5.4 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 探究点一　由图象求三角函数的解析式 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的图象的一部分，求此函数的解析式. 解：方法一(逐一定参法)： 由题中图象知A＝3，T＝－＝π， 所以ω＝＝2，所以y＝3sin(2x＋φ). 因为点在函数图象上， 所以0＝3sin. 所以－×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z). 因为｜φ｜＜，所以φ＝.所以y＝3sin. 方法二(待定系数法)： 由题中图象知A＝3.因为图象过点， 所以 所以y＝3sin. 方法三：(图象变换法)： 由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin，即y＝3sin. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的 解析式的步骤 1.求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. 2.求ω，确定函数的周期T，则ω＝. 3.求φ，常用方法有以下2种 代入法 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 对点练1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ分别为(　　) A.4， B.3， C.4， D.3， 答案：D 解析：由题中图象知A＝1，＝－＝⇒T＝＝⇒ω＝3， 所以f(x)＝sin(3x＋φ)，所以f＝sin＝－1⇒＋φ＝2kπ＋，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝，选D. 探究点二　三角函数图象的对称性 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，求 (1)函数的对称轴方程； (2)函数的对称中心. 解：由T＝＝π，解得ω＝2， 则f(x)＝sin， (1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，即对称轴方程为x＝＋，k∈Z. (2)令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z). 所以该函数的对称中心为(k∈Z). 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 对点练2.已知函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象的一个对称中心为(，0)，则φ的值为　　　　. 答案：－ 解析：由于 是函数f(x)图象的对称中心，所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z，由于｜φ｜＜，故取k＝0，φ＝－. 学生用书⬇第144页 探究点三　三角函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象关于直线x＝对称，则下列说法中正确的个数为(　　) ①将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y＝2sin ωx的图象； ②f(x)的图象经过点(0，1)； ③f(x)的图象的一个对称中心是； ④f(x)在上是减函数. A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由最小正周期为π，得ω＝2；由x＝为对称轴，得＋ φ＝＋kπ(k∈Z)，0＜φ＜， 故k取1，φ＝，所以f(x)＝2sin. ①f(x)的图象向右平移φ个单位长度后， 得y＝2sin，错误； ②f(0)＝2sin＝1，正确；③f＝2sin π＝0，正确； ④x∈时，2x＋∈，错误； 故选C. 1.正、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数. 2.确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法 采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间. 对点练3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，点P，Q，R在f(x)的图象上，坐标分别为(－1，－A)，(1，0)，(x0，0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图象向右平移5个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则下列说法中不正确的是(　　) A.g(x)是偶函数 B.g(x)在区间[0，4]上是减函数 C.g(x)的图象关于直线x＝2对称 D.g(x)在[－1，3]上的最小值为－ 答案：C 解析：因为＝2，所以＝8，ω＝.因为｜PQ｜＝｜QR｜＝4，作PH⊥x轴于点H(图略)，则｜QH｜＝2，所以A＝｜PH｜＝2. 当x＝1时，2sin＝0，所以φ＝－＋kπ，k∈Z.又｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，g(x)＝f(x－5)＝2cos x，根据余弦函数的性质可知A，B，D正确，C错误. 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，｜φ｜＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　) A.y＝－4sin B.y＝4sin C.y＝－4sin D.y＝4sin 答案：C 解析：由图象得A＝±4，＝8，所以T＝16， 因为ω＞0，所以ω＝＝. ①若A＞0，则y＝4sin， 当x＝6时，×6＋φ＝2kπ，k∈Z， φ＝2kπ－，k∈Z. 又｜φ｜＜，所以不存在满足条件的φ. ②若A＜0，则y＝－4sin， 当x＝－2时，×(－2)＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z， 又｜φ｜＜，所以φ＝.综合①②知该函数解析式为y＝－4sin.故选C. 2.设函数f(x)＝sin的图象为C，下面结论中正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期是2π B.函数f(x)在区间上是增函数 C.图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到 D.图象C关于点对称 答案：D 解析：函数f(x)＝sin＝π，A错误； 当x∈时，2x－∈，根据y＝sin x的图象可知，f(x)在上不单调，B错误； 把函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象，与f(x)的图象不符，C错误； 令x＝，可得f＝sin 0＝0，所以图象C关于点对称，D正确. 学生用书⬇第145页 3.将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)的图象向左平移个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则φ＝　　　　. 答案： 解析：由题意，y＝sin是一个偶函数， 所以＋φ＝＋kπ，(k∈Z)，则φ＝＋kπ，(k∈Z)，又0≤φ＜π， 所以φ＝. 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调递增区间； (3)先将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[π，2π]上的值域. 解：(1)由图可知，A＝1，＝－＝π， 所以T＝4π，ω＝＝，f(x)＝sin. 令×＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)， 得φ＝2kπ－(k∈Z)， 又｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin. (2)由2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)， 得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (3)由题意，知g(x)＝2sin＝2sin. 当π≤x≤2π时，≤－≤， 所以≤sin≤1，所以函数g(x)＝2sin在区间[π，2π]上的值域为[1，2]. 课时分层评价41　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.如图所示，函数的解析式为(　　) A.y＝sin B.y＝sin C.y＝cos D.y＝cos 答案：D 解析：根据函数y＝f(x)图象的一部分，可设f(x)＝sin(ωx＋φ)，由·＝＋，可得ω＝2， 再根据五点法作图可得2×＋φ＝，所以φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)＝sin＝cos， 故选D. 2.点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则下列说法正确的是(　　 ) A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)的值域为[0，4] C.f(x)的初相φ＝ D.f(x)在上单调递增 答案：D 解析：由题意，得且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又｜φ｜＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1，3]，初相为，排除A，B，C项，当x∈时，x＋∈⊆.故选D. 3.(多选)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　) A.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2 C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 答案：AD 解析：y＝sin＝sin＝cos，所以将曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos ，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos；或将曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选AD. 4.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，若函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数的部分图象如图所示，则不等式f(x)≥－1的解集为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：C 解析：设函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x).由题图可知A＝2，函数g(x)的最小正周期为4×＝π，所以ω＝＝2， 所以f(x)＝2cos(2x＋φ)， 则g(x)＝2cos ＝2cos. 由g＝2，得2cos＝2， 即－＋＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为｜φ｜＜，所以φ＝－， 所以f(x)＝2cos. 因为f(x)≥－1，所以2cos≥－1， 即cos≥－， 所以－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以不等式f(x)≥－1的解集为(k∈Z).故选C. 5.(多选)下列关于函数y＝sin(2x＋)的说法正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点成中心对称 D.图象关于直线x＝－对称 答案：ABD 解析：由y＝sin x的递增区间可知，y＝sin的递增区间为－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又在此区间上，所以A对. T＝＝＝π，B对. 由y＝sin x关于x＝＋kπ，k∈Z对称可知，y＝sin关于2x＋＝＋kπ，k∈Z对称，x＝＋，k∈Z，x＝、x＝－在此集合里，故C错、D对.故选ABD. 6.将函数y＝sin 2x的图象向左平行移动个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式是　　　　　　　　. 答案：y＝sin 解析：把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到y＝sin 2＝sin的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象. 7.若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝　　　　. 答案：±3 解析：由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3. 8.关于函数f(x)＝sin有下列命题： ①其表达式可写成f(x)＝cos； ②直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴； ③f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到； ④存在α∈(0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立. 其中正确的是　　　　　(填写正确的序号). 答案：②④ 解析：对①，若f(x)＝sin＝cos，令x＝0，显然等式不成立，①错误； 对②，因为f＝－1，所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，②正确； 对③，因为函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为g＝sin，③错误； 对④，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，所以当α＝时，等式f(x＋α)＝f(x＋3α)成立，④正确. 9.(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示： (1)求f(x)的解析式及对称中心坐标； (2)将f(x)的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈上的单调区间及最值. 解：(1)由图象可知：，可得：A＝2，B＝－1， 又由于＝－，可得：T＝π，所以ω＝＝2， 由图象知f＝1，sin＝1， 又因为－＜＋φ＜， 所以2×＋φ＝，φ＝. 所以f(x)＝2sin－1， 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得：x＝－(k∈Z). 所以f(x)的对称中心的坐标为(k∈Z). (2)由已知的图象变换过程可得：g(x)＝2sin x， 由g(x)＝2sin x的图象知函数在x∈， 单调减区间为， 当x＝时，g(x)取得最大值2；当x＝时，g(x)取得最小值－1. 10.(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心. 解：(1)由题图得A＝2， 最小正周期T＝×＝2π， 因为T＝＝2π，ω＞0，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin(x＋φ)，又f＝2sin(－＋φ)＝0，所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin. (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到y＝2sin＝2cos x的图象，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2cos 2x的图象. 令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z， 所以g(x)图象的对称中心为，k∈Z. (11、12每小题5分，共10分) 11.关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题： ①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos； ③y＝f(x)图象关于点对称； ④y＝f(x)图象关于直线x＝－对称. 其中正确命题的序号为(　　 ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 答案：C 解析：对于①，由f(x)＝0， 可得2x＋＝kπ(k∈Z). 所以x＝π－(k∈Z)，所以x1－x2是的整数倍， 所以①错误；对于②，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，所以②正确；对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝π－(k∈Z)， 所以是函数y＝f(x)的一个对称中心，所以③正确； 对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，所以x＝＋(k∈Z).所以④错误. 12.设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝－对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数，结论正确的是　　　　. 答案：①③ 解析：因为T＝π，所以ω＝2. 又2×＋φ＝kπ＋， 所以φ＝kπ＋.因为－＜φ＜，所以φ＝－， 所以y＝sin.由图象及性质可知①③正确. 学科网（北京）股份有限公司 $