专题07 勾股定理 11大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题07 勾股定理 11大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求长度 考点02 利用勾股定理求面积 考点03 利用勾股定理与逆定理求解 考点04 勾股数 考点05 判断能否构成直角三角形 考点06 勾股定理与无理数 考点07 勾股树问题 考点08 勾股定理与弦图 考点09 勾股定理的证明 考点10 勾股定理与折叠问题 考点11 勾股定理与网格问题 地 城 考点01 利用勾股定理求长度 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)在中，已知其两直角边长，那么斜边的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 2．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5 B．6 C．4 D．8 3．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)如图，在中，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点，并连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm 5．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，过点P作且，得；再过点P1作且，得；又过点P2作且，得…依此法继续作下去，得等于（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（    ）．    A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 7．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 8．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)在中，，，高，则三角形的周长为 ． 9．(24-25八上·辽宁丹东·期末)如图，点E为长方形内一点，连接，，，已知，，，若，则的长为 ． 10．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ． 11．(24-25八上·辽宁抚顺望花区·期末)如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为 ． 12．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，在中，，，垂直于的平分线于点D，连接，若点D正好在线段的垂直平分线上，则的长为 ． 地 城 考点02 利用勾股定理求面积 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期末)如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（    ） A．30 B．36 C．60 D．72 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 3．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 地 城 考点03 利用勾股定理与逆定理求解 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁大连中山区·期末)如图，已知，，，，，则阴影部分的面积为 ． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期末)如图，四边形中，，，求四边形的面积． 3．(24-25八上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 地 城 考点04 勾股数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 3．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．3、5、7 B．、、 C．5、12、13 D．0.3、0.4、0.5 4．(23-24八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列四组数，是勾股数的是（    ） A． B． C． D．，， 5．(23-24八上·辽宁沈阳新民·期末)下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 6．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期末)下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，4，7 C．8，15，17 D．4，5，6 地 城 考点05 判断能否构成直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)下面的三个数据，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．1，， C．2，3，4 D． 2．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)下列数据能作为直角三角形三边的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁本溪·期末)中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 4．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·辽宁大连西岗区·期末)以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．(24-25八上·辽宁锦州·期末)下列条件中，可以判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12 8．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)以下列线段 的长为边，能构成直角三角形的是 （    ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论正确的是(       ) A．△ABC是直角三角形，且∠A=900 B．△ABC是直角三角形，且∠B=900 C．△ABC是直角三角形，且∠C=900 D．△ABC不是直角三角形 10．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（    ） A．5，12，13 B．9，40，41 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4 11．(23-24八上·辽宁阜新太平区·期末)下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三内角之比为 B．三边长的平方之比为 C．三边长之比为 D．三内角之比为 地 城 考点06 勾股定理与无理数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A．1 B． C． D． 2．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图所示，数轴上点 A 表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，已知，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．(23-24八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　) A．－2 B．－2 C．1－2 D．2－1 5．(24-25八上辽宁抚顺望花区·期末)如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是，0，与数轴垂直，且，连结，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为 ． 7．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是 ． 8．(23-24八上·辽宁本溪·期末)如图，Rt△OAB的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上.截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ． 三、解答题 9．(23-24八上·辽宁沈阳辽中区·期末)已知，如图所示，点在数轴上，且．回答下列问题： (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较与的大小；（写出简要过程） (3)设点在数轴上，点表示的数是，且满足，如果是非零整数，直接写出符合条件的N点有几个？ 地 城 考点07 勾股树问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东·期末)1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14 2．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 4．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·辽宁大连庄河·期末)如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)已知图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是100cm2，则其中最大的正方形的边长为 cm． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 8．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则 ． 9．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 地 城 考点08 勾股定理与弦图 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁盘锦双台子区·期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期末)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．144 C．169 D．196 3．(23-24八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25八上·辽宁大连长海县·期末)如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 地 城 考点09 勾股定理的证明 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·辽宁大连长海县·期末)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁本溪·期末)【问题情境】 （1）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”，他比严谨的数学证明更为优雅和有条理．图1为某数学活动小组在研究“勾股定理几何证明”时构造的“无字证明”图形： 点、、在同一条直线上，且，．设，，，根据四边形面积来完成证明．①整体方法：用含的式子表示四边形面积；②分别求解：借助、、的面积和，用含的式子再次表示四边形面积，建立等式，得到．请根据上述思路，完成勾股定理的推理过程．（注：） 【思想应用】 （2）如图2，在中，，，以边为斜边作，使得，且，连接，当时．求边的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，点是四边形内一点，，，，判断和的面积是否相等？请你说明理由． 4．(23-24八上·辽宁沈阳和平区·期末)阅读材料，解决问题． 材料一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．如图1，四边形中，若，则有． 材料二：教材中介绍了可以通过“拼图”的方法证明勾股定理；通过下面的方法，也可以证明勾股定理．已知 ，将它们按如图2所示那样摆放，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接． 结合材料给出的信息解决下面问题： (1)求证：； (2)若，请用含有a或b的代数式分别表示图2中和的面积； (3)在（2）的条件下，若，请结合材料信息，证明勾股定理． 地 城 考点10 勾股定理与折叠问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州·期末)如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 3．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 4．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为 ． 5．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 6．(23-24八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为 ．    7．(23-24八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为 ． 三、解答题 8．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 9．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在矩形中，，，点在边或边上，将矩形沿着过点的直线折叠，当点落在边（含端点）上时，落点记为，然后展开铺平，以，，为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） (1)如图1，当的顶点位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； (3)当点在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 地 城 考点11 勾股定理与网格问题 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁锦州·期末)如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形格点上，连接，点C到的距离为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 3．(24-25八上·辽宁锦州·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 三、解答题 4．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 5．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 6．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在图中第一象限内存在一格点，满足，，格点D的坐标为_______． （注：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点） 7．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二中学·期末)如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 8．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图（a）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (3)在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 9．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)在平面直角坐标系中，的位置如图所示．    (1)画出关于y轴对称的并写出点的坐标； (2)在第一象限的格点上找一点D，连接，，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为______． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 勾股定理 11大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求长度 考点02 利用勾股定理求面积 考点03 利用勾股定理与逆定理求解 考点04 勾股数 考点05 判断能否构成直角三角形 考点06 勾股定理与无理数 考点07 勾股树问题 考点08 勾股定理与弦图 考点09 勾股定理的证明 考点10 勾股定理与折叠问题 考点11 勾股定理与网格问题 地 城 考点01 利用勾股定理求长度 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)在中，已知其两直角边长，那么斜边的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：斜边的长为； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，属于基础题型，熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 2．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A．2.5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，过点A作于点E，由等腰三角形的性质得米，由勾股定理求出米，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， 即3米米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：C． 3．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)如图，在中，，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点D，连接，点F是的中点，并连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中利用含30度角的直角三角形三边的关系以及勾股定理得到，再由基本作图得到垂直平分，所以，则，接着证明为等边三角形，所以，根据等边三角形的性质得，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理求出的长． 【详解】解：在中，∵， ，即， ， 由尺规作图作法得垂直平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ∵点是的中点， ， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系等知识点． 4．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在平面内，然后把皮筋中点C竖立向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm，则此时该弹性皮筋被拉长了（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm 【答案】B 【分析】根据题意可得CD是AB的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AD长，进而可得BD长，从而可得答案． 【详解】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AD==13（cm）， ∴BD=13cm， ∴AD+BD=26cm， ∵AB=24cm， ∴该弹性皮筋被拉长了：26-24=2（cm）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题抽象出直角三角形，并熟练掌握勾股定理． 5．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，过点P作且，得；再过点P1作且，得；又过点P2作且，得…依此法继续作下去，得等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察每次作垂线后线段长度的变化规律，利用勾股定理推导出的表达式，进而求出的值．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并找出线段长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 6．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（    ）．    A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【答案】D 【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度（米）， 地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是（米）． 故选：D． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键． 7．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 二、填空题 8．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)在中，，，高，则三角形的周长为 ． 【答案】84或64/64或84 【分析】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或． 9．(24-25八上·辽宁丹东·期末)如图，点E为长方形内一点，连接，，，已知，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，过点E作于点F，于点G，根据长方形性质得出，，，根据勾股定理求出，等积法求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点E作于点F，于点G，如图所示： ∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解． 【详解】解： ， 由勾股定理可得：， ， ， 可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键． 11．(24-25八上·辽宁抚顺望花区·期末)如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、分别垂直于横梁，若，则斜梁的长为 ． 【答案】4 【分析】利用角所对是直角边是斜边的一半求出、的长，再由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理即可解决问题． 本题主要考查了角所对是直角边是斜边的一半，勾股定理，熟记性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵在中，， ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，在中，，，垂直于的平分线于点D，连接，若点D正好在线段的垂直平分线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】的延长线交的延长线于点，过点作于点，证明和可得，进而求出，在推理得到，即可得到,再利用勾股定理解答即可． 【详解】如图，的延长线交的延长线于点，过点作于点，于点， 平分， ，， 点在线段的垂直平分线上， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 地 城 考点02 利用勾股定理求面积 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期末)如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点且图象是轴对称图形，则的面积是（    ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为13，即， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即，， ∴由勾股定理可知：， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选C． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 证明，过点C作，，得到，进而得到，将四边形的面积转化为的面积，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， 过点C作，， 则， ，，且， ， 四边形的面积， ， ， 设，则， 由勾股定理，得：， ， 解得， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 3．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于，则，设，则，由勾股定理得出，求出的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 地 城 考点03 利用勾股定理与逆定理求解 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁大连中山区·期末)如图，已知，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期末)如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 3．(24-25八上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 地 城 考点04 勾股数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)在下列四组数中，属于勾股数的是（   ） A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．，故是勾股数，符合题意； C．，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【详解】解：A．不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意； B．，则5，6，7不是勾股数，故本选项不符合题意； C．不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D．因为，所以5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．3、5、7 B．、、 C．5、12、13 D．0.3、0.4、0.5 【答案】C 【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为72≠32+52，所以它们不是勾股数，故本选项错误； B、因为、、都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误； C、因为132＝52+122，所以它们是勾股数，故本选项正确； D、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数．解题关键是熟练掌握和运用勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 4．(23-24八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列四组数，是勾股数的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握三个数都是整数，且满足的一组数是勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：A中不是整数，不是勾股数，故不符合要求； B中，是勾股数，故符合要求； C中，不是勾股数，故不符合要求； D中，不是勾股数，故不符合要求； 故选：B． 5．(23-24八上·辽宁沈阳新民·期末)下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、，所以2，4，6不能构成勾股数，不符合题意； B、，所以1，2，3不能构成勾股数，不符合题意； C、，所以8，15，17能构成勾股数，符合题意． D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； 故选：C． 6．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期末)下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，4，7 C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，以及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，且8、15、17都是整数，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 地 城 考点05 判断能否构成直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)下面的三个数据，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．1，， C．2，3，4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，最大边的平方等于两个较小的边的平方之和，即为直角三角形，据此进行作答即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，故该选项不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，故该选项符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边长，故该选项不符合题意； D、，不能作为三角形的三边长，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)下列数据能作为直角三角形三边的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴不能作为直角三角形三边，故A不符合题意； ∵， ∴不能作为直角三角形三边，故B不符合题意； ∵， ∴不能作为直角三角形三边，故C不符合题意； ∵， ∴能作为直角三角形三边，故D符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·辽宁本溪·期末)中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 4．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·辽宁大连西岗区·期末)以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是首先根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形，如果能组成三角形，再用勾股定理的逆定理判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A选项：， 、、三条线段不能组成三角形，故A选项不符合题意； B选项：， 、、三条线段能组成三角形， 又，， ， 、、三条线段不能组直角三角形，故B选项不符合题意； C选项：：， 、、三条线段能组成三角形， 又，， ， 、、三条线段能组直角三角形，故C选项符合题意； D选项：、、，其中， 、、三条线段不能组成三角形，故D选项不符合题意． 故选： C． 6．(24-25八上·辽宁锦州·期末)下列条件中，可以判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理．利用围成三角形的条件，勾股理定理的逆定理和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴，围不成三角形，故此选项不符合题意； B、∵， 不是直角三角形，故此选项符合题意； C、，， 最大角， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， 是等边三角形，不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 7．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B 8．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)以下列线段 的长为边，能构成直角三角形的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可进行逐一判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以这样的三条边不能构成三角形，更不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、因为，故能构成直角三角形，故B符合题意； C、因为，故不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、因为，故不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 9．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)在△ABC中，AB=8，BC=15，AC=17，则下列结论正确的是(       ) A．△ABC是直角三角形，且∠A=900 B．△ABC是直角三角形，且∠B=900 C．△ABC是直角三角形，且∠C=900 D．△ABC不是直角三角形 【答案】B 【详解】, ∴△ABC是直角三角形，∵AC是斜边, ∴∠B=900,故B正确; 故选B. 10．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（    ） A．5，12，13 B．9，40，41 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4 【答案】D 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、52+122=132，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、92+402=412，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、0.52+1.22=1.32，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 11．(23-24八上·辽宁阜新太平区·期末)下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三内角之比为 B．三边长的平方之比为 C．三边长之比为 D．三内角之比为 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理依次对各选项逐一分析即可作出判断．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：A．在中，设， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B． ∵三边长的平方之比为， 设三角形三边的平方为，，， ∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵三边长之比为， 设三角形三边为，，， ∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D．在中，设， ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 地 城 考点06 勾股定理与无理数 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．先利用勾股定理求得，进而根据数轴可求得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点B对应的数是0， ∴与点D对应的数为， 故选：D． 2．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图所示，数轴上点 A 表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确计算的长度是解题的关键． 如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】 解：如图，， ， 点A在原点右边， 点 A 表示的数为． 故选C． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，已知，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，即可求解 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：， 故选：D 4．(23-24八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是(　　) A．－2 B．－2 C．1－2 D．2－1 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案. 【详解】根据题意可得QP==2， ∵Q表示的数为1, ∴P1表示的数为1-2. 故选C. 【点睛】此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长. 5．(24-25八上辽宁抚顺望花区·期末)如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是，0，与数轴垂直，且，连结，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意易得，然后根据勾股定理可得的长，进而问题可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D， ∴， ∴点D表示的数是：． 故答案为：． 7．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，点为数轴的原点，点和分别对应的实数是1和2．过点作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，，再由勾股定理求出，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】解：点和分别对应的实数是1和2， ，， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， 即点对应的实数是， 故答案为：． 8．(23-24八上·辽宁本溪·期末)如图，Rt△OAB的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上.截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ． 【答案】﹣1/ 【分析】根据勾股定理求出OB，进而求出OC，最后求出OP即可． 【详解】解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1， ∴OB＝＝＝， 又∵BA＝BC， ∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP， 即点P所表示的数为：﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，求出OP的长是解决问题的关键． 三、解答题 9．(23-24八上·辽宁沈阳辽中区·期末)已知，如图所示，点在数轴上，且．回答下列问题： (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较与的大小；（写出简要过程） (3)设点在数轴上，点表示的数是，且满足，如果是非零整数，直接写出符合条件的N点有几个？ 【答案】(1) (2) (3)四个 【分析】本题主要考查勾股定理，数轴上的点所对应的实数，无理数的估算，解题的关键是掌握勾股定理． （1）先利用勾股定理求出的长度，再根据即可得到的长度，从而得到A对应的数． （2）根据无理数的大小比较方法比较即可； （3）根据（2）的结果求解即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， （3）∵，， ∴满足的非零整数有共四个． 地 城 考点07 勾股树问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东·期末)1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴三个正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 2．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 3．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 4．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的面积以及规律型中数学的变化类，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， 故选A． 5．(24-25八上·辽宁大连庄河·期末)如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)已知图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是100cm2，则其中最大的正方形的边长为 cm． 【答案】10 【分析】先把各个正方形都标上代号，再根据勾股定理有,,，等量代换即可求最大的正方形面积． 【详解】解：如下图所示： 根据勾股定理可知， ∵, , ， ∴， ∴， 故最大的正方形的边长为10cm． 故填10． 【点睛】本题主要考查勾股定理的知识． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， （如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 8．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则 ． 【答案】14或22 【分析】本题考查勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系． 分两种情况画出图形，由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图1， ∵， ∴勾股定理得，， ∴， 如图2， ∵， ∴勾股定理得，， ∴， 故答案为：14或22． 9．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 地 城 考点08 勾股定理与弦图 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁盘锦双台子区·期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 2．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期末)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．144 C．169 D．196 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，小正方形的面积为，则，可得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则， 又∵小正方形的面积为，则， 解得， ∴大正方形的面积为， 故选：C． 3．(23-24八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】∵勾，弦， ∴ ∴小正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系． 4．(24-25八上·辽宁大连长海县·期末)如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 地 城 考点09 勾股定理的证明 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24八上·辽宁大连长海县·期末)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁本溪·期末)【问题情境】 （1）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”，他比严谨的数学证明更为优雅和有条理．图1为某数学活动小组在研究“勾股定理几何证明”时构造的“无字证明”图形： 点、、在同一条直线上，且，．设，，，根据四边形面积来完成证明．①整体方法：用含的式子表示四边形面积；②分别求解：借助、、的面积和，用含的式子再次表示四边形面积，建立等式，得到．请根据上述思路，完成勾股定理的推理过程．（注：） 【思想应用】 （2）如图2，在中，，，以边为斜边作，使得，且，连接，当时．求边的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，点是四边形内一点，，，，判断和的面积是否相等？请你说明理由． 【答案】（1）见解析，（2）（3）相等，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据全等可得，，，然后根据梯形的面积公式计算即可； （2）先得到，，然后证明，即可得到，，然后利用勾股定理解题即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可解题． 【详解】（1）证明： ， ，，，   ， ， ， ，   ， ， ， ， ， ，   ， ； （2）解：过点作与点，   ， ， ， ，   ， ， ，， 设，则，， ， 在中，，   ， ，   ， ，， 在中，， ， ； （3）相等； 证明：过点作于点，过点作于点， ， ，   ， ， ，   ， ， ，，， ． 4．(23-24八上·辽宁沈阳和平区·期末)阅读材料，解决问题． 材料一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．如图1，四边形中，若，则有． 材料二：教材中介绍了可以通过“拼图”的方法证明勾股定理；通过下面的方法，也可以证明勾股定理．已知 ，将它们按如图2所示那样摆放，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接． 结合材料给出的信息解决下面问题： (1)求证：； (2)若，请用含有a或b的代数式分别表示图2中和的面积； (3)在（2）的条件下，若，请结合材料信息，证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形性质得，再利用直角三角形性质得，则，再根据三角形内角和定理得，即可得到本题答案； （2）根据全等三角形性质得，再由三角形面积公式得，即可； （3）根据全等三角形性质得，再由材料一可知，再由列式为即可得出结论． 【详解】（1）解：证明： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，； （3）解：证明：∵ ， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，整理得：． 地 城 考点10 勾股定理与折叠问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州·期末)如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，得到，，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 故选B． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 【答案】6或2 【分析】分两种情况讨论，一是，则，求得，得到；二是，则，所以，由折叠得，则，所以，根据勾股定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴； 如图2，，设垂足为点H，则， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为6或2， 故答案为：6或2． 【点睛】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键． 3．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，坐标与图形，勾股定理；首先由折叠的性质可知，，然后根据勾股定理可解得，易得点的坐标，设点坐标为，则有，，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设点坐标为， 则，， 在中，可有， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 4．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为 ． 【答案】 【分析】先确定当，，E共线时，的值最小，再根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵， 又∵，， ∴， ∴当，，E共线时，的值最小，设此时点落在DE上的点处，设， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方） ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小． 5．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 6．(23-24八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】1或 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理；分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，如图   ， 设， ，， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图    过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为1或 故答案为：1或． 7．(23-24八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质．画出图形，并过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，先求出的长，进而求出，，的长，再在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况： ①在内部时，如图， 过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，   ，，， ， 由勾股定理，得， 四边形是矩形， ，， 设， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ，， ，， 在中， 由勾股定理，得， ②在的外部时，如图，    过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点， 类似①的方法可求出， 故答案为：或． 三、解答题 8．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：    (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； (2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 【答案】(1)5 (2) (3)或10 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴中，； 则的长为5． 故答案为：5． （2）解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵中，，， ∴，即， ∴． （3）解：的长为或10； 理由：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴该四边形是矩形，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ①如图，当点在线段上时，   点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，即 ∴； ②如图4，当点在线段的延长线上时，    由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 综上可得：的长为或10． 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法． 9．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在矩形中，，，点在边或边上，将矩形沿着过点的直线折叠，当点落在边（含端点）上时，落点记为，然后展开铺平，以，，为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） (1)如图1，当的顶点位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； (3)当点在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，4 (3)存在，4或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由点是的中点，得到，求得，推出，根据折叠的性质得到，，求得，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）根据题意补全图形如图所示，过作于，根据矩形的性质得到，，，得到，由折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）①当在边上时，，即当与重合时，面积最大为4，求得；②当在边上时，过作交于点，交于，根据三角形的面积和矩形的面积公式推出即当为中点时，面积最大为4，根据勾股定理得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 将矩形沿着过点的直线折叠，当点落在边（含端点）上时，落点记为， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：补全图形如图所示，过作于， 则四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当在边上时，如图所示，， 即当与重合时，面积最大为4， ； ②当在边上时，如图所示，过作交于点，交于， ， ， ． 即当为中点时，面积最大为4， ． 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 地 城 考点11 勾股定理与网格问题 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁锦州·期末)如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形格点上，连接，点C到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，熟练掌握勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算是解题的关键． 如图，连接，取中点为，连接，设C点到的距离为，由勾股定理可得，，，，则是等腰三角形，，根据，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，取中点为，连接，设C点到的距离为， ∴，，，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴，即， 解得，， 故选：D． 2．(23-24八上·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可． 【详解】解：如图所示： ， 故选：C． 二、填空题 3．(24-25八上·辽宁锦州·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案． 【详解】连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： 三、解答题 4．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：，，， 在中，， ∴． 5．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)（1）如图，在正方形网格中的位置如图所示．建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标． （2）将各顶点的横坐标变成互为相反数，纵坐标不变，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得到的． （3）请直接写出是何特殊形状的三角形． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析；（3）是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，平面直角坐标系中的点以及网格问题，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据A，B两点坐标确立平面直角坐标系即可； （2）先确定三点位置，再顺次连接即可； （3）分别计算出、和，由勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：（１）如图，即为所求作的平面直角坐标系，点C的坐标为； （2）如图，即为所作； （3）∵、和， 又，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形． 6．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在图中第一象限内存在一格点，满足，，格点D的坐标为_______． （注：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、勾股定理，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用勾股定理，结合网格确定点的位置即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 7．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二中学·期末)如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中取三个点，连接这三点的线段构成一个直角三角形，并证明这个三角形是直角三角形． 【答案】、、是直角三角形（任写其一即可）． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 【详解】解： 连接、、、、、， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：，，，，，， ∴，，， ∴、、是直角三角形（任写其一即可）． 8．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图（a）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (3)在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用， （1）根据网格与勾股定理的特点作图即可； （2）根据网格与勾股定理的特点作图即可； （3）由（1）可得，再根据勾股定理与网格的特点分别作出即可求解． 【详解】（1）解：根据格点的特点，作，取，如图所示， ∴是一个直角三角形，，且它的三边长都是有理数； （2）解：根据格点的特点，作，取，如图所示， ∴是一个直角三角形，，它的斜边长为； （3）解：由（1）的作图可得，根据勾股定理及网格的特点，如图所示， ∵，， ∴，即， ∴是一个直角三角形，它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 9．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)在平面直角坐标系中，的位置如图所示．    (1)画出关于y轴对称的并写出点的坐标； (2)在第一象限的格点上找一点D，连接，，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为______． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析，，； 【分析】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，熟练的利用图形性质进行画图是解本题的关键． （1）根据题意得到点A，B，C的对称点，再根据的位置可得其坐标，从而可求解； （2）根据勾股定理先求解，再在第一象限确定D，使，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，； （2）如图，∵， 在第一象限确定D，且，    ∴，； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $