福建省厦门第一中学2024-2025学年高三高考考前模拟数学圆梦卷（二）（高考同源卷）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦卷（二）暨周考07 今朝灯火阑珊处，何忧无友；他年折桂古塘宫，必定有君！ (本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟，) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型 (B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知集合A={x0<G<2,B={xeZ≤2，则AnB=（) A.{12} B.{0,1,2} C.{-1,01,2 D.{-2,-1,0,12 2.若复数z满足2z+元= 则z=() 2 A-1+ c.1- 3.已知单位向量a,6满足a+=2a-,则向量à在向量6上的投影向量为() A B.26 c.6 D.36 4.“a=2”是“函数f(x)=ln(x2-ax+1)的值域为R"的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若坐标原点0关于动直线：x-y-m+1=0(m∈R)的对称点为A,则点A的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 rD.抛物线 已知高数了倒=2sn(ac+o>0以<写习和西数g()=20c(ar+p)的图象上相邻约四个交 点鹅成的思边形的面积为号，且间=80，则() A.0=4r,p= B0=4n,p= 3 Co=8m,9-年 D.0=8π，p= 3 第1页（共4页） 入已蜘遥数（满足/刊=2，且对：eR,儿+切=-石：则满是立/0s105的正套数 n的最大值为() A.2026 B.2027 (.208 D.2029 8.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:(x2+y2)=2x2-2y2,若点P为曲线C上的动点，则OP 的最大值为() 人马 B.2 C.2 D.2W2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、 9.在足球训练课上，A,B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人 各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A,B每次点球命中的概率分别为P,P, (P,∈(0,1)，若5轮比赛后A,B的总得分分别为X4,X,则下列结论正确的是() A.若E(X)<E(Xg),则P<P。 B.P(X=Xp=3)#P(X:X8=2:3) C若0<P<B<2则D(X)<D(x) D若当且仅首k=2时，P化，=c=012列取得最大值，对时<B<分 0已知椭圆C名+Q>b>0的左，右焦点分别为，乃，上顶点为4，且码=32 P为C上位于第一象限内的点，且PFP-8 ,∠FPF,的内角平分线交x轴于点M,则下列结 论正确的是（) A椭因C的离心率e=2 1 B.Cos /FPF2= C.PEE的内切圆半径为⑤ D. FM_2 PR3 11.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，AB⊥PD, PA=PD=√2，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为O,其外接球球心为O2,则下列结论 止确的是( A.平面PAD⊥平面ABCD B.B.四棱锥P-ABCD的内切球半径为√2-1 C四棱锥P-ABCD的体积为2V互 3 D.003=4-2N2 第2页（共4页） 三、填空趣：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)= 0*-a,x>0 be*-2,x<0 ,为奇函数，则a+b=— 13、 已知a,(0且满足a月=2cos号则m(a+=则血20=— 14、人工智能（Artificial Intelligence),英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量， 是研究、开发用于棋拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学，某商 场在有奖销售的抽奖环节时，采用∥技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次 点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码 为0，则获一等奖：如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了 一次抽奖，则他获二等奖的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤 15.(13分) 某社区进行了一场1知识竞赛，满分100分.答题莹成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为 样本A,并根据成绩绘制了频率分布直方图 频率/组距 0.030 0.020 0.010 0405060708090100成绩 (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了调查社区居民对这次竞赛活动的满意程度，在所有参加I知识竞赛的居民中抽取容量为300 的样本进行调查，并得到如下2×2列联表：（单位：人） 年龄 满意程度 合计 40岁以下 40岁以上 满意 120 不满意 150 合计 200 请补全上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为满意程度与参与人员年龄 有美÷？ (3)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B,计算得到这些 答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差 n(ad-be) 附：X父= n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 第3页（共4页） 16.(15分) 已知函数f(x)=a(x-1)e*-2x (1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线过点(0，-3)，求实数a的值： 1 2 (2)当。<a<。时，证明：f凶)>-3. 17.(15分) 如图，因边形A8CD中，对角线4C,8D相交于点0,4C=2,BD=2反，∠A0B=3,且△A0D 和△BOC外接圆半径相等. (1)若AB=2,求OA的长 0 (2)sin2∠DAO+sin∠OBC=1,求∠BCO. 18.（17分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点F关于直线上y=x+1对称的点F为 (1)求C的方程： (②)设原点为O,点P,2均在C上若直线PQ经过点(2,0)，直线OP与直线：x=-4相交于点M, 点2在'上的投影为R,设1'与x轴的交点为S,问： MS ISR 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说 明理由： (3)已知点A(2,2),点G,H均在C上，若直线AG,AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记 点F到直线GH的距离为d,求G网的最大值 19.(17分) 已知数列{b,}的前项和为Sn,且么=1,2Sn=nb,当数列{色}的项数大于2时，将数列{bn}中 各项的所有不同排列填入一个！行n列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这n个数的一个排 列，将第(1≤i≤l,i∈N)行的数字构成的数列记作{an},将数列{an}中的第j1≤j≤n,j∈N)项记 作ay·若对i,广，均有ag≠b,则称数列{4}为数列{亿}的“异位数列”，记表格中“异位数列的个数 为M. (1)求数列{bn}的通项公式b.: (2)当数列{bn}的项数为4时，求M的值： (3)若数列{a}为数列凸，}的异位数列，试讨论∑4，一b的最小值 H 第4页（共4页) 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学圆梦试题（二)参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.【答案】A2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】B 8.【详解】设P(,%,则(x6+)}=2-2 当点P位于坐标原点时，OP=O: 当点P异于坐标原点时，可得OP=6+听=2×5-发-2分片）】 x+y后 气x+x好+好 +g1,0s5 而0s名 ≤1，且 =1, xo+o x+y%x0+% 故令5=cos'0,一片2=5m0,且ca心0-m29≥0， xo+yo x。+y6 则0P=x号+y=2(cos29-sim20)=2cos28, 由余弦函数性质得0≤OP≤2，故OP的最大值为√5，故B正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小趣给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】ACD 10.【答案】AC 11.【答案】BD 1I【详解】对于A,因为AB⊥AD,AB⊥PD,AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,A正确： 对于B,因为侧面PMD为等腰直角三角形，PA=PD=√2，所以PA⊥PD,AD=2, 因为AB⊥平面PAD,AP,PDc平面PAD,则AB⊥AP,AB⊥DP, 则△PAB,APDC为直角三角形，且PA=PD,AB=CD, 所以RIAPAB≌RIAPDC,易知CD⊥平面PAD, 该四棱锥的内切球在平面PAD上的“正投影”为△PAD的内切圆， 高三数学试题卷第1页（共8页） 设△PAD的内切圆半径为，则r=(PA+PD-AD)=V反-1， 所以四棱锥P-ABCD的内切球半径为√2-1，B正确： 对于C,分别取AD,BC的中点E,F,连接PE,EF,PF,则PE⊥EF, 又平面PBC截内切球所得的圆为大圆，且切点在PF上， 设AB=x,则PE=1,EF=x,PF=√x2+1, 所以1+x-R+)=2-1,得x=25, 所以四棱锥P-ABCD的体积V=x2N2×2X1=4 3 ,C带误 对于D,易知E为△PAD的外接圆圆心，EF⊥平面PAD,又四边形ABCD为矩形， 所以外接球球心为O,为EF的中点，故00 (EF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】-313.【答案】410.8 14【答突】80 243 14【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S,共有3=243种情况， 生成5个数字中有x(0≤x≤5，x∈N)个0，y(0≤y≤5，y∈N)个1， 则S=y+2(5-x-y)=10-(2x+y) 由题可知0≤x+y≤5.若获得二等奖，则S为3的正整数倍， 故2x+y可取的值为l,4,7.当2x+y=1时，（x,y)的取值为(0,1)， 共有C=5种悄况：当2x+y=4时，（x,y)的可能取值为(0,4)，(1,2)，（2,0)， 共有C;+CC+C=45种情况：当2x+y=7时，（x,y)的取值为(2,3)，(3,1)， 共有C号+CC,=30种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有5+45+30=80种情况， 且设获得二等奖的概率为乃，由古典概型概率公式得B=80 243 高三数学式是老第2天（共8页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解容应写出文字说明、正明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)题意可得：每组的频率依次为0.1,10a,0.2,0.3,10a,0.1, 则0.1+10a+0.2+0.3+10a+0.1=1,则20a=0.3,解得a=0.015,…1分 因为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75，则成缋的上四分位数为80分.…2分 平均值为：天=0.1×45+0.15×55+0.2×65+0.3×75+0.15×85+0.1x95=70.5,…3分 方差为：g-01x45-70.5}+015×(5-705+02x6-705+03×(75-705 …5分 +0.15×(85-70.5)2+0.1×(95-70.5)2=204.75 (2)由题意可得2×2列联表为 年龄 满意程度 合计 40岁以下 40岁以上 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 …6分 罗假设H。:满意程度与参与人员年龄无关，…7分 因为r-30020x70-30x80-24>10s828=m, …9分 200×100×150×150 则零假设H。不成立，且犯错的可能性不大于α=0.001， 所以认为满意程度与参与人员年龄有关系.… …10分 (3)样本A的%=100，=70.5,2=204.75，样本B的乃2=400，x2=69,5=205.75,…11分 所以50人的平均分为可=100x70.5+40x69=69.3,…12分 500 混合后样本的方差为：7-[20475+005-693]+*[20575：(69-693]-20591.…13分 500 16.(15分) 【解】(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)=e-2, …1分 所以-=-：-2，又（到=（g-2习 …2分 高三数学试題卷第3页（共8页） 所在x=-1地的切数方程为y+日-2(2-x+, …4分 将点(0，-3)代入每32=3，解得a=e.… …6分 2)证明：'(x)=ae-2,设g(x)=ae*-2,则g(x)=a(1+x)e, 因为<a子，所e(一-小财，2k0,内r因华腰数 当x∈(-山，+o）时，g(x)>0,g(x)即∫(x)单调递增：…8分 x→-o时，g(x)→0，即f'(x)→-w, g-1)=f(-=-&-2<0,80)=f(0)=-2<0, 所以当x<0时，f（(0.f)=ae-2<2xe-2=0,f2)=2ae2-2>2× e3xe2-2=0, 所以存在唯-一的∈(1,2)，使得了()=0，即c=2 …0分 且当xe(-o,x)时，'(x)<0,f(x)单调递减； 当x(,+∞)时，∫'()>0，f(x)单调递增： 所以当<a<之时，函数了八因)在x三名处取得极小值，即为最小值，…2分 所以f2%)=a(6-*-2=2-2+ …13分 则(x)>-3,得证.… 。。。。4。。 …15分 17.(15分) 【解】(I)由题，∠BOC=∠AOD=,因为△4OD和ABOC的外接圆半径相等， 4 由正弦定理得 BC AD ,所以BC=AD,…1分 sin∠BOC sin∠AOD 设0C=x(0<x<2),0D=y0<y<22,则A0=2-x,0B=2W2-y, 高三数学试是卷第4页（共8页） 在△AOD中，由余弦定理得：D2=AO2+OD2-2MO.ODc0s∠AOD, 电0-g-矿+-20-少号 2分 在aBOC中，由余弦定理得：BC2=OC+OB2-2OC.OBcos∠BOC, 即8c=+5--2(5-小9 …3分 e-+y-22-946i-小-24i-小水9 解得y=√，即0B=0D=√2，…5分 在△AOB中，由余弦定理得：AB2=OA2+OB2-2 DA.OBcos.∠AOB, 即4=0+2+2xN2x0Ax5,解得OA=5-1成0A=-5-1<0(舍. 所以0A=√5-1.… …7分 BC BO BC 2 (2)在△BOC中，由正弦定理得： sin∠BOC sin/BCO ,即瓦 sin∠BCO, 2 AD OD AD 2 在△AOD中，由正弦定理得： sin∠DAO, sin∠4OD sin.∠DAO 即2 2 因为AD=BC,所以sin∠BCO=Sin∠DAO,所以∠BCO=∠DAO, 或∠BCO+DAO=兀，…9分 若∠BC0=∠DA0,则△COB≌△AOD,此时OA=|OC=1, ,BC=0C2+0g-20C.0B∠B0c=1+2-2x1x2x5-l. 2 易得∠0BC=T，,∠BC0=∠DA0=,sin2∠DA0+sin∠0BC=1不成立，…1分 4 BC0+ZDA0=,故ZDA0=ZOBC土公 sin 22DA0+sin ZOBC=sin 2 ∠OBC+ +sin∠OBC=cos2∠OBC+sin∠OBC 4 =1-2sim2∠OBC+sin∠OBC=1 高三数学试题卷第5页（共8页） 解得sin∠OBC=0(舍)或sin∠OBC= …14分 因为0<∠08C<头，所以∠0C-号 故∠BC0=-∠B0C-∠0BC=元-不=7 4612 …15分 18.(17分) 【详解】(1)由己知得F 则线段FF的中点为(：2，别 …1分 该中点在直线6y=x+1上，所以号-P一2+1，解得p=1, …2分 4 所以C的方程为y2=2x… …3分 x=y+2 (2)设直线P2的方程为x=y+2,且P(x,y),(:,y),联立方程组 y2=2x ,整理得y2-2y-4=0, 可得a=(-2)2+16>0,且y+2=24,yy2=-4, …4分 则yy2=-2(以+2)… …5分 又直线OP的方程为y=上x,令x=4,得点M的纵坐标w=4丝 又点Q在'上的射影为R,所以点R的纵坐标y=为，… …6分 I MSI Iy1y 14x 14xl 所以5x%y0,+2y14+2网 …8分 4yl 4以 -2y+%)+241-2y =2, 所以贺为定值2 …9分 (3)设AG:y-2=k(x-2k>0,G(3为)，H(x,y4), 与y2=2x联立，得y2-2y+4-4k=0, 所似2-%2达用大代谐可得%24学 k k ……………1】分 -x丛_上+y2, 22 高三数学试卷第6页（共8页）