专题05 因式分解 3大高频考点（期末真题汇编，云南专用）八年级数学上学期

专题05 因式分解 3大高频考点概览 一、考点01 判断是否因式分解 二、考点02 提公因式法 三、考点03 综合提公因式法和公式法 地 城 考点01 判断是否因式分解 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 2．（17-18七年级下·浙江宁波·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，从左到右的式子变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义．根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． 【详解】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，该选项错误，不符合题意； B、，是整式乘法，不是因式分解，该选项错误，不符合题意； C、，是因式分解，该选项正确，符合题意； D、，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答． 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故选：B 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 6．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：A、选项是将整式分解成了两个因式乘积的形式，故A是因式分解，符合题意 B、选项中左边不等于右边，不是因式分解，不合题意； C、选项中右边是不乘积的形式，不是因式分解，不合题意； D、选项中右边不是乘积的形式，不是因式分解，不合题意． 故选：A． 地 城 考点02 提公因式法 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 8．（24-25九年级上·浙江温州·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据题意，提取公因式，即可求解． 【详解】解：, 故答案为： ． 9．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 10．（2012·湖北咸宁·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【详解】原式= 地 城 考点03 综合提公因式法和公式法 11．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．根据提公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A、，原分解错误，故此选项不符合题意； B、不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原因式分解错误，故此选项不符合题意； D、，原因式分解正确，故此选项符合题意； 故选：D． 12．（24-25八年级上·云南红河·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，根据完全平方公式、提公因式法和平方差公式分解因式判断即可．熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项因式分解正确，符合题意； B、不能因式分解，，原选项因式分解错误，不符合题意； C、，原选项因式分解错误，不符合题意； D、，原选项因式分解错误，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25八年级上·云南普洱·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式、提公因式法和平方差公式分解因式判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 14．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用、因式分解，熟练掌握完全平方公式、提公因式法是解决本题的关键．根据提公因式法、完全平方公式即可解决此题． 【详解】解：， ， ， ，， 原式， 故选：C． 15．（2023·广东佛山·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．（2013·四川眉山·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 17．（22-23九年级上·广西南宁·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）已知，满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性、幂的乘方的逆用，利用完全平方公式因式分解，有理数乘方运算，由，得，故有，，由，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 19．（2019·江苏徐州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．（2015·广东深圳·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可，熟练掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）将因式分解后的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用完全平方根公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 22．（2024·湖南衡阳·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式，再用公式法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·山东济南·期中）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．先提公因式a，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 25．（2023·云南昭通·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤，注意分解要彻底． 26．（2022·湖南株洲·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 27．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． （1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式的几何背景是边长为，的长方形扔面积，解答； （3）根据阴影面积＝总面积－两个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； 故答案为：； （2）解：根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是， 故答案为：； （3）解：图形的总面积为：， 两个三角形两种分别为：， ，阴影面积＝总面积－两个三角形的面积， （负数舍去） ， ． 28．（24-25八年级上·云南昆明·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？____（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C； (2)不彻底；； (3)． 【分析】本题考查因式分解，掌握换元法因式分解，是解题的关键： （1）根据两数和的完全平方公式进行因式分解； （2）分别不彻底，再次利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）令，利用换元法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，利用了两数和的完全平方公式法因式分解， 故选C． （2）∵， ∴分解不彻底， 原式； （3）令， 原式 ． 30．（24-25八年级上·云南普洱·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4． (1)解决问题： 下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①29；    ②48；    ③13；    ④28． (2)探究问题： ①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由． ②已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)①③ (2)①当时，为“完美数”，理由见解析；② 【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算： （1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应字母的值； （3）利用配方法和非负数的性质求得最小值； 仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴29是“完美数”， ∵， ∴13是“完美数”， 故答案为：①③； （2）①当时，为“完美数”，理由如下：， 当时完全平方数时，即， 即时，是“完美数”； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 试卷第14页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 3大高频考点概览 一、考点01 判断是否因式分解 二、考点02 提公因式法 三、考点03 综合提公因式法和公式法 地 城 考点01 判断是否因式分解 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（17-18七年级下·浙江宁波·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，从左到右的式子变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 提公因式法 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 8．（24-25九年级上·浙江温州·月考）分解因式： ． 9．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 10．（2012·湖北咸宁·中考真题）因式分解： ． 地 城 考点03 综合提公因式法和公式法 11．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·云南红河·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·云南普洱·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．（2023·广东佛山·一模）分解因式： ． 16．（2013·四川眉山·一模）因式分解： ． 17．（22-23九年级上·广西南宁·期末）分解因式： ． 18．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）已知，满足等式，则 ． 19．（2019·江苏徐州·二模）因式分解： ． 20．（2015·广东深圳·三模）因式分解： ． 21．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）将因式分解后的结果为 ． 22．（2024·湖南衡阳·模拟预测）因式分解： ． 23．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式分解因式的结果是 ． 24．（23-24八年级上·山东济南·期中）分解因式 ． 25．（2023·云南昭通·二模）分解因式： ． 26．（2022·湖南株洲·中考真题）因式分解： ． 27．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 28．（24-25八年级上·云南昆明·期末）分解因式： (1)； (2)． 29．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？____（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 30．（24-25八年级上·云南普洱·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4． (1)解决问题： 下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①29；    ②48；    ③13；    ④28． (2)探究问题： ①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由． ②已知实数，满足，求的最小值． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $