专题08 勾股定理的应用 10大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题08 勾股定理的应用 10大高频考点概览 考点01 勾股定理与最值问题 考点02 最短路径问题 考点03 梯子问题 考点04 受影响问题 考点05 秋千问题 考点06 大树折断问题 考点07 水杯中筷子问题 考点08 航海问题 考点09 跨学科问题 考点10 勾股定理与几何综合 地 城 考点01 勾股定理与最值问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 3．(23-24八上·辽宁·期末)定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点的坐标为，点是轴上的动点，点是点关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是 ． 三、解答题 4．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 5．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)【提出问题】学习了平行线后，老师提出了这样一个问题：如图①，已知直线和直线外的一点B，如何利用尺规过点B作直线的平行线？ 【解决问题】某学习小组经过合作、交流、实践，给出了如图②所示的解决方案： ①连接； ②以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点M，N； ③分别以M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线； ④以B为圆心，长为半径画弧，交射线于点C； ⑤作直线，则． （1）求证：； 【拓展应用】在中，，，点D是直线上一动点，将沿翻折得到，连接； （2）如图③，当点D在线段的延长线上时，求证：； （3）是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 6．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，平面直角坐标系上，点的坐标为． (1)直接写出点的坐标____________，的长为____________； (2)若点与点关于轴对称，点的坐标为____________； (3)直线上存在点，使的值最小，在图中直接标出点的位置，并直接写出的最小值____________； 7．(23-24八上·辽宁·期末)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 地 城 考点02 最短路径问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱表面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·辽宁丹东·期末)如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D．6cm 5．(23-24八上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ）． A．18 B．20 C．22 D．24 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 7．(23-24八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 8．(23-24八上·辽宁辽阳·期末)有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 9．(23-24八上·辽宁沈阳大东区·期末)葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋3圈升高为3.6m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤绕树干盘绕3圈的长是 m． 地 城 考点03 梯子问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 3．(23-24八上·辽宁本溪·期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 二、填空题 4．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 米． 三、解答题 5．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 6．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． (1)求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； (2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 地 城 考点04 受影响问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 2．(23-24八上·辽宁阜新太平区·期末)2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 地 城 考点05 秋千问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 2．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ．    二、解答题 3．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)广州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．    地 城 考点06 大树折断问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 3．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 地 城 考点07 水杯中筷子问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期末)如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（    ） A．7 B．8 C．16 D．17 二、填空题 2．(23-24八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为 ． 3．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期末)如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 地 城 考点8 航海问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．    二、解答题 2．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 地 城 考点9 跨学科问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 地 城 考点10 勾股定理与几何综合 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数 ； ； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ． 3．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 三、解答题 4．(24-25八上·辽宁朝阳北票·期末)【概念建构】 在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称 和 是 的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称 和 是 的“双内弦三角形”，依据全等的判定定理，我们可以得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即 ． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长． 小亮受到【概念建构】的启发，想到解决方法：过D点作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，直接写出，，之间的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，，直接写出和的面积和． 5．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在中，，，点D是边上一点，连接，过点B作的垂线，垂足为E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为直角边作等腰直角（B，E，F三点按顺时针排列），，连接，过点C作交直线于点G，猜想与的数量关系并证明； (3)若，，求的长． 6．(24-25八上·辽宁丹东·期末)【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围； （1）我们可以用如下的方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________； 【类比分析】 （2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长． 【方法迁移】 （3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)已知，在中，，，是边上一动点． (1)老师提出如下问题：如图1，连接，为线段上任意一点，连接，以为直角边，按逆时针方向画出等腰直角，，，连接，射线与射线交于点，请猜想与的数量和位置关系，并说明理由． (2)“善思小组”提出问题：如图2，过点作垂直射线于点，连接，在点移动的过程中，请判断，的大小是否发生变化？如果不变，请求出的值；如果改变，请说明理由． (3)“勤学小组”提出问题：在（1）的条件下，当点为边上的中点，且时，直接写出线段的长度______． 8．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 9．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当秒时，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理的应用 10大高频考点概览 考点01 勾股定理与最值问题 考点02 最短路径问题 考点03 梯子问题 考点04 受影响问题 考点05 秋千问题 考点06 大树折断问题 考点07 水杯中筷子问题 考点08 航海问题 考点09 跨学科问题 考点10 勾股定理与几何综合 地 城 考点01 勾股定理与最值问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线性质，勾股定理．根据题意连接，利用垂直平分线性质可知，的最小值是即为的值再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接，   ， ∵垂直平分， ∴， ∵点P为直线上的任一点， ∴的最小值是即为的值， ∵，，， ∴， 故选：B． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，长方形中，，，将边沿一直线翻折，使点D的对应点G落在上，折痕交，于点E，F，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】延长至点，使得，得到是的垂直平分线，即，由对称性质得，，推出，证明，得到，即当时，有最小值，根据勾股定理求出长，即可得到的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接、、， 是长方形， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 边翻折至， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即当时，有最小值， 是长方形， ， ，， 由勾股定理得：， 的最小值是5， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称性质，长方形性质，垂直平分线的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 二、填空题 3．(23-24八上·辽宁·期末)定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点的坐标为，点是轴上的动点，点是点关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作于，设点的坐标为，，则，得到点，即可得出 ，相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，即可求解． 【详解】解：如图，作于． 设点的坐标为， 由题意，知， ， ， ， ，， ， ， 点， 则 ， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 如图所示 如图，作关于直线的对称点， ， 的最小值为的长，即， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与几何变换，轴对称最短路线问题，旋转的性质，勾股定理的应用，能够理解题意，得出的最小值相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和是解题的关键． 三、解答题 4．(24-25八上·辽宁辽阳·期末)如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 5．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)【提出问题】学习了平行线后，老师提出了这样一个问题：如图①，已知直线和直线外的一点B，如何利用尺规过点B作直线的平行线？ 【解决问题】某学习小组经过合作、交流、实践，给出了如图②所示的解决方案： ①连接； ②以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点M，N； ③分别以M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线； ④以B为圆心，长为半径画弧，交射线于点C； ⑤作直线，则． （1）求证：； 【拓展应用】在中，，，点D是直线上一动点，将沿翻折得到，连接； （2）如图③，当点D在线段的延长线上时，求证：； （3）是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可得出，，从而，进而得出，从而； （2）可求得，从而得出，从而得出，从而得出，从而； （3）可得出点在与定线段成夹角是的直线上运动，作点关于的对称点，连接，则，，可推出，在直角三角形中，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）证明：由作图可知， ，， ， ， ； （2）证明：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， ， ； （3）解：如图， 由（2）知，点在与定线段成夹角是的直线上运动， 作点关于的对称点，连接， 则，， ， 此时最小， ， ， ， ， ， ， ． 6．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，平面直角坐标系上，点的坐标为． (1)直接写出点的坐标____________，的长为____________； (2)若点与点关于轴对称，点的坐标为____________； (3)直线上存在点，使的值最小，在图中直接标出点的位置，并直接写出的最小值____________； 【答案】(1)； (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称的性质，勾股定理． （1）由图可知点A的坐标，由勾股定理可得出的长； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （3）作点C关于的对称点E，连接交直线于点M，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知；， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵点D与点C关于y轴对称，， ∴点D的坐标为， 故答案为：； （3）解：作点C关于的对称点E，连接交直线于点M，则的值最小． ∴的最小值是． 故答案为：． 7．(23-24八上·辽宁·期末)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 地 城 考点02 最短路径问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱表面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短，将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】将圆柱的侧面展开，如图， 其中 ， 由勾股定理得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查最短距离，掌握圆柱的侧面展开图及勾股定理是解题的关键． 3．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 正方体的棱长为4， ，， 在中，， 在中，， ． 故选：A． 4．(23-24八上·辽宁丹东·期末)如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D．6cm 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如图3， ∴，， ∴ ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：C． 5．(23-24八上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ）． A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此类问题画侧面展开图的时候需要注意物体在容器内侧与外侧的区别．画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小， 即为蜘蛛所走最短路径， 由题意得：，，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】20cm 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16， ∴MN==20； 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴PM=18﹣6+6=18，NP=10， ∴MN==2． ∵20＜2 ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20． 故答案为20cm 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 7．(23-24八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出展开图得到最短路径是解题的关键；展开图的对角线长即为所求，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将木块展开如图所示， 则米，米， 米， 一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是米， 故答案为： 8．(23-24八上·辽宁辽阳·期末)有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，将圆柱侧面展开后，可得绕礼盒侧面周后彩带最短为，根据图形找到最短的线段是解题的关键． 【详解】解：圆柱侧面展开后图形是： ∵底面周长为，高， ∴， ∴绕礼盒侧面周后彩带最短为， 故答案为：． 9．(23-24八上·辽宁沈阳大东区·期末)葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋3圈升高为3.6m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤绕树干盘绕3圈的长是 m． 【答案】3.9 【分析】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时的长度，进而可得出结论． 【详解】解：∵葛藤绕树干盘旋3圈升高为3.6m， ∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m， 如图所示： 在，根据勾股定理得：． ∴这段葛藤的长． 故答案为：3.9． 地 城 考点03 梯子问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】C 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 3．(23-24八上·辽宁本溪·期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【答案】C 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 二、填空题 4．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 米． 【答案】2.7 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，， ∴， 在中，， ∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 三、解答题 5．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 6．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． (1)求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； (2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 【答案】(1)10.5米 (2)米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论； （2）先由米得出的长，再由勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】（1）解：米，米， （米）， 吊臂点距离地面1.5米， 米， （米）， 答：吊臂最高点与地面的距离是10.5米； （2）解：由（1）知，米， 米， （米）， 米， （米）， （米）． 地 城 考点04 受影响问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1)学校C会受噪声影响．理由见解析 (2)环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点C作于D，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （2）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴． ∴是直角三角形． ∴， ∴，解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵，同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 2．(23-24八上·辽宁阜新太平区·期末)2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 地 城 考点05 秋千问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 2．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ．    【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】设，由题意得， ，，， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)广州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．    【答案】绳索的长度是． 【分析】设秋千的绳索长为 ，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， 设秋千的绳索长为 ，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 地 城 考点06 大树折断问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，勾股定理求出的长，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理定理，得：， ∴旗杆折断之前的高度是； 故答案为：18． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 3．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 地 城 考点07 水杯中筷子问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期末)如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（    ） A．7 B．8 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，    在中，，， ， 此时， 的值最小为是． 故选：A． 二、填空题 2．(23-24八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为 ． 【答案】3cm≤h≤4cm 【详解】试题解析：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线直径为5cm，高为12cm， 由勾股定理可得杯里面管长为=13cm，则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm； 则可得露在杯口外的长度h的取值范围为3cm≤h≤4cm． 点睛：首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的长度最短． 3．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期末)如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 地 城 考点8 航海问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁实验中学·期末)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．    【答案】40 【分析】根据题意可得：海里，海里，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：海里，海里，， ， 在中， ， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile, 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】(1)海里 (2)最多能收到29次信号 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【详解】（1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．    ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 地 城 考点9 跨学科问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 地 城 考点10 勾股定理与几何综合 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数 ； ； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由，，得，由平分得，所以，则，而，所以，可证明，得，可判断正确；由，可判断正确；求得，可证明，可判断错误；由，且，推导出，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，平分， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， 不是等腰直角三角形， ，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据已知，选择适当的方法，逐一计算判断即可． 【详解】解：①在中，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故结论①正确； ②设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③不妨假设是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据已知条件，无法判定是等边三角形， ∴假设是错误的． 故结论③不正确． ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 3．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 4．(24-25八上·辽宁朝阳北票·期末)【概念建构】 在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称 和 是 的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称 和 是 的“双内弦三角形”，依据全等的判定定理，我们可以得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即 ． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长． 小亮受到【概念建构】的启发，想到解决方法：过D点作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，直接写出，，之间的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，，直接写出和的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和应用，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可； （2）连接，过点作交的延长线于点，证明，得到，再根据勾股定理即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，求出，证明和，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）过D点作于点N，于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，过点作交的延长线于点； ， ， 由“双外弦三角形”的含义得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， ， 由平行线间的距离处处相等可得：， ， ， 和是等腰直角三角形，， ， ， ， 和的面积和为：． 5．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)在中，，，点D是边上一点，连接，过点B作的垂线，垂足为E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为直角边作等腰直角（B，E，F三点按顺时针排列），，连接，过点C作交直线于点G，猜想与的数量关系并证明； (3)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由，得到，根据垂直的定义得到，求得，等量代换得到结论； （2）过C作于H，得到，由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，求得； （3）①根据等腰直角三角形的性质得到，如图2，过A作于M，求得，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，根据即可求解；②如图3，过C作于H，过A作于M，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的面积公式求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， 证明：过C作于H， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， 如图2，过A作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图3，过C作于H，过A作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质定理，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁丹东·期末)【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围； （1）我们可以用如下的方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________； 【类比分析】 （2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长． 【方法迁移】 （3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，； （2）； （3），详见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了中线的性质与判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理的运用，垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用求出，即可求出，再利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出的取值范围，进而求出的取值范围； （2）延长至点F，使，连接，利用求出，得到，，三点共线，进而求出的长； （3）理由：延长至点，使，连接，，利用求出，再利用勾股定理求出，进而得到垂直平分，即可得出． 【详解】解：延长到点E，使，连接，如图所示， ，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， ； （2）解：延长至点F，使，连接， ， ∵D为中点， ， 在和中， ， ， ，   ， ， ， ，，三点共线， ， ， ，， 垂直平分， ； （3）解：， 理由：延长至点，使，连接，， ∵D为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)已知，在中，，，是边上一动点． (1)老师提出如下问题：如图1，连接，为线段上任意一点，连接，以为直角边，按逆时针方向画出等腰直角，，，连接，射线与射线交于点，请猜想与的数量和位置关系，并说明理由． (2)“善思小组”提出问题：如图2，过点作垂直射线于点，连接，在点移动的过程中，请判断，的大小是否发生变化？如果不变，请求出的值；如果改变，请说明理由． (3)“勤学小组”提出问题：在（1）的条件下，当点为边上的中点，且时，直接写出线段的长度______． 【答案】(1)垂直、相等，理由见解析 (2)不变， (3)3或 【分析】（1）证明，则，，再根据三角形的内角和定理即可证明； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，证明，则，，根据平行线间的距离相等得到，故，而，则； （3）当点E在点F上方时，过点作于点，过点作交延长线于点，证明，则，中，由勾股定理得，由等面积法求得，可得，继而，在中，由勾股定理得；当点E在点F上方时，作出同上辅助线，此时，在中，由勾股定理得：． 【详解】（1）解：，理由如下， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即； （2）解：大小不变，且为，理由如下： 过点作于点，过点作交延长线于点， 则， ∵， 同上可得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴； （3）解：当点E在点F上方时，过点作于点，过点作交延长线于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：； 当点E在点F上方时，作出同上辅助线， 此时， ∴在中，由勾股定理得：， 综上所述：的长为3或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 9．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当秒时，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1) (2)，16，5 (3)5或11 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． 答：的长为． （2）在中，， 根据勾股定理，得 若，则 ，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，16，5． （3）①点P在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $