21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 一、选择题 1．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 2．初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 3． 2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后就有64人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 4．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 5．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形草坪（阴影部分）的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的矩形草坪面积为．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则参赛队伍有 　 　 支． 9．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为　 　． 10．已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分率是　 　． 11． 如图，小程的爸爸用一段 10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 1m 宽的门（由其它材料制成），则 BC 长为　 　m. 一、选择题 12．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 13．要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为(　　) A． B． C． D． 14．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程； 乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为； 丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（　　） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 15．某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（　　） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 16．《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为. 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为333+16=49，则该方程的正数解为7-4=3.”小唐按此方法解关于x的方程. 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 17．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 18．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 19．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，则应邀请　 　个球队参加比赛． 20．有一支匀速前进的队伍，总长为40米，排尾的通讯员因传达命令赶到排头后又立即以同样的速度回到排尾，队伍向前进了30米，则通讯员比队伍多行了　 　米路程. 21．跨学科整合在苏轼的词作《念奴娇·赤壁怀古》中，周瑜年少有为，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然而天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位“风流人物”去世时的年龄为　 　岁． （注：而立之年指代人的30岁） 22．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为　 　s． 三、解答题 23．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程 的一个根，求这个等腰三角形的面积. 24．一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数． 25．如图，张爷爷用长的隔离网在一段长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． （1）当围成的矩形养殖园面积为时，求的长； （2）如图，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 26．深圳湾文化广场凭借“AirPods”造型建筑成网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章。运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个。 （1）当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出　 　个徽章，每天销售徽章的利润可达到　 　元； （2）为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元? 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【解析】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的同学有10人． 2．C 【解析】解：设该兴趣小组的人数为x人 由题意可得：x(x-1)=306 解得：x=18或x=-17(舍去) 3．C 【解析】解：设每轮每人传染的人数为，则根据题意得：解得. 4．C 【解析】解：设平均每月降价的百分率为， 根据题意有：， 5．B 【解析】解：根据题意得，23(1-x)2=16. 6．C 【解析】解：由题意可知，， 7．B 【解析】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 8．10 【解析】解：设参加队伍有x支， ∵比赛采用单循环赛制， ∴， 解得（舍去）， ∴有10支参加队伍参加比赛． 9．6 【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人． 依题意得1+x+x（1+x）＝49， 可得＝0，解得（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一个人传染给6个人． 10． 【解析】解：设每年平均增长的百分率为，根据题意得， 解得（舍） 故每年平均增长的百分率为， 11．5 【解析】解：设BC长为xm，则AB的长为 由题意可得： 解得：x=5或x=6(舍去) 12．A 【解析】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210， 13．B 【解析】解：∵赛程计划安排天，每天安排场比赛， ∴共6×6=36场比赛， 设比赛组织者应邀请x队参赛， ∵2队之间只有1场比赛， ∴可列方程为：x(x-1)=36. 14．A 【解析】解：设每天遗忘的百分比为x，则第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 根据题意，得， 故， 又， 故， 解得，即每天遗忘约30%， 故甲，丙正确，乙，丁错误． 15．D 【解析】解：按小安的设元方法：设每件上衣的售价为元， 则每件的销售利润为（x-50）元，平均每天可售出20+2（80-x）=（180-2x）件， 根据题意得：（x-50）（180-2x）=672； 按小溪的设元方法： 设每件上衣应降价元 ， 则每件的销售利润为80-50-y=（30-y）元，平均每天可售出（20+2y）件， 根据题意得：（30-y）（20+2y）=672； A、按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出（180-2x）件上衣，故A不符合题意； B、按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故B不符合题意； C、按小安的设元方法，应列方程为（x-50）（180-2x）=672，故C不符合题意； D、按小溪的设元方法，应列方程为，故D符合题意； 16．A 【解析】解：∵阴影部分的面积为64， ∴x2+ 12x=64， 设4a=12，则a=3， 先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为64+32×4=64+36=100， 则该方程的正数解为10-6=4， 17．A 【解析】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 18．D 【解析】解：设这群猴子的总数是只 ∴一队猴子数是 根据题意可得： 19．6 【解析】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得： 或x=-5(不合题意，舍去)。 20．60 【解析】解：设通讯员追到排头时，队伍所走的路程为xm，则此间通讯员走了(x+40)m，通讯员由排头回到排尾时，队伍又走了(30-x)m，而此间通讯员走了[40-(30-x)]m， 根据分析列方程，得 去分母，整理，得 x2+10x-600=0. 解得x1=20，x2=-30(舍去) 在整个过程中，通讯员所走路程为(x+40)+[40-(30-x)]=2x+50=90(m)， ∴通讯员比队伍多走了90-30=60(m). 21．36 【解析】解：设这位“风流人物”去世时的年龄的个位上的数字为x，则十位上的数为x-3 由题意可得：10(x-3)+x=x2 解得：x=5或x=6 当x=5时，10(x-3)+x=25，不符合题意； 当x=6时，10(x-3)+x=36，符合题意 22．2 【解析】解：设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 23．解：∵x2-9x+20=0， （x-4）（x-5）=0， ∴x1=4，x2=5； ∵等腰三角形腰长是方程 的一个根，等腰三角形底边长为8， 又∵x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形， 故腰长为x=5， 设底边上的高为h，由勾股定理得： h= ， ∴高为3， 所以，三角形的面积为 ×8×3=12 24．解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得： 解得：，不符合题意，舍去 ，故原来的两位数为． 答：原来的两位数为． 25．（1）解：隔离网的总长为，且， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， ． 答：的长为 （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： 隔离网的总长为，且， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 养殖园的面积不能达到 26．（1）60；600 （2）解：设每个徽章的售价降低x元， （60-x-30）（20+）=750 解得：x1=5，x2=15 ∵为了让顾客得到实惠， ∴x=15， 答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售微章的利润可达到750元. $