4.2.1-4.2.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

4.2.1 指数爆炸和指数衰减　4.2.2 指数函数的图象与性质 第2课时　指数函数的图象与性质的应用 　 第4章　4.2　指数函数 学习目标 1.会利用指数函数的图象和性质求指数型函数的单调性及比较指数式的大小和解指数型不等式. 2.能利用指数函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题，培养数学运算的核心素养. 内容索引 合作探究 1 课时分层评价 3 随堂评价 2 合作探究 返回 探究点一　指数型函数的单调性 判断函数f(x)＝的单调性，并求其值域. 解：令t＝－x2＋2x－2，则t(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.又因为y＝x在R上是减函数，所以函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增. 因为t＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1≤－1，所以y＝t，t∈(－∞，－1]，所以y≥－1＝2， 所以原函数的值域为[2，＋∞). 典例 1 函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性 1.研究y＝af(x)型函数的单调性时，要注意底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1. 2.当a＞1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同；当0＜a＜1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相反. 规律方法 对点练1．求函数f(x)＝的单调区间. 解：函数y＝x2－x－2在上单调递减，在上单调递增，函数y＝2x在R上单调递增， 所以函数f(x)＝，单调递增区间为. 探究点二　利用单调性比较大小 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； 解：1.52.5，1.53.2可看作是函数y＝1.5x的两个函数值，因为底数1.5＞1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数. 又2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2. (2)0.6－1.2和0.6－1.5； 解：0.6－1.2，0.6－1.5可看作是函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5. 典例 2 (3)1.70.2和0.92.1； 解：因为1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1， 所以1.70.2＞0.92.1. (4)a1.1和a0.3(a＞0，且a≠1). 解：当a＞1时，y＝ax在R上是增函数，此时a1.1＞a0.3； 当0＜a＜1时，y＝ax在R上是减函数，此时a1.1＜a0.3. 比较指数式大小的三种类型及求解方法 规律方法 对点练2．(1)已知a＝0.3－0.3，b＝0.3－0.2，c＝2－0.01，则 A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.a＜c＜b 因为y＝0.3x在R上单调递减，且－0.3＜－0.2＜0，所以0.3－0.3＞0.3－0.2＞0.30＝1，即a＞b＞1，因为y＝2x在R上单调递增，且－0.01＜0，所以c＝2－0.01＜20＝1，所以c＜b＜a.故选A. √ (2)已知a＝，b＝，c＝2，则三者的大小关系为________. b＜a＜c 因为a＝＝，c＝2＝， 又＜，所以a＜c，因为y＝4x在R上单调递增，且＜，所以＜，所以b＜a，故b＜a＜c. 探究点三　解指数不等式 解下列不等式： (1)4x＜42－3x； 解：因为y＝4x在R上是增函数， 所以x＜2－3x，解得x＜. 故原不等式的解集是. 典例 3 (2)≤2； 解：因为2＝， 所以原不等式可以转化为. 又y＝在R上是减函数， 所以3x－1≥－1，解得x≥0. 故原不等式的解集是[0，＋∞). (3)0.3(3x－1)(2x＋1)≥1. 解：原不等式可以转化为0.3(3x－1)(2x＋1)≥0.30. 因为y＝0.3x在R上是减函数， 所以(3x－1)(2x＋1)≤0，解得－≤x≤. 故原不等式的解集是. 指数型不等式的解法 1.指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)； 当0＜a＜1时，f(x)＜g(x). 2.如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞ 0，且a≠1)，a－x＝(a＞0，且a≠1)等. 规律方法 对点练3．(1)已知关于x的不等式x－4＞3－2x，则该不等式的解集为 A.(4，＋∞) B.(－4，＋∞) C.(－∞，－4) D.(－4，1) 因为3－2x＝2x，所以原不等式可以转化为x－4＞2x.又y＝x在R 上是减函数，所以x－4＜2x，所以x＞－4.故选B. √ (2)满足x－3＞16的x的取值集合是_________. (－∞，1) 因为x－3＞16，所以x－3＞－2，因为函数y＝x在R上是减函 数，所以x－3＜－2，故x＜1. 探究点四　求参数的取值范围 (1)若指数函数y＝(2－a)x在其定义域内是减函数，则实数a的取值范围是 A. B.(1，2) C.∪(1，2) D.(0，1) 由题意得0＜2－a＜1，解得1＜a＜2，即实数a的取值范围是(1，2).故 选B. √ 典例 4 (2)设a＞0，且a≠1，如果函数f(x)＝ax满足f(2)＞f(3)，那么实数a的取值范围是 A.(0，1) B.(1，2] C.(2，3] D.(3，＋∞) √ 因为函数f(x)＝ax为单调函数，且f(2)＞f(3)，所以函数f(x)＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1.故选A. (3)若函数f(x)＝ax＋1在R上是增函数，则实数a的取值范围是_________. (－∞，0) 因为0＜＜1，所以函数y＝x在R上单调递减，所以函数f(x)的单调性 与y＝ax＋1的单调性相反.又函数f(x)在R上为增函数，所以y＝ax＋1在R上是减函数，所以a＜0，即a的取值范围是(－∞，0). 　　已知y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性求参数的取值范围时，就是由y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性确定底数a的取值范围. 规律方法 对点练4．(1)若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[0，2]上的最大值与最小值之差为3，则a的值是____. 2 当a＞1时，函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，最大值是f(2)＝a2，最小值是f(0)＝a0＝1，所以a2－1＝3，解得a＝2(舍负)；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，最大值是f(0)＝a0＝1，最小值是f(2)＝a2，所以1－a2＝3，此时a的值不存在.综上，a＝2. (2)已知函数f(x)＝是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是_______. [2，3) 因为f(x)是定义在R上的增函数，所以函数f(x)＝ax在[1，＋∞)上单调递增，则a＞1，函数f(x)＝(3－a)x＋1在(－∞，1)上单调递增，则3－a＞0，解得a＜3，且有3－a＋1≤a，解得a≥2.综上，实数a的取值范围是[2，3). 返回 随堂评价 返回 1.已知a＝20.2，b＝0.33，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为 A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b √ 因为y＝0.3x在R上是减函数，3＞0.2＞0，所以0.33＜0.30.2＜0.30＝1.又20.2＞20＝1，所以b＜c＜a.故选C. 2.不等式2｜x－1｜＜4的解集是 A.(－1，3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞) C.(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) √ 由指数函数y＝2x在R上单调递增，且2｜x－1｜＜4＝22，得｜x－1｜＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.故选A. 3.已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)，若f(1)＞1，则f(x)的单调递减区间是 A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞) √ 因为f(1)＝a－1＞1，所以0＜a＜1.又函数y＝x2＋4x－6在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数，且函数y＝ax在R上是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(－2，＋∞).故选D. 4.若ax＋1＞5－3x，且0＜a＜1，则x的取值范围为__________. 因为ax＋1＞5－3x，所以ax＋1＞a3x－5.当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函 数，则x＋1＜3x－5，解得x＞3. (3，＋∞) 返回 课时分层评价 返回 1.已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是 √ 由函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，可知a2＞1，即a＞1，故f(x)是增函数，因此选项B符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知集合A＝，B＝{－3，－1，0，2，4}，则A∩B＝ A.{－1，0} B.{－1，0，2} C.{－3，－1，0} D.{0，2} √ 因为≤3x＜9，则3－2≤3x＜32，所以－2≤x＜2，所以A＝{x｜－2≤x＜2}.又因为B＝{－3，－1，0，2，4}，所以A∩B＝{－1，0}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝1.30.86，则a，b，c的大小关系是 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b √ 因为函数y＝0.86x在R上是减函数，所以0＜0.860.85＜0.860.75＜1.又1.30.86＞1，所以c＞a＞b.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为 A.(－∞，1] B.[－1，＋∞) C.[1，＋∞) D.(－∞，－1] √ 令t＝－x2＋2x－3，则t(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.又因为y＝x在R上是减函数，所以函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.(多选)设函数f(x)＝a－｜x｜(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则下列结论正确的是 A.f(－2)＞f(－1) B.f(－2)＞f(2) C.f(1)＞f(2) D.f(－4)＞f(3) √ 由f(2)＝a－2＝4，得a＝，即f(x)＝＝2｜x｜，则f(－2)＞f(－1)， f(－2)＝f(2)，f(2)＞f(1)，f(－4)＞f(3)，所以A、D正确.故选AD. √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.(多选)已知函数f(x)＝2 025x－2 025－x，则f(x) A.是奇函数 B.是偶函数 C.在(0，＋∞)上单调递减 D.在(0，＋∞)上单调递增 √ 因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2 025－x－2 025x＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，故A正确，B错误；又因为y＝2 025x是R上的增函数，y＝2 025－x是R上的减函数，所以函数f(x)＝2 025x－2 025－x是R上的增函数，故C错误，D正确.故选AD. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.已知函数f(x)＝为奇函数，则n＝___. 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，解得n＝2. 2 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.若函数g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为_____________. 由题知函数g(x)在R上为减函数，若其图象不经过第一象限，则g(x)的图象与y轴的交点不在y轴正半轴上，所以只需g(0)≤0即可，即m－3≤0，解得m≥－1. [－1，＋∞) 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.若不等式＜16x对于∀x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是__________. 由题意得＜24x，则有－x2＋a＜4x，即a＜x2＋4x对于∀x∈[0，2]恒成立.设f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，显然f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－2，所以f(x)在[0，2]上单调递增.当x＝0时，f(x)取得最小值0，则a＜0，即a的取值范围为(－∞，0). (－∞，0) 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(15分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称. (1)求函数g(x)的解析式； 解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2， 所以f(x)＝2x. 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)＝x. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)若g(2x2－3x＋1)＞g(x2＋2x－5)，求x的取值范围. 解：根据(1)知，g(x)＝x是减函数， 由g(2x2－3x＋1)＞g(x2＋2x－5)， 得2x2－3x＋1＜x2＋2x－5， 则x2－5x＋6＜0，解得2＜x＜3， 故x的取值范围为(2，3). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.函数y＝的图象大致为 √ 函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减，排除B.故选A. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)(新定义)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－π]＝－4，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝，设g(x)＝[f(x)]，则 A.f(x)是奇函数 B.g(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{－1，0} √ √ √ 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由f(－x)＝＝＝－f(x)且x∈R，则f(x)是奇函数，故A正确；由f(x)＝1－，根据指数函数、复合函数的单调性易知f(x)在R上是增函数，故C正确；由g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，显然g(－1)≠－g(1)，故B错误；当x≥0时，1＋2x≥2，则f(x)＝1－∈[0，1)，此时g(x)＝0；当x＜0时，1＜1＋2x＜2，则f(x)＝1－∈(－1，0)，此时g(x)＝－1；所以g(x)的值域是{－1，0}，故D正确.故选ACD. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 4.2　指数函数 返回 $