5.3解一元一次方程四类问题实际应用2025-2026学年新人教版数学七年级上册

04 四类应用题专项练习 类型一：比例与分配问题（核心：按比例拆分总量） 经典例题 1 某农场将 600 千克种子按 2:3 的比例分给甲、乙两个种植户，甲、乙各分得多少千克种子？ 变式练习 1-1 某学校将 180 本图书按 4:5 的比例分给初一、初二两个年级，两个年级各分得多少本？ 变式练习 1-2 一批零件共 420 个，按 3:4 分配给师徒两人加工，师傅比徒弟多加工多少个？ 变式练习 1-3 某工程队将一项任务按 5:2 分配给 A、B 两组，A 组比 B 组多承担 39 项，这项任务总共有多少项？ 变式练习 1-4 把 450 毫升饮料倒入两个杯子，比例是 7:8，若从乙杯倒 15 毫升到甲杯，此时两杯饮料比是多少？ 经典例题 2 某班 48 名学生参加大扫除，按 5:3 的比例分配打扫教室和清洁公共区域的人数，两组各有多少人？ 变式练习 2-1 某工厂将 88 名工人分配到 A、B 两个车间，A 车间与 B 车间人数比为 6:5，两组各有多少人？ 变式练习 2-2 一批化肥按 3:5 分给甲、乙两个村，乙村分得 125 千克，这批化肥总重多少千克？ 变式练习 2-3 某班男生与女生人数比为 4:3，后来转走 2 名男生，比例变为 3:2，原班共有多少人？ 变式练习 2-4 将一批水果按 2:3:5 的比例分给三个商店，第一个商店分得 24 千克，第三个商店比第二个多分得多少千克？ 类型二：分段计费问题（核心：多区间不同计费标准） 经典例题 3 某市出租车收费标准：3 千米以内（含 3 千米）收费 11 元，超过 3 千米的部分每千米收费 2.2 元（不足 1 千米按 1 千米算）。王师傅乘出租车行驶 5.8 千米，应付车费多少元？ 变式练习 3-1 某城市水费标准：每户每月用水不超过 10 吨，每吨 2.3 元；超过 10 吨的部分，每吨 3.5 元。张阿姨家上月缴水费 37 元，她家上月用水多少吨？ 变式练习 3-2 某手机套餐：每月 50 分钟内收费 15 元，超过 50 分钟的部分每分钟 0.25 元。李老师上月通话 82 分钟，需缴话费多少元？ 变式练习 3-3 某停车场收费：1 小时内（含 1 小时）收 6 元，超过 1 小时每小时收 4 元（不足 1 小时按 1 小时算）。一辆车付停车费 22 元，最多停了几小时？ 变式练习 3-4 某电费标准：每月用电量不超过 180 度，每度 0.52 元；超过 180 度的部分每度 0.57 元。赵叔叔家上月缴电费 105 元，用电量是多少度？ 经典例题 4 某快递公司收费标准：首重 1 千克（含 1 千克）收费 15 元，续重每千克收费 6 元（不足 1 千克按 1 千克算）。寄一个重 3.2 千克的包裹，应付运费多少元？ 变式练习 4-1 某快递公司首重 1 千克 12 元，续重每千克 5 元。寄包裹付费 42 元，包裹最重多少千克？ 变式练习 4-2 某景区门票：成人票 90 元 / 张，儿童票 45 元 / 张，团体票（15 人及以上）60 元 / 张。8 个成人带 10 个儿童，怎样购票最省钱？ 变式练习 4-3 某宽带套餐：每月 100GB 以内收费 60 元，超过 100GB 后每 GB 收 0.8 元。王叔叔上月花 92 元，用了多少 GB 流量？ 变式练习 4-4 某出租车起步价 10 元（含 2 千米），超过 2 千米后，白天每千米 2.4 元，夜间每千米 2.8 元。李叔叔夜间乘出租车行驶 7 千米，应付车费多少元？ 类型三：数字与数位问题（核心：多位数表示为 10b+a） 经典例题 5 一个两位数，个位数字与十位数字的和是 11，若把个位与十位数字对调，新数比原数大 9，求原两位数。 变式练习 5-1 一个两位数，十位数字比个位数字大 5，两数字之和是 9，求这个两位数。 变式练习 5-2 一个两位数，对调个位与十位数字后，新数比原数小 36，原数个位数字是十位数字的一半，求原数。 变式练习 5-3 一个两位数，十位数字为 m，个位数字为 n，且 m 比 n 大 2，这个两位数是（m+n）的 7 倍，求原数。 变式练习 5-4 一个两位数，个位数字与十位数字之和为 13，若原数加 27 等于对调后的新数，求原数。 经典例题 6 一个三位数，百位数字是 2，十位数字比百位数字小 1，个位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。 变式练习 6-1 已知一个三位数，百位数字与十位数字之和是 9，个位数字是 4，对调百位与十位数字后，新数比原数大 90，求原数。 变式练习 6-2 已知有一个三位数，个位数字是 3，百位数字比十位数字大 4，这个数是各位数字和的 57 倍，求这个三位数是多少。 变式练习 6-3 一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，且 a=b-1，c=2b-2，这个三位数比它的一半多 61，求这个三位数。 变式练习 6-4已知一个三位数，百位与个位数字相同，十位数字是 5，这个数是其各位数字和的 28 倍，求这个三位数是多少。 类型四：日历与日期问题（核心：同行差 1、同列差 7） 经典例题 7 在日历表中，任意圈出纵向相邻的三个日期，它们的和是 51，这三个日期分别是多少？ 变式练习 7-1 日历中横向相邻的三个日期和为 39，求这三个日期。 变式练习 7-2 日历中一个竖列上相邻四个日期的和是 62，这四个日期各是多少？ 变式练习 7-3 日历中，用正方形圈出 2×2 的四个日期，它们的和是 76，求这四个日期。 变式练习 7-4 在日历表中，某日期与它上方、下方、左方、右方四个日期的和是 90，求这个日期。 经典例题 8 在日历中，某个特定日期的左侧日期与下方日期之和为36，求该日期。 变式练习 8-1 日历中，横向相邻两个日期的和是 27，这两个日期分别是几号？ 变式练习 8-2 日历中，一个竖列相邻三个日期的和是中间日期的 3 倍，且和为 54，求中间日期。 变式练习 8-3 在 9 月份的日历中，圈出三个日期，它们的和是 87，这三个日期是否存在？若存在，求日期；若不存在，说明理由。 答案与解析 一、比例与分配问题 经典例题 1 解析（某农场将 600 千克种子按 2:3 的比例分给甲、乙两个种植户，甲、乙各分得多少千克种子？） 1.核心思路：按比例分配总量，设每份为 x ，各部分量 = 比例项 × x ，总量 = 各部分量之和 2.设未知数：设每份种子为 x 千克，则甲分得 2x 千克，乙分得 3x 千克 3.列方程： 2x + 3x = 600 4.解方程： 5x = 600 → x = 120 甲： 2×120 = 240 （千克），乙： 3×120 = 360 （千克） 5.检验：240+360=600（总量正确），240:360=2:3（比例正确） 6.答：甲分得 240 千克，乙分得 360 千克。 变式练习 1-1 解析（某学校将 180 本图书按 4:5 的比例分给初一、初二两个年级，两个年级各分得多少本？） 1.设每份 x 本，初一 4x 本，初二 5x 本，方程： 4x + 5x = 180 → x = 20 2.初一： 4×20 = 80 （本），初二： 5×20 = 100 （本） 3.答：初一分得 80 本，初二分得 100 本。 变式练习 1-2 解析（一批零件共 420 个，按 3:4 分配给师徒两人加工，师傅比徒弟多加工多少个？） 1.设每份 x 个，师傅 3x 个，徒弟 4x 个，方程： 3x + 4x = 420 → x = 60 2.差值： 4x - 3x = x = 60 （个） 3.答：师傅比徒弟多加工 60 个。 变式练习 1-3 解析（某工程队将一项任务按 5:2 分配给 A、B 两组，A 组比 B 组多承担 39 项，这项任务总共有多少项？） 1.设每份 x 项，A 组 5x 项，B 组 2x 项，方程： 5x - 2x = 39 → x = 13 2.总量： 5x + 2x = 7×13 = 91 （项） 3.答：这项任务总共有 91 项。 变式练习 1-4 解析（把 450 毫升饮料倒入两个杯子，比例是 7:8，若从乙杯倒 15 毫升到甲杯，此时两杯饮料比是多少？） 1.设每份 x 毫升，甲杯 7x ，乙杯 8x ，方程： 7x + 8x = 450 → x = 30 2.原甲杯： 7×30 = 210 （毫升），原乙杯： 8×30 = 240 （毫升） 3.倒后：甲杯 225 毫升，乙杯 225 毫升，比为 1:1 4.答：此时两杯饮料比是 1:1。 经典例题 2 解析（某班 48 名学生参加大扫除，按 5:3 的比例分配打扫教室和清洁公共区域的人数，两组各有多少人？） 1.设每份 x 人，打扫教室 5x 人，清洁公共区域 3x 人，方程： 5x + 3x = 48 → x = 6 2.打扫教室： 5×6 = 30 （人），清洁公共区域： 3×6 = 18 （人） 3.答：打扫教室 30 人，清洁公共区域 18 人。 变式练习 2-1 解析（某工厂将 88 名工人分配到 A、B 两个车间，A 车间与 B 车间人数比为 6:5，两组各有多少人？） 1.设每份 x 人，A 车间 6x ，B 车间 5x ，方程： 6x + 5x = 88 → x = 8 2.A 车间： 6×8 = 48 （人），B 车间： 5×8 = 40 （人） 3.答：A 车间 48 人，B 车间 40 人。 变式练习 2-2 解析（一批化肥按 3:5 分给甲、乙两个村，乙村分得 125 千克，这批化肥总重多少千克？） 1.设每份 x 千克，乙村 5x = 125 → x = 25 2.总量： 3x + 5x = 8×25 = 200 （千克） 3.答：这批化肥总重 200 千克。 变式练习 2-3 解析（某班男生与女生人数比为 4:3，后来转走 2 名男生，比例变为 3:2，原班共有多少人？） 1.设原男生 4x 人，女生 3x 人，方程： (4x - 2):3x = 3:2 2.交叉相乘： 2(4x - 2) = 9x → 8x - 4 = 9x → x = 4 3.原班人数： 4x + 3x = 7×4 = 28 （人） 4.答：原班共有 28 人。 变式练习 2-4 解析（将一批水果按 2:3:5 的比例分给三个商店，第一个商店分得 24 千克，第三个商店比第二个多分得多少千克？） 1.设每份 x 千克，第一个商店 2x = 24 → x = 12 2.第二个商店： 3×12 = 36 （千克），第三个商店： 5×12 = 60 （千克） 3.差值： 60 - 36 = 24 （千克） 4.答：第三个商店比第二个多分得 24 千克。 二、分段计费问题 经典例题 3 解析（某市出租车收费标准：3 千米以内（含 3 千米）收费 11 元，超过 3 千米的部分每千米收费 2.2 元（不足 1 千米按 1 千米算）。王师傅乘出租车行驶 5.8 千米，应付车费多少元？) 1.核心思路：先判断用量所属区间，分段计算费用后求和（不足 1 千米按 1 千米算，5.8 千米按 6 千米算） 2.分段：① 3 千米内：11 元；② 超过 3 千米部分：6-3=3（千米） 3.超过部分费用： 3×2.2 = 6.6 （元） 4.总费用：11+6.6=17.6（元） 5.答：应付车费 17.6 元。 变式练习 3-1 解析（某城市水费标准：每户每月用水不超过 10 吨，每吨 2.3 元；超过 10 吨的部分，每吨 3.5 元。张阿姨家上月缴水费 37 元，她家上月用水多少吨？） 1.先算 10 吨水费： 10×2.3 = 23 （元），37>23，用水量超 10 吨 2.设超过 10 吨的部分为 x 吨，方程： 23 + 3.5x = 37 3.解得： 3.5x = 14 → x = 4 4.总用水量：10+4=14（吨） 5.答：她家上月用水 14 吨。 变式练习 3-2 解析（某手机套餐：每月 50 分钟内收费 15 元，超过 50 分钟的部分每分钟 0.25 元。李老师上月通话 82 分钟，需缴话费多少元？） 1.超过部分：82-50=32（分钟） 2.超过费用： 32×0.25 = 8 （元） 3.总话费：15+8=23（元） 4.答：需缴话费 23 元。 变式练习 3-3 解析（某停车场收费：1 小时内（含 1 小时）收 6 元，超过 1 小时每小时收 4 元（不足 1 小时按 1 小时算）。一辆车付停车费 22 元，最多停了几小时？） 1.超过 1 小时费用：22-6=16（元） 2.超过时间：16÷4=4（小时） 3.总时间：1+4=5（小时） 4.答：最多停了 5 小时。 变式练习 3-4 解析（某电费标准：每月用电量不超过 180 度，每度 0.52 元；超过 180 度的部分每度 0.57 元。赵叔叔家上月缴电费 105元，用电量是多少度？） 1.180 度电费： 180×0.52 = 93.6 （元），105>93.6，超量用电 2.设超量 x 度，方程： 93.6 + 0.57x = 105 3.解得： x=20 4.总用电量=180+20=200.度 5.答：用电量约 200 度。 经典例题 4 解析（某快递公司收费标准：首重 1 千克（含 1 千克）收费 15 元，续重每千克收费 6 元（不足 1 千克按 1 千克算）。寄一个重 3.2 千克的包裹，应付运费多少元？） 1.3.2 千克按 4 千克算，首重 1 千克 15 元，续重 4-1=3（千克） 2.续重费用： 3×6 = 18 （元） 3.总运费：15+18=33（元） 4.答：应付运费 33 元。 变式练习 4-1 解析（某快递公司首重 1 千克 12 元，续重每千克 5 元。寄包裹付费 42 元，包裹最重多少千克？） 1.续重费用：42-12=30（元） 2.续重最大重量：30÷5=6（千克） 3.总重量：1+6=7（千克） 4.答：包裹最重 7 千克。 变式练习 4-2 解析（某景区门票：成人票 90 元 / 张，儿童票 45 元 / 张，团体票（15 人及以上）60 元 / 张。8 个成人带 10 个儿童，怎样购票最省钱？） 1.方案 1：单独买：8×90 + 10×45 = 720 + 450 = 1170（元） 2.方案 2：全买团体票：18×60 = 1080（元） 3.方案 3:15 人买团体票 + 3 儿童买儿童票：15×60 + 3×45 = 900 + 135 = 1035（元） 4.1035<1080<1170，方案 3 最省。 5.答：15 人买团体票、3 个儿童买儿童票最省钱，需 1035 元。 变式练习 4-3 解析（某宽带套餐：每月 100GB 以内收费 60 元，超过 100GB 后每 GB 收 0.8 元。王叔叔上月花 92 元，用了多少 GB 流量？） 1.超过费用：92-60=32（元） 2.超过流量：32÷0.8=40（GB） 3.总流量：100+40=140（GB） 4.答：用了 140GB 流量。 变式练习 4-4 解析（某出租车起步价 10 元（含 2 千米），超过 2 千米后，白天每千米 2.4 元，夜间每千米 2.8 元。李叔叔夜间乘出租车行驶 7 千米，应付车费多少元？） 1.超过部分：7-2=5（千米） 2.超过费用： 5×2.8 = 14 （元） 3.总车费：10+14=24（元） 4.答：应付车费 24 元。 三、数字与数位问题 经典例题 5 解析（一个两位数，个位数字与十位数字的和是 11，若把个位与十位数字对调，新数比原数大 9，求原两位数。） 1.核心思路：两位数表示为 “10× 十位数字 + 个位数字”，设数位数字列方程 2.设原两位数十位数字为 x ，则个位数字为 11 - x ，原数 = 10x + (11 - x) = 9x + 11 3.新数 = 10(11 - x) + x = 110 - 9x 4.方程： (110 - 9x) - (9x + 11) = 9 5.解得： 99 - 18x = 9 → 18x = 90 → x = 5 ，个位数字 = 11-5=6 6.原数 = 56 7.答：原两位数是 56。 变式练习 5-1 解析（一个两位数，十位数字比个位数字大 5，两数字之和是 9，求这个两位数。） 1.设个位数字为 x ，则十位数字为 x + 5 ，方程： x + (x + 5) = 9 → 2x = 4 → x = 2 2.十位数字 = 2+5=7，原数 = 72 3.答：这个两位数是 72。 变式练习 5-2 解析（一个两位数，对调个位与十位数字后，新数比原数小 36，原数个位数字是十位数字的一半，求原数。） 1.设原数十位数字为 x ，则个位数字为 0.5x ，原数 = 10x + 0.5x = 10.5x ，新数 = 5x + x = 6x 2.方程： 10.5x - 6x = 36 → 4.5x = 36 → x = 8 ，个位数字 = 0.5×8=4 3.原数 = 84 4.答：原数是 84。 变式练习 5-3 解析（一个两位数，十位数字为 m，个位数字为 n，且 m 比 n 大 2，这个两位数是（m+n）的7 倍，求原数。） 1.条件：① m = n+2 ；② 10m+n =7(m + n) 2.代入①到②：10(n + 2)+n = 7(n + 2 + n) → 11n + 20 = 14n + 14 → n = 2 3. n=2，m=4，原数 42 4.答：原数是 42。 变式练习 5-4 解析（一个两位数，个位数字与十位数字之和为 13，若原数加 27 等于对调后的新数，求原数。） 1.设十位数字为 x ，个位数字为 13 - x ，原数 = 10x + (13 - x) = 9x + 13 ，新数 = 10(13 - x) + x = 130 - 9x 2.方程： 9x + 13 + 27 = 130 - 9x → 18x = 90 → x = 5 ，个位数字 = 13-5=8 3.原数 = 58 4.答：原数是 58。 经典例题 6 解析（一个三位数，百位数字是 2，十位数字比百位数字小 1，个位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。） 1.百位数字 = 2，十位数字 = 2-1=1，个位数字 = 1×3=3 2.三位数 = 100×2 + 10×1 + 3 = 213 3.答：这个三位数是 213。 变式练习 6-1 解析（已知一个三位数，百位数字与十位数字之和是 9，个位数字是 4，对调百位与十位数字后，新数比原数大 90，求原数。） 1.设百位数字为 x，则十位数字为 9 - x ，原数 = 100x + 10(9 - x) + 4 = 90x + 94 2.新数 = 100(9 - x) + 10x + 4 = 904 - 90x 3.方程： (904 - 90x) - (90x + 94) = 90 → 810 - 180x = 90 → 180x = 720 → x = 4 4.十位数字 = 9-4=5，原数 = 454 5.答：原数是 454。 变式练习 6-2 解析（已知有一个三位数，个位数字是 3，百位数字比十位数字大 4，这个数是各位数字和的 57 倍，求这个三位数是多少。） 1.设十位数字为 x ，则百位数字为 x + 4 ，三位数 = 100(x + 4) + 10x + 3 2.方程： 110x+403=57（x+4+x+3）。 3.解得：x=1，十位数字是1，百位数字是5. 4.原数=513. 变式练习 6-3 解析（一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，且 a=b-1，c=2b-2，这个三位数比它的一半多 61，求原数。） 1.核心思路：先表示三位数为 100a + 10b + c ，再代入 a=b -1、 c=b+2 化简，列方程求解 2.代入关系： a=b-1 ， c=b+2 ，三位数 = 100×（b-1） + 10b + (2b-2) =112b -102 3.列方程： 112b-102 = 4.两边乘 2 消分母： 224b -204= +122 5.整理：112b = 224 → b = 2则 a=1 ， c=2，三位数 = 122， 6.答：原数是 122。 变式练习 6-4 解析（一个三位数，百位与个位数字相同，十位数字是 5，这个数是其各位数字和的 28 倍，求原数。） 1.设百位、个位数字为 x ，则三位数 = 100x + 50 + x = 101x + 50 2.各位数字和 = x + 5 + x = 2x + 5 3.方程： 101x + 50 = 28(2x + 5) 4.展开： 101x + 50 = 56x + 140 5.解得： 45x = 90 → x = 2 6.三位数 = 101×2+50=252，验证：各位和 2+5+2=9，9×28=252（正确） 答：原数是 252。 四、日历与日期问题（核心：同行差 1、同列差 7） 经典例题 7 解析（在日历表中，任意圈出纵向相邻的三个日期，它们的和是 51，这三个日期分别是多少？） 1.核心思路：纵向相邻日期差 7，设中间日期为 x ，则上下日期为 x-7 、 x+7 ，和为 3x 2.设中间日期为 x ，列方程： (x-7) + x + (x+7) = 51 3.化简： 3x = 51 → x = 17 4.三个日期：17-7=10，17，17+7=24（验证：10+17+24=51，且均为合理日期） 答：这三个日期分别是 10 号、17 号、24 号。 变式练习 7-1 解析（日历中横向相邻的三个日期和为 39，求这三个日期。） 1.横向相邻日期差 1，设第一个日期为 x ，则后两个为 x+1 、 x+2 2.方程： x + (x+1) + (x+2) = 39 → 3x + 3 = 39 → x = 12 3.日期：12、13、14（验证：12+13+14=39） 答：这三个日期分别是 12 号、13 号、14 号。 变式练习 7-2 解析（日历中一个竖列上相邻四个日期的和是 62，这四个日期各是多少？） 1.竖列相邻日期差 7，设第一个日期为 x ，则后续为 x+7 、 x+14 、 x+21 2.方程： x + (x+7) + (x+14) + (x+21) = 62 → 4x + 42 = 62 → x = 5 3.日期：5、12、19、26（验证：5+12+19+26=62，且 26≤31，合理） 答：这四个日期分别是 5 号、12 号、19 号、26 号。 变式练习 7-3 解析（日历中，用正方形圈出 2×2 的四个日期，它们的和是 76，求这四个日期。） 1.2×2 正方形中，左上 x ，右上 x+1 ，左下 x+7 ，右下 x+8 （同行差 1，同列差 7） 2.方程： x + (x+1) + (x+7) + (x+8) = 76 → 4x + 16 = 76 → x = 15 3.日期：15、16、22、23（验证：15+16+22+23=76） 答：这四个日期分别是 15 号、16 号、22 号、23 号。 变式练习 7-4 解析（在日历表中，某日期与它上方、下方、左方、右方四个日期的和是 90，求这个日期。） 1.设所求日期为 x ，则上方 x-7 、下方 x+7 、左方 x-1 、右方 x+1 2.方程： (x-7) + (x+7) + (x-1) + (x+1) + x = 90 → 5x = 90 → x = 18 3.结论：这个日期是18号。 答：这样的日期是18号。 经典例题 8 解析（日历中，某日期的左方日期与下方日期的和是 36，求这个日期。） 1.设所求日期为 x ，左方日期 x-1 ，下方日期 x+7 （左差 1，下差 7） 2.方程： (x-1) + (x+7) = 35 → 2x + 6 = 36 → x=15 3.验证：左方 14，下方 22，14+22=36（正确） 答：这个日期是 15 号。 变式练习 8-1 解析（日历中，横向相邻两个日期的和是 27，这两个日期分别是几号？） 1.设第一个日期为 x ，第二个为 x+1 2.方程： x + (x+1)=27 → 2x=26 → x=13 3.日期：13、14（验证：13+14=27） 答：这两个日期分别是 13 号、14 号。 变式练习 8-2 解析（日历中，一个竖列相邻三个日期的和是中间日期的 3 倍，且和为 54，求中间日期。） 1.设中间日期为 x ，三个日期和为 (x-7)+x+(x+7)=3x ，已知和为 54 2.方程： 3x=54 → x=18 3.验证：11+18+25=54（正确） 答：中间日期是 18 号。 变式练习 8-3 解析（在 9 月份的日历中，圈出三个日期，它们的和是 87，这三个日期是否存在？若存在，求日期；若不存在，说明理由。） 1.设纵向相邻三个日期为 x-7 、 x 、 x+7 （和最大的情况），和为 3x=87 → x=29 2.第三个日期 x+7=36 ，9 月份只有 30 天，36>30，不合理；横向相邻三个日期和最大为 28+29+30=87（验证：28+29+30=87，符合） 3.结论：存在，这三个日期是 28 号、29 号、30 号（横向相邻） 答：存在，这三个日期分别是 28 号、29 号、30 号。 2 学科网（北京）股份有限公司 $