福建省厦门第一中学2024-2025学年高三高考考前模拟数学圆梦卷（三）（高考同源卷）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦卷（三） 明辩慎思要看才情分胜负，争荣远耻全凭睿智写春秋！ （本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.) 注意事项： 1.答卷前，.考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型 (B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”， 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 A.1 B.√2 C.2 D.4 2集合U=R,M={xx>},N={x-1<x<2,则{x≤-}=() A.C(M∩N) B.C(MUWc.MU(CN） D.NU(CM) 3包椭圆C:三+少=1的右膜点与甜物线广=缸的点重合，则C的高心率为() A 83 D. 4 2 4.已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为（) 3π 3π c. 9n A. B. D. 9n 8 4 4 Inx 6.若函数f(x)= ,x22 有最大值，则k的最大值为() a,x<2 第1页（共4页） 日2 1 C 2 2e 1已蜘函煮()=sr+c0的极值点与8（小=aor+牙到的号点完金相同，则o=( A.-2 B.-1) C.1 D.2 8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2”,则（) A.9a1>8a B.9a<8as C.9S,>7a D.9S,<7ag 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设a,B,Y表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得∥B的是() A.mlIa,m/IBB.m⊥a,m⊥BC.yl∥a,yllB D.y⊥a,y⊥B 10.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)之g(x)(当且仅当x=0时，等号成立)，则下列结 论可能正确的是( A.VxER,f(x)2f(0),g(x)sg(0) B.xeR,f(x)≥f(0),且g(x)2g(0) C.VER,f(x)sf(0),ER,g(x)>g(0) D.3x∈R,f(s)<f(0),且3xeR,g(x)>g(0) 11在平面直角坐标系0中，设4，，B(,为)，定义：B.=店-+以-为r.若s1eN, 且了<t,则下列结论正确的是() A.若A,B关于x轴对称，则AB,=AB, B.若A,B关于直线y=x对称，则AB2AB C.若0A=20B,则0A=20B, D.若P={MAMl≤1,2={MAMl≤1，则Pcg 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知点A在直线x-y+1=0上，西=(2,0)，则原点0与B的最短距离为 13.已知sin2a=2sim2B,cos2a=4sin2B,则cos(2a+)=_ 第2页，（共4页） 14设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),其中a<b<c.若(1+x)f(2-x)≤0对任意的x∈R恒成 立，则a+b+c= 四、解答愿：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臻. 15.(13分) 记△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c,面积为S,且S=a2sin2B. (1)证明：tanB=3tanA; (2)若A=45°，BC边上的高为6，求b, 16.(1分) 如图，在E棱锥P-ABC中，PB=PC,D为BC的中点，平面PAD⊥平面PBC. (1)证明：AB=AC: 2)若b⊥AC,AB=2,PA=PD=1,求平面PAB与平面PAC的夹角的正弦值 17.(15分) 已知双曲线C:士 荐芳=6>06>0)的实描长为4一条寄近线的方程为y=号，过点60)的 2 直线：与C的右支交于A,B两点. (1)求C的标准方程： (2)P是x轴上的定点，且∠APB=90°. (i)求P的坐标； ()若△APB的外接圆被x轴截得的弦长为6，求外接圆的面积. 第3页（共4页） 18、(17分) 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为200，每局比 赛，棋手胜加100分：平局不得分，棋手负减100分，当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手 总分为30时，挑城成功，比赛终止：香则比赛维续，已知每局比套桃手胜、平，负的凝率分别为子日 分，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率： (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率： (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记n(n≥10)局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率 为P(n),求P(n)的最大值. 19.(17分) 已知函数f(x)=e-”,neN. (1)证明：f(x)有唯一零点： (2)记f(x)的零点为an· ()数列{a,}中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由： ()证明：2(m+i-小<1s+1+n 2 第4页（共4页） 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦试题（三)参考答案及评分标准 一、进择题：本照共8小题，低小趣5分，共40分.在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】B 8.【详解】因为数列{an}的前n项和为Sn,且S,=2an-2”, 当n=1时，则a=S,=2a,-2,解得a1=2, 当n22且neN时，由S,=2a,-2”可得Sn1=2a1-2-, 上述两式作差可得an=2a,-2a,1-2",整理可得a,-2an1=2- 等式a,-2a1=2-两边同时除以2可得-0号=1， 22n-21 所以数列 是以号=2为首项。公差为1的等差数列. 所以2是=2+n-1=n+1,所以a,=(n+)2。 对于B选项，9a=9×8×2=9×29,8a=8×9×2'=9x2°，则9a<8a%,A错B对； Sn=2an-2”=(n+1)2”-2"=n-2". 对于CD选项，9S,=9×7×27=63×27,74=7x9×2=63×2 所以，9S,=7a.CD都错故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BC 10.【答案】ABD 1L.【答案】ABD 11.【详解】对于A,因为A,B关于x轴对称，且A(:,y),B(3,2), 所以8(，，而8，=-”+-为， 得到AB,=s-x+y-为)=-（←x广=02r)=2x 同理8=s-x+以-)=-（←y)=2x)-px 高三数学试题卷第1页（共8页） 即此时满足AB,〧AB,故A正确， 对于B,因为AB关于直线y=x对称，且A(x,),B(), 所拟86.则，=s-+-为r-(4-x=2k- a=s-+y-为）-k-=2k- 构造f(x)=2，由指数函数性质得(x)在R上单调递增，AB,≥AB, 因为1e心，且s<1,所以>，得到/>， 则2>2得到2k-x>2x-x小即AB,>AB,则B,21B,故B正确， 对Fc.由题意得O4=(+x,08,=s+ 因为0A=208.所以(s+r护=2s+月 得到k+y=2(s+)=2x+2y”, 令x=25=0乃-2，%=2，符合题意，此时04=+2=2兰=2片-2×2， nos-j 2 则208=2=2×2由己知得2>2，则20B,>0A,故c错误 对于D,设M)eP,,为，则AM,=x-x+y-为F≤1 则-x+y-y≤1，从而x-x,y-%∈[0，。 I2r-+D-为2-+少-%，M=x-x+b-为旷s,则Mx刃ee, PCQ,故D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2塔剡9 13.【答案】0 a【明 高三数学试题卷第2页（共8页） 14.【详解】因为(x)=(x-a)(x-b)(x-c,则f(x+1)=(x+1-a)(x+1-b)(x+1-c), 令f(x+1)=0,可得x=a-1或x=b-1或x=c-1, 由于a<b<c,则a-1<b-1<c-1, f(2-x)=(2-x-a)(2-b-x)(2-x-c), 令g(x)=-f(2-x)=(x+a-2)(x+b-2)(x+c-2),令g(x)=0可得x=2-a或x=2-b或 x=2-c,由于a<b<c,则2-c<2-b<2-a,由∫(1+x)f(2-x)s0可得f(x+l)g(x)20, 若c-1≠2-a,取x=max{c-1,2-a,x=min{c-1,2-a,x=max{x,b-1,2-b}, 当x>x时，f(x+)>0,8(x)>0,此时，f(x+1)g(x)>0, 当，<x<出时，由穿根法可知，f(x+1)8(x)<0,矛盾， 所以，c-1=2-a,即a+c=3,则a-1=2-c, 所以fx+1)g(x)=[x-(a-][x-(c-1][x-(b-1][x-(2-b)] 因为f(x+1)g(x)≥0对任意的x∈R恒成立， 3 所以[x-(b-1][x-(2-b]20对任意的x∈R恒成立，则b-1=2-b,解得b= 2 胀c+663月}案 9 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) (1)因为S=a2sin2B,所以。acsinB=2a'sinBcosB,在△ABC中，sinB>0,所以c=4 acosB. sin4"sinc,得sinC=4sin4cosB.因为A+B+C=180, 由正弦定理a=一c 所以sinC=sin(180°-A-B=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以4 sinAcosB=sinAcosB+cos4 AsinB,即cosAsinB=3 sinAcosB, 所以tanB=3tanA. (2)因为A=45°，所以tanM=1,由(1)知tanB=3. 因为tamC=-如(4+)三-anA+aB=2, 所以△ABC为锐角三角形， 过A作AD⊥BC,过C作CE LAB,D、E分别为垂足， 由tanA=l,设AE=CE=3x,因为tanB=3,所以CE=3EB=3x, AD=3BD=6, 高三数学试题卷第3页（共8页） 所以在R△ADB中，D=6,BD=2,AB=4x,所以36+4=162，解得x2= 2 所以在Rt△AEC中，AC=V3x'+3x=35,即b=35 16.(15分) (1)因为D为BC的中点，PB=PC,所以BC⊥PD 因为平面PAD⊥平面PBC,平面PADO平面PBC=PD,BCc平面PBC, 所以BC⊥平面PAD 又因为ADC平面PAD,所以BC⊥AD 因为D为BC的中点，所以AB=AC. (2)如图，取AD的中点O,连接PO. 因为PA=PD,所以PO⊥AD 由(I)BC⊥平面PAD,BCC平面ABC,所以平面PAD⊥平面ABC. 因为平面PAD∩平面ABC=AD,POc平面PAD,PO⊥AD,所以PO⊥平面ABC 如图，以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，过点A且与PO平行的直线为z轴，建立 空间直角坐标系A-3z. 因为BL4C,B=AC,-2.D为8C的中点，所秋AD-8C=5 因为PA=PD=1,所以PA+PD2=AD2,所以PA⊥PD. 则40,00.B2,00),c0,20,p日1,2 2'22 所以丽 AB=(2,0,0）,AC=(02,0) 设平面PBA的一个法向量为片=(：，，乙)， h·AP=0 1.1, 所以 即 2名-0 片·AB=0 2x1=0 令x=0,解得y=V2,名=-1，所以元=(0，V2,-) 同理，平面PAC的一个法向量为乃=（√2,0，-） 1 设平面PBA与平面PAC的夹角为0，则cos8= 所以sin9=V-eos'9_25 高三在争试题卷第4页（共8页） 17.(15分) )因为C的实轴长为2a,渐近线方程为y=±2x,所以2a=4,6- ,解得a=2,b=5, a a 2 所以C的标准方程为兰上=1。 42 (2)(i)设直线1的方程为x=m+6,A(x,y),B(x,2),P,0) x=my+6, 联立 = 化简得，（m2-2)y2+12my+32=0. 42 因为直线1与双曲线C的右支交于A,B两点， △=(2m-4x32xm-2小0整理得m2≠2则m=0或>5或1<-巨】 [m2-2≠0 由 m 2 m 2 解得√<m<√ 由∠APB=90°，可得PAPB=0,即(：4，)(5-4，)=0， 将x=my+6,为=my2+6代入上式得(my+6-(my2+6-t)+y丛2=0， m2y2+m(6-)(y+y2)+(6-}'+y2=0 将以+%=2 %品入上我州 整理得m232-72+12+(6-)）-2(6-t)}2+32=0, 32-72+121+(6-t)2=0 因为上式对任意m都成立，所以 解得t=2,所以P(2,0) -2(6-1)2+32=0 (ii)因为PA⊥PB, 所以△MPB外接圆是以AB为直径的圆，记为圆T, 6,0)主 因为△MPB外接圆被x轴截得的弦长为16， 高三数学试题卷第5页（共8页) 所以2=8气领)（0气22-之小=8，第得m=4减m号 12 因为直线I与C的右支交于A,B两点，所 2-m2>0, .4 所以m-行（=4會去，代入（)可得产=84. 所以△4PB外接圆的面积为84π. 18.(17分) (I)设每局比赛甲胜为事件A,每局比赛甲平为事件B,每局比赛甲负为事件C,(1EN), 设“两局后比赛终止"为事件M, 因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或300分比赛终止 (i)当棋手得分为0分，则2局均负，即CC2: ()当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即B,4. 因为CC,、B,4互斥，所以P(M)=P(CC,+B4)=P(CC)+P(B4) =G)PG)*2a)P4)-日周 所以两局后北涤终止的概率为 (2)设“3局后比赛终止"为事件D,“3局后棋手挑战成功"为事件E 因为P(D)=P(BB24+B,CC+CAA+GB,C) 周+8+ Pe-Pa+c4)-得 3 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为P(ED)= P(DE)P(E)_4.3 P(D)P(D)1111 64 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的橛率为 1 (3)因为n局获奖励1万元，说明甲共胜2局. (i)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前n-1局中有3负2胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平 局，共有C种， 高三数学试题卷第6页（共8页)