专题03 实际问题与一元一次方程（十大题型） 2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题03 实际问题与一元一次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 1 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 2 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 3 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 4 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 4 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 5 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 5 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 6 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 2．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【答案】壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 【答案】(1) (2)，该店有8间客房，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． （1）根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”填写表格即可． （2）房客总数相同列方程即可解答． 【详解】（1）解：填表如下： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 故答案为：． （2）解：根据题意可得：， 解得：， 故该店有8间客房． 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 4．（1）国家补贴政策持续推进，消费者家电换新需求得到充分激活．某商场购进甲、乙两款电视机，已知甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，求该商场购进乙款电视机多少台？ （2）十一期间，该商场推出“国家补贴+商场直降”双重优惠活动，国家补贴政策是购买甲、乙两款电视机均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买电视机的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买电视机原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知甲款电视机原价（高于4000元）比乙款电视机原价（低于4000元）的2倍少100元．若按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，求商场双重优惠下甲款电视机和乙款电视机每台各是多少元？ （3）在（1）和（2）的条件下，该商场购进的甲款电视机和乙款电视机全部销售一空，求该商场这批电视机的销售额（用科学记数法表示）． 【答案】（1）105台；（2）甲款电视机每台3420元，乙款电视机每台2000元；（3） 元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用及科学记数法，掌握科学记数法的形式为（其中且为整数）和找出等量关系列方程是解题关键， （1）设该商场购进乙款电视机x台，根据甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，列方程解决即可； （2）设乙款电视机原价为y元，则甲款电视机原价为元，根据按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，列方程解决即可； （3）先计算出甲款电视机和乙款电视机的总销售额，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：（1）设该商场购进乙款电视机x台，由题意得： ， 解得， 答：该商场购进乙款电视机105台； （2）设乙款电视机原价为y元，则甲款电视机原价为元，由题意得： ， 解得， ∴商场双重优惠下甲款电视机每台（元）； 乙款电视机每台（元）； 答：商场双重优惠下甲款电视机每台3420元，乙款电视机每台2000元； （3）该商场这批电视机的销售额为（元）， 答：该商场这批电视机的销售额为元． 5．【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【答案】【课本再现】亏损，8；【解决问题】小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于探究1，根据原价降低等于60得出方程，求出解，进而得出盈亏情况； 对于解决问题，先设小书包进价为x元，则大书包进价为元，根据利润相同列出方程，求出解即可． 【详解】【课本再现】 探究1：根据题意，得， 解得． ∴， 由此可知卖这两件衣服共亏损了8元； 故答案为：亏损，8； 【解决问题】解：设小书包进价为x元，则大书包进价为（x+10）元，根据题意，得 ， 解得． ∴． 答：小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 6．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】(1)290；540 (2)元 (3)580元 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解优惠方案中的付费方式是解题的关键． （1）利用一次性购物超过200元但不超过400元的优惠方案和超过400元的优惠方案解析计算即可得出结论； （2）根据超过200元但不超过400元的优惠方案列出代数式即可； （3）利用相关优惠方式进行计算即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）； ∵， ∴（元）， 故答案为：290；540； （2）解：当时，实际付款为（元）， 答：当超过200元但不超过400元时，他实际付款元； （3）解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设原价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：他这次购买商品的原价是580元． 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 7．为传承湖南传统体育文化，某中学在“民族体育进校园”活动中计划采购一批器材．已知湘西风格绣花毽子每个定价40元，苗族手编长跳绳每条定价15元．现有两家本地文化企业提供优惠： “潇湘民艺”公司：买两个绣花毽子送一条长跳绳； “楚风体育”公司：毽子和跳绳都按定价的付款． (1)若学校计划购买绣花毽子60个，长跳绳120条，在哪家公司购买更划算？请说明理由； (2)学校需要购买绣花毽子m个，长跳绳n条，且． ①若在“潇湘民艺”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）； ②若在“楚风体育”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)选择“潇湘民艺”公司购买更划算，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据家本地文化企业提供的优惠规则分别计算付款数额，再比较判断即可； （2）根据家本地文化企业提供的优惠规则分别列代数式即可． 【详解】（1）选择“潇湘民艺”公司购买更划算，理由如下， “潇湘民艺”公司：购买绣花毽子60个，共需（元）， 送了（条）跳绳，剩下需购买跳绳90条，共需（元）， 所以选择“潇湘民艺”公司购买需付款（元）； 选择“楚风体育”公司购买需付款（元）； ， 所以选择“潇湘民艺”公司购买更划算； （2）①若在“潇湘民艺”公司购买， 购买绣花毽子m个，共需元， 送了条跳绳，剩下需购买跳绳条，共需元， 所以购买绣花毽子m个，长跳绳n条，共需（元）； ②若在“楚风体育”公司购买，共需（元）； 故答案为：①；②． 8．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲，乙两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元． (1)请分别求出，与x之间的关系式． (2)求当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 【答案】(1)，(为正整数)； (2)5台 【分析】本题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．解题的关键是理解题意， 根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． （1）根据题意列出算式即可； （2）根据（1）的结论列方程解答即可． 【详解】（1）由题意可得，， (为大于1的整数)； （2）由，得，解得 ∴当该学校购买5台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 9．“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A∶买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B∶运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_________元（用含x的式子表示）； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时，两种方案付款相同． 【答案】(1)， (2)方案A (3)60双 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可． （2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可． （3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答． 【详解】（1）解：按方案A购买，需付款：元， 按方案B购买，需付款：元． 故答案为：，； （2）当时，方案A：（元）； 方案B：（元）； 因为， 所以按方案A购买较为合算． （3）解：当两种付款相同时，， 解得． 答：当购买运动棉袜60双时，两种方案付款相同． 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 10．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 11．劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面 (2)应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； （2）解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 12．在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 几何体制作方案 步骤1  裁剪长方形彩纸： 图1一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片．    步骤2  制作“三角插”和“圆部式”基本单元： 一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元．      步骤3  制作几何体： 40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个A型几何体，30个“三角插”基本单元和20个“圆部式”基本单元，可做成一个B型几何体． 请你根据制作方案，完成下列问题： (1)若有210张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元？ (2)经过进一步讨论，同学们决定用295张长方形彩纸制作A型和B型几何体共13个，同样在不浪费纸张的前提下，请问能制作多少个A型几何体？ 【答案】(1)用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式” (2)8个 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列 出一元一次方程即可求出结果； （2）根据题意设共制作m个A型，个B型，列出一元一次方程即可求出A型和B型的个数，再将算出的m值代入到制作“三角插”的彩纸数量式子即可得到结果． 【详解】（1）解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 整理得，， 解得， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”； （2）解：设共制作m个A型，个B型，根据题意得， 解得， ∴制作“三角插”的彩纸数量为（个），能制作8个A型几何体， 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 13．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2)不能完成，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 14．在某段路的修建中，有甲、乙两个工程队，若甲单独完成需要30天，乙单独完成需要60天． (1)问甲、乙两队合作多少天完成此项工程？ (2)若先由甲、乙合作若干天后，剩下的工程由乙队单独做，还需15天才能完成，按此方式完成该工程共需费用57万元，乙工程队每天工程费用万元，问甲工程队每天工程费用是多少万元？ (3)在（2）的条件下，招标组现制定如下三种方案，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两个工程队按（2）问中的方式合作完成，在不要求工期的情况下请你为招标组选择一种最省钱的方案并说明理由． 【答案】(1)20天 (2)2万元 (3)方案二 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得到数量关系是解题的关键． （1）设甲、乙两队合作天，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设先由甲、乙合作天，根据题意，列出方程，即可求解； （3）分别求出三种方案所需费用，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作天，根据题意得： 解得： 答：甲、乙两队合作20天完成此项工程； （2）解：设先由甲、乙合作天，根据题意得： ， 解得：， （万元） 答：甲工程队每天工程费用是2万元． （3）解：方案一：（万元） 方案二：（万元） 方案三：57万元 选择方案二最省钱． 15．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 16．妈妈从家出发步行去乘火车，时小明发现妈妈忘记带手机，立即骑车追赶，已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，如果火车站距家1800米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？如果不能请说明理由． 【答案】能追上，在追上她 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设小明出发分钟可以追上妈妈，根据题意列方程，求得小明出发分钟可以追上妈妈，此时妈妈步行了分钟，再根据妈妈步行到火车站需要30分钟，即可得出答案． 【详解】解：设小明出发分钟可以追上妈妈， 由题意得：， 解得：， 即小明出发分钟可以追上妈妈， 此时妈妈步行了分钟， 分钟，即妈妈步行到火车站需要30分钟， 因为20分钟30分钟， 所以小明能在妈妈到达火车站前追上她，且在追上她． 17．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间 为． (1)______，______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？ 【答案】(1)，16 (2)或 (3) 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系，根据数形结合的思想理解和解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求出； （2）根据路程、速度和时间的关系，列式计算即可求解； （3）根据点表示的数和绝对值的几何意义可以表示出，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：与互为相反数， ． （2）解：由题意，点表示的数分别是： 、， ， 解得或， 则再行驶2秒或4秒，两列火车行驶到车头相距8个单位长度． （3）解：由题意， 即或， 解得或（舍去）， 则再行驶4秒有． 18．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究哈尔滨地铁的运行． 素材1 哈尔滨轨道1号线是哈尔滨第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间为30秒．图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以哈尔滨东站为原点，建立了如图2所示的数轴，其中数字1代表桦树街站，数字2代表交通学院站，以此类推，数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表_______站 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟后到数字3和数字4之间（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数_______（用含t的代数式表示） 探究3 如图3，乘客A从桦树街站上车，乘坐往哈尔滨南站方向的地铁，同时乘客B从博物馆站上车，乘坐往哈尔滨东站方向的地铁，若两辆地铁恰好同时从桦树站和博物馆站出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长 【答案】探究1：烟厂；探究2：；探究3：出发3.5分钟或8.5分钟后两人相距2.5个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 探究1：根据题意得出图2中数字5代表烟厂站； 探究2：根据每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒，表示出点P在数轴上表示的数即可； 探究3：分两种情况：当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时，当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：探究1：图2中数字5代表烟厂站． 故答案为：烟厂． 探究2：点P在数轴上表示的数为． 探究3：设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a， ①当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时， ， 则（分钟）； ②当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时， （分钟）． 综上所述，出发3.5分钟或8.5分钟后两人相距2.5个单位长度． 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 19．列方程解决问题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为13，若把十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大27，求这个两位数． 【答案】58 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设原两位数十位上的数字为x，则其个位上的数字为，依题意，列方程，计算求解即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数字为x，则其个位上的数字为． 所以原两位数为， 新两位数为． 依题意，列方程： ， 解方程，得： ， ∴， 答：这个两位数是58． 20．观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【答案】(1)，，255 (2)512，，2048 (3)8 【分析】本题考查数字规律的探索和代数式的求解。第一行数的规律是第n个数为，第二行数的规律是第一行对应数加2，第三行第n个数为． （1）直接计算第8个数； （2）通过设未知数，利用相邻三个数的和列方程求解； （3）需要分n为奇数和偶数两种情况讨论大小关系，再解方程． 【详解】（1）解：第一行第n个数为，第8个数为； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，第8个数为； 第三行第n个数为，第8个数为． 故答案为：，，255． （2）设第一行第n个数为，则相邻三个数之和为． 令， 解得． ∵且， ∴． 这三个数分别为： 第9个数， 第10个数， 第11个数． （3）设第一行第n个数为， 第二行第n个数为， 第三行第n个数为． 当n为奇数时，，，，最大数，最小数． 则， 解得，无整数解． 当n为偶数时，，最大数，最小数． 则， 解得，， ∴． 21．观察下列三行数： (1)第①行第个数字为，第个数字为______；第②行第个数字为______；第③行第个数字为______． (2)用如图的“”形框圈起个数，从上到下分别记为，，，，求的值； (3)第①行连续三个数中最大数与最小数的差为，求这三个数中最大数与最小数的和． （提示：，，，，，，，，，） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，整式的加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是找出所给数据的规律，并灵活运用． （1）分别分析这三行数，找出规律，即可求解； （2）结合这三行数的规律，得出，，，代入计算，即可求解； （3）根据第①行数中的规律，确定连续三个数中最大数和最小数，列出方程，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：第①行中，第个数是， 第个数是，是第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍， 以此类推， 第①行第个数是， 故第①行第个数字是． 第②行中，第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 第个数是，比第①行第个数大， 以此类推， 第②行第个数是， 故第②行第个数字是． 第③行中，第个数是，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 第个数是，是第个数的倍，是第①行第个数的倍， 以此类推， 第③行第个数是， 故第③行第个数字是． 故答案为：，，． （2）解：由（1）可得：第②行比第①行对应的数大，第③行是第①行对应的数的倍，第③行中后一个数是前一个数的倍， 故，，， 故． （3）解：在第①行中，后一个数是前一个数的倍， 故设第①行连续三个数为，，， 当是奇数时，最小数是，最大数是， 此时，， 整理，得， 当是奇数时，， 故此时， 解得：； ∵ ． 当是偶数时，最小数是，最大数是， 此时，， 整理，得， 当是偶数时，， 故此时， 解得：（不符合是偶数，该情况舍去）． 故这三个数中最大数与最小数的和是． 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 22．某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【答案】(1)小明答对了20道题 (2)90分或92分或94分或96分或98分或100分 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）设答对道题，则答错或不答道题，根据得分法则列出方程求解即可； （2）根据比赛规则列出算式进行求解即可． 【详解】（1）解：设答对道题，则答错或不答道题， 由题意：， ， ， 答：小明答对了20道题； （2）解：答对20题，得分， 当答错0题，不答5题时，扣0分，总分为分； 当答错1题，不答4题时，扣分，总分为分； 当答错2题，不答3题时，扣分，总分为分； 当答错3题，不答2题时，扣分，总分为分； 当答错4题，不答1题时，扣分，总分为分； 当答错5题，不答0题时，扣分，总分为分； 综上，小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 23．表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 (3)n的值为2，5，12或26 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 24．近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3)参赛者不可能得分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 25．某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 【答案】这张宣传纸的面积为 【分析】本题重点考查比例关系的实际应用与几何建模能力，准确理解题意并将实际问题转化为数学模型（特别是通过比例关系设未知数，并建立方程求解）是解题的关键． 设边空宽、字宽、字距分别为，，，根据宣纸的长为，列出方程求出的值，进而求出宣纸的宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设边空宽为，则字宽为，字距为， 根据题意得：，解得：， 所以． 答：这张宣纸的面积为． 26．如图，在长方形中，．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（ ）． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时， _______． (3)设的面积为S，试用含t的代数式表示的面积S． (4)作点Q关于点D的中心对称点，直接写出的面积是面积的时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ； （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）当时，，， ． 当时，，， ． 综上可知，； （4）当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：． 综上，的面积是面积的时的值为或． 27．已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，点与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)______． (2)若点表示的数为，则是多少？ (3)若，则点表示的数为多少？ (4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3)或； (4)或． 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，三角形面积，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据数轴上两点的距离求解即可； （2）根据数轴上两点的距离求出，再根据三角形面积公式求解即可； （3）设点表示的数为，则，先求出，进而得出，利用三角形面积公式列方程求解即可； （4）设向左平移的距离为，则点表示的数为，点表示的数为，根据点、与点的位置关系，分三种情况讨论，利用数轴上两点的距离和三角形面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点与表示的点重合，点与表示2的点重合， 则， 故答案为： （2）解：若点表示的数为，则， 那么； （3）解：设点表示的数为，则， 因为，且 所以， 所以， 解得：或， 即点表示的数为或； （4）解：设向左平移的距离为， 则点表示的数为，点表示的数为， 若点与表示的点重合， 当移动后点、都在点右侧，此时， 则， 解得：， 此时点表示的数为； 当移动后点在点左侧，点在点右侧，此时， 则， 解得：， 此时点表示的数为； 当移动后点、都在点右侧，此时， 则， 解得：（舍）， 综上可知，点表示的数为或． 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 28．小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为元/度；谷时电费单价为元/度． (1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费______________元； (2)若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？ 【答案】(1) (2)元 (3)七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度 【分析】本题考查有理数的运算，整式加减，一元一次方程解决实际问题． （1）将谷时电费单价乘以平均每公里电耗乘以行驶公里数即可求解； （2）根据峰时电费加上谷时电费为总电费列出式子； （3）根据所花电费为95.8元，结合（2）的式子列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 即至少需要电费元． 故答案为：． （2）解：电费为（元）． （3）解：由（2）得：， 解得， ∴谷时充电（度）， 答：七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度． 29．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)当时，元；当时，元；当时，元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式． 根据用水量与消费单价计算即可； 根据表中水费收取方法可知该用户月份用水量超过了，设该用户月份用水量为，列方程求解即可； 因为该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份，可知，分情况列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民月份用水， 应收水费元， 故答案为：； （2）解：若该用户月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民月份水费为元， 该用户月份用水量超过了， 设该用户月份用水量为， 根据题意可得：， 解得：， 答：该居民月份用水量为； （3）解：该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份， ， 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元． 30．我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 【答案】(1) (2)立方米 (3)方案更经济，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据总价=单价数量，结合居民生活用气实行阶梯气价表，即可列出关系式； （2）先根据（1）的关系式，分别求出当时、时所需的用气总费用，再判断小明家的总费用属于第二档，将代入第二档关系式中即可求解； （3）先计算方案所需的总费用，然后计算方案全年用气费用加上设备的总费用，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 即：； （2）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 将代入中， 得：， 解得：， 即小明家去年的总用气量为立方米； （3）解：方案：当时，代入中， 得：（元）， 方案：节省的用气量后，全年得用气量为， 当时，代入中， 得：（元）， 总费用为：（元）， ， 方案更经济． 一、单选题 1．一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器．设用立方米钢材做部件，则做部件的钢材为立方米，根据仪器配 套要求（个部件配个部件），部件数量应等于部件数量的倍，由此列方程即可． 【详解】解：用立方米做部件，则用立方米做部件， 由题意可得，． 故选：B． 2．学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．设还需要m小时，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何．题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每人出9钱，就多出11钱，得出鸡的价格是钱，结合每人出6钱，就还差16钱，则鸡的价格是钱，最后由这些鸡的总价不变列出等式，即可作答． 【详解】解：∵设有人买鸡，每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，且这些鸡的总价不变 ∴可列出， 故选：A 4．某商店出售一种齐齐哈尔特色工艺品，进价为每件40元，按标价的8折销售仍可获利，则该工艺品的标价为（  ）元 A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键； 设工艺品的标价为元，根据题意列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设工艺品的标价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴工艺品的标价为 60 元， 故选：B． 5．小明参加了一场米的跑步比赛，他以米／秒的速度跑了一段路程后，又以米／秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了分钟，设小明以米／秒的速度跑了米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据总时间等于两部分时间之和，且需统一单位（分钟秒），列出方程． 【详解】解：设以米秒的速度跑了米，则以米秒的速度跑了米． 时间距离速度， 以米秒跑的时间为秒，以米秒跑的时间为秒． 总时间为分钟秒， ，即． 故选：D． 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——“幻方”，设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的周长，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 先计算出两个正方形的总周长，设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为，再根据整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍即可列方程求解． 【详解】解：由题意得，边长为的正方形周长：； 边长为的正方形周长：， ∴两个正方形周长和为：， 设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为：， ∵整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍， ∴ ， 解得：． 故选：C． 8．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，可推出该户去年一年的用电量在第二档，设该户去年一年的用电量是，分别表示出第一档和第二档的费用，二者的和为1834元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴该户去年一年的用电量在第二档， 设该户去年一年的用电量是， 由题意得，， 解得， ∴该户去年一年的用电量是， 故选：B． 二、填空题 9．某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据借调后甲队和乙队人数相等列出方程即可． 【详解】从乙队借调x名工人到甲队后，甲队人数变为人，乙队人数变为人．由题意，借调后甲队人数与乙队人数相等，故得方程． 故答案为：． 10．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设长方形的宽为，根据长减少、宽增加后，面积保持不变，列出方程求解。 【详解】解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 11．草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2．已知小康平均每小时采摘a，小悦平均每小时采摘b，则他们采摘的时长是 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．设采摘时长为小时，根据小康采摘的草莓比小悦多2，列出方程求解. 【详解】解：设采摘时长为小时，则小康采摘了，小悦采摘了 根据题意，得， 即， 解得 故答案为：. 12．如图，在日历中用十字形框出5个数，分别是中间一个数，以及它上下左右四个数．如果这五个数的和是70，则中间的数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解． 设中间的数是x，再表示出它四个方位的数，再根据它们的和列方程求解x的值即可． 【详解】解：设中间的数是x， 这个数上方的数是，下方的数是，右边的数是，左边的数是， 列式：， 解得． ∴中间的数是． 故答案为：． 13．A、B两地在一条笔直的公路两端，甲车从A驶向B，乙车从B驶向A，甲乙两车同时出发，甲车的速度为40千米/时，乙车的速度是甲车的，1小时后，两车相距6千米，则A、B两地的距离是 千米． 【答案】76或64 【分析】本题考查了相遇问题，熟练掌握路程与速度和时间的关系，分类讨论，是解题的关键．两车相向而行，相对速度为两车速度之和，根据1小时后两车相距6千米，分未相遇和已相遇两种情况列方程求解． 【详解】甲车速度为40千米/时，乙车速度为千米/时，相对速度为千米/时． 设A、B两地距离为S千米． 若1小时后两车未相遇，则，解得． 若1小时后两车已相遇并继续行驶，则，解得． 故答案为：76或64． 14．如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据纸条的剪法结合正方形的边长为，即可得出两次剪下的长条的长和宽，再根据两次剪下的长条面积相等列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可得：第一次剪下长条的长为，宽为，即面积为； 第二次剪下长条的长为，宽为，即面积为； ∵两次剪去的长方形纸条面积相等， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 16．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 【答案】(1)安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿 (2)25张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． （1）设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．根据“木材可以制作个桌面，或者制作条桌腿”建立方程求出其解即可． （2）设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 解得，， 则配成的桌子套数为套， 答：应安排木材用来生产桌面，用木材用来生产桌腿． （2）由（1）得，一共生产200套桌子， 设乙工厂每天生产桌子m张，则甲工厂每天生产桌子张， 根据题意得：， 解得：， ∴张， ∴甲工厂每天加工25张桌子． 17．某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 【答案】(1)见解析 (2)该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶 【分析】本题考查了有理数乘法的应用、列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据品牌牛奶按原售价的八折出售可得品牌牛奶的购买价格，再利用购买价格乘以购买量可得购买总价； （2）根据总费用为4940元建立关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵品牌牛奶的原售价为70元/箱，现按原售价的八折出售， ∴品牌牛奶的购买价格为（元/箱）， 品牌牛奶的购买总价为元． 在表格中填写结果如下： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 45 （2）解：由题意得：， 解得， ∴， 答：该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶． 18．某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 19．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 【答案】(1)元；元 (2)选择方案一费用最低； (3)120 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识． （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）根据题意得到，解方程即可． 【详解】（1）解：方案一：购买本读物的费用元； 方案二：购买本读物的费用元； （2）解：当时， 方案一：购买本读物的费用（元）； 方案二：购买本读物的费用（元）； ， 选择方案一费用最低； （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：120． 20．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 21．两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是_____； (2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____； (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为． ①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____； ②当S是长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；秒；②当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，长方形面积，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键在于理清长方形运动情况，根据其运动情况建立方程． （1）利用数轴上两点之间的距离得到长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解，即可解题； （2）设点P在数轴上表示的数为，结合建立方程求解，即可解题； （3）①整个运动过程中，当完全进入之间时，两个长方形重叠部分的面积S最大，利用长方形面积公式即可求出S的最大值，由运动过程可知，当与重合时，面积S开始有最大值，当与重合时，面积S结束最大值，据此建立方程讨论求解，即可解题； ②根据S是长方形面积一半，分两种情况：当在之间时，当在之间时，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，， 是两个完全相同的长方形， ， 长方形的面积是； 故答案为：； （2）解：点P在线段上，且， 设点P在数轴上表示的数为， 则， 解得； 故答案为：； （3）解：①整个运动过程中，当完全进入之间时，两个长方形重叠部分的面积S最大，S的最大值是； 当与重合时，面积S开始有最大值， 长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动， 此时，有， 解得， 当与重合时，面积S结束最大值， 此时，有， 解得， 持续时间是（秒）， 故答案为：；秒； ②S是长方形面积一半， 当在之间时， 有， 解得， 当在之间时， 有， 解得， 当S是长方形面积一半时，的值为秒或秒． 22．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 【答案】(1) (2)275； (3)485度 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据表格中的信息列出代数式即可； （2）根据表格中信息列出算式进行计算，列出代数式即可； （3）根据得出本户居民7月份用电超过450度，再列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费元； （2）解：某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费： （元）； 某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费为： 元； （3）解：根据解析（2）可知：当用电450度时，需缴电费275元，因为，所以本户居民7月份用电超过450度， 设本户居民7月份用电m度，根据题意得： ， 解得：， 答：本户居民7月份用电485度． 23．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 【答案】60人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 24．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______； （注：用含n的代数式表示c和d．）    活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则m是_____，n是_____； （4）若方框选取的数中最小的数是t，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是_____（用含t的代数式表示g）．    【答案】（1）12；17；（2）；；（3）5；4；（4） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据日历的特点求解即可； （2）根据日历的特点求解即可； （3）根据题意可得方程，，解方程即可得到答案； （4）根据日历的特点表示出其它8个数，再根据“幻方”的特点可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，； （3）由题意得，， ∴， ∴； （4）∵方框选取的数中最小的数是t， ∴其它8个数分别为， ∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实际问题与一元一次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 1 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 2 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 3 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 4 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 4 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 5 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 5 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 6 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元一次方程的应用之古代问题 1．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 2．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 题型二、一元一次方程的应用之销售问题 4．（1）国家补贴政策持续推进，消费者家电换新需求得到充分激活．某商场购进甲、乙两款电视机，已知甲款电视机购进60台，比乙款电视机的少10台，求该商场购进乙款电视机多少台？ （2）十一期间，该商场推出“国家补贴+商场直降”双重优惠活动，国家补贴政策是购买甲、乙两款电视机均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买电视机的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买电视机原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知甲款电视机原价（高于4000元）比乙款电视机原价（低于4000元）的2倍少100元．若按此销售规则购买一台甲款电视机比购买一台乙款电视机多花1420元，求商场双重优惠下甲款电视机和乙款电视机每台各是多少元？ （3）在（1）和（2）的条件下，该商场购进的甲款电视机和乙款电视机全部销售一空，求该商场这批电视机的销售额（用科学记数法表示）． 5．【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 6．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 题型三、一元一次方程的应用之方案问题 7．为传承湖南传统体育文化，某中学在“民族体育进校园”活动中计划采购一批器材．已知湘西风格绣花毽子每个定价40元，苗族手编长跳绳每条定价15元．现有两家本地文化企业提供优惠： “潇湘民艺”公司：买两个绣花毽子送一条长跳绳； “楚风体育”公司：毽子和跳绳都按定价的付款． (1)若学校计划购买绣花毽子60个，长跳绳120条，在哪家公司购买更划算？请说明理由； (2)学校需要购买绣花毽子m个，长跳绳n条，且． ①若在“潇湘民艺”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）； ②若在“楚风体育”公司购买，需付款________元（用含m，n的代数式表示）． 8．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲，乙两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元． (1)请分别求出，与x之间的关系式． (2)求当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 9．“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A∶买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B∶运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_________元（用含x的式子表示）； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时，两种方案付款相同． 题型四、一元一次方程的应用之配套问题 10．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 11．劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 12．在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 几何体制作方案 步骤1  裁剪长方形彩纸： 图1一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片．    步骤2  制作“三角插”和“圆部式”基本单元： 一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元．      步骤3  制作几何体： 40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个A型几何体，30个“三角插”基本单元和20个“圆部式”基本单元，可做成一个B型几何体． 请你根据制作方案，完成下列问题： (1)若有210张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元？ (2)经过进一步讨论，同学们决定用295张长方形彩纸制作A型和B型几何体共13个，同样在不浪费纸张的前提下，请问能制作多少个A型几何体？ 题型五、一元一次方程的应用之工程问题 13．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 14．在某段路的修建中，有甲、乙两个工程队，若甲单独完成需要30天，乙单独完成需要60天． (1)问甲、乙两队合作多少天完成此项工程？ (2)若先由甲、乙合作若干天后，剩下的工程由乙队单独做，还需15天才能完成，按此方式完成该工程共需费用57万元，乙工程队每天工程费用万元，问甲工程队每天工程费用是多少万元？ (3)在（2）的条件下，招标组现制定如下三种方案，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两个工程队按（2）问中的方式合作完成，在不要求工期的情况下请你为招标组选择一种最省钱的方案并说明理由． 15．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 题型六、一元一次方程的应用之行程问题 16．妈妈从家出发步行去乘火车，时小明发现妈妈忘记带手机，立即骑车追赶，已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，如果火车站距家1800米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？如果不能请说明理由． 17．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间为． (1)______，______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？ 18．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究哈尔滨地铁的运行． 素材1 哈尔滨轨道1号线是哈尔滨第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间为30秒．图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以哈尔滨东站为原点，建立了如图2所示的数轴，其中数字1代表桦树街站，数字2代表交通学院站，以此类推，数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表_______站 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟后到数字3和数字4之间（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数_______（用含t的代数式表示） 探究3 如图3，乘客A从桦树街站上车，乘坐往哈尔滨南站方向的地铁，同时乘客B从博物馆站上车，乘坐往哈尔滨东站方向的地铁，若两辆地铁恰好同时从桦树站和博物馆站出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长 题型七、一元一次方程的应用之数字问题 19．列方程解决问题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为13，若把十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大27，求这个两位数． 20．观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 21．观察下列三行数： (1)第①行第个数字为，第个数字为______；第②行第个数字为______；第③行第个数字为______． (2)用如图的“”形框圈起个数，从上到下分别记为，，，，求的值； (3)第①行连续三个数中最大数与最小数的差为，求这三个数中最大数与最小数的和． （提示：，，，，，，，，，） 题型八、一元一次方程的应用之比赛问题 22．某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 23．表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 24．近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 题型九、一元一次方程的应用之几何问题 25．某校开展书法方面的知识宣传活动，如图，书法社的同学需要在长方形的宣纸上书写“书法传承美”五个宇，已知宣纸的长为，每个小方框一样大，且宣纸边缘之间的边空宽相等，若边空宽、字宽、字距的比为，求这张宣纸的面积． 26．如图，在长方形中，．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时， _______． (3)设的面积为S，试用含t的代数式表示的面积S． (4)作点Q关于点D的中心对称点，直接写出的面积是面积的时t的值． 27．已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，点与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)______． (2)若点表示的数为，则是多少？ (3)若，则点表示的数为多少？ (4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果． 题型十、一元一次方程的应用之电费和水费问题 28．小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为元/度；谷时电费单价为元/度． (1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费______________元； (2)若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？ 29．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 30．我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 一、单选题 1．一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 2．学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何．题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有人买鸡，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．某商店出售一种齐齐哈尔特色工艺品，进价为每件40元，按标价的8折销售仍可获利，则该工艺品的标价为（  ）元 A．50 B．60 C．70 D．80 5．小明参加了一场米的跑步比赛，他以米／秒的速度跑了一段路程后，又以米／秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了分钟，设小明以米／秒的速度跑了米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ） A． B． C．0 D．1 7．将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 8．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 二、填空题 9．某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为 ． 10．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 11．草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2．已知小康平均每小时采摘a，小悦平均每小时采摘b，则他们采摘的时长是 小时． 12．如图，在日历中用十字形框出5个数，分别是中间一个数，以及它上下左右四个数．如果这五个数的和是70，则中间的数是 ． 13．A、B两地在一条笔直的公路两端，甲车从A驶向B，乙车从B驶向A，甲乙两车同时出发，甲车的速度为40千米/时，乙车的速度是甲车的，1小时后，两车相距6千米，则A、B两地的距离是 千米． 14．如图，将正方形纸片剪去一张宽为的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为，根据题意可列方程为 ． 三、解答题 15．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 16．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有木材，要用多少木料制作桌面，多少木料制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工几张桌子？ 17．某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 18．某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 19．为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物．请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用； (2)若学校决定购买100本书，选择哪个方案费用最低； (3)若两种方案费用相同，购买本数________． 20．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 21．两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是_____； (2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____； (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为． ①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____； ②当S是长方形面积一半时，求的值． 22．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 23．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 24．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______； （注：用含n的代数式表示c和d．）    活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则m是_____，n是_____； （4）若方框选取的数中最小的数是t，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是_____（用含t的代数式表示g）．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $