第4章 概率 专项习题培优课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“求概率的四种方法”，从摸球、作品点评等生活实例导入，通过黑棋概率计算等基础题到转盘积的不等式解等复杂题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步掌握列表法、树状图法等核心方法。 其亮点是结合科技创新展、化学方程式等跨学科情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过规范列表推理过程发展推理意识，渗透模型意识。实例驱动教学让学生提升抽象能力，教师可利用多样化例题优化教学，提高效率。

第4章　概率 全章热门考点整合应用 1．李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是________事件．(填“必然”“不可能”或“随机”) 返回 不可能 2 2．投掷两枚质地均匀的正方体骰子，下列事件是必然事件的是(　　) A．点数的和为6　　 B．点数的和小于13 C．点数的和大于12 D．点数的和为奇数 B 返回 3 3．[2025重庆]不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是________． 返回 4 4．[2025烟台]2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： 5 6 ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 7 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； 【解】补全条形统计图如图． 8 (2)成绩为8分的学生在________社团的排名更靠前(填“甲”或“乙”)； 乙 (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 9 返回 5．如图，在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下试验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子(它有四个顶点，各顶点的点数分别是1～4这四个数字中的一个)，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为平面直角坐标系中点P的坐标(第一次的点数作为横坐标，第二 次的点数作为纵坐标)． 11 (1)求点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的概率． 【解】设点P的坐标为(x，y)．根据题意知，点P的横坐标有数字1，2，3，4四种情况，点P的纵坐标也有数字1，2，3，4四种情况，如表所示： 12 　　x y　　 1 2 3 4 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) 4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) 返回 16 6．一个不透明的袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表： 17 摸球的 次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5 18 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近波动，这个常数是________(精确到0.01)，由此估计出红球有________个； 0.33 2 19 (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球和1个红球的概率． 【解】记2个红球分别为红1、红2，画树状图如图所示． 20 返回 21 22 返回 【答案】B 8．[2025常德模拟]在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． (1)求摸出的球是红球的概率． 25 (2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 26 返回 ①甲社团的成绩(单位：分)情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8， 8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9， 7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10. ②乙社团的平均成绩为 ＝7.75(分)． 【解】记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图如图． 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种， ∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为＝. 由上表可知，构成点P的坐标共有16种等可能的结果，其中点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的结果有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共4种，∴所求的概率为＝. (2)将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上(各正方形内部和边界)的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由． 【解】存在满足题设要求的平移方式．∵要使点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的概率为＝>，∴将正方形ABCD平移整数个单位后，点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的结果有12种，∴先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位．(平移方法不唯一，合理即可) 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球和1个红球的结果有4种， ∴从该袋子中一次摸出2个球，恰好摸到1个白球和1个红球的概率为＝. 7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点，过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D.在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 【点拨】设扇形AOB的半径为r.∵CE⊥AO，∴∠OCE＝90°.∵点C是AO的中点，∴OC＝OA＝OE.∴在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°.∴∠BOE＝∠AOB－∠COE＝30°. ∵ED⊥OB，∴∠ODE＝90°.又∵∠COD＝∠OCE＝90°，∴四边形OCED为矩形．∴S△OCE＝S△ODE.∴S阴影＝S扇形BOE.∴点P落在阴影部分的概率＝＝＝. 【解】由题意知，摸出的球是红球的概率是＝. 【解】设这9个球中红球有x个，则黄球有(9－x)个， 由题意得＝ ，解得x＝7. ∴9－x＝2.∴这9个球中红球有7个，黄球有2个． $ 第4章　概率 专题10 求概率的四种方法 2 返回 2．为了培养学生的科技创新能力，某校开展“科技创新展”活动．下表是某班根据同学们上交的各类作品(每个人只交一个作品)绘制的统计表． 请根据上表提供的信息，回答下列问题： 作品类型 小制作 小发明 科技绘画 其他 数量/个 14 10 18 8 4 (1)如果从这个班的所有作品中，随机选择一个作品进行点评，那么正好选中“小发明”的概率是多少？ 5 (2)如果准备在“小发明”和“小制作”的作者中随机选择一名作为本班作品的“解说员”，那么正好选中“小发明”的作者的概率是多少？ 返回 6 3．图①为标有数1，2，3，4的四等分转盘，图②为标有数－2，1，3的三等分转盘． 7 【点拨】列表如下：   1 －2 3 1 1×1＝1 －2×1＝－2 3×1＝3 2 1×2＝2 －2×2＝－4 3×2＝6 3 1×3＝3 －2×3＝－6 3×3＝9 4 1×4＝4 －2×4＝－8 3×4＝12 9 返回 【答案】C 4．[2025泸州]某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 11 课程 名称 巧手 木艺 创意 缝纫 快乐 种植 美味 烹饪 爱心 医护 人数 a 6 12 b 18 12 根据图表信息，回答下列问题： (1)b＝________，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________； 15 54° 13 (2)若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢A，B两门课程的学生人数； 14 (3)小明同学从B，C，D，E四门课程中随机选择两门，求恰好选中D，E两门课程的概率． 【解】根据题意列表如下．   B C D E B   (C，B) (D，B) (E，B) C (B，C)   (D，C) (E，C) D (B，D) (C，D)   (E，D) E (B，E) (C，E) (D，E)   15 返回 返回 B 17 6. 氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应． 18 【点拨】∵反应一中C元素的化合价降低了，∴反应一中C元素发生了还原反应．∵反应二中C元素的化合价有升高的也有降低的，∴反应二中C元素既有氧化反应又有还原反应．∵反应三中C元素的化合价升高了，∴反应三中C元素发生了氧化反应．∵反应四中C元素的化合价升高了，∴反应四中C元素发生了氧化反应，∴反应三和反应四中的C元素只发生了氧化反 应，画树状图如图． 返回 【答案】D 21 7．[2025连云港]一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________； 22 (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率． 【解】根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如图所示的树状图： 23 返回 24 8．如图，为测量平地上一块不规则区域(阴影部分)的面积，在不规则区域外画一个面积为4 m2的正方形，现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验， 发现小球落在不规则区域的频率稳定在 0.4左右，由此可估计该不规则区域的 面积为________m2. 1.6 返回 25 9．一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除所标数字不同外其余都相同．甲、乙两人每次同时从袋子中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后都将球放回袋子中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表： 26 摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150 “和为7”出现的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 27 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，“和为7”出现的频率将稳定在它的概率附近，根据上表中的数据，试估计“和为7”出现的概率； 【解】“和为7”出现的概率约为0.33. 28 (2)根据(1)求出的“和为7”出现的概率计算，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值． 【解】列表如下： 甲 和 乙 2 3 4 x 2   5 6 2＋x 3 5   7 3＋x 4 6 7   4＋x x x＋2 x＋3 x＋4   29 返回 由上表可知，一共有12种等可能的结果，由(1)可知，“和为7”出现的概率约为0.33， ∴“和为7”的结果有0.33×12≈4(种)． 若2＋x＝7，则x＝5，符合题意； 若3＋x＝7，则x＝4，不合题意； 若4＋x＝7，则x＝3，不合题意． ∴x＝5. 1． 盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为________． 【点拨】∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，∴共有(x＋y)枚棋子．∵从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是，∴＝.∴8x＝3x＋3y，即5x＝3y.∴＝. 【解】由表格可得作品的总数量为14＋10＋18＋8＝50(个)．∵“小发明”的数量为10个， ∴正好选中“小发明”的概率是＝. 【解】由题可得“小发明”的数量为10个，“小制作”的数量为14个， ∴这两类作品一共有10＋14＝24(个)． ∴正好选中“小发明”的作者的概率为＝. 同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后(若指针指在边界处，则重转)，两个转盘指针指向的数的积满足不等式≥3的解的概率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 由上表可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．解不等式≥3，得x≥3，∴符合条件的结果有3，4，3，6，9，12，共6种，∴两个转盘指针指向的数的积满足不等式≥3的解的概率为＝. 【解】12÷20%＝60(名)，60－6－12－15－18＝9(名)，480×＝120(名)．答：估计该校八年级最喜欢A, B两门课程的学生有120名． 由表格可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好选中D，E两门课程的结果有两种，∴恰好选中D，E两门课程的概率为＝. 5．[2025衡阳月考]若鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟一只雄鸟的概率是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 从以下四个化学反应式中任意选出两个，C元素只发生了氧化反应的概率是(　　) 反应一：2Mg＋CO2===2MgO＋C 反应二：C＋CO2===2CO 反应三：C＋O2===CO2 反应四：2Fe2O3＋3C===4Fe＋3CO2↑ A.　 B.　 C.　 D. 从树状图中可以看出共有12种等可能的结果，其中反应三和反应四同时出现的结果有2种，∴从四个化学反应式中任意选出两个，C元素只发生了氧化反应的概率是＝. 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， ∴两次都摸到白球的概率为. $ 第4章　概率 测素质 概率及其应用 一、选择题(每题4分，共32分) 1．下列说法正确的是(　　) A．环保部门为了解安乡县珊珀湖水质情况，应采取全面调查的方式 B．彩民李大妈购买1张彩票，中奖．这个事件是不可能事件 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面向上” 返回 C 2 2．[2025武汉东西湖区校级模拟]在如图的各事件中，是随机事件的有(　　)   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 返回 3 3. 小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表： 若抛掷硬币的次数为1 000，则“正面朝上”的 频数最接近(　　) A．200 B．300 C．500 D．800 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 C 返回 4 5 【点拨】列表如下：   2 3 5 2   (2，3) (2，5) 3 (3，2)   (3，5) 5 (5，2) (5，3)   6 返回 【答案】B 返回 B 8 返回 A 9 10 11 返回 【答案】A 14 15 返回 【答案】B 二、填空题(每题5分，共20分) 9. 从一副完整的扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”，其中发生的可能性最大的事件是________(填序号)． ② 返回 17 返回 18 19 返回 12．[2025苏州模拟]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，直线l过点O，且与边AD，BC分别交于点E，F，AE＝2ED.若在平行四边形ABCD内随机取点，则点落在△AOE内的概率是________． 22 返回 23 三、解答题(共48分) 13．(16分)在一只不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球 的次数m 59 96 b 295 480 600 摸到白球 的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 解答下列问题： (1)上表中的a＝________，b＝________. (2)“摸到白球”的概率的估计值是______(结果精确到0.1)． 0.59 116 0.6 (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 【解】18÷0.6－18＝12(个)． 答：除白球外，大约还有12个其他颜色的小球． 返回 14．(16分)甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的4个小球(除标号外无其他差异)，从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x，y表示．若x＋y的值为奇数，则甲获胜；若x＋y的值为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出(x，y)所有可能的结果． 【解】画树状图如图． ∴(x，y)所有可能的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 返回 15．(16分)[2025内江改编]为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表． 等级 成绩x/分 人数 A 95＜x≤100 m B 85＜x≤95 24 C 75＜x≤85 14 D x≤75 10 根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)表中m＝________；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为________度． (2)若全校有3 000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ 12 60 (3)现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 返回 4. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有(3，5)，(5，3)，共2种，∴和是偶数的概率为＝. 5． 如图，在3×2的正方形网格中，线段AB的端点在格点上．在其它格点中任选一点C，使△ABC是等腰三角形的概率为(　　) A. B. C. D. 6．我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘(其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字)．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则 两次射中的卡片上的字不相同的概率为(　　) A. B. C. D. 7．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字－1，0，，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数y＝x2＋mx＋n的图象不经过第四象限的概率为(　　) A. B. C. D. 【点拨】∵二次函数y＝x2＋mx＋n不经过第四象限，∴－≤0，n≥0或≥0，即m≥0，n≥0或0≤m2≤4n.列表如下： 　　n m　　 －1 0 －1 (－1，－1) (－1，0) 0 (0，－1) (0，0) 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中符合条件的结果有5种，∴二次函数y＝x2＋mx＋n不经过第四象限的概率为. 8. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如 612C与 613C, 816O与 817O.在一次制取CO的实验中， 612C与 613C的原子个数比为2∶1, 816O与 817O的原子个数比为1∶1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成 612C 816O的概率为(　　) A. B. C. D. 【点拨】反应的化学方程式为2C＋O22CO, 612C与 613C的原子个数比为2∶1, 816O与 817O的原子个数比为1∶1，反应后生成的 612C 816O中 612C来自于反应物C，而 816O来自于反应物O2，画出树状图如图所示． ∴共有6种等可能的结果，其中反应生成 612C 816O的结果有2种，∴反应生成 612C 816O的概率为＝.故选B. 10．[2025山西]如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 11. 若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥6，且关于y的分式方程＋＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a是非负整数的概率为________． 【点拨】 解不等式①，得x≥6，解不等式②，得x＞.∵不等式组的解集为x≥6，∴＜6，∴a＜7. 分式方程两边都乘(y－1)，得y＋2a－3y＋8＝2(y－1)，解得y＝. ∵方程的解是正整数，∴＞0，∴a＞－5.∵y－1≠0，∴≠1，∴a≠－3，∴－5＜a＜7且a≠－3，∴满足条件的整数a是－1，1，3，5，∴所有满足条件的整数a是非负整数的概率为. 【点拨】设平行四边形ABCD的面积是x，则△AOD的面积为x.∵AE＝2ED，∴＝，∴△AOE的面积为×x＝x，∴在平行四边形ABCD内随机取点，点落在△AOE内的概率是＝. 【解】这个游戏公平，理由： 由(1)知共有16种等可能的结果，其中x＋y的值为奇数的结果有8种，为偶数的结果也有8种，∴x＋y的值为奇数或偶数的概率都是，∴这个游戏公平． 【解】3 000×＝600(人)． 答：成绩等级为A的学生大约有600人． 【解】画树状图如图． 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率是＝. $