专题03 数轴动点分类训练（8种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题03 数轴动点分类训练 （8种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，A到C的距离可以用表示，计算方法：或． （1）填空：_______，_______． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是_______，点Q表示的数是_______；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离？ 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】（1）10,16 （2）① ②2或8 （3）点D向左运动， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， 对于（1），根据两点之间的距离计算即可； 对于（2），①用点B表示的数加上点P的运动路程可得点P表示的数，进而表示点Q表示的数； ②先表示出，即可得出方程，求出解即可； 对于（3），先表示出运动过程中点A，C表示的数，再分两种情况：表示出，根据其是一个定值得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：10，16； （2）①由点P，Q的运动速度可知运动过程中点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：，； ②， 解得或， 所以运动2秒或8秒时，两点之间的距离； （3）由题意可知，运动过程中点A表示的数是，点C表示的数是， 分两种情况：当点D向左运动时，点D表示的数是， 由的值始终是一个定值，得， 解得； 当点D向右运动时，点D表示的数是， 由的值始终是一个定值，得， 解得舍去． 综上所述，点D向左运动，． 2．数轴上、两点表示的数分别为、，满足，点为、的中点表示的数为，已知点是数轴上一动点，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）． (1)_____，_____， ； (2)若点从出发2秒后，点从点出发，且以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 运动到点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动．当时，求、分别表示的数； (3)动点从点出发到、中点后立即以每秒4个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，到达点后立即按原速沿数轴向左运动，动点也同时从点出发沿数轴以每秒个单位的速度向左运动，当点运动到、中点时，、、同时停止运动．设运动的时间为秒，是否存在使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的，并把其中一个的求解过程写出来． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质即可求出、的值，再由点为、的中点即可求出； （2）由、的运动方向，速度和时间即可求出求、两点在数轴上对应的数，从而得到关于的表达式，再结合即可求出的值，即可求出、表示的数； （3）根据、、的运动方向，速度和时间，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 点为、的中点表示的数为， ， 点表示的数为， ． 故答案为：； （2）解：①当点到达点前， 由题意得，经过秒，对应的数为，对应的数为， ． ， ，解得． 当时，对应的数为4，对应的数为14，符合题意； ②当点到达点后， 点所经过的路程为， ， 对应的数为， 对应的数为， ． ， ，解得． 当时，对应的数为3，对应的数为13，符合题意； 、分别表示的数为或； （3）解：①当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ②当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ③当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得； ④当时， 对应的数为，对应的数为，对应的数为， ， ， ． 存在使得在一段时间内为定值，即令，解得． 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，一元一次方程的应用，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 3．如图①，若数轴上点、点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为．如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图②中表示出三点的位置，若将数轴对折，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若在，，处分别有三个动点，其中点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，1秒后点从点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动．设点移动时间为秒 ①当时，求的值． ②是否存在有理数，使得在一定时间段内为定值，如果不存在，请说明理由：如果存在，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)3 (2)①或；②存在，或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上的点的移动规律，熟练找到数轴上点的移动轨迹是解题的关键． （1）一个点从数轴上的原点开始，先 向左移动2个单位长度，处于，再向右移动3个单位长度变为，然后再向右移动5个单位长度变为，据此在数轴上画出点，，，找到线段的对称点，据此求解即可； （2）①要使当时，有两种情况：当点、相遇前和当点、相遇后，点、、运动秒后，在数轴上找到相对应的数，分别根据列出方程计算即可； ②根据题意分3种情况讨论，当点、相遇前和当点、相遇后，点、、运动秒后，在数轴上找到相对应的数，分别根据列出方程，然后根据有定值进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，则表示为， 再向右移动3个单位长度到达点，即， 再向右移动5个单位长度到达点，即， 的长度为， 将数轴对折，使得点与点重合，则对称点为， 点与对称点的长度为，点在对称点的左侧，则在数轴上表示的点重合的数为， 故答案为：3； （2）解：①由题意，当1秒时，点、相遇，当时,有两种情况： 当点、相遇前，假设点运动秒，且， 此时点位于，点位于，点位于 则、 当时， 解得； 当点、相遇后，假设点运动秒，且， 此时点位于，点位于，点位于 则、 当时， 解得， 综上所述，当时，的值为或； ②当点、相遇前，假设点运动秒，且， 此时点位于，点位于，点位于， 则 由于为定值，则 解得 此时； 当点、相遇后，且， 此时点位于，点位于，点位于， 则， ， 由于，所以， 则， 当时，， 则， 由于为定值，则， 解得， 此时； 当时，， 则， 由于为定值，则， 解得， 此时； 综上所述，当时，存在定值，定值为，当或时，存在定值，定值为． 4．操作发现： 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点，记作：，例如：； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点，记作：，例如：． (1)直接填空： ， ； (2)点A表示的数为a，点B与点A之间的距离为5，点C是数轴上一动点，且． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由； ②当点C表示的数是时，且B、D两点之间的距离恰好为2，求a的值． 【答案】(1) (2)①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值5；②或或或 【分析】本题考查了数轴，绝对值方程． (1)根据题干提供的信息进行解答即可； (2)①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为5，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为5，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，得出，根据B、D两点之间距离刚好为2，得出，解方程即可．同理求出点B在点A左侧时a的值． 【详解】（1）根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为5， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； ∴点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值5； ②当点B在点A右侧， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为5， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为2， ∴， 即， 解得：或； 点B在点A左侧， ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为5， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为2， ∴， 即， 解得：或． 综上所述：或或或． 5．已知多项式的常数项是，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点与点之间的距离记作． (1)求的值； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，问是否存在常数，使得的值为定值？若存在，求出的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①或10；②存在常数，使得的值为定值，定值为 【分析】（1）根据多项式的常数项与多项式的次数的定义即可求出答案； （2）①分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时；点A、B在相遇时；依此可求t的值； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，可得，依此可求m的值． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是，次数是30． ∴，； （2）解：①如下图所示： 当时，，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为， ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； 下面分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得：； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得：； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值，此时： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，根据多项式的定义，找出a，b的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或；②存在，当时，的值是定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题： （1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据的值是定值，得到整式的值与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：， 当时，动点表示的数为， 当时，动点表示的数为； 故答案为：，，； （2）解：①当时，，解得：； ②当时，，解得：（舍去）； 故． （3）解：①由题意，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或； ②存在： 由题意，得：， 当时，，， ∴， ∴当时，为定值； 当，，， ∴， ∴当时，为定值； 综上：当时，的值是定值． 7．已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义：地 城 类型02 动点最值问题 ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，，且，所以． (1)当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1时，______； (2)①当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是______； ②当数轴上A，B两点表示的数分别为，10，点C是数轴上的动点，的最小值是______； (3)已知数轴上A，B，C三点表示的数分别为，10，1．，C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当最小时，求t的最大值和最小值． 【答案】(1)9 (2)6或；6 (3)t的最大值为2，最小值为1 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可求解； （2）由可知，然后分两种情况求解即可； 由点C是中点时，有最小值，求解即可； （3）先确定运动后A、B、C的坐标，当最小时，则点C到点A和点B的距离相等，据此分两种情况列式求解即可． 【详解】（1），B两点表示的数分别为，10，点C对应的数是1， ，， 故答案为：9； （2）①点A表示的数为，点C对应的数是1， ， ， 点B对应的数是或 故答案为：6或； ②点C是中点时，， 的最小值是， 故答案为：6； （3）运动t秒后： 点A表示的数：， 点B表示的数：， 点C表示的数：， 当最小时，则点C到点A和点B的距离相等， 当点C是中点时，如图， ， 解得． 当点A与点B重合时，如图， ， 解得． 因此，最小时，t的最大值为2，最小值为 8．如图所示，点，，是数轴上三点，点，分别表示有理数，，且，点表示．现有一圆从点出发以2个单位长度/s的速度沿数轴按顺时针方向滚动（圆与数轴的接触点为圆的最低点），动点从点出发以个单位长度的速度沿数轴向右运动．已知圆的周长为个单位长度，点，和分别是圆的三等分点，开始时，点为最低点且与数轴上的点重合． (1)点表示数______，点表示数______，当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数为______； (2)若点在圆滚动后开始运动，当到达数轴上38对应的点时，立刻以原速返回（向左运动）．问：点运动多少时，它与圆的最低点重合？并通过计算说明此时点，，是否与点重合． (3)动点从点出发以个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和圆分别从点，同时出发．若点到圆的最低点间的距离记为，点，间的距离记为，则的最小值是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)，， (2)点运动或时，它与圆的最低点重合；当点运动时，点与点重合； (3)的最小值是． 【分析】（1）由平方和绝对值的非负性，可得，，即为点，表示的数，由点表示的数，结合圆的运动过程，即可得当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数； （2）根据题意可得圆滚动一周需要，点，，相邻两点到达最低点需要经过，当圆滚动时，点开始运动，点到达最低点，可得点到达数轴上对应的点所需时间，分类讨论计算即可； （3）设运动时间为，根据题意可得点，，圆的最低点在数轴上对应的数，可得的表达式，根据绝对值的几何意义，即可得的最小值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点表示数，点表示数， ， ∴当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数为． 故答案为：，，． （2）解：，， ∴圆滚动一周需要，点，，相邻两点到达最低点需要经过， ， ∴当圆滚动时，点开始运动，点到达最低点， 设点运动时间为， 点到达数轴上对应的点所需时间为， 当时，， 解得， （圈）， ∴当点运动时，它与圆的最低点重合，此时点与点重合． 当时，， 解得， ∴当点运动时，它与圆的最低点重合，此时点，，不与点重合． ∴点运动或时，它与圆的最低点重合；当点运动时，点与点重合． （3）解：设运动时间为， 点在数轴上对应的数为， 点在数轴上对应的数为， 圆的最低点在数轴上对应的数为， ∴， ∴ ， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，数轴，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义． 9．阅读下面信息： 数轴上两点M、N表示的数分别为，，那么点M与点N之间的距离为且． 例如，点A、B表示的数分别为和2，那么点A与点B之间的距离为且． 根据以上信息，回答下列问题： 已知点A、B在数轴上表示的数分别为和6， (1)①若点P表示的数是4，则_______． ②若动点P在数轴上表示的数为x，满足，求x． (2)若动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向右运动，同时动点Q从B点出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒，在运动过程中，是否存在，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． (3)设E、F表示数的分别为x和y，，记为，且，求的最小值． 【答案】(1)①7；②3或15 (2)存在，或6 (3)2 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （2）点P表示的数为，点Q表示的数为，则可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据可得，再讨论x、y分别与的大小关系，去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②由题意得，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （2）解：由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当时，，即，这与事实矛盾，不符合题意； 当时，则， ∴， ∴当x最大时，有最小值，即此时的最小值为， 当时，则， ∴， 综上所述，的最小值为2． 10．如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数为最大的负整数，点在点的右边，．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，另有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上点表示的数是______；点表示的数是______． (2)当时，数轴上有一点到点的距离与到点的距离之和最小，求出这个最小值，并指出此时点所表示数的取值范围． (3)若定义一个点到点、其中一个点的距离是到另一个点距离的倍，则称点是的“嗨点”．已知点是线段的中点，点、分别从、两点同时出发，点向左运动到点立即返回，返回到点时停止，动点一直向右运动到点后停止运动．求当为何值时，点为的“嗨点”？ 【答案】(1)； (2)点到点的距离与到点的距离之和的最小值为，此时点所表示数的取值范围为 (3)当为或或或时，点为的“嗨点” 【分析】本题考查了数轴及一元一次方程的应用， （1）由点表示的数为最大的负整数及线段的长可得出点，表示的数，再结合点，的出发点、运动速度及运动方向，可找出当时点，表示的数； （2）分，及三种情况考虑，利用数轴上两点之间的距离公式可找出的长，利用一次函数的性质即可解决最值问题； （3）由点，表示的数结合点为线段的中点，可找出点表示的数，分，和三种情况，根据点为，的“嗨点”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 【详解】（1）解：点表示的数为最大的负整数，点在点的右边，， 点表示的数为，点表示的数为． 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， 当时，点表示的数为； 点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，运动时间为秒， 当时，点表示的数为． 故答案为：9；2． （2）当时，， ， 的长随着的增大而减小， 当时，的长取得最小值，最小值； 当时，； 当时，， ， 的长随着的增大而增大， 当时，的长取得最小值，最小值． 点到点的距离与到点的距离之和的最小值为7，此时点所表示数的取值范围为． （3）点表示的数为，点表示的数为11，点为线段的中点， 点表示的数为5． （秒，秒，（秒． 当时，点表示的数为，点表示的数为， 点为，的“嗨点”， 或， 即或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 点为，的“嗨点”， 或， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，点表示的数为，点表示的数为11， 点为，的“嗨点”， 或， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：当为或或或时，点为，的“嗨点”． 11．如图，数轴上三点、、表示的数分别为、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点到点的距离为______； (2)数轴上是否存在点（点在点的右侧），使得点到点、的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点到、、三点的距离之和为S，在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，请直接写出S的最大值与最小值． 【答案】(1)25 (2)存在，的值为10 (3)的最大值为40，最小值为25 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据两点间距离公式即可求解； （2）分点在点的左侧（含点）时；点在点和点之间（含点）时；点在点的右侧时；分别根据点到点、的距离之和为25个单位长度列方程求解即可； （3）由题意得：，根据点在点、之间可知，然后分别找出最大和最小时的值，进行计算即可． 【详解】（1）解：点A到点C的距离为：， 故答案为：25； （2）存在； 当点在点和点之间（含点）时： 由题意得：，不符合题意； 当点在点的右侧时： 由题意得：， 解得：， 数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，的值为10； （3）由题意得：， 点在点、之间， ， ∵当点与点重合时，最大，此时， 的最大值为， ∵当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为25， 综上，的最大值为40，最小值为25． 12．如图，数轴上点、分别表示和6，动点以1个单位/秒的速度从点出发向负半轴方向运动，同时动点以2个单位/秒的速度从点出发，向负半轴方向运动，设运动时间为秒． (1)①当时，点在数轴上对应的数为______． ②当为何值时，点与点重合？ (2)若点从点出发，到达点后立即按原速返回，则在整个运动过程中，当为何值时，？ (3)对于数轴上的两条线段、，给出如下定义：若线段的中点与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”，若点表示的数是7，点表示的数为，线段是线段的“限中距线段”．请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)①；②当时，点与点重合 (2)当或时， (3)的最大值是18，的最小值是12 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，掌握两点间的距离公式，找准等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． （1）①根据两点间的距离求解即可；②根据相遇时两点的路程差为的长，列出方程求解即可； （2）分点到达点之前，和点从点返回，两种情况进行讨论求解即可； （3）先求出点表示的数为，根据定义，得到当在点左侧且时，点表示的数最小，当在点右侧且时，点表示的数最大，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，得：点表示的数为， ∴当时，点表示的数为； 故答案为：； ②由题意，得：，解得：； ∴当时，点与点重合 （2）点到达点所需时间为秒； ①当时，点表示的数为：， ∴，解得：； ②当时，点表示的数为， ∴，解得：， 综上：或； （3）由题意，点表示的数为， 当在点左侧且时，点表示的数最小：， 解得：； 当在点右侧且时，点表示的数最大：， 解得：． ∴的最大值是18，的最小值是12． 13．如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且满足．地 城 类型03 动点存在性问题 (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)t的值为或或或8 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据绝对值、平方的非负性即可求解a、b、c，问题得解． （2）根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为，从而得到点M对应的数为，点N对应的数为，再由线段的中点M到点的中点N距离为3，列出方程，即可求解； （3）根据题意得：，分线段和第一次重合中，即；线段和第二次重合中，即，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：存在， 由（1）得：A，B，C三个点对应的数分别为，，5， 根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵点M为线段的中点，点N为的中点， ∴点M对应的数为，点N对应的数为， ∵线段的中点M到点的中点N距离为3， ∴， 解得：或． （3）解：存在， ∵， ∴， ∵点P对应的数为，点Q对应的数为，点E对应的数为，点F对应的数为， ∴线段和第一次重合中，， 若点P表示的数比点F表示的数大1， ， 解得：； 若点Q表示的数比点E表示的数大2， ， 解得：； 当重合时，，解得：， ∴点P对应的数为，点E对应的数为， ∴线段和第二次重合中，， 若点Q表示的数比点E表示的数大1， ， 解得：； 若点P表示的数比点F表示的数大1， ， 解得：； 综上所述，t的值为或或或8． 14．已知关于的二次多项式的二次项系数为，且是单项式的次数，如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、． (1)填空：______，______，______； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点的运动时间为秒．当为何值时，点、之间的距离是点、之间距离的2倍？ (3)动点、在（2）的运动条件下，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇后，点立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留1秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动，当点运动到点时全部停止运动．请问在整个过程中，是否存在某个时间秒，使得点到点的距离与点到点距离的和为6，若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，9，6 (2)或时，点、之间的距离是点、之间距离的2倍 (3)存在这样的t值，且或 【分析】（1）根据多项式的定义得出二次项的系数与次数即可得出结果； （2）由题意可得P点表示的数为，Q点表示的数为，表示出，，根据题意列出方程求解即可； （3）先求出P，N两点相遇的时间，点P从A到C时的时间，P，N两点相遇时，N点对应的数为，点N从与P点相遇到B点所需时间，再分情况当；；；；时分别表示出的值，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：为二次多项式，二次项系数为，是单项式的次数， ，， ，，， 故答案为：，9，6； （2）由题意可得：P点表示的数为，Q点表示的数为， 则，， 若，则， 或， 解得：或， 或时，点、之间的距离是点、之间距离的2倍； （3）存在，且或，理由如下： P，N两点相遇的时间， 点P从A到C时，， P，N两点相遇时，N点对应的数为， 点N从与P点相遇到B点所需时间， 当时， P点表示的数为，N点表示的数为，Q点表示的数为，（此时P，N，Q在数轴上从左往右依次排列） 此时，， 若，则， ， 当时， P点表示的数为，N点表示的数为，Q点表示的数为， 此时，， 若，则， （舍去）， ，当时， P点在C点位置，为6，Q点表示的数为，N点表示为t， 则，， ，， 若，则， （舍去）； ，当时， P点表示的数为，N点表示的数为，Q点表示的数为， 则，， ，， 若，则， ， 综上所述，存在这样的t值，且或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，多项式的系数与次数，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识，分情况讨论为解题关键． 15．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为40，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点从点出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点、点之间的距离是______，单位；当运动时间为______秒时，点与点相遇． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出的值以及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21；或10 (2)或4或8 (3)当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）①根据路程速度时间即可求解；分类讨论，列方程求解； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒．到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为．分三种情况：①、相遇前；②、相遇后，到前；③、相遇后，到后．分别根据列出方程； （3）根据题意分3情况讨论，分别根据列出方程，然后根据在为定值求解即可． 【详解】（1）解：①三个动点运动秒时，则、、三点在数轴上所表示的三个数分别为，，， 当时，、两点在数轴上所表示的两个数分别为，， ； ②当时，由题意得，解得，符合题意； 时，由题意得，解得，符合题意， ∴当运动时间为或10秒时，点与点相遇， 故答案为：21；或10； （2）解：、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，回到的时间为10秒． 到前，所表示的数为；所表示的数为． ①、相遇前：，解得， ②、相遇后，到前，，解得， ③、相遇后，到后： 所表示的数为；所表示的数为， ，解得， 综上所述：当个单位时，三个点的运动时间或4或8； （3）解：①当、相遇前，即时， ∵所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ②当、相遇后，到前， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ③当、相遇后，到后， 根据题意得， 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． 16．如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． (1)直接写出_____，_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； (3)或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性作答即可； （2）先推导出动点到达原点时，动点未到达原点，设经过秒动点与动点到原点的距离相等，分两种情况列方程求解即可； （3）求出，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴动点到达原点时，动点未到达原点． 设经过秒动点与动点到原点的距离相等， 动点到达原点前：，解得：； 动点到达原点后：，解得：； 即经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； （3）解：， 当为、中点时， ， 解得：； 当为、中点时， 解得：； 当为、中点时， ， 则， 此种情况不成立； 综上所述，或． 17．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或秒 (3)存在，的值为或或 【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 18．已知，，且、、分别是点、、在数轴上对应的数． (1)求、、的值，并在数轴上标出点、、． (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (3)在数轴上是否存在点，使点到，，，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点对应的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，；见解析 (2)运动3秒后，点P可以追上点Q (3)M对应的数是或4 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值． （1）理解与整数、相反数、绝对值有关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点； （2）根据数轴上两点间的距离的求法进行求解； （3）设点M表示的数为，根据点M的位置分四种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴，， 在数轴上标出点、、如图所示： （2）解：设运动t秒后，点P可以追上点Q， 则点P表示数，点Q表示， 依题意得：， 解得：． 答：运动3秒后，点P可以追上点Q； （3）解：存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12， 设点M表示的数为， 分以下四种情况讨论： 当M在C点左侧，则， 解得， M对应的数是：； 当M在之间，则， 解得，不符合； 当M在之间，则， 解得， 即M对应的数是4； 当M在B点右侧，则， 解得，不符合． 综上所述：使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是或4． 19．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问：地 城 类型04 折线数轴动点 (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1) (2)38 (3) (4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，理解题意，找出等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）先求出点运动 3 秒的路程，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；先求出点从点运动到点所用的时间，判断时，点位置，再根据此时的速度即可求出运动路程，从而求出点在数轴上表示的数； （2）根据的长除以各自的速度即为时间，相加即可； （3）首先判断出两点相遇在线段上的点处，根据相遇问题公式求出相遇时间，进而可以求出所对应的数； （4）根据的取值分类讨论，用表示出两点在数轴上相距的长度和两点在数轴上相距的长度，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒， 时，在上， ∴所表示数为：， 故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， 此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， ∴无解； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 20．如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【答案】(1)20秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意． （1）分别求出动点P在每一段上运动的时间，再求和即可． （2）先求出点Q从点F运动到点C，点P从点A运动到点B所用时间，可得到P、Q的相遇点M在段，设P、Q相遇时用时x秒，根据题意，列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，动点P在段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，， 所以动点P从点A运动至点F需要的时间为（秒） （2）点Q从点F运动到点C用时为（秒）， 点P从点A运动到点B用时（秒）， 当时，点P在上，且距离点C：个单位长度， 所以P、Q的相遇点M在段， 设P、Q相遇时用时x秒， ， 解得：， 则点M所对应的数为． 21．已知：是关于的二次三项式，且、、满足．、、所对应的点分别为、、． (1)则，_____． (2)若点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为，两点间的路程．动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以个单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的倍，之后在段又以个单位长度秒的速度运动．当点到达点时，点，均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位．求出此时的值． 【答案】(1)，； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得： ， ， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后， ， ， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，， ∴， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，， 整理得：， 解得：， 当时，，即， ∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键． 22．如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 【答案】(1)；16；20 (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用非负数的性质和数轴上的点的特征解答即可； （2）①根据移动的方向在原数上减运动的距离即可； ②计算的值，合并后利用t的系数为0，解方程即可得出结论； （3）根据题意求得相遇的时间，求得线段长度，再利用数轴上的点的特征解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点C在数轴的正半轴上， ∴． （2）①∵点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，速度为4个单位长度/秒， ∴t秒时，点P表示的数为， 点B，P之间的距离为． 故答案为：；； ②点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Q表示的数为， 当点Q追上点P之后，，， ∴， ∵的值与t的值无关， ∴， ∴． ∴m的值为秒时，当点Q追上点P之后，的值与t的值无关． （3）解：点G在数轴上，， ∴， ∴点G对应的数为8． ∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点M运动到点O用时为5（秒），点M从点O到点G用时4（秒）， ∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点N运动到点B用时为2（秒），点N从点B到点G用时8（秒）， ∴当点M到达点G时，点N在BG上，没有到达点G，此时M，N在BG上相距1个单位长度， ∴点M和点N相遇用时（秒）， ∴， ∴点M表示的数为8． 【点睛】本题考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，利用数轴上的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 23．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问： (1)当动点P在上时，把点P到点A的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (2)当动点P在上时，把点P到点O的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (3)当点Q在上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)； (3)1或 ． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系并列出方程是正确解答本题的关键． （1）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答； （2）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答； （3）由Q在上可判定时间t的取值范围，然后根据点P的位置分类讨论，再根据P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得：当动点P在上时，运动时间，点P到点A的距离， 故答案为：； （2）当动点P在上时，运动时间，则点P到点O的距离． 故答案为：； （3）由点Q在上时，则时间，所以， 当点P在上时，，由题意可得： ， 解得：； 当点P在 上时，，由题意可得： ， 解得：， 综上，t的值为1或 ， 故答案为：1或 ． 24．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时动点Q从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动． 设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动至C点需要多少秒？ (2)P、Q两点相遇时，请求出时间t与此相遇点M在“折线数轴”上所对应的数： (3)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或17 【分析】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． （1）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为19秒； （2）由路程、速度、时间三者关系求出、两点相遇的时间，即可得到相遇点M在“折线数轴”上所对应的数； （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类求出四种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：动点P从点A运动至C点分成三段，分别为、、， 段时间为（秒）， 段时间为（秒）， 段时间为（秒）， 动点P从点A运动至C点需要时间为（秒）， 故答案为：19； （2）解：由（1）知点P运动到点O的时间为5秒， 根据题意：点Q运动到点B的时间为：（秒）， ，即， 解得：（秒） 此时，相遇点M在“折线数轴”上所对应的数为：； （3）解：当点在，点在上运动时，， 依题意得：， 解得：； 当点、两点都在上运动时，， ， 解得：； 当在上，在上运动时，， ， 解得：； 当在上，在上运动时，， ， 解得：； 综上，动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时，t的值为或或或17． 25．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点．地 城 类型05 动点变速问题 (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)①；②存在，2或16 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义求解即可； （2）先由非负数的性质得，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数；②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为，则，进而得，据此求出t即可；b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为,则，，进而得，据此求出t即可；c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，则，进而得，据此求出t即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点， ∴， 设点P所表示的数为p,则, ∴，解得：， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点， ∴， 设点Q所表示的数为q,则， ∴，解得， ∴点Q所表示的数为． 故答案为：3；． （2）解：∵， ∴解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：． ②存在； ∵点C是的和谐点， ∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下三种情况： a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴, ∴，解得：； b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． 26．我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)或或 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得：点 M，N 对应的数是，，再根据t 秒后它们之间的距离为 15 个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由题意可得点 M，N 对应的数是，，再根据“”为的中点列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当时，点M，N，K对应的数是，，，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合，点M，N继续运动所对应的数是，，同理列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 则：， 解得：； （2）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 当时，两点都在表示的点右边，此时不可能“”为的中点，故， 则 ∴． ∴点N出发6秒后“”为的中点； （3）解：当时，点M，N，K对应的数是，，， 当点M是中点时，， ∴； 当点K时中点时，， ∴． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是，， 当点N为中点时，， ∴， ∴． 所以或或 10． 27．如图所示，在数轴上原点O，点A在原点的左侧，所表示的数是a，并且满足．点B在原点的右侧，所表示的数是16． (1)点A表示的数为______； (2)若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度．P、Q两点同时运动，设两点的运动时间为t秒，当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等． (3)在（2）的条件下，若点P运动到点B后，按照原路立即返回，返回的速度变为每秒3个单位长度，点P到达点A停止运动；点Q运动到点A后，立即以原路原速返回，到达点B停止运动．从P、Q开始运动，到点Q停止运动的过程中，当P、Q两点的距离为16个单位长度时，请直接写出符合条件的t的所有值． 【答案】(1) (2)2秒或6秒 (3)秒或秒或11秒或26秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）求方程求出a的值即可； （2）先表示出P、Q两点表示的数，再根据P、Q两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）分4种情况，画出图形列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点P运动到原点需秒，点Q运动到原点需秒 t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当点P在原点左侧时，如图， ， 解得． 当点P在原点右侧时， ， 解得． 综上可知，当t为2秒或6秒时，P、Q两点到原点的距离相等． （3）解：点P：秒，秒，秒， 点Q：秒，秒， 当P，Q相遇前： ， 解得； 当P，Q第一次相遇后： ， 解得； 当P从点B返回到达点A前： ， 解得； 当P从点B返回到达点A后： ， 解得． 综上可知，当P、Q两点的距离为16个单位长度时， t的值为秒或秒或11秒或26秒． 28．点、点为数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为．点为数轴的原点．已知，关于的方程的解是，关于的单项式的次数是6． (1) ， ； (2)定义：在数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是【】的美好点．例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到的距离是2，到的距离是1，那么，点是【】的美好点：又如：表示0的点到的距离是1，到的距离是2，那么，点就不是【】的美好点，但点是【】的美好点． 根据以上定义，请求出【】的美好点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点在点、点之间时，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后立即调转方向沿数轴向右运动（调转时间忽略不计)，同时速度变为原来的4倍，运动到点后停止，点也从原点与同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点后立即调转方向沿数轴向左运动（调转时间忽略不计)，同时速度变为原来的，到原点后停止．设点的运动时间为，当点恰好为【】的美好点时，求的值． 【答案】(1)； (2)美好点表示的数为或 (3)的值为、、、、 【分析】本题考查了数轴动点的分段分析、一元一次方程的求解及“美好点”定义的应用，解题的关键是准确划分动点运动阶段，结合“美好点”定义列方程求解． （1）代入方程解求；利用单项式次数定义求； （2）分点在左、间、右三种情况，列绝对值方程求表示的数； （3）确定，分阶段分析、的运动坐标，结合“美好点”定义列方程求． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得； 单项式的次数为， 解得． 故答案为：；． （2）解：设表示的数为，：，：，分三种情况： ①时，，解得（舍去）； ②时，，解得； ③时，，解得． 故【、】的美好点表示的数为或． （3）解：由（2）知（、之间）． 的运动： ：； ：（速度为4）； ：停在． 的运动： ：； ：（速度为2）； ：停在． 分阶段列方程： ①：， ：，得； ：，得． ②：， ：，得． ③：， ，得； ，得． 综上，的值为、、、、． 答：的值为、、、、． 29．如图，在数轴上原点O表示数是0，点A在原点的左侧，表示数是a，点B在原点的右侧，表示数是b，并且a，b满足 (1)点A 表示数是 ，点B 表示数是 ． (2)若点P从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点M从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒10个单位长度；点Q从B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．点P，M，Q三点同时运动，并且当点M和点Q相遇后立即返回，当点M遇到点P后又立即返回，这样反复往返，直到点P，Q相遇时，点M停止运动，求点M的运动时间及运动路程？ (3)在（2）的条件下，点P，Q按原方向原速度继续运动，当点P运动到点B后立即返回，此时速度变为原来的1.5倍，求从P，Q两点相遇而点M停止运动后开始，再经过几秒，点P到点M的距离与点Q到点M的距离之和等于25． 【答案】(1)，150 (2)40秒，400 (3)5秒或15秒或秒 【分析】本题考查数轴，绝对值，一元一次方程的知识，解题的关键是掌握数轴上点表示数，根据动点运动的轨迹，进行分类讨论，掌握一元一次方程的运用，即可． （1）根据绝对值和乘方的非负性，即可； （2）根据题意，则，，根据P、Q两点运动路程和等于两点间的距离列出方程，即可； （3）根据题意，分类讨论，相遇后，点P没有到达点B前；相遇后，点P从点B返回，但未到达点M时；相遇后，点P从点B返回，又经过点M后，列出方程，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，150； （2）解：设点M运动的时间为t秒， 根据题意，得， 解得， ∴点M运动的时间为40秒，运动路程为个单位长度； （3）解：由（2）知：个单位长度， ∴个单位长度， 设再经过x秒， 当点P没有到达点B前时， 根据题意，得， 解得； 当相遇后，点P从点B返回，但未到达点M时， 根据题意，得， 解得； 相遇后，点P从点B返回，又经过点M后， 根据题意，得， 解得， 综上，再经过5秒或15秒或秒，点P到点M的距离与点Q到点M的距离之和等于25． 30．如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，a、b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_______，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，求点C在数轴上表示的数． (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动，当点P移动到O点时， 速度变为每秒2个单位，此时点Q从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q运动到点A 时立即以原速返回向左运动，且当点P到达A点时，点P、Q都停止移动．设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距2个单位长度？ 【答案】(1)40，， (2)或 (3)2秒或14秒或秒 【分析】（1）根据得，确定点A表示的数为40，点B表示的数为，，解答即可． （2）设点C表示的数为，根据题意，得，，根据，得，解绝对值方程解答即可． （3）根据题意，得从点B到点O需用时间为8秒；点Q运动到点A需用16秒，点P从点O运动到点A需要秒，此时运动时间为28秒，当时，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据得， 故点A表示的数为40，点B表示的数为， 故， 故答案为：40，，． （2）解：设点C表示的数为， 根据题意，得，， 又， 故， ∴或， 解得或， 故点C在数轴上表示的数或． （3）解：根据题意，得从点B到点O需用时间为8秒；点Q运动到点A需用16秒，点P从点O运动到点A需要秒，此时运动时间为28秒， 当时，，点Q在点B处为运动，根据题意，得， ∴； 当时，，此时，，此时,根据题意，得， 解得（秒）； 当时，，此时，，此时,根据题意，得， 解得（秒）； 综上所述，需运动2秒或14秒或秒，满足题意． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上的两点间距离计算，数轴上点的表示数计算，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性，解方程是解题的关键． 31．如图1，点A、B是数轴上的两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足，若点C是线段的某一点，点C表示的数是c，现以点C为折点，将数轴向右对折，如图2，若点落在线段上，并且，则：地 城 类型06 折返问题 (1) ； ； ； (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点P在点B左侧时，经过几秒满足？ (3)在（2）条件下，动点M也同时从点B出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点P相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点Q相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点M的运动时间记为t（秒），当时，请直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1)，10，2； (2)经过满足； (3)或或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴的对称，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由绝对值和平方的非负性，求出，，再结合，得到点表示的数，再利用折叠的性质求解即可； （2）设运动时间为由题意可知，动点表示的数为：，动点表示的数为：，当点P在点B左侧时，，此时点P在点B左侧，分别表示出和，再结合列方程求解即可； （3）由题意可知，动点在与动点相遇之前表示的数为，当动点与动点相遇时，，动点表示的数为，表示出相遇之前和的长，再根据题意列方程求解即可；动点在与动点相遇之后表示的数为，当动点与动点相遇时，，表示出相遇之后和的长，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵|， ∴，， ∴，， ∵， ∴点表示的数为：， ∴， 故答案为：，10，2； （2）解：设运动时间为 由题意可知，动点表示的数为：，动点表示的数为：， 当点P在点B左侧时，则， 解得，此时点P在点B左侧， ∵，，， ∴， 解得， 即经过满足； （3）解：设点M的运动时间记为t（秒）， 由题意可知，动点在与动点相遇之前表示的数为， 则当动点与动点相遇时，， 解得，此时动点表示的数为， 当时，，， 若，则， ∵， ∴ 解得； 若，则， ∵， ∴ 解得； 动点在与动点相遇之后表示的数为， 当动点与动点相遇时，， 解得， 当时，，， ∵， ∴ 解得； 综上可知，当时，满足条件的t的值为1或或． 32．如图，已知点在数轴上表示的数为，其中满足，点，点之间的距离记为． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动，到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回，三点同时出发，设运动的时间为，其中． ①当时，点在数轴上所表示数为______； ②当时，点在数轴上所表示的数为______（用含t的代数式表示）； ③当点到点的距离是点到点距离的两倍时，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)，， (2)①；②；③或或 【分析】（1）由非负数和为零的条件列方程求解即可得到的值，再由数轴上两点之间距离的表示求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况得到点在数轴上所表示数，按照①②③的要求，结合点在数轴上所表示数的结果求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ， 解得，， ， 故答案为：，，； （2）解：点表示的数为， ， 动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动， 当点到达原点时，经过时间为， 设运动的时间为，其中， 当时，点在数轴上所表示的数为； 到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回， 当时，点在数轴上所表示数为 ①， 点在数轴上所表示数为， 故答案为：； ②当时，点在数轴上所表示的数为， 故答案为：； ③点到点的距离是点到点距离的两倍， ， ∵点在数轴上所表示的数为，点在数轴上所表示的数为， 当时，点在数轴上所表示数为， ∴，， ∴，解得或4， ∴点在数轴上所表示数为或0； 当时，点在数轴上所表示数为， ∴，， ∴，解得（舍去）或， ∴点在数轴上所表示数为； 综上所述，点在数轴上所表示的数为或或． 【点睛】本题考查数轴表示有理数，数轴上两点之间距离的表示，数轴上的动点问题等，涉及平方非负性、绝对值非负性、非负数和为零的条件、列代数式对数轴上的点进行表示、数轴上两点之间距离的表示、解绝对值方程等知识，熟记数轴相关定义与性质是解决问题的关键． 33．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题． (1)当点P运动10秒时， ， ， ； (2)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (3)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10，4，24 (2)经过17秒后，点P到点A、点C的距离相等，此时点P表示的数是 (3)在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为4个单位长度，点P表示的数为或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）找出点P运动10秒时表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出PA，PB，PC的长； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，根据点P到点A、点C的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）能，设点Q的运动时间为x秒，分，及三种情况考虑，根据，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解方程可得出x的值，再将其符合题意的值代入点P表示的代数式中即可． 【详解】（1）解：当点P运动10秒时，点P表示的数是， ， ， 故答案为：10，4，24． （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数是， 根据题意得：， 解得：， ． 答：经过17秒后，点P到点A、点C的距离相等，此时点P表示的数是． （3）解：能，设点Q的运动时间为x秒， （秒），（秒），（秒）， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 或； 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 或； 当时，点P表示的数是10，点Q表示的数是， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为4个单位长度，点P表示的数为或或或． 34．如图，点、是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，且、满足，点为原点，点在数轴上，两点之间，且． (1)填空：_____；_____；点所对应的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点在点左侧时，经过几秒满足？ (3)在（2）条件下，动点也同时从点出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点的运动时间记为（秒），当时，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)，， (2)当点在点左侧时，经过秒满足 (3)当时，满足条件的的值为或或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据非负数的性质计算即可得出，的值，从而得出点表示的数，再结合题意即可得出点表示的数； （2）设经过秒满足，则点表示的数为，点表示的数为，由点在点左侧，求出，再结合，列出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （3）由题意可得点表示的数为，点表示的数为，动点与动点相遇前表示的数为，求出动点与动点相遇时间为，当时，，，根据，列出方程求解即可；求出动点与动点相遇时表示的数为，得到动点与动点相遇后表示的数为，再当动点与动点相遇时间为，当时，，，再根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∵点为原点，点在数轴上，两点之间，且， ∴点所对应的数是； （2）解：设经过秒满足， ∵动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点在点左侧， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当点在点左侧时，经过秒满足； （3）解：由题意可得：点表示的数为，点表示的数为，动点与动点相遇前表示的数为， 动点与动点相遇时，， 解得， 当时，，， ∵， ∴， 解得：或； 动点与动点相遇时表示的数为， 动点与动点相遇后表示的数为， 当动点与动点相遇时，， 解得：， 故当时，，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当时，满足条件的的值为或或． 35．已知数轴上点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在A的右侧，到A点的距离为16个单位长度，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______． (2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A． ①在点Q向C点运动过程中，几秒能追上点P？请求出点Q运动时间． ②在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，10 (2)①8秒；②在点开始运动后，、两点之间的距离能为2个单位，此时点表示的数分别是，，，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）由点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，可知点表示的数为，根据点在点的右侧，点与点的距离为16个单位长度，得出点表示的数为，由点表示的数与点表示的数互为相反数，得到点表示的数为10； （2）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程，解方程即可； ②分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的后面与点在点的前面；点从点返回到点时，又分点在点的后面与点在点的前面． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为10； 故答案为：，，10； （2）解：①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据题意得 ， 解得． 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上； ②分两种情况： Ⅰ）点从点向点运动时， 如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是； 如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是； Ⅱ）点从点返回到点时， 如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是； 如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是． 答：在点开始运动后，、两点之间的距离能为2个单位，此时点表示的数分别是，，，． 【点睛】 36．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且，．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在木棒向右运动的过程中，当t为何值时点P与点N重合？ (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3)存在，定值为，持续总时长为秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，能利用数形结合，分类讨论进行求解是解题的关键． （1）点到达点所需时间为秒，此时点表示的数为，点表示的数为，即可求解； （2）分类讨论：①当时，； ②当时，；③当时，点P与点N不可能重合，即可求解； （3）分类讨论：①当时，，；②当时，，，即可求解． 【详解】（1）解：点N表示的数为：， ， 点到达点所需时间为：（秒）， 此时点表示的数为， 所以时，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当点与点重合时，点表示的数为， 当点与点重合时，点表示的数为， 此时， 当点到达点时点表示的数为， 点到达点所需的时间为：（秒）， ①当时 ， 解得； ②当时， ， 解得：； ③当时， 点P与点N不可能重合； 故当t为秒或秒时点P与点N重合； （3）解：存在，定值为，持续总时长为秒； 点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值为； ①当时 解得， ， 解得， 所以， 故持续时间长为秒； ②当时， 解得， ， 解得， 所以， 故持续时间长为秒； （秒） 综上所述，持续时间长为秒． 37．如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离．地 城 类型07 多动点问题（三点及以上） (1)请直接写出点、表示的数，： ，： ． (2)若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 【答案】(1) 3 (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，正确理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和距离得出结果即可； （2）假设运动秒，利用绝对值表示点，两点间的距离，列出绝对值方程，求出时间即可； （3）假运动秒后，点位于，点位于，点位于，根据“友好点”的定义，列出方程，计算求解的值即可． 【详解】（1）解：由于点在数轴的右侧，，两点间的距离， 则点表示的数为3， 点在数轴的左侧，A，B两点间的距离， 则，即点B表示的数为， 故答案为：3，； （2）解：设运动秒后两点相距3，则此时点的位置为，点的位置为， 根据题意得：， 整理得， 解得或； （3）解：当点是点和点的“友好点”时，点在点和点之间，在右边， 根据题意得，运动秒后，点位于，点位于，点位于， 由于， 则， 解得， 因此． 答：的定值为． 38．如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________； (2)当时，P、Q两点间的距离为________； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 (4)或或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）列出P、Q两点距离的代数式，代入t运算即可； （3）根据列方程求解即可； （4）分3种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）t秒后点P表示的数是，点Q表示的数是， ， 当时， ． 故答案为：9； （3）当时， ， 解得或； （4）由题意得，t秒后点M表示的数是， 当点M和点Q重合时， ， 解得． 当点M和点P重合时， ， 解得． 当时，即点Q在P、M之间， ， 解得； 当时，即点M在P、Q之间， ， 解得； 当时，即点P在M、Q之间， ， 解得； 综上可知，当或或时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等． 39．如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10 (2)或时， (3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可求出点B表示的数，然后根据相反数的定义即可求出点A表示的数； （2）根据数轴上两点间的距离求出，，然后根据得出关于t的方程，然后解方程即可； （3）根据数轴上两点间的距离求出，，，代入化简得，然后分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且， 点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数， 点A表示的数是， 故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ， ， 或． 答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，弄清并表示线段的长是解题的关键． 40．已知数轴上有三个点，分别表示有理数，动点从出发，以每秒4个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒，解答下列问题： (1)用含的代数式表示点与的距离：___________；点对应的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点移动，若、同时出发，求：当点运动多少秒时，点和点间的距离为8个单位长度？ (3)如果点从点以每秒钟2个单位长度向右运动，点从点以每秒钟3个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒钟，点到点、点的距离相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题时注意数形结合，解题的关键是要读懂题目，根据题目的条件，用代数式表示出数轴上的动点表示的数，找出等量关系列出方程，再求解． （1）根据题意得出，进而得出点表示的数； （2）分点在点的左侧或点在点的右侧两种情况，分别列出方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出点，点，点对应的数，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 点对应的数是：， 故答案为：， ； （2）解： ， 当点在点的左侧时，，解得； 当点在点的右侧时，，解得； ，秒， 当点运动或秒时，点和点间的距离为8个单位长度； （3）解：经过秒时，点，点，点对应的数分别是，，， ， ， 解得：， 经过秒钟，点到点、点的距离相等． 41．数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点M、N表示的数分别为m、n，那么：①它们之间的距离为；②它们中点所表示的数为．如图所示，数轴上有三点A、O、B，点O是原点．点A、B表示的数分别为a、b，且满足．点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)数轴上是否存在点P，使点P分别到A、B两点的距离之和是16？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； (3)若动点P从点O出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动，同时，动点R从点A出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动．当动点P与动点Q相遇时，动点P立即掉头以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，当Q追上R时，三个动点同时停止运动．在整个运动过程中，点P的运动时间设为t（秒）， ①当时，请求出所有满足条件的t的值； ②在整个运动过程中，以P、Q、R三点中位于内部的那一个点为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)， (2)x的值为或10． (3)①所有可能的t的值为，，；②t的值为秒或秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，动点问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，求解，进一步求解即可． （2）分、、三种情形，分别列出关于的方程求解即可； （3）①分、两种情形，分别列出关于t的方程求解即可； ②根据P与Q相遇，P追上R，对时间分当、、为三段，分别列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，． ∴点A表示的数为，点B表示的数为． （2）解：存在，理由如下： 由题意可得：， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得， 综上所述，x的值为或10． （3）解：设经秒点与点相遇，则P的位置为t，Q的位置为，R的位置为， ∵动点从点出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动， 动点从点出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动， ∴，解得：， 相遇时P的位置为2，Q的位置为2，R的位置为， 设经秒R追上Q， 则追上时R表示的数为，Q表示的数为， ∴， 解得：， ∴运动时间满足． 当时， ， ， ∵， ∴， 当时， 解得：（舍去）； 当时， 解得：； 当时， P的位置可表示为， Q的位置可表示为， R的位置可表示为， 所以， ， 因为， 所以， 所以或， ，解得：， ，解得：， 综上所述，所有可能的t的值为，，； ∵动点R从点A（表示）出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，动点Q从点B（表示8）出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动， ∴若Q经t秒追上R，则， 解得：， ∴Q经秒追上R， ∵动点从点出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动， ∴若点经秒与点相遇，则， 解得：， ∴点经2秒与点相遇，此时点P表示的数为2，Q点表示的数为2，R点表示的数为， 若从现在开始，三点一起出发经秒P追上R， 则， 解得：， 此时时间为第7秒， 当时，以R、P、Q的顺序位于数轴上， 且R表示的数为，P表示的数为，Q点表示的数为， ∴，， 此时P为位于中间的动点，以P为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1， ∴或， 由，得， 解得：， 由，得， 解得：； 当时， ∵第2秒时，点P表示的数为2，Q点表示的数为2，R点表示的数为， 当动点与动点相遇时，动点立即掉头以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动， ∴数轴上三点的位置顺序为R、P、Q， 其中R表示的数为，P表示的数为，Q表示的数为， ∴ ， 此时P为位于中间的动点，仍以P为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1， ∴或， 由，得， 解得：， ，在范围内，符合题意； 由，得， 解得：， ， 在范围内，符合题意； 当时，点P追上R，且此时Q还没追上R， 此时P与R重合，都在点，Q在， 当时，点P超过R，且此时Q还没追上R，三点的顺序为P、R、Q， 此点P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∴， ， 此时P为位于中间的动点，仍以P为折点，将数轴对折，对折后另外两个动点之间的距离为1， ∴或， 由，得， 解得：， 由，得， 解得：， ， 在范围内，符合题意， 综上所述，t的值为秒或秒或秒或秒或秒或． 42．如图1，已知数轴上有三点、、，，点对应的数是． (1)若，求点在数轴上对应的数； (2)如图2，在（1）的条件下，动点、两点同时从、出发向右运动，同时动点从点向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点的速度2倍少10个单位长度/秒，经过5秒，点、之间的距离与点、之间的距离相等，求动点的速度； (3)如图3，在（1）的条件下，表示原点，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，在运动过程中，如果点为线段的中点，点为线段的中点，请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．若其它条件不变，将的速度改为5个单位长度/秒，求10秒后的值． 【答案】(1) (2)14个单位长度/秒 (3)不变；；2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算． （1）根据，，得出，利用点对应的数是，即可得出点对应的数； （2）假设点速度为个单位长度/秒，根据点、之间的距离与点、之间的距离相等，得出等式方程求出即可； （3）分别表示出，，的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：，， ． 点对应的数是， 点在数轴上对应的数为：； （2）解：设点速度为， 由题意可得，点速度为，点速度为， 经过5秒，点对应的数是， 点对应的数是， 点对应的数是， ， ． 点、之间的距离与点、之间的距离相等， ， 或， 解得（舍去）或． 把代入中可得 动点的速度为14个单位长度/秒； （3）解：设动点，，的运动时间为秒， 由题意得，经过秒，点对应的数是， 点对应的数是， 点对应的数是， ，， ，， ，， ， ， ， ， 的值不会发生变化； 其它条件不变，将的速度改为5个单位长度/秒，则点对应的数是， ，， ， ， ， ， ， 10秒后的值为2． 43．已知、两点在数轴上所表示的数分别为、，且、满足：．地 城 类型08 线段的运动 (1)填空：_______，_______； (2)问题探究：将一根木棒如图1所示，放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这个木棒的长为_______个单位长度； (3)在（2）的条件下，当木棒从图1位置以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右和向左运动，记木棒运动后对应的位置为． ①当时，求运动的时间； ②当、相遇后是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)秒或秒； ，. 【分析】根据绝对值的非负性和平方的非负性求出、的值； 设这个木棒的长度为，由题意可知：，可列方程，解方程即可求出这个木棒的长为个单位长度； 设运动的时间为秒，根据可得：，解方程即可求出运动的时间是秒或秒； 由点、表示的数可知，当、相遇时，运动的时间是秒，当时，可得：，，所以可得：，根据的值与它们的运动时间无关，可得，求出此时的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设这个木棒的长度为， 由题意可知：， ， ， 解得：， 这个木棒的长为个单位长度， 故答案为：； （3）解：设运动的时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ， 由平移可知，， 当时， 可得：， 或， 解得：或， 答：当时，运动的时间是秒或秒； ②解：由可知， 点表示的数是，点表示的数是， 当、运动秒时相遇， ， 当运动时间秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是， ，， ， ， ， 当时，即时，的值与运动时间无关， 此时． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题、绝对值的非负性、平方的非负性，列出正确的方程是本题的关键． 44．如图，数轴上一个点从原点出发，先向左移动5个单位长度到达A点，再向右移动12单位长度到达B点，点C、点D在数轴上，把一根木棒放置在数轴上，它的端点分别落在点C、点D处，将木棒在数轴上移动，当点M移动到点A处时，点N落在点C处，当点N移动到点B处时，点M落在点D处． (1)请你直接写出点所表示的数：点A表示的数为__________，点B表示的数为__________，点C表示的数为__________，点D表示的数为__________； (2)若木棒从处（端点分别落在点C、点D上）出发，以每秒个单位长度向右移动，同时点P和点Q分别从点A、点B出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右移动，设移动的时间为t（秒）． ①点之间的距离用表示，当为个单位长度时，求t的值； ②点之间的距离用表示，点之间的距离用表示，请问是否存在常数k，使得的值为定值？若存在，请求出常数k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)①或；②存在k＝0.5，定值 【分析】（1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案． （2）①用表示点M为，根据两点间距离列出等式，即可求得值； ②分别用表示点P、Q和，然后列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∵当点M移动到点A处时，点N落在点C处，当点N移动到点B处时，点M落在点D处， ∴，，， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：，，，． （2）①由题意可得：点M表示的数为：， 则：， 解得：或； ②由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：，点表示的数为：， ∴，， ∴， 要是为定值，需要， 解得：， 此时：． 【点睛】本题考查的是数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的解法，一元一次方程的应用，掌握数轴上点运动后对应的数的表示规律，两点间的距离，分类讨论是解题的关键． 45．【问题背景】 在数学综合实践活动课上，小亮借助两根小木棒m，n研究数学问题；如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒m的端点A、B两点间的距离为4，点B到原点的距离为1；木棒n的端点C、D在数轴上对应的数分别是3，8． 【问题再现】 （1）若木棒m的端点A，B两点在数轴上对应的数为a，b，求a和b的值； 【问题推广】 （2）小亮把木棒m，n同时沿正方向移动，木棒m的速度为每秒4个单位长度，木棒n的速度为每秒3个单位长度，设移动时间为． 【初步探究】 ①若在移动过程中原点O恰好是木棒m的中点，求t的值； 【深入探究】 ②在移动过程中，当木棒m，n重叠部分的长为3个单位长度时，求t的值． 【答案】（1），；（2）①；②或10 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据木棒m的端点A、B两点间的距离为4，点B到原点的距离为1，可求出a和b的值； （2）①根据原点是中点，列式计算即可； ②分m在n后面和前面，两种情况分类讨论求解即可． 【详解】（1）因为点到原点的距离为1， 所以． 又因为木棒m的端点A、B两点间的距离为4， 所以， 解得． （2）①平移前木棒m的中点的位置在数轴上表示的数为， 根据题意，得． 解得． ②设经过t秒，木棒m、n重叠部分的长为3个单位长度， 当m在n后面时，根据题意，得， 解得， 当m在n前面时，根据题意，得， 解得， 综上所述，或10． 46．在数学综合实践活动课上，小张同学借助两根木棒研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别对应有理数和6．小张把两根木棒放在数轴上，使点 P与点A重合，点M与点B重合，点Q 在点 P的左边，点N在点M 的左边，且，木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位长度的速度匀速运动；木棒同时从点A 开始向右以每秒3个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)当时，点Q对应的有理数为 ，点M 对应的有理数为 ; (2)在点 P 运动到点C之前，当线段和线段的长度之和为8时，求t的值； (3)当点P运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点Q在点P的左边），当点P再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，点D为木棒的中点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值? 若存在，求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定值为4，持续的总时长为秒 【分析】（1）先找出点Q和点M对应的有理数，再结合以及运动方向和运动速度，即可作答． （2）先求出点P运动到点C所需要的时间是6秒，再分别表示出点P，点Q，点M，点N所对应的有理数，结合线段和线段的长度之和为8，进行列式计算，即可作答． （3）分向右运动时，点所对应的有理数在上，以及向左运动时，点所对应的有理数在上，这两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三个点，分别对应有理数和6．小张把两根木棒放在数轴上，使点 P与点A重合，点M与点B重合，点Q 在点 P的左边，点N在点M 的左边，且， ∴时，点Q对应的有理数是，点M，点N分别对应的有理数为，， ∵木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位长度的速度匀速运动；木棒同时从点A 开始向右以每秒3个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． ∴当时，则点Q对应的有理数是，点M对应的有理数为， 故答案为：； （2）解：依题意，点P运动到点C所需要的时间是（秒）， 在点P运动到点C之前，点P，点Q所对应的有理数是，，点M，点N所对应的有理数是，， 当未追上时，则， ， ∵线段和线段的长度之和为8， ∴ 解得； 当追上后，则， ， ∵线段和线段的长度之和为8， ∴ 解得（舍去）； （3）解：存在，过程如下： ∵点D为木棒的中点，且在点P运动到点C之前，点P，点Q所对应的有理数是，， ∴点D所对应的有理数是，点D到点P、Q的距离之和为一个定值，即为的长度，即为2， ∵使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值， ∴点D所对应的有理数在木棒内部（包括木棒的端点上）会满足条件， ∵点M，点N所对应的有理数是，， ∴当点D与点N所对应的有理数是相等时，则， 解得， ∴当点D与点M所对应的有理数是相等时，则， 解得， 在时，， ∴（秒）， 此时点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，且为， 当点P运动到点C后返回时， 则，，， ∴点D所对应的有理数是， ∴当点D与点N所对应的有理数是相等时，则， 解得， ∴当点D与点M所对应的有理数是相等时，则， 解得， 在时，， ∴（秒）， 此时点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，且为， 综上所述，点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，且为，持续的总时长为（秒）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴动点问题，在数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 47．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数． 【初步感知】（1）如图1，若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____表示的点重合； 【深入探究】（2）若点从点、点从和点从点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； 【拓展延伸】（3）如图2，小石同学把两根木棒放在数轴上探究，与重合，与重合，，，在的左侧，在的左侧．木棒从点开始向左运动，运动速度为每秒个单位，同时木棒从点开始向右运动，运动速度为每秒个单位，设运动时间为秒，在整个运动过程中，线段上是否存在一点是的中点？若存在，请求出所表示的数的最大值和最小值，并求出持续的时长；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1） （2）秒或秒或秒 （3）在整个运动过程中，线段上存在一点是的中点，点表示的最大值为，最小值为，持续时间为 【分析】（1）根据中点的计算方法可得使得点与点重合的折点为，根据折点与之间距离的计算即可求解； （2）分别用含的式子表示出点表示的数，根据中点的计算，分类讨论，由数量关系列出一元一次方程求解即可； （3）分别表示的中点，点表示的数，根据点分别是中点时的计算可得时间的取值范围，即可得到最大值，最小值，与持续时间，由此即可求解． 【详解】解：（1）点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴， ∴折点表示的有理数为：； ∴折点到点的距离为， ∴， ∴点与数表示的点重合； （2）点从点、点从和点从点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，时间为秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，当是的中点时，， 解得，； 第二种情况，当是的中点时，， 解得，； 第三种情况，当是的中点时，， 解得，； 综上所述，三点中恰有一点为另外两点的中点时，的值为秒或秒或秒； （3）点表示的数为，与重合，， ∴点表示的数为：， ∴表示的中点为：， ∵木棒从点开始向左运动，运动速度为每秒个单位，设运动时间为秒， ∴中点运动过程中表示的数为：， 点表示的数为，与重合，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∵木棒从点开始向右运动，运动速度为每秒个单位，设运动时间为秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 当点是中点时，， 解得，， ∴点表示的数为：； 当点是中点时，， 解得，， ∴点表示的数为：； ∴线段上是存在一点是的中点时，时间的取值范围为：， ∴点表示的最大值为，最小值为，持续时间为， ∴在整个运动过程中，线段上存在一点是的中点，点表示的最大值为，最小值为，持续时间为． 【点睛】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，中点的计算，一元一次方程与几何问题的综合，掌握两点之间距离的计算，中点的计算，一元一次方程解几何中动点问题的数量关系，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 48．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点A重合，点N与点重合，点在点Q的左边，点在点的左边，且，，木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)当时，若线段和线段的长度之和为12，求对应的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说理由． 【答案】(1)； (2)当或时，线段和线段的长度之和为12 (3)存在；定值为8；持续总时长为秒 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）当时，得出，，，，根据，得出，求出结果即可； （3）分时和两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：点表示的数为； 点表示的数为； 故答案为：；． （2）解：当时，，，，， ， ， ， ， 即， 解得：，； 当或时，线段和线段的长度之和为12． （3）解：定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： 当在上运动时，点到点、、、的距离之和为一个定值，且点到点、、、的距离之和为：； ①当时，，，，， ， ， ， ， ， ∴持续时长2秒； ②当时，，，，， ， ， ， ，    ∴持续时长为（秒）， （秒）， ∴持续的总时长为秒． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03数轴动点分类训练 (8种类型48道) 类型动点定值问题 类型业动点最值问题 类型3动点存在性出问题 类型4折线数轴动点 数轴动点问题 类型5动点变速问题 类型6折返问题 类型口多动点问题（三点及以上） 类型8线段的运动 目目 类型01 动点定值问题 1.【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发 现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为、b,则A,B两点之间的距离 ABa-,若 已知a>b,则AB=a-b.如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-18，-8，+8，A到C 的距离可以用4C表示，计算方法：4C=-18-(+826或4C=(+8)-(-18)=26 B -18 -8 (1)填空：AB=,BC= 【构建联系】(2)现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发， 1/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以每秒3个单位长度的速度向右移动.设点P移动的时间为1秒. ①填空：运动过程中点P表示的数是 一，点Q表示的数是 一；（用含t的代数式表示） PO=6 ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离 【深入探究】(3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右 运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为1秒，运动过程中，点D始终在 A、C两点之间的线段上，且CD-3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值， 2.数轴上A、B两点表示的数分别为“、b,满足++6-15=0，点C为4、B的中点表示的数为， 己知点P是数轴上一动点，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(>0)· A C B (1)a=,b=,C=: 2若点”从出发2秒后，点2从“点出发，且以每秒1个单位长度的速度沿数销向左运动，点P运动到 A P 点C后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动.当P⑨=10时，求P、Q分别表示的数： 3动点”从点出发到B、C中点后立即以每秒4个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点”从C点出发 0 沿数轴以每秒2个单位的速度向右运动，到达B点后立即按原速沿数轴向左运动，动点M也同时从B点出 发沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，当点M运动到B、C中点时，P、Q、M同时停止运动.设 运动的时间为t秒，是否存在k使得kMP+MQ在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由：如果存在， 写出所有满足条件的k,并把其中一个k的求解过程写出来 3.如图O,若数轴上点4、点“表示的数分别为”，6>，则线段4B的长（点4到点8的距离）可 表示为b-a.如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A,再向右移动3个 单位长度到达点B,然后再向右移动5个单位长度到达点C. ,65-4-3-2-012345678> 图① 图② (1)请在图②中表示出A、B、C三点的位置，若将数轴对折，使得A点与C点重合，则点B与数 2/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表示的点重合： (2)若在A,B,C处分别有三个动点P,M,N,其中点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴 向右匀速运动，1秒后点M从点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点C以每 秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动.设点P移动时间为'秒：>0) ①当3PM=MN时，求t的值. ②是否存在有理数k,使得kPN+MP在一定时间段内为定值，如果不存在，请说明理由：如果存在，请 直接写出满足条件的k的值. 4.操作发现： 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为-2、1，将点A绕点M旋转180°得到点B,此时点B所 Y(A,M)=B Y(-2,1)=4 表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点，记作： ，例如： 操作二：如图2，已知点M和线段AB,将点A、M绕同一点旋转180°，使点A和点B重合，此时点M所 对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段AB的映射点，记作： Y[M,(A,B)]=N ，例如： Y[-1,(1,3]=5 M B -5-43-2-10123425> 图1 图2 Y(2,-2)=Y[3,(1,-2)]= (1)直接填空： Y(C,A)=D,Y[C,(A,B)]=E (2)点A表示的数为a,点B与点A之间的距离为5，点C是数轴上一动点，且 ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理 由： ②当点C表示的数是-2时，且B、D两点之间的距离恰好为2，求a的值. 3/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知多项式”-3“+4g2”-2 的常数项是9，次数是么a在数转上分别表示的点是8 (如图)， 点A与点B之间的距离记作AB. A 0 a 01 b a,b (1)求的值； D A,B A,B (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度.同时点在数轴上运动，点的 速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒 ①若点A向右运动，点B向左运动，AP=PB,求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m,使得2AP-m·PB的值为定值？若存在，求出m 的值，且定值为多少？若不存在，说明理由. 6.我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a,点B表示数b,线段AB的长表示为AB.当点C为线段AB a+b 中点时，即4C=BC时，点c表示的数为2.请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数-2，B点表示数5.若在原点O处放一挡板，一动点P从点A处以2个单位 /秒的速度向左运动：同时另一个动点°从点处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原 来的速度向相反的方向运动，回到B点后，两动点均停止运动，运动结束.假设运动的时间为t(秒)· A B 0 (1)动点P表示的数为： 当0<1≤3时，动点Q表示的数为一： 当31s0 时，动点Q表示的数为一： (用含的代数式表示) PO (2)当是线段中点时，求时间的值： OB AO E F (3)分别取和的中点，； ①当EF=2时，求时间t的值： 4/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m AB-00+mEF m ②试判断是否存在常数”，使得 的值是定值，若存在，求出的值：若不存在，说明理 由. 目目 类型02 动点最值问题 7.已知数轴上A,B两点表示的数分别为α，b,AB表示线段AB的长度.对于线段AB和数轴上的点C, 给出如下定义： CA,CA≥CB d(C,AB)= CB,CA<CB,此时，我们称(C,AB)是点C和线段AB的极大距离.例如：数轴上A,B两点 表示的数分别为之，3，点C是原点，此时因为CA=2,CB=3,且C1<CB,所以C,4B)=CB=3 A B 5-4321012345678910→ (1)当数轴上A,B两点表示的数分别为2,10，点C对应的数是1时，(C,1B)= 2)①当数轴上点A表示的数为2，点C对应的数是1，dC,1B)=5 点B对应的数是一； ②当数轴上A,B两点表示的数分别为2,10，点C是数轴上的动点， d(C,AB) 的最小值是： (3)已知数轴上A,B,C三点表示的数分别为-2,10,1.A,C两点沿数轴以每秒2个单位长度向右运动， B点沿数轴以每秒4个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为1，当(C,1B) 最小时，求t的最大 值和最小值。 8.如图所示，点1，B,C是数轴上三点，点1，B分别表示有理数“，b,且@-2+b+6=0 点C 表示20.现有一圆从点A出发以2个单位长度/s的速度沿数轴按顺时针方向滚动（圆与数轴的接触点为圆 的最低点)，动点P从点B出发以4个单位长度s的速度沿数轴向右运动.已知圆的周长为6个单位长度， 点M,N和Q分别是圆的三等分点，开始时，点Q为最低点且与数轴上的点A重合. 5/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(2) (1)点A表示数 一，点B表示数 当圆滚动5s时，圆的最低点在数轴上对应的数为一： (2)若点P在圆滚动5s后开始运动，当P到达数轴上38对应的点时，立刻以原速返回（向左运动）·问： 点P运动多少s时，它与圆的最低点重合？并通过计算说明此时点M,N,Q是否与点P重合 (3)动点K从点C出发以3个单位长度s的速度沿数轴向左运动，点P和圆分别从点B,A同时出发.若点 p到圆的最低点间的距离记为m’点K,p间的距离记为n,则2m+”的最小值是多少？请直接写出答案。 9.阅读下面信息： 数轴上两点从、N表示的数分别为义，，那么点M与点N之间的距离为N日MW=书- 例如，点4、B表示的数分别为1和2，那么点A与点B之间的距离为M8川且=H-2=3 根据以上信息，回答下列问题： 己知点A、B在数轴上表示的数分别为-3和6， PA= (1)①若点P表示的数是4，则 ②若动点P在数轴上表示的数为x,满足PA-2PA,求 (2)若动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向右运动，同时动点Q从B点出发以每秒2个单位的速度向 左运动，设运动时间为秒，在运动过程中，是否存在P四=3， 若存在，求1的值，若不存在，请说 明理由. B设6、F表示数的分别为x和，<y<6,记为m-k+2斗-6，n=+2--6且”-m=4,求 y一x的最小值。 10.如图1，已知在数轴上有A、B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB=12. 若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，另有一动点Q 从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒. 6/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A B A 图1 备用图 当=1时，数轴上点？表示的数是 ；点表示的数是 2当引时，数轴上有一点M到点°的距离与到点”的距离之和最小，求出这个最小值，并指出此时 M M 点所表示数m的取值范围. (3)若定义一个点0到点M、N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍，则称点O是M,N的“腾 点”.已知点C是线段AB的中点，点P、Q分别从A、B两点同时出发，点P向左运动到C点立即返回， 返回到4点时停止，动点一直向右运动到4点后停止运动.求当‘为何值时，点C为P,@的“特点”？ 11.如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为-10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. A P B -10 0 15 (1)点A到点C的距离为一： (2)数轴上是否存在点P(点P在点A的右侧)，使得点P到点A、B的距离之和为25个单位长度？若存在， 请求出x的值；若不存在，请说明理由： (3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S,在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动 过程中，请直接写出S的最大值与最小值 12.如图，数轴上点A、B分别表示-2和6，动点P以1个单位/秒的速度从点A出发向负半轴方向运动， 同时动点以2个单位/秒的速度从点出发，向负半轴方向运动，设”运动时间为秒. B 0 B 0 备用图1 B 0 备用图2 7/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)①当t=2时，点P在数轴上对应的数为」 ②当为何值时，点与点重合？ 2若点2从点8出发，到达点后立即按原速返回，则在整个运动过程中，当为何值时， PO=6 (3)对于数轴上的两条线段AD、BC,给出如下定义：若线段AD的中点E与线段BC上点的最小距离不超 过1，则称线段AD是线段BC的“限中距线段”，若点C表示的数是7，点D表示的数为m,线段AD是 线段BC的“限中距线段”.请直接写出m的最大值和最小值. 目目 类型03 动点存在性问题 a+161+|b+4|+(c-5)2=0 13.如图，数轴上有A,B,C三个点对应的数分别为a,b,c,且满足 A B B C 备用图 (1)直接写出a,b,c的值： (2)若数轴上有两个动点P,Q分别从A,B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度 CO /秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为：秒，运动过程中，是否存在线段”的中点M到点②的 中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由： 3)在(2)的条件下，另外两个动点E,F分别随若P,Q一起运动，且始终保持线段EP=2,线段 O=3 (点E在P的左边，点F在Q的左边)，当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P EP FO EP 再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和 FO EP 重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由. 1 14.已知关于x的二次多项式(a+3)x+92-2x+1的二次项系数为6，且c是单项式y的次数，如图， 点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c. 8/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空：a=,b= 2动点”从点1出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点°从点出发，以每秒 A 1个单位长度的速度沿数辅向左匀速运动。设点”的运动时间为'秒。当为何值时，点？、D之间的距离 是点、之间距离的2倍？ P O (3)动点、在(2)的运动条件下，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速 运动，当点N与点P相遇后，点N立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P到达点C后停留1秒钟， 然后继续按原速沿数轴向右匀速运动，当点N运动到点B时全部停止运动.请问在整个过程中，是否存在 W 某个时间秒，使得点到点”的距离与点”到点距离的和为6，若存在，请直接写出的值.若不存在， 请说明理由， 15.如图，在数轴上点A表示的数为-20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度 沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点从点出发以每秒8个单 N 位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运 动. 当运动时间为3秒时，点”、点之间的距离是一，单位：当运动时间为 N 秒时，点与点 相遇. ON=8 (2)当 个单位时，求三个点的运动时间. kPO+ON (3)是否存在常数，使得 在某段时间内为定值？若存在，直接写出的值以及该定值：若不存在， 请说明理由. 16.如图，数轴上有A,B,C三个点，点B对应的数是-4，点A,C对应的数分别为a,C,且a,c满 9/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 足la+12+(c-3)2=0 A BC→ B 0 (1)直接写出a=，c=: B (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位 长度的速度向左运动：动点P到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时 间动点P与动点Q到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点M,N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为3个单 位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，记线段AM的中点为G.是 否存在的值，使得G、M、V三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出t的值，若不 存在，请说明理由. 17.如图，在数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示的数为C,点C是AB的中点，已知a, 力满足Q+7引+6-9=0，现有两动点P,P在数链上同时开始运动，其中点P从点B出发向左匀速运动， 速度为每秒4个单位长度，点Q从点C出发向左匀速运动，速度为每秒2个单位长度. A C B a 6 (1)填空：a+b= ,C= 2求几秒后，P,°之间相距个单位长度。 (3)若点P运动到C后，立刻以每秒2个单位的速度运动到A后，再以每秒8个单位长度的速度返回到B点 时停止运动；点Q运动到A后，立刻以每秒4个单位长度的速度返回到B点时停止运动，在此运动过程中， 是否会存在CP=2CQ？若存在，请直接写出运动时间t的值：若不存在，请说明理由. 18.已知a++6-5=0,c=-(+2),且4、力、c分别是点4、日、C在数辅上对应的数 -5-4-3-2-101234567→ (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C. 10/27