和棵数，可求间隔数和总路长： 间隔数＝棵数－1，总路长＝间隔长度×间隔数。 4、若已知棵数和总路长，可求间隔长度： 间隔长度＝总路长÷(棵数－1)。 5、在一条线段上植树 (两端都不栽)： 间隔数＝总路长÷间隔长度，棵数＝间隔数－1。 6、在一条线段上植树 (一端栽，一端不栽)： 棵数＝间隔数。 7、 在一条首尾相接的封闭曲线上植树： 棵数＝间隔数。 8、 敲钟、上楼问题类似于在一条线段上植树 (两端都栽) 的问题 敲的次数 (上的层数) 相当于植树棵数，间隔数＝敲的次数 (上的层数)－1。 1.（2024•贵州铜仁•期末）教学楼每一层有24个台阶，老师从一楼上楼去某教室，共走了72个台阶。老师是去第（ ）层的教室。 A．2 B．3 C．4 D．5 2.（2024•湖南岳阳•期末）一块长方形菜地，长70米，宽50米，在每条边上每隔10米栽一棵树，四个角上都要栽，一共要栽多少棵树？ 3.（2024•河南安阳•期末）幸福村的中心街道全长1200米，在这条街道的一侧安装了太阳能路灯（两端都装），每隔40米装一盏，一共装了( )盏。 4.（2024•河北孝感•期末）在一条长60m的小路两侧栽树，每隔4m栽一棵。如果只在一端栽树，共需要( )棵；如果两端都不栽，共需要( )棵。 5.（2024•山西晋中•期末） 某区大力推进新能源充电设施建设，幸福小区在某街道的一侧建了一处充电区（如图），共安装了40个充电桩（一个●表示一个充电桩），每隔2.4米安装一个充电桩（两端都不安装），这片充电区长多少米？ 命题点 植树问题 题型 植树问题 核心是理清“总路长、间隔长度、间隔数、棵数”的关系 1、两端都栽 特征：路的两头都种树/装灯/插旗 关键关系：棵数＝间隔数＋1 公式推导：间隔数＝总路长÷间隔长度 2、两端都不栽 特征：路的两头都不种 关键关系：棵数＝隔数－1 3、一端栽，一端不栽 特征：只在路的一头种 关键关系：棵数＝间隔数 4、封闭图形（圆形、长方形、正方形等） 特征：首尾相连的图形周围种树 关键关系：棵数＝间隔数（和“一端栽一端不栽”规律相同） 1.（2024·河南郑州·期末） 小华家附近的公园里，有一处景点是“重走长征路”，用图文并茂的形式，展示了红军二万五千里长征中的感人故事。景点中有一条全长900米的道路和一个周长是360米的天鹅湖。 （1）在这条道路的一侧安装了太阳能路灯（两端都装），每隔50米装一个，一共装了( )个路灯。 （2）计划在天鹅湖周围栽柳树，每隔12米栽一棵，一共要栽( )棵柳树。 2.（2024·湖北随州·期末）笔直的跑道一旁插著49面小旗（两端都插），它们的间隔是4米，现在要改为间隔是6米，可以插多少面小旗？ 3.（2024·安徽滁州·期末）李军在一条笔直的公路上骑自行车，公路一旁每相邻两根电线杆的距离是相等的，他从第1根电线杆骑到第21根电线杆用了5分钟。照这样计算，如果李军骑自行车行30分钟，那么他应该骑到第多少根电线杆？ 4.（2024·贵州铜仁·期末） 在一个周长为1000米的圆形池塘周围种树，每隔20米种1棵杨树，在每两棵杨树中间等距离的种了3棵松树，这个圆形池塘的周围共种了多少棵树？ 5.（2024·湖南张家界·期末）一座桥上的一侧有10块广告牌，每块广告牌长3.2米，高2米，每相邻的两块广告牌之间相距12米，其中靠近桥两端的广告牌距离桥端都是50米，这座桥长多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $数学广角一 植树问题 两端都栽 棵数=间隔+1 在一条线段上植树 两端都不栽 棵数=间隔数-1 知识梳理 一端栽，一端不栽 棵数=间隔数 在一条首尾相接的封闭曲线上植树 掌握“两端都栽、两端不栽、一端栽一端不栽” 三种植树类型的棵数与间隔数关系 重难点 理解“间隔数”的意义，能根据实际场景判断植 树类型，实现模型与问题的转化。 学法指导 混淆三类型的计算公式 易错点 算间隔数时错用“总长X间距” 解锯木头、敲钟等变式题时，无法对应到植树模型 Presented with xmind