5.3 解一元一次方程 工程问题 专项练习 2025-2026学年人教版七年级上册数学

01行程问题专项练习 类型一、相遇问题（核心公式：甲路程 + 乙路程 = 总路程） 例题 1（同时出发相向而行） A、B 两地相距 480km，甲车从 A 地驶向 B 地，速度为 75km/h；乙车从 B 地驶向 A 地，速度为 85km/h。两车同时出发，多久后相遇？ 例题 1 变式练习 1.（改总距离）：A、B 两地相距 560km，甲车速度 70km/h，乙车速度 90km/h，同时相向出发，相遇时间是多少？ 2.（求相遇时路程）：A、B 两地相距 420km，甲车 50km/h，乙车 60km/h，同时相向出发，相遇时乙车走了多少 km？ 3.（不同时出发）：A、B 两地相距 480km，甲车先从 A 地出发 1 小时（速度 60km/h），乙车再从 B 地出发（速度 80km/h），乙车出发后多久相遇？ 例题 2（中途停留的相遇问题） 甲从 A 地去 B 地，速度 40km/h；乙从 B 地去 A 地，速度 50km/h，A、B 相距 360km。甲出发 1 小时后因故障停留 0.5 小时，再继续行驶，多久后与乙相遇（从甲出发开始计时）？ 例题 2 变式练习 1.（乙停留）：甲 40km/h 从 A 出发，乙 50km/h 从 B 出发（A、B360km），乙出发 1 小时后停留 0.5 小时，从乙出发计时，多久相遇？ 2.（改停留时间）：甲 40km/h 从 A 出发，1 小时后停留 1 小时，乙 50km/h 从 B 出发（A、B相距360km），甲出发后多久相遇？ 3.（求速度）：甲从 A 出发（速度 40km/h），1 小时后停留 0.5 小时，乙从 B 出发（A、B360km），5 小时后相遇（甲出发计时），求乙速度？ 4.（双向停留）：甲 40km/h 从 A 出发，1 小时后停留 0.5 小时；乙 50km/h 从 B 出发，1.5 小时后停留 0.5 小时，A、B相距360km，甲出发后多久相遇？ 类型二：追及问题（核心公式：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离差） 例题 1（同地不同时追及） 小明以 4km/h 的速度步行上学，出发 20 分钟后，爸爸发现他忘带作业，以 12km/h 的速度骑车追赶，爸爸多久能追上小明？ 例题 1 变式练习 1.（改出发时间）：小明 4km/h 步行，出发 30 分钟后爸爸 12km/h 追赶，追上时间是多少？ 2.（求快者速度）：小明 4km/h 步行，出发 20 分钟后，爸爸想 10 分钟追上，爸爸骑车速度是多少？ 3.（有终点限制）：小明 4km/h 步行去学校（距家 3km），出发 20 分钟后爸爸 12km/h 追赶，能在小明到学校前追上吗？ 4.（慢者提速）：小明 4km/h 步行，出发 20 分钟后爸爸 12km/h 追赶，同时小明提速到 6km/h，爸爸多久追上？ 例题 2（异地同向追及） 货车以 60km/h 的速度从甲地驶向乙地，1 小时后客车以 80km/h 的速度从甲地出发追赶货车，客车追上货车时，离甲地多远？ 例题 2 变式练习 1.（改初始距离）：货车 60km/h 从甲去乙，客车 80km/h 从甲出发，两车初始距离差 80km（货车先出发），多久追上？ 2.（求慢者速度）：货车从甲去乙，1 小时后客车 80km/h 追赶，3 小时后追上，求货车速度？ 3.（有速度变化）：货车 60km/h 从甲出发，1 小时后客车 80km/h 追赶，追上时客车因故障减速到 50km/h，货车继续 60km/h，1 小时后两车距离？ 4.（双向追及）：货车 60km/h 从甲去乙，客车 80km/h 从乙去甲（甲、乙相距 480km），货车先出发 1 小时，两车相遇时离甲多远？ 类型三：航行问题（核心公式：顺水速度 = 静水速度 + 水速；逆水速度 = 静水速度 - 水速） 例题 1（往返求静水速度与距离） 一艘轮船往返于 A、B 两港，顺水航行需 3 小时，逆水航行需 4 小时，已知水速为 2km/h，求轮船在静水中的速度和 A、B 两港的距离？ 例题 1 变式练习 1.（改水速）：轮船顺水 3 小时、逆水 4 小时往返 A、B，水速 3km/h，求静水速度？ 2.（改时间）：轮船静水速度 18km/h，顺水 2.5 小时、逆水 3.5 小时往返 A、B，求水速？ 3.（求时间差）：轮船静水速度 14km/h，A、B 距离 48km，水速 2km/h，顺水比逆水少用多久？ 4.（分段航行）：轮船静水速度 14km/h，先顺水航行 2 小时，再逆水航行 3 小时，共行驶 110km，求水速？ 例题 2（航行中的相遇问题） A、B 两港相距 140km，甲船从 A 港顺水驶向 B 港（静水速度 15km/h），乙船从 B 港逆水驶向 A 港（静水速度 20km/h），水速 5km/h，两船同时出发，多久后相遇？ 例题 2 变式练习 1.（改船速）：A、B相距170km，甲顺水速度 18km/h（静水中的速度是 13km/h），乙逆水速度 16km/h（静水 21km/h），同时出发，相遇时间？ 2.（求距离）：甲顺水速度 20km/h，乙逆水速度 15km/h，同时从 A、B 出发，3 小时后相遇，求 A、B 距离？ 3.（不同时出发）：甲从 A 顺水 20km/h 出发 1 小时后，乙从 B 逆水 15km/h 出发，A、B120km，乙出发后多久相遇？ 4.（航行追及）：甲从 A 顺水 20km/h 去 B，乙从 A 逆水 10km/h（静水 15km/h，水速 5km/h）先出发 1 小时，甲多久追上乙？ 5.（求静水速度）：A、B120km，甲从 A 顺水（水速 5km/h），乙从 B 逆水，同时出发 3 小时相遇，甲静水速度 15km/h，求乙静水速度？ 2 学科网（北京）股份有限公司 一、相遇问题（核心公式：甲路程 + 乙路程 = 总路程） 例题 1（同时出发相向而行） A、B 两地相距 480km，甲车从 A 地驶向 B 地，速度为 60km/h；乙车从 B 地驶向 A 地，速度为 80km/h。两车同时出发，多久后相遇？ 解析：1.设相遇时间为 t 小时（统一单位：速度 km/h，时间 h，路程 km）； 2.等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = A、B 两地总距离； 3.列方程： 75t + 85t = 480 ； 4.解方程： 160t = 480 ，得 t = 小时； 例题 1 变式练习 1.（改总距离）：A、B 两地相距 560km，甲车速度 70km/h，乙车速度 90km/h，同时相向出发，相遇时间是多少？ 解析：设 t 小时相遇，方程 70t + 90t = 560 ，解得 t = 3.5 小时。 2.（求相遇时路程）：A、B 两地相距 420km，甲车 50km/h，乙车 60km/h，同时相向出发，相遇时乙车走了多少 km？ 解析：先求时间 t ， 50t + 60t = 420 得 t = 4 ，乙车路程 60 km。 3.（不同时出发）：A、B 两地相距 480km，甲车先从 A 地出发 1 小时（速度 60km/h），乙车再从 B 地出发（速度 80km/h），乙车出发后多久相遇？ 解析：设乙车出发后 t 小时相遇，甲车总时间 t+1 ，方程 60(t+1) + 80t = 480 ，解得 t = 3 小时。 例题 2（中途停留的相遇问题） 甲从 A 地去 B 地，速度 40km/h；乙从 B 地去 A 地，速度 50km/h，A、B 相距 360km。甲出发 1 小时后因故障停留 0.5 小时，再继续行驶，多久后与乙相遇（从甲出发开始计时）？ 解析：1.设从甲出发开始计时， t 小时后相遇； 2.甲实际行驶时间： t - 0.5 小时（停留 0.5 小时，且先出发 1 小时无停留，总停留仅 0.5 小时）； 3.乙行驶时间： t - 1 小时（甲先出发 1 小时，乙后出发）； 4.等量关系：甲路程 + 乙路程 = 360km； 5.方程： 40(t - 0.5) + 50(t - 1) = 360 ，解得 t = 5 小时。 例题 2 变式练习 1.（乙停留）：甲 40km/h 从 A 出发，乙 50km/h 从 B 出发（A、B360km），乙出发 1 小时后停留 0.5 小时，从乙出发计时，多久相遇？ 解析：设乙出发后 t 小时相遇，乙行驶时间 t - 0.5 ，甲行驶时间 t + 1 ，方程 40(t+1) + 50(t-0.5) = 360 ，解得 t = 4.5 小时。 2.（改停留时间）：甲 40km/h 从 A 出发，1 小时后停留 1 小时，乙 50km/h 从 B 出发（A、B360km），甲出发后多久相遇？ 解析：设 t 小时相遇，甲行驶时间 t - 1 ，乙行驶时间 t - 1 （甲先出发 1 小时，乙同时出发时甲开始停留），方程 40(t-1) + 50(t-1) = 360 ，解得 t = 5 小时。 3.（求速度）：甲从 A 出发（速度 40km/h），1 小时后停留 0.5 小时，乙从 B 出发（A、B360km），5 小时后相遇（甲出发计时），求乙速度？ 解析：甲行驶时间 5 - 0.5 = 4.5 h，路程 40 km；乙行驶时间 5 - 1 = 4 h，速度 (360 - 180) km/h。 4.（双向停留）：甲 40km/h 从 A 出发，1 小时后停留 0.5 小时；乙 50km/h 从 B 出发，1.5 小时后停留 0.5 小时，A、B360km，甲出发后多久相遇？ 解析：设 t 小时相遇，甲行驶时间 t - 0.5 ，乙行驶时间 t - 1.5 - 0.5 = t - 2 ，方程 40(t-0.5) + 50(t-2) = 360 ，解得 t = 6 小时。 二、追及问题（核心公式：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离差） 例题 1（同地不同时追及） 小明以 4km/h 的速度步行上学，出发 20 分钟后，爸爸发现他忘带作业，以 12km/h 的速度骑车追赶，爸爸多久能追上小明？ 解析：1.单位统一：20 分钟 = 小时； 2.设爸爸追赶时间为 t 小时； 3.初始距离差：小明先走的路程 4 km； 4.等量关系：爸爸路程 - 小明后走的路程 = 初始距离差； 5.方程： 12t - 4t = 4 ，解得 t = 小时（即 10 分钟）。 例题 1 变式练习 1.（改出发时间）：小明 4km/h 步行，出发 30 分钟后爸爸 12km/h 追赶，追上时间是多少？ 解析：30 分钟 = 0.5h，初始差 4 km，方程 12t - 4t = 2 ，解得 t = 0.25 h（15 分钟）。 2.（求快者速度）：小明 4km/h 步行，出发 20 分钟后，爸爸想 10 分钟追上，爸爸骑车速度是多少？ 解析：10 分钟 = ，小明总路程 4 km，爸爸速度 2 km/h。 3.（有终点限制）：小明 4km/h 步行去学校（距家 3km），出发 20 分钟后爸爸 12km/h 追赶，能在小明到学校前追上吗？ 解析：先求追上时间 t = ，爸爸路程 12 km 追上。 4.（慢者提速）：小明 4km/h 步行，出发 20 分钟后爸爸 12km/h 追赶，同时小明提速到 6km/h，爸爸多久追上？ 解析：初始差 4 km，方程 12t - 6t = ，解得 t = （约 13.3 分钟）。 例题 2（异地同向追及） 货车以 60km/h 的速度从甲地驶向乙地，1 小时后客车以 80km/h 的速度从甲地出发追赶货车，客车追上货车时，离甲地多远？ 解析：1.设客车追赶时间为 t 小时； 2.初始距离差：货车 1 小时走的路程 60 km； 3.等量关系：客车路程 - 货车后走的路程 = 60km； 4.方程： 80t - 60t = 60 ，解得 t = 3 小时； 5.离甲地距离：客车路程 80 km。 例题 2 变式练习 1.（改初始距离）：货车 60km/h 从甲去乙，客车 80km/h 从甲出发，两车初始距离差 80km（货车先出发），多久追上？ 解析：方程 80t - 60t = 80 ，解得 t = 4 小时。 2.（慢者速度）：货车从甲去乙，1 小时后客车 80km/h 追赶，3 小时后追上，求货车速度？ 解析：客车路程 80 km，货车总时间 4 小时，速度 240 km/h。 3.（有速度变化）：货车 60km/h 从甲出发，1 小时后客车 80km/h 追赶，追上时客车因故障减速到 50km/h，货车继续 60km/h，1 小时后两车距离？ 解析：先追上时间 t = 3 h，此时都距甲 240km；1 小时后货车走 60 km（距甲 300km），客车走 50 km（距甲 290km），距离 300 - 290 = 10 km。 4.（双向追及）：货车 60km/h 从甲去乙，客车 80km/h 从乙去甲（甲、乙相距 400km），货车先出发 1 小时，两车相遇时离甲多远？ 解析：设客车出发后 t 小时相遇，货车总时间 t+1 ，方程 60(t+1) + 80t = 480 ，解得 t = 3 h，离甲距离 60 km。 三、航行问题（核心公式：顺水速度 = 静水速度 + 水速；逆水速度 = 静水速度 - 水速） 例题 1（往返求静水速度与距离） 一艘轮船往返于 A、B 两港，顺水航行需 3 小时，逆水航行需 4 小时，已知水速为 2km/h，求轮船在静水中的速度和 A、B 两港的距离？ 解析：1.设轮船静水速度为 x km/h，则顺水速度 (x + 2) km/h，逆水速度 (x - 2) km/h； 2.等量关系：顺水路程 = 逆水路程（A、B 距离不变）； 3.方程： 3(x + 2) = 4(x - 2) ； 4.解方程： 3x + 6 = 4x - 8 ，得 x = 14 km/h； 5.A、B 距离： 3 km。 例题 1 变式练习 1.（改水速）：轮船顺水 3 小时、逆水 4 小时往返 A、B，水速 3km/h，求静水速度？ 解析：方程 3(x + 3) = 4(x - 3) ，解得 x = 21 km/h。 2.（改时间）：轮船静水速度 18km/h，顺水 2.5 小时、逆水 3.5 小时往返 A、B，求水速？ 解析：设水速 y ，方程 2.5(18 + y) = 3.5(18 - y) ，解得 y = km/h。 3.（求时间差）：轮船静水速度 14km/h，A、B 距离 48km，水速 2km/h，顺水比逆水少用多久？ 解析：顺水时间 48 ，逆水时间 48 ，差 1 小时。 4.（分段航行）：轮船静水速度 14km/h，先顺水航行 2 小时，再逆水航行 3 小时，共行驶 110km，求水速？ 解析：设水速 y ，方程 2(14 + y) + 3(14 - y) = 110 ，解得 y = 4 km/h。 例题 2（航行中的相遇问题） A、B 两港相距 140km，甲船从 A 港顺水驶向 B 港（静水速度 15km/h），乙船从 B 港逆水驶向 A 港（静水速度 20km/h），水速 5km/h，两船同时出发，多久后相遇？ 解析：1.甲船顺水速度： 15 + 5 = 20 km/h； 2.乙船逆水速度： 20 - 5 = 15 km/h； 3.相遇问题等量关系：甲路程 + 乙路程 = 140km； 4.设 t 小时相遇，方程 20t + 15t = 140 ，解得 t = 小时。 例题 2 变式练习 1.（改船速）：A、B相距170km，甲顺水速度 18km/h（静水 13km/h），乙逆水速度 16km/h（静水 21km/h），同时出发，相遇时间？ 解析：方程 18t + 16t = 170 ，解得 t = 小时。 2.（求距离）：甲顺水速度 20km/h，乙逆水速度 15km/h，同时从 A、B 出发，3 小时后相遇，求 A、B 距离？ 解析：距离 (20 + 15) km。 3.（不同时出发）：甲从 A 顺水 20km/h 出发 1 小时后，乙从 B 逆水 15km/h 出发，A、B相距120km，乙出发后多久相遇？ 解析：甲先走路程 20 km，剩余 100 km，方程 20t + 15t = 100 ，解得 t = 小时。 4.（航行追及）：甲从 A 顺水 20km/h 去 B，乙从 A 逆水 10km/h（静水 15km/h，水速 5km/h）先出发 1 小时，甲多久追上乙？ 解析：初始差 10 km，等量关系 20t - 10t = 10 ，解得 t = 1 小时。 5.（求静水速度）：A、B120km，甲从 A 顺水（水速 5km/h），乙从 B 逆水，同时出发 3 小时相遇，甲静水速度 15km/h，求乙静水速度？ 解析：甲顺水 20km/h，甲路程 60 km，乙路程 60 km，乙逆水速度 20 km/h，静水速度 20 + 5 = 25 km/h。 2 学科网（北京）股份有限公司 $